FENÔMENOS DE TRANSPORTES

PROF.: KAIO DUTRA

AULA 9 – ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA

Grandezas FísicasDe forma simples, pode-se definir grandeza

física como uma propriedade observávelque pode ser expressa em termosquantitativos. Uma grandeza física deveobedecer a princípios aritméticos comunsde números.

As grandezas físicas podem ser divididas emdois grupos: As grandezas básicas formam um conjunto,

normalmente pequeno, em relação ao qual asdemais grandezas são definidas. Estas últimas sãodenominadas grandezas derivadas.

Prof.: Kaio Dutra

Grandezas FísicasNa mecânica, por exemplo, definimos normalmente as grandezasfundamentais como sendo massa(M), comprimento(L) e tempo(T),pois essas são grandezas mais básicas para nós, que não necessitamde outras para serem definidas.

Prof.: Kaio Dutra

Natureza da Análise Dimensional A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos

apresenta dependência complexa de parâmetrosgeométricos e do escoamento. Por exemplo, considere aforça de arrasto sobre uma esfera lisa estacionária imersaem uma corrente uniforme. Que experimentos devem serconduzidos para determinar a força de arrasto sobre aesfera? Para responder esta questão, nós devemosespecificar os parâmetros que acreditamos seremimportantes na determinação da força de arrasto: tamanho da esfera (D); velocidade do fluido (V); viscosidade do fluido (μ); massa específica do fluido (ρ).

Prof.: Kaio Dutra

Natureza da Análise DimensionalPara verificar como o arrasto, F, é afetado pela

velocidade, V, colocaríamos a esfera em um túnelde vento e mediríamos F para uma faixa devalores de V. Em seguida, faríamos mais testespara explorar o efeito de D sobre F, utilizandoesferas com diâmetros diferentes. Já estaríamosgerando uma grande quantidade de dados: Sefizermos experimentos em um túnel de vento com10 velocidades diferentes e 10 tamanhos deesferas diferentes, teríamos dados de 100 pontosexperimentais.

Prof.: Kaio Dutra

Natureza da Análise DimensionalFindo os testes, verificando todos osparâmetros, teríamos realizado em torno de10000 testes experimentais. Em seguida, viriaa etapa de tratamento de dados e análise deresultados.Felizmente, não temos que fazer todo essetrabalho. Todos os dados para arrasto sobreuma esfera lisa podem ser expressos comouma simples relação entre dois parâmetrosadimensionais na forma:

Prof.: Kaio Dutra

Natureza da Análise DimensionalA forma da função f ainda deve ser determinada

experimentalmente. Entretanto, em vez derealizar 10000 experimentos, poderíamosestabelecer a natureza da função com exatidão apartir de 10 experimentos apenas.

Não teremos que pesquisar fluidos com 10 valoresdiferentes de massa específica e viscosidade, nemhaverá necessidade de providenciar 10 esferascom diâmetros diferentes. Em vez disso, somenteo parâmetro ρVD/μ deve ser variado. Isso podeser realizado simplesmente pela variação navelocidade da esfera, por exemplo.

Prof.: Kaio Dutra

Natureza da Análise Dimensional

Note que o resultado final éuma curva que pode ser usadapara obter a força de arrastosobre uma grande faixa decombinações esfera/ fluido. Elapoderia, por exemplo, serusada para obter o arrastosobre um balão de ar quentedevido a uma corrente de ventoou sobre uma célula vermelhade sangue à medida que ela semove através da aorta

Prof.: Kaio Dutra

O Teorema Pi de BuckinghamFoi apresentado que a força de arrasto F sobre umaesfera depende do diâmetro da esfera D, da massaespecífica do fluido ρ, da viscosidade μ, e davelocidade do fluido V, ou seja: F = F(D, ρ, μ, V)

Poderíamos, do mesmo modo, ter escrito: g(F, D, ρ, μ, V) = 0

Onde que g é uma função não especificada,diferente de f.

Prof.: Kaio Dutra

O Teorema Pi de BuckinghamO teorema Pi de Buckingham declara que podemos transformar uma

relação entre n parâmetros da forma g(q1, q2, ..., qn) = 0

Em uma relação correspondente entre n – m parâmetros adimensionaisП na forma G(П1, П2, ..., Пn–m) = 0 ou П1 = G1(П2, ..., Пn–m)

Em que m é normalmente o número mínimo, r, de dimensõesindependentes (por exemplo, massa, comprimento, tempo) requeridopara definir as dimensões de todos os parâmetros q1, q2, ..., qn.

O teorema não prediz a forma funcional de G ou de G1. A relaçãofuncional entre os parâmetros Π adimensionais independentes deve serdeterminada experimentalmente.

