UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIENCIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PONTES EM CONCRETO ARMADO

fck 25MPa:= c 4cm:=

Unidades em metro (m):

L 20m:= B 12.80m:= H 2m:= bw 0.6m:= b 2.6m:=

DIMENSIONAMENTO DA VIGA PRINCIPAL

Solicitação devido as Cargas Permanentes

γc 25kN

m3

⋅:= γpav 24kN

m3

:= recap 2kN

m2

:=

Cálculo da área de concreto

A1 bw H 0.2m− 0.15m−( )⋅

b 2 bw⋅+ 1m+( ) 0.15⋅ m

2

+0.2m B⋅

2+ 2.63 m

2=:=

Cálculo da área do pavimento

A2B 2 .4⋅ m−( ) .07⋅ m

20.42 m

2=:=

Cálculo da área da defensa:

A3 0.87m 0.175⋅ m0.87m 0.25m+ 0.15m+( ) 0.05⋅ m

2+

0.25m 0.15m+ 0.15m+( ) 0.175⋅ m

2+ 0.232 m

2=:=

Cálculo do recapeamento:

R4B 2 0.4⋅ m−( )

26 m=:=

Cálculo do carregamento permanente

Devido ao peso próprio:

gpp A1 A3+( ) γc⋅ 71.553kN

m⋅=:=

Devido a sobrecarga permanente (pavimentação, recapeamento e defensa):

gsc A2 γpav⋅ R4 recap⋅+ A3 γc⋅+ 27.883kN

m⋅=:=

Carga Permanente Total:

gt gpp gsc+ 99.436kN

m⋅=:=

Momento Fletor devido ao Carregamento Permanente

Mg 4971.8kN m⋅:=

Esforço Cortante devido ao Carregamento Permanente

Rg 994.4kN:= Vg 994.4kN:=

Solicitação devido as Cargas Móveis

As cargas móveis podem ocupar qualquer posição sobre o tabuleiro daponte. Assim, para cada longarina, é necessário procurar a posição docarregamento que provoque a máxima solicitação em cada uma das seções decálculo.

O carregamento de cálculo de uma longarina levará em consideraçãoa geometria da seção transversal da ponte, como o espaçamento daslongarinas.

Coenficiente de impacto vertical

LIV L 20 m=:=

CIV 1 1.0620.m

LIV 50.m+⋅+ 1.303=:=

n 2:= (numero de faixas)

CNF 1 0.05 n 2−( )⋅− 1=:= obs: mudar desenho

CIA 1.25:= (para concreto armado)

ϕ1 CIV CNF⋅ CIA⋅ 1.629=:= (para balannços)

ϕ2 CIV CNF⋅ 1.303=:= (para vão)

Trem - Tipo Simplificado (Classe 450)

P 75kN:= p 5kN

m2

:= p´ 3kN

m2

:=

P1 P ϕ2⋅ 97.714 kN⋅=:=

p1 p ϕ2⋅ 6.514kN

m2

⋅=:=

Distância entre o eixo dos apoios: d B 2 b⋅− bw− 7 m=:=

Lb 2.9m:=

Equação da reta para linha de influência: w x( )Lb x−

d1+:=

Posição das cargas:

Ponto 0: xp0 0.4m:= w xp0( ) 1.357=

Ponto 1: xp1 0.9m:= w xp1( ) 1.286=

Ponto 2: xp2 2.9m:= w xp2( ) 1=

Ponto 3: xp3 3.4m:= w xp3( ) 0.929=

Ponto 4: xp4 9.9m:= w xp4( ) 0=

Cargas do trem-tipo:

Q1 w xp1( ) w xp2( )+( ) P1⋅ 223.347 kN⋅=:=

q1

w xp3( ) 6.5⋅ m( )2

p1⋅ 19.659kN

m⋅=:=

q2

w xp0( ) 9.5⋅ m

2p1⋅ 41.994

kN

m⋅=:=

Linhas de Influência na viga principal:

Esforço Cortante:

Seção 1:

y1 1:= y2 0.925:= y3 0.85:= y4 0.775:=

Vmax1 Q1 y1 y2+ y3+( )⋅ q1

y1 y4+( )4.5m

2⋅+ q2

y4 15.5⋅ m

2⋅+ 950.527 kN⋅=:=

Vmin1 0:=

Seção 2:

y1 0.9:= y2 0.825:= y3 0.75:= y4 0.675:= y5 0.1−:= y6 0.025−:=

Vmax2 Q1 y1 y2+ y3+( )⋅ q1

y1 y4+( )4.5m

2⋅+ q2

y4 13.5⋅ m

2⋅+ 813.786 kN⋅=:=

Vmin2 Q1 y5 y6+( )⋅ q1

y5 2⋅ m( )2

⋅+ 29.884− kN⋅=:=

Seção 3:

y1 0.8:= y2 0.725:= y3 0.65:= y4 0.575:= y5 0.2−:= y6 0.125−:= y7 0.05−:=

Vmax3 Q1 y1 y2+ y3+( )⋅ q1

y1 y4+( )4.5m

2⋅+ q2

y4 11.5⋅ m

2⋅+ 685.442 kN⋅=:=

Vmin3 Q1 y5 y6+ y7+( )⋅ q1

y5 4⋅ m( )2

⋅+ 91.619− kN⋅=:=

Seção 4:

y8 0.075−:=y1 0.7:= y2 0.625:= y3 0.55:= y4 0.475:= y5 0.3−:= y6 0.225−:= y7 0.15−:=

Vmax4 Q1 y1 y2+ y3+( )⋅ q1

y1 y4+( )4.5m

2⋅+ q2

y4 9.5⋅ m

2⋅+ 565.498 kN⋅=:=

Vmin4 Q1 y5 y6+ y7+( )⋅ q1

y5 y8+( ) 4.5⋅ m

2⋅+ q2

y8 1.5⋅ m( )2

⋅+ 169.709− kN⋅=:=

Seção 5:

y8 0.175−:=y1 0.6:= y2 0.525:= y3 0.45:= y4 0.375:= y5 0.4−:= y6 0.325−:= y7 0.25−:=

Vmax5 Q1 y1 y2+ y3+( )⋅ q1

y1 y4+( )4.5m

2⋅+ q2

y4 7.5⋅ m

2⋅+ 453.953 kN⋅=:=

Vmin5 Q1 y5 y6+ y7+( )⋅ q1

y5 y8+( ) 4.5⋅ m 2

⋅+ q2

y8 3.5⋅ m( )2

⋅+ 256.058− kN⋅=:=

Seção 6:

y8 0.275−:=y1 0.5:= y2 0.425:= y3 0.35:= y4 0.275:= y5 0.5−:= y6 0.425−:= y7 0.35−:=

Vmax6 Q1 y1 y2+ y3+( )⋅ q1

y1 y4+( )4.5m

2⋅+ q2

y4 5.5⋅ m

2⋅+ 350.806 kN⋅=:=

Vmin6 Q1 y5 y6+ y7+( )⋅ q1

y5 y8+( ) 4.5⋅ m 2

⋅+ q2

y8 5.5⋅ m( )2

⋅+ 350.806− kN⋅=:=

Resumo dos esforços cortantes:

Vmax

Vmax1

Vmax2

Vmax3

Vmax4

Vmax5

Vmax6

950.527

813.786

685.442

565.498

453.953

350.806

kN⋅=:= Vmin

Vmin1

Vmin2

Vmin3

Vmin4

Vmin5

Vmin6

0

29.884−

91.619−

169.709−

256.058−

350.806−

kN⋅=:=

Envoltória dos esforços cortantes:

MOMENTOS FLETORES:

Mmax1 0:=Seção 1:

Mmin1 0:=

Seção 2:

Seção 3:

Seção 4:

Seção 5:

Seção 6:

Envoltória dos momentos fletores:

M1 0kN m⋅:= M2 2169.9kN m⋅:= M3 3808.9kN m⋅:= M4 4949.7kN m⋅:= M5 5672.9kN m⋅:= M6

Reações de apoio:

Rmax 950.4kN:= Rmin 458.8− kN:=

Esforços de Projeto:

γg 1.3:=

γq 1.4:=

Reações de apoio:

Rdmax γg Rg⋅ γq Rmax⋅+ 2623.28 kN⋅=:=

Rdmim γg Rg⋅ γq Rmin⋅+ 650.4 kN⋅=:=

Esforços cortantes:

Vdmax1 γg Vg