r-26 Ondas mecanicas

09/08/2008 Dr. E. Lazo, email: elazo@uta.cl, Depto. de Física, FACI, UTA

Física ContemporáneaIngeniería Civil

Como íbamos diciendo....Mayo de 2008....o Junio de

2008...o....Julio de 2008....o....

Osciladores acopladosYa vimos que al considerar 2 osciladores acoplados, su descripción general viene dada a través de los llamados modos normales de vibración.

2m1m 2k1k1θ

Péndulos acoplados por un resorte

1θ 2θll

Ecuaciones de movimiento para 2 péndulos acoplados por un resorte

( )( )

2 21 0 1 2 1

2 22 0 2 2 1

x x x x

+ − − =

+ + − =

• En un modo normal, todos y cada uno de los elementos del sistema vibran con la misma frecuencia

Modos Normales

titi BetxAetx ωω == )(;)( 21

cos()2

cos(2)(

sin()2

sin(2)(

ωωωω

En un movimiento general cualquiera de dos péndulos acoplados, cada péndulo se mueve según un movimiento llamado pulsaciones o beats.

ONDAS• Definición:• Perturbación física que viaja en el tiempo y

en el espacio• Transporta:

Energía (o capacidad para realizar trabajo)Momentum linealMomentum angular

• NO EXISTE TRANSPORTE DE MATERIA• Se representa por: ),( txΨ

Clasificación de las ondas• Ondas mecánicas (necesita un medio material para

propagarse)• Ondas electromagnéticas (se propaga incluso en el

vacío)• Ondas longitudinales (cuando pasa la onda, el

medio material se mueve en la misma dirección en que viaja la onda)

• Ondas transversales (cuando pasa la onda, el medio material se mueve en dirección perpendicular a la dirección en que viaja la onda)

• Ondas uni, bi y tridimensionales

ECUACIÓN DE ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA

dθ θ+

x dx+xx

ANÁLISIS DE FUERZAS TRANSVERSALES EN LA CUERDA

Masa diferencial de la cuerda:

Fuerzas debidas a la tensión T en los dos extremos = masa x aceleración vertical

2sin( ) sin( ) yT d T dxt

θ θ θ ρ⎛ ⎞∂

+ − = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠Pero, para ángulos muy pequeños se cumple la aproximación:

sin( ) tan( ) lim

xx dx x dx

y yx x

y yd dx x

θ θ θ θ

∆ →

∆ →+ +

∆ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∆ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≈ + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dxdm ρ=

Reemplazando en la ecuación de Newton, se tiene:

2x dx x

y y yT dxx x t

⎧ ⎫ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

La definición de la derivada de viene dada poryx∂⎛ ⎞

⎜ ⎟∂⎝ ⎠

x dx x

y y y ydx x x x x x+

⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

y yTx tρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La ecuación de ondas queda:

Definiendo la velocidad de fase como Tvρ

= escribimos:

1y yx v t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solución de la ecuación de ondasLa ec. diferencial de ondas se resuelve usando el método de separación de variables, en el cual se postula que la variable se puede expresar como:

( , ) ( ) ( )y x t X x T t=

( , ) sin( ) sin( )y x t A kx t B kx tω ω= − + +

1 2( , ) ( ) sin( )y x t c f x vt c f x vt= − + +

La solución general que se obtiene es la siguiente:

Soluciones armónicas:

Donde la velocidad de fase v y la constante k están relacionadas a través de la frecuencia ω: v

),( txy

La frecuencia angular ω está relacionada con la frecuencia ν de la onda y con el periodo temporal T, en la forma:

Tππνω 22 ==

El número angular de onda k está relacionado con el periodo espacial, llamado longitud de onda λ en la forma:

Por lo tanto, la velocidad de fase v viene dada por:

λλν= =vT

Onda viajando en dirección x+ para t fijo

)sin(),( tkxtxy ω−=Onda viajera:

)( tkx ω−

),( txy

• Velocidad de la partícula cuando la onda pasa por el punto x0:

para ondas longitudinales, la partícula se mueve en la misma dirección de la onda, para ondas transversales, la partícula se mueve en la dirección perpendicular a la dirección de movimiento de la onda.

• Velocidad de los planos de fase constante, o velocidad de fase: vf

• Velocidad de grupo: vg

Velocidades en el movimiento ondulatorio

),(),( 00 txytxv =

Z: Impedancia mecánica de la cuerda al paso de la onda:

Todos los medios presentan una impedancia Z (una clase de resistencia) al paso de la onda. Si el medio no presenta pérdidas o no presenta mecanismos de disipación de energía, la impedancia Z es real. En caso contrario Z es complejo.

Consideremos ondas progresivas en una cuerda, las cuales se generan en x=0 mediante una fuerza transversal oscilante del tipo que actúa sólo en el plano de la figura.