Prof.: Kaio Dutra

O Teorema Pi de BuckinghamOs seis passos listados a seguir

delineiam um procedimentorecomendado para determinaros parâmetros Π:

1. Liste todos os parâmetrosdimensionais envolvidos.

2. Selecione um conjunto dedimensões fundamentais(primárias).

3. Liste as dimensões de todosos parâmetros em termosdas dimensões primárias.

Prof.: Kaio Dutra

Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

O Teorema Pi de Buckingham Os seis passos listados a seguir

delineiam um procedimentorecomendado para determinar osparâmetros Π:

4. Selecione da lista um conjunto de rparâmetros dimensionais queinclua todas as dimensõesprimárias.

5. Forme equações dimensionais,combinando os parâmetrosselecionados no Passo 4 com cadaum dos outros parâmetrosremanescentes, um de cada vez, afim de formar gruposdimensionais.

Prof.: Kaio Dutra

Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

O Teorema Pi de BuckinghamOs seis passos listados a seguirdelineiam um procedimentorecomendado para determinaros parâmetros Π:

5. Forme equações dimensionais,combinando os parâmetrosselecionados no Passo 4 comcada um dos outros parâmetrosremanescentes, um de cada vez,a fim de formar gruposdimensionais.

Prof.: Kaio Dutra

Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

O Teorema Pi de BuckinghamOs seis passos listados a seguirdelineiam um procedimentorecomendado para determinaros parâmetros Π:

6. Certifique-se de que cadagrupo obtido é adimensional.

Prof.: Kaio Dutra

Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

O Teorema Pi de BuckinghamTeorema Pi de Buckingham para queda de pressão no escoamentoem um tubo, sabendo que a queda de pressão depende da massaespecífica, velocidade do escoamento, diâmetro da tubulação,comprimento da tubulação, viscosidade do fluido e rugosidade datubulação:

Prof.: Kaio Dutra

O Teorema Pi de Buckingham1. Liste todos os parâmetros

dimensionais envolvidos.2. Selecione um conjunto de

dimensões fundamentais(primárias).

3. Liste as dimensões de todosos parâmetros em termosdas dimensões primárias.

4. Selecione da lista umconjunto de r parâmetrosdimensionais que incluatodas as dimensõesprimárias.

Prof.: Kaio Dutra

O Teorema Pi de Buckingham5. Forme equações dimensionais,

combinando os parâmetros selecionadosno Passo 4 com cada um dos outrosparâmetros remanescentes, um de cadavez, a fim de formar gruposdimensionais.

Prof.: Kaio Dutra

O Teorema Pi de Buckingham5. Forme equações dimensionais,

combinando os parâmetros selecionadosno Passo 4 com cada um dos outrosparâmetros remanescentes, um de cadavez, a fim de formar gruposdimensionais.

Prof.: Kaio Dutra

O Teorema Pi de Buckingham6. Certifique-se de que cada grupo obtido é

adimensional.

Prof.: Kaio Dutra

Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos

Ao longo dos anos, várias centenas de diferentes grupos adimensionais importantes para aengenharia foram identificadas. Seguindo a tradição, cada um desses grupos recebeu onome de um cientista ou engenheiro.

As forças encontradas nos fluidos em escoamento incluem as de inércia, viscosidade,pressão, gravidade, tensão superficial e compressibilidade.

Os principais grupos adimensionais da mecânica dos fluidos são: Número de Reynolds;

Número de Euler;

Número de Froude;

Número de Weber;

Número de Mach.

Prof.: Kaio Dutra

Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos

Número de Reynolds: Na década de 1880, Osborne Reynolds,

engenheiro britânico que estudou a transiçãoentre os regimes de escoamentos laminar eturbulento em um tubo. Ele descobriu que oparâmetro ρVD/μ é um critério pelo qual oregime do escoamento pode ser determinado.

O número de Reynolds é a razão entre forças deinércia e viscosas. Escoamentos com “grande”número de Reynolds são, em geral, turbulentos.Aqueles escoamentos em que as forças deinércia são “pequenas” em comparação com asforças viscosas são tipicamente escoamentoslaminares.

Prof.: Kaio Dutra

Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos

Número de Euler: Em testes de modelos aerodinâmicos e outros é

conveniente modificar o segundo parâmetro,Δp/ρV², inserindo um fator de 1/2 para fazer odenominador representar a pressão dinâmica.

Esta razão recebeu o nome de Leonhard Euler,matemático suíço que foi um dos pioneiros nostrabalhos analíticos em mecânica dos fluidos.

O número de Euler é a razão entre forças depressão e de inércia. O número de Euler éusualmente chamado coeficiente de pressão,Cp.

Prof.: Kaio Dutra

Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos

Número de Euler:No estudo dos fenômenos de cavitação, a diferençade pressão, Δp, é tomada como Δp = p − pυ, em quep é a pressão na corrente líquida e pυ é a pressão devapor do líquido na temperatura de teste.Combinando estes parâmetros com ρ e V, oparâmetro adimensional resultante é denominadonúmero ou índice de cavitação.Quanto menor o número de cavitação, maior aprobabilidade de ocorrer cavitação.

