Tema5 Características Generales de las Ondas
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Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 1/35JJ J N I II 1/35
Tema 5Características generales de las ondas
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 2/35JJ J N I II 2/35
Cuerda con cuentas
Cuerda elástica de masa despreciable sometida a una tensión T0 en el equi-librio con N masas m separadas por una distancia l.
l′ =l
cosαi−1
' l[1 +O(α2
i−1)]
Empleando la ley de Hooke
T ' T0
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 3/35JJ J N I II 3/35
Fuerza paralela que actúa sobre la partícula i
T0 cosαi − T0 cosαi−1 'T0
2
(α2i−1 − α2
i
)→ 0
mientras que la componente perpendicular es
myi = T0 senαi − T0 senαi−1 ' T0 tanαi − T0 tanαi−1
Definiendo ω20 ≡ T0/ml obtenemos
yi + ω20 (2yi − yi+1 − yi−1) = 0 y0 = yN+1 = 0
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 4/35JJ J N I II 4/35
Determinación de los modos normales
yi(t) = Ai cosωt con A0 = AN+1 = 0.(2ω2
0 − ω2)Ai − ω2
0 (Ai+1 + Ai−1) = 0 i = 1, 2, . . . N
Usando como solución Ai = B sen(iθ)
cos θ =2ω2
0 − ω2
2ω20
Las condiciones de contorno se cumplen si
sen [(N + 1)θ] = 0 =⇒ ωn = 2ω0 sen
(nπ
2(N + 1)
)n = entero
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 5/35JJ J N I II 5/35
ωn y −ωn son físicamente equivalentes: n ≥ 0.
n = 0 es un modo de traslación: n > 0.
n = N + 1 implica θ = π y Ai = 0.
ωN+2 = ωN ωN+3 = ωN−1 . . . ω2N+1 = ω1.
Por tanto, los modos normales son
yin(t) = B sen
(inπ
N + 1
)cosωnt i, n = 1, 2, . . . , N
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 6/35JJ J N I II 6/35
Límite contínuo
N →∞, l→ 0, m→ 0 con L ≡ (N + 1)l = cte y M ≡ mN = cte.Las frecuencias más bajas verifican que
ωn ' ω0
nπ
N + 1=nπ
L
√T0
µ= nω1 ω1 =
π
L
√T0
µ
yn(x, t) = B sen
(nπx
L
)cos(nω1t) n = 1, 2, . . .
Solución general
ψ(x, t) =∞∑n=1
Bn sen(κnx) cos(ωnt + δn)
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 7/35JJ J N I II 7/35
Ondas en una cuerda vibrante
|~T1| ' |~T2| ' T0
Segunda ley de Newton
µ∆x
(∂2ψ
∂t2
)' T0
(∂ψ
∂x
)x+∆x
− T0
(∂ψ
∂x
)x
' T0∆x
(∂2ψ
∂x2
)Definiendo v ≡
√T0/µ obtenemos la ecuación de ondas
1
v2
∂2ψ
∂t2=∂2ψ
∂x2
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 8/35JJ J N I II 8/35
Modos normales.
Condiciones de contorno ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0. Onda estacionaria.
ψ(x, t) = A(x) cos(ωt + δ) =⇒ A′′(x) + κ2A(x) = 0
donde se cumple la relación de dispersión para la cuerda
ω = κv
La solución buscada es A(x) = α senκx + β cosκx. A(0) = 0 =⇒ β = 0y A(L) = 0 =⇒ κL = nπ. Los modos normales son
ψn(x, t) = α sen
(nπx
L
)cos
(nπvt
L+ δ
)n = 1, 2, . . .
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 9/35JJ J N I II 9/35
Posición de los nodos y vientres:
Nodos: x = `nL
` = 1, . . . , n− 1 (n > 1)
Vientres: x =` + 1/2n L
` = 0, . . . , n− 1
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 10/35JJ J N I II 10/35
Solución general de la ecuación de ondas
Las soluciones son ondas viajeras (so-lución de d’Alembert)
ψ(x, t) = f (x− vt) + g(x + vt)
El signo − indica propagación en la direc-ción positiva del eje X y el signo + en lanegativa.
La forma de la onda NO cambia en el tiempo.
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 11/35JJ J N I II 11/35
Para demostralo definimos la variable u ≡ x − vt y aplicamos la regla dela cadena:
∂ψ
∂x=
∂u
∂x
df
du=df
du∂2ψ
∂x2=
∂
∂x
df
du=∂u
∂x
d2f
du2=d2f
du2
∂ψ
∂t= −v∂u
∂u
df
du= −v df
du∂2ψ
∂t2︸︷︷︸ = −v∂∂t
df
du= −v∂u
∂t
d2f
du2= v2d
2f
du2= v2∂
2ψ
∂x2︸ ︷︷ ︸De la misma manera se puede mostrar que g(x + vt) también es soluciónde la ecuación de ondas.