0i tF eω

0i tF e ω

Igualando las fuerzas verticales en x=0, se tiene:

0 sin tan yi tF e T T Tx

ω θ θ ∂⎛ ⎞=− ≈− =− ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )( , ) i t kxy x t Ae ω −=

La perturbación ondulatoria viene dada por:

Aplicando la ecuación de fuerzas en x=0, podemos escribir:

yi t i tF e T ikTAex x

ω ω∂⎛ ⎞=− =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ =

ikT=La amplitud A viene dada por:

La función de onda queda:

0 ( )( , )F i t kxy x t eikT

ω −=

La velocidad transversal viene dada por:

0( , ) ( )( , )TFy x t i t kxv x t e

t kTω ω∂ −= =

El módulo de la velocidad transversal queda:00

k T Tω ⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

La impedancia Z, viene dada por: 0 0

0 0T T f f

F TFF TZv v v F v

= = = =

Dado que 2fT vρ=

Se obtiene la forma final de la impedancia característica de la cuerda, en función de la densidad de la cuerda y de la velocidad de fase vf:ρ

Reflexión y refracción ondas en una frontera (ondas en cuerdas)

Cuando una onda incidente yi llega a la discontinuidad de impedancias (x=0), una parte de la onda se refleja yr, en la misma región de impedancia Z1, y una parte se transmite yt en la región de impedancia Z2.

1 1 1Z vρ=2 2 2Z vρ=

Onda transmitidaOnda incidente

Onda reflejada

Las funciones de onda incidente, reflejada y transmitidavienen dadas por:

• Onda incidente:

• Onda reflejada:

• Onda transmitida:

1( )( , ) i t k xi iy x t A e ω −=

1( )( , ) i t k xr ry x t A e ω +=

2( )( , ) i t k xt ty x t A e ω −=

1.- la onda y(x,t) tiene el mismo valor a la izquierda que a la derecha en x=0.

Las condiciones que se deben cumplir en la frontera de separación de las impedancias de distinto valor, x=0, para todo tiempo t, son las siguientes:

1.- la onda y(x,t) tiene el mismo valor a la izquierda que a la derecha en x=0.

2.- la fuerza transversal Ft tiene el mismo valor a izquierda y a derecha de x=0.

( 0, ( 0 )( ,) 0, ) ti t

i ri t i t

y x t y x t

A e A e ωω ω

== + =

ti rA AA+ =

Finalmente, la condición 1 queda:

2.- la fuerza transversal Ft tiene el mismo valor a izquierda y a derecha de x=0. Como antes vimos la fuerza transversal viene dada por:

sin tan yT T Tx

θ θ ∂⎛ ⎞≈ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Entonces, la condición 2, matemáticamente, se expresa como:

i try yyT T T

x x x∂ ∂∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Usando las funciones de onda incidente, reflejada y transmitida, vistas anteriormente, la condición 2, queda

1 1 2( ) ( ) ( )1 1 2

i t k x i t k x i t k xi r tik TAe ik TA e ik TAeω ω ω− + −− + =−

( )1 2i r tk T A A k TA− =

Simplificando, se tiene:

( )1 2

i r tT TA A Av v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pero, 1 21 2

,k kv vω ω

= = Reemplazando en relación anterior

Las impedancias en la cuerda se definen como Z=(T/vf). Finalmente, la condición 2 queda:

1i r t

ZA A A

Z⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Las condiciones 1 y 2 permiten obtener los valores de las amplitudes reflejada y transmitida, relativas a la amplitud de la onda incidente. Estos valores relativos se llaman: coeficiente de amplitud de reflexión y coeficiente de amplitud transmitida.

Despejando, se obtiene

A Z ZA Z

⎛ ⎞ −=⎜ ⎟ +⎝ ⎠

⎞=⎜ ⎟ +⎝ ⎠

Los coeficientes obtenidos son independientes de la frecuencia ω de la onda, y dependen sólo de las impedancias Z1 y Z2. Veamos algunos casos:

Si Z1 = Z2, no hay discontinuidad en las impedancias, la onda sigue sin perturbarse.

• Si Z2 = 0, entonces el punto x=0 es un extremo libre.

• Si Z2 →∞ esta condición equivale a que x=0 es un punto fijo de la cuerda, ya que no existe onda transmitida, y la onda reflejada es igual a la onda incidente.

0;r t iA A A= =

; 2r i t iA A A A= =

; 0r i tA A A= − =

Reflexión y transmisión de energía cuando pasa la onda.

Ahora analizaremos qué pasa con la energía cuando la onda llega a un punto de discontinuidad en la impedancia.