Prof.: Kaio Dutra

Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos

Número de Froude:William Froude foi um arquiteto naval britânico.Juntamente com seu filho, Robert Edmund Froude,ele descobriu um parâmetro significativo paraescoamentos com efeitos de superfície livre.O número de Froude pode ser interpretado como arazão entre forças de inércia e de gravidade.O número de Froude tem aplicações nos estudos daação das ondas em elementos flutuantes e emescoamentos em canais e córregos.

Prof.: Kaio Dutra

Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos

Número de Weber:O número de Weber indica a razão entre forças deinércia e forças de tensão superficial. Possuiaplicação no estudo de lubrificação de mancais.

Prof.: Kaio Dutra

Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos

Número de Mach:Na década de 1870, o físico austríaco Ernst Mach

introduziu o parâmetro V/c, em que V é avelocidade do escoamento e c é a velocidade localdo som. Análises e experimentos têm mostradoque o número de Mach é um parâmetro chave quecaracteriza os efeitos de compressibilidade em umescoamento.

Pode ser interpretado como uma razão entre forçasde inércia e forças de compressibilidade.Escoamentos com M<1 são denominadossubsônicos, com M=1 são sônicos e M>1,supersônicos.

Prof.: Kaio Dutra

Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos

Para ser de utilidade, um teste demodelo deve resultar em dados quepossam, por meio de transposição porescala, fornecer forças, quantidades demovimentos e cargas dinâmicas queexistiriam no protótipo em tamanhoreal.

Prof.: Kaio Dutra

Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos

Para que o modelo seja semelhante ao protótipo énecessário que: Semelhança geométrica: requer que ambos tenham a

mesma forma e que todas as dimensões lineares do modelosejam relacionadas com as correspondentes dimensões doprotótipo por um fator de escala constante.

Cinematicamente semelhantes: Dois escoamentos sãocinematicamente semelhantes quando as velocidades empontos correspondentes têm a mesma direção e sentido ediferem apenas por um fator de escala constante. Como asfronteiras sólidas formam as linhas de corrente de contornodo sólido, escoamentos cinematicamente semelhantesdevem ser também geometricamente semelhantes. Asemelhança cinemática exige que os regimes deescoamento sejam os mesmos para modelo e protótipo.

Prof.: Kaio Dutra

Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos

Para que o modelo seja semelhante aoprotótipo é necessário que: Dinamicamente semelhantes: Quando dois

escoamentos têm distribuições de força tais que tiposidênticos de forças são paralelos e relacionam-se emmódulo por um fator de escala constante em todosos pontos correspondentes. Semelhança cinemáticarequer semelhança geométrica; a semelhançacinemática é um requisito necessário, mas não ésuficiente para assegurar a semelhança dinâmica. Ascondições de teste devem ser estabelecidas de talforma que todas as forças importantes estejamrelacionadas pelo mesmo fator de escala entre osescoamentos de modelo e de protótipo.

Prof.: Kaio Dutra

Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos

Assim, considerando escoamentosde modelo e de protótipo (osescoamentos são geometricamentesemelhantes), eles também serãodinamicamente semelhantes se ovalor do parâmetro independente,ρVD/μ, for repetido entre o modeloe o protótipo, isto é:

Prof.: Kaio Dutra

Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos

Em muitos estudos com modelos, paraconseguir semelhança dinâmica, é precisoduplicar diversos grupos adimensionais. Emalguns casos, a semelhança dinâmica completaentre modelo e protótipo pode não seratingida. Pois as igualdades entres os númerosadimensionais impõem escalas infactíveis oumesmo a impossibilidade de reproduzir oescoamento.

Quando isto acontece, modelos em escala realsão construído utilizando argila, ou mesmo, emalguns casos, os próprios protótipos sãotestados.

Prof.: Kaio Dutra

SemelhançaLei das Bombas

A semelhança completa nos testes de desempenho debombas exigiria coeficientes de escoamento e númerode Reynolds idênticos. A prática tem mostrado que osefeitos viscosos são relativamente sem importância,quando duas máquinas geometricamente semelhantesoperam sob condições “semelhantes” de escoamento:

Onde: Q representa a vazão, H a altura de carga, D odiâmetro do rotor, w a rotação e P a potência da bomba.

Prof.: Kaio Dutra

Exemplo 1Um modelo de um navio, construído emescala de 1:10, é testado em umescoamento de água a uma velocidadede 120Km/h, sabendo que o arrasto nocasco do modelo foi medida e é 300N,calcule em condição de semelhança, avelocidade e o arrasto no protótipo.

Prof.: Kaio Dutra

Exemplo 2Uma bomba centrífuga opera em umarotação de 1750rpm, determine avariação em sua vazão e potência epotência, caso a rotação do motor sejamodificada para 3600rpm.

Prof.: Kaio Dutra