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 12/35JJ J N I II 12/35
Si una onda viajera es periódica en el espacio, también lo es en el tiempo,y viceversa.
Sea ψ(x, t) = ψ(x, t+T ) periódica en el tiempo, con período T . Entonces
ψ(x, t) = f (x± vt) = ψ(x, t + T ) = f (x± vt± vT ) = ψ(x± vT, t)
por lo que es periódica en el espacio, con período vT .
Principio de superposición
Cuando dos o más ondas se encuentran en el mismo lugar del espacio en elmismo tiempo se dice que interfieren. La función de onda resultante es lasuma de todas ellas.
Para visualizar una animación pinche sobre la imagen:
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Ondas monocromáticas
Es un caso particular de onda viajera
ψ(x, t) = ψ0 sen[κ(x± vt) + δ] = ψ0 sen[κx± ωt + δ]
ψ(x, t) = A sen[κx± ωt] + B cos[κx± ωt]ψ(x, t) = Re {D exp[i(κx± ωt)]}
Longitud de onda λ = 2π/κ período T = 2π/ω
El movimiento que realiza cada punto es armónico simple, cuya fase dependedel punto considerado.
ψ(x0, t) = ψ0 sen[κx0 ± ωt + δ] = ψ0 sen[ωt + φ(x0)]
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Velocidad de fase
Se define la fase de la onda sinusoidal como
ϕ(x, t) = κx− ωt
La velocidad vo a la que debe moverse un observador para que la fase seaestacionaria
dϕ
dt= κ
dx
dt︸︷︷︸vo
−ω
e imponiendo la condición de que dϕdt
= 0 obtenemos que vo = v. Habi-tualmente v recibe el nombre de velocidad de fase
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Superposición de ondas monocromáticas
Misma frecuencia y amplitud pero direcciones opuestas.
ψ1(x, t) =ψ0
2sen(κx− ωt) ψ2(x, t) =
ψ0
2sen(κx + ωt)
ψ(x, t) = ψ1(x, t) + ψ2(x, t) = ψ0 senκx cosωt
Para visualizar la onda estacionaria, pinche sobre el icono:
Pulsaciones.
ψ1(x, t) =ψ0
2sen[κ1(x− vt)] ψ2(x, t) =
ψ0
2sen[κ2(x− vt)]
ψ(x, t) = ψ0 sen
[κ1 + κ2
2(x− vt)
]cos
[κ1 − κ2
2(x− vt)
]︸ ︷︷ ︸
onda moduladora
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En el instante t = 0 tendremos
ψ(x, t = 0) = ψ0 sen
(2π
x
λ−
)cos
(2π
x
λ+
)λ± ≡
4π
|κ1 ∓ κ2|
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Reflexión y transmisión en cuerdas
Para generar una onda monocromática enuna cuerda basta hacer que un extremo semueva con movimiento armónico simplecon la frecuencia y amplitud deseadas.
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 18/35JJ J N I II 18/35
La tensión que la cuerda ejerce sobre el punto de sujección es T0
(∂ψ∂x
)x=0
por lo que la fuerza que debe ejercer el motor es
FM→C = −T0
(∂ψ
∂x
)x=0
=T0
v
(∂ψ
∂t
)x=0
=√T0µ
(∂ψ
∂t
)x=0
donde la impedancia característica es Z0 ≡√T0µ
Condiciones de contorno en una discontinuidad
La fuerza neta sobre el nudo es
(Z1 − Z2)
(∂ψ
∂t
)x=0
6= 0
si Z1 6= Z2. Si la masa del nudo es des-preciable, tendría aceleración infinita.
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La alternativa es admitir que existeuna onda reflejada, de manera quepueda cumplirse que la fuerza neta so-bre el nudo sea nula.