Consideremos un trozo de cuerda de largo l = 1 y densidad de masa lm

Entonces la masa vale m = ρ. Cuando pasa la onda, este trozo de cuerda de largo unitario presenta un movimiento oscilatorio armónico de amplitud A. Sabemos que la energía total del oscilador armónico viene dada por:

21 kAE =

Donde k está relacionado con la frecuencia angular de oscilación ω y con la masa m, en la forma:

2ωmk =Por lo tanto, k vale

2k ρω=

Insertando en la energía total, tenemos:

E Aρω=

Por otra parte, sabemos que la potencia instantánea, P, entregada por la onda viene dada por:

La tasa de energía que la onda entrega a cada trozo de largo unitario l = 1, por unidad de tiempo, viene dada por:

( ) 2 212

Pl Fl v Ev A vρω= = =

En consecuencia, la tasa de energía que llega a la discontinuidad de impedancias en x = 0, viene dada por

( ) 2 2 2 21 1 1llega

1 12 2i iPl A v Z Aρ ω ω= =

La tasa de energía que abandona la discontinuidad de impedancias en x = 0, viene dada por la suma de las tasas de energía debidas a la reflexión y a la transmisión:

( ) 2 2 2 21 2sale

1 12 2r tPl Z A Z Aω ω= +

Multiplicando y dividiendo por (Ai)2 , se tiene

( )2 2

2 21 2sale

AAPl A Z ZA A

ω⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Reemplazando los coeficientes de amplitud de reflexión y de amplitud transmitida obtenidos antes, tenemos:

( )2 2

2 2 1 2 11 2sale

1 2 1 2

Z Z ZPl A Z ZZ Z Z Z

ω⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 2 21sale

12 iPl Z Aω=

( ) ( )2 21llega sale

12 iPl Z A Plω= =

Luego, las tasas de energía que llegan a la discontinuidad de impedancias son iguales entre sí:

Simplificando, se obtiene:

Considerando esta igualdad en la forma

( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 2llega sale

1 1 12 2 2i r tPl Z A Z A Z A Plω ω ω= = + =

2 2 2 21 2

2 2 2 21 1

1 12 2 11 12 2

Z A Z A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dividiendo por se tiene:( )llegaPl

1tasa de energía reflejada 2

1tasa de energía incidente2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1tasa de energía transmitida 2

1tasa de energía incidente2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Coeficiente de reflexión R:

Coeficiente de transmisión T:

A partir de esta expresión definimos los coeficientes de reflexión R y de transmisión T, en la forma

Simplificando, tenemos el resultado general para los coeficientes de reflexión R y transmisión T

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

AZTZ A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Reemplazando el coeficiente de amplitud de reflexión y el coeficiente de amplitud transmitida obtenidos anteriormente, obtenemos la forma final de los coeficientes de reflexión R y de transmisión T, para la discontinuidad de impedancias en x=0:

Z ZRZ Z

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( )

4Z ZTZ Z

Nótese que la suma de los coeficientes de reflexión y transmisión vale 1, esto es,

( )( ) ( )

( )( )

2 21 2 1 21 2

2 2 21 2 1 2 1 2

4 1Z Z Z ZZ ZZ Z Z Z Z Z− +

+ = =+ + +

1R T+ =

Lo cual es una manifestación de la conservación de la energía.

Si las impedancias son iguales, es decir, si Z1 = Z2, entonces el coeficiente de reflexión R se hace igual a cero, R=0, y el coeficiente de transmisión vale uno, T=1. Dado que no hay energía reflejada, entonces se dice que las impedancia están acopladas o coinciden o calzan; también se dice que se produce el “matching” entre las impedancias.

Acoplamiento de impedancias (matching)

El acoplamiento (matching en inglés) de impedancias es un problema técnico de gran importancia práctica en ingeniería y en física, cuando nos enfrentamos al problema de transportar o transferir energías. Cuando la energía debe ser transportada a través de cables muy largos, el acoplamiento (matching) debe ser exacto, para evitar pérdidas de energía por reflexión. En conclusión, si queremos que el matching sea exacto, el coeficiente de transmisión T debe ser igual a 1, esto es: T=1.

Para ilustrar el problema, consideremos un cable con distintas impedancias como el que hemos estado estudiando, pero con el agregado de que entre el punto x=0 y el punto x=L, insertamos un trozo de cable de largo L, con densidad ρ2, tal como se muestra en la figura.

Dado que las 3 impedancias son distintas entre sí, en la región 1 tendremos onda incidente y reflejada en x=0. Hacia la derecha de x=0, en la región 2, habrá una onda transmitida, la cual llegará a incidir (chocar) en x=L. Dicha onda será una onda incidente en x=L, produciéndose una onda reflejada y una nueva onda transmitida, esta vez hacia la región 3. En dicha región 3 no existe onda reflejada, sólo onda transmitida.