ψi(0, t) + ψr(0, t) = ψt(0, t)
T1
(∂ψi∂x
)x=0
+ T1
(∂ψr∂x
)x=0
− T2
(∂ψt∂x
)x=0
= 0 =⇒
Z1
{(∂ψi∂t
)x=0
−(∂ψr∂t
)x=0
}= Z2
(∂ψt∂t
)x=0
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 20/35JJ J N I II 20/35
Empleando la continuidad de la función de onda
(Z1 − Z2)
(∂ψi∂t
)x=0
= (Z1 + Z2)
(∂ψr∂t
)x=0
e integrando respecto al tiempo
ψr(0, t) = Rψi(0, t)
donde se ha definido el coeficiente de reflexión como
R =Z1 − Z2
Z1 + Z2
, −1 ≤ R ≤ +1
Extremo libre: Z2 = 0 =⇒ R = 1. Pinche sobre el icono:
Extremo fijo: Z2 →∞ =⇒ R = −1. Pinche sobre el icono:
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 21/35JJ J N I II 21/35
Como ψt(0, t) = ψi(0, t) + ψr(0, t) y ψr(0, t) = Rψi(0, t) resulta que
ψt(0, t) = Tψi(0, t)
donde se ha definido el coeficiente de transmisión como
T = 1 + R =2Z1
Z1 + Z2
, 0 < T < 2
Si ambas tensiones son iguales podemos obtener que
R =v2 − v1
v2 + v1
T =2v2
v2 + v1
Pinche sobre el icono para ver qué ocurre cuando Z1 < Z2:
Pinche sobre el icono para ver qué ocurre cuando Z1 > Z2:
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 22/35JJ J N I II 22/35
Energía propagada en la cuerda
ds−dx =(dx2 + dψ2
)1/2−dx =
√1 +
(∂ψ
∂x
)2
− 1
dx ' 1
2
(∂ψ
∂x
)2
dx
por lo que la variación de energía potencial es
dEp =1
2T0
(∂ψ
∂x
)2
dx
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 23/35JJ J N I II 23/35
La energía cinética es
dEc =1
2µ
(∂ψ
∂t
)2
dx
por lo que la densidad de energía es
dE
dx=
1
2µ
(∂ψ
∂t
)2
+1
2T0
(∂ψ
∂x
)2
Para una onda monocromática ψ(x, t) = ψ0 sen(κx− ωt) se obtiene
dE
dx= µω2ψ2
0 cos2(κx− ωt)
y la energía para que vibre un segmento de longitud λ es
Eλ =
∫ λ
0
dE
dxdx =
1
2µλω2ψ2
0
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 24/35JJ J N I II 24/35
Potencia propagada en la cuerda
La energía almacenada entre x−dx y x en un instante t pasa a estar entrex y x + dx en el instante t + dt con dt = dx/v.
Por tanto
P(x, t) =dE
dt= v
dE
dx
P(x, t) =v
2µ
(∂ψ
∂t
)2
+v
2T0
(∂ψ
∂x
)2
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 25/35JJ J N I II 25/35
Para una onda monocromática ψ(x, t) = ψ0 sen(κx− ωt) se obtiene
P(x, t) = µvω2ψ20 cos2(κx− ωt)
de manera que la potencia promedio en un período es
〈P〉 ≡ 1
T
∫ T
0
P(x, t) dt =1
2µvω2ψ2
0 =Eλ
T
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 26/35JJ J N I II 26/35
Atenuación
Cuando sumergimos la cuerda en un fluido aparece una fuerza de fricciónque es proporcional a la velocidad de cada segmento.
µ∂2ψ
∂t2= T0
∂2ψ
∂x2− β ∂ψ
∂t=⇒ ∂2ψ
∂t2+ Γ
∂ψ
∂t= v2 ∂
2ψ
∂x2Γ ≡ β
µ
ψ(x, t) = ψ0 exp[i(Υx− ωt)] Υ ≡ κ + iγ
Sustituyendo en la ecuación de ondas ω2 + iΓω = v2Υ2
ω2 = v2(κ2 − γ2
)Γω = 2v2κγ
ψ(x, t) = ψ0e−γx exp[i(κx− ωt)] 1/γ: longitud de atenuación
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 27/35JJ J N I II 27/35
Débil: Γ/ω � 1.
v(κ + iγ) = ω√
1 + iΓ/ω ' ω + iΓ/2,
ω = κv γ =Γ
2vλ� γ−1
Fuerte: Γ/ω � 1.
v2(κ + iγ)2 = ω2 + iΓω ' iΓω,
κ ' γ '
√Γω
2v2Γω = 2γκv2
λ ∼ γ−1
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 28/35JJ J N I II 28/35
Impedancia característica en presencia de atenuación
La fuerza transversal que debemos realizar sobre la cuerda es
−T0
(∂ψ
∂x
)= −Re
[iΥT0ψ0e
i(Υx−ωt)]
= Re
[ΥT0
ω
(∂ψ
∂t
)]por lo que podemos definir una impedancia compleja
Z0 =T0Υ
ω=T0
ω(κ + iγ)
Atenuación débil: Z0 '√T0µ (1 + iΓ/2ω)
Atenuación fuerte: Z0 '√T0µ (1 + i)
√Γ/2ω.