2 2 2Z vρ=

Onda incidente

Onda reflejada

1 1 1Z vρ=

Onda incidente

Onda reflejada

3 3 3Z vρ=

Onda transmitida

Paso de la onda a través de 3 medios distintos

En cada región, las ondas incidentes, reflejadas y transmitidas vienen dadas por:

1 1( ) ( )1 1 1 1

i t k x i t k xi ry A e y B eω ω− += =

3( )3 3

i t k xty A e ω −=

2 2( ) ( )2 2 2 2

i t k x i t k xi ry A e y B eω ω− += =

En cada punto de discontinuidad de las impedancias, x=0 y x=L, debemos aplicar las condiciones de borde que antes vimos:

Las condiciones que se deben cumplir en la frontera de separación de las impedancias de distinto valor, en x=0 y en x=L, para todo tiempo t, son las siguientes:

1.- la onda y(x,t) tiene el mismo valor a la izquierda que a la derecha de la discontinuidad en la impedancia.

2.- la fuerza transversal Ft tiene el mismo valor a izquierda y a derecha de la discontinuidad en la impedancia.

Discontinuidad de las impedancias en x=0

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 2 2

i t k x i t k x i t k x i t k xA e B e A e B eω ω ω ω− + − ++ = +

1 1 2 2A B A B+ = +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 1 1 2 2 2 2

i t k x i t k x i t k x i t k xik TAe ik TBe ik TA e ik TB eω ω ω ω− + − +− + = − +

Continuidad de la función de onda:

Continuidad de la fuerza transversal:

( ) ( )1 1 1 2 2 2kT A B k T A B− = −

k ω= , y TZ

v= , luego esta expresión queda:

( ) ( )21 1 2 2

ZA B A B

Z− = −

Discontinuidad de las impedancias en x=L

( ) ( ) ( )32 22 2 3

i t k Li t k L i t k LA e B e A e ωω ω −− ++ =

( ) ( ) ( )32 22 2 2 2 3 2

i t k xi t k x i t k xik TA e ik TB e ik TA e ωω ω −− +− + = −

Continuidad de la fuerza transversal:

( ) ( ) ( )32 22 2 3

i k Li k L i k LA e B e A e−− + =

( ) ( ) ( )32 2 32 2 3

i k Li k L i k L ZA e B e A e

Z−− − =

Continuidad de la función de onda:

Para obtener el coeficiente de transmisión T en la región 3, entre la onda incidente en la región 1 y la onda transmitida en la región 3, necesitamos calcular A3 en función de A1.

Para obtener esta relación escribamos las últimas 4 ecuaciones en la siguiente forma matricial:

1 1 1 1

ikik L ik L

ik L ik LL

Z ZZ Z

−−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥

− −

−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Multiplicando por la matriz inversa, por el lado izquierdo, podemos despejar A1en función de A3, obteniendo:

1 3 322 2

1 cos sin

ik LA eA Z ZZk L i k L

=⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A A AA A A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 3 3 3 32 22 2 2 2

1 1 2 1 1 2

1 cos sin 1 cos sin

ik L ik LA e eA Z Z Z ZZ Zk L i k L k L i k L

Z Z Z Z Z Z

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Debido a que las magnitudes son complejas, se debe cumplir que:

Es decir,

1 2 23 322 2

1 cos sin

AA Z ZZk L k L

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

energía transmitida a la región 3energía incidente desde la región 1

Z ATZ A

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Simplificando, se tiene:

Según vimos anteriormente, el coeficiente de transmisión T viene dado por:

2 23 322 2

1 cos sin

TZ ZZk L k LZ Z Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Finalmente obtenemos:

La pregunta es: ¿cómo podemos lograr que este coeficiente de transmisión llegue a ser T=1, para lograr el matching entre la región 1 y la región 3?. Es decir, queremos lograr que se cumpla la siguiente relación:

2 23 322 2

1 cos sin

TZ ZZk L k LZ Z Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La condición general que estamos considerando es que las impedancias: Z1y Z3 sean diferentes entre sí, por ello, la única solución compatible con esta condición es la siguiente.

Si hacemos cos(k2L)=0, se obtiene la solución buscada, ya que entonces se cumple que

Z Z Z⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 22cos 0

2 42k k L LL Lπ π π

→ = → = → ==

Es decir, esta debe ser la distancia L de separación entre x=0 y x=L

Con esta condición el seno vale 1, y se cumple la siguiente relación entre las impedancias:

4L λ=

2 1 3Z Z Z=

De esta relación sale la otra condición sobre el valor que debe tener la impedancia Z2 para que se produzca el matching entre x=0 y x=L:

En resumen, el matching entre la regiones 1 y 3, se produce si se cumplen las siguientes condiciones:

3124ZZZL ==

Con estas condiciones el coeficiente de transmisión de la región 1 a la región 3 vale T=1, es decir, no hay onda reflejada. Básicamente en esto consiste el matching.

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