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 29/35JJ J N I II 29/35
Discontinuidad
Consideremos una onda sobre una cuerda que pasa de una región donde nohay atenuación, con impedancia característica Z1 =
√T0µ, a otro medio
donde hay atenuación, con impedancia característica Z2. En los dos casoslímites considerados, el coeficiente de reflexión R = (Z1 − Z2)/(Z1 + Z2)es
Débil:R ' −i Γ
4ω|R| � 1
Fuerte:R ' −1 (Pared rigida)
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 30/35JJ J N I II 30/35
Velocidad de grupo
ψ1(x, t) =ψ0
2sen[(κ− dκ)x− (ω − dω)t]
ψ2(x, t) =ψ0
2sen[(κ + dκ)x− (ω + dω)t]
Pulsación:
ψ(x, t) = ψ0 cos (dκ x− dω t)︸ ︷︷ ︸Moduladora
sen(κx− ωt)
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 31/35JJ J N I II 31/35
La velocidad de la onda moduladora recibe el nombre de velocidad degrupo. Representa la velocidad a la que se debe mover un observador paraque determine que la amplitud de la onda no cambia.
vg ≡dω
dκ= v + κ
dv
dκ
En los medios no dispersivos las velocidades de fase y de grupo coinciden(v no depende de κ). En los medios dispersivos cada onda monocromáticaviaja a una velocidad diferente. La superposición de ellas (típicamente unpaquete de ondas) cambia de forma en el transcurso del tiempo.
Relación de dispersión: ω = ω(κ)
Pinche sobre el icono para ver qué sucede en un medio dispersivo:
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 32/35JJ J N I II 32/35
Paquetes de onda gaussianos
ψ(x, t) =
∫ ∞−∞
C(κ)ei(κx−ωt) dκ C(κ) = Ae−σ2(κ−κ0)2
ψ(x, 0) = A
∫ ∞−∞
eiκx−σ2(κ−κ0)2 dκ
= A
√π
σeiκ0xe−x
2/4σ2
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 33/35JJ J N I II 33/35
ω(κ) = ω(κ0) +
(dω
dκ
)κ0
(κ− κ0) +1
2
(d2ω
dκ2
)κ0
(κ− κ0)2 + · · ·
≡ ω0 + vg(κ0)(κ− κ0) + β(κ0)(κ− κ0)2 , β(κ) ≡ 1
2
dvgdκ
En los medios no dispersivos β(κ) = 0, por lo que
ψ(x, t) =
∫ ∞−∞
C(κ)ei[κx−ω0t−vg(κ0)(κ−κ0)t] dκ
Teniendo en cuenta que en este caso vg(κ0) = v y que ω0 = vκ0 resulta
ψ(x, t) =
∫ ∞−∞
C(κ)eiκ(x−vt) dκ = ψ(x− vt, 0)
es decir, el paquete gaussiano se propaga sin distorsión. Debemos notar queno se ha hecho uso de la forma explícita de C(κ), por lo que esta conclusiónes válida para la dinámica de cualquier pulso en medios no dispersivos.
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 34/35JJ J N I II 34/35
En los medios dispersivos β(κ) 6= 0, por lo que
ψ(x, t) =
∫ ∞−∞
C(κ)e−iβ(κ0)(κ−κ0)2tei[κ(x−vg(κ0)t)+φ(κ0,t)] dκ
donde φ(κ0, t) ≡ ω0t[1− vg(κ0)/v(κ0)], siendo v(κ0) = ω0/κ0 la velocidadde fase. Además de esta fase φ(κ0, t), la presencia de un término cuadráticoen la relación de dispersión origina el factor exp{−iβ(κ0)(κ− κ0)
2t} en elintegrando. En consecuencia, en el medio dispersivo hemos de reemplazar σpor σ+iβ(κ0)t. Así obtenemos que la envolvente sigue siendo una gaussiana,pero su anchura crece en el tiempo pues
σ(t) = σ√
1 + β2(κ0)t2
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 35/35JJ J N I II 35/35
Ondas en medios no homogéneos: Método WBK.
v(x) lentamente variable en el espacio.
1
v2(x)
∂2ψ
∂t2=∂2ψ
∂x2ψ(x, t) = A(x)ei[f(x)−ωt]
donde A(x) y f (x) son funciones reales. Sustituyendo la solución propuestaen la ecuación y despreciando A′′(x) obtenemos dos ecuaciones
f ′(x) =ω
v(x)=⇒ f (x) = ω
∫ x
x0
dy
v(y)
2A′(x)f ′(x) + Af ′′(x) = 0 =⇒ A(x)
A(x0)=
√f ′(x0)
f ′(x)=
√v(x)
v(x0)
ψ(x, t) = A(x0)
√v(x)
v(x0)exp
[iω
(∫ x
x0
dy
v(y)− t)]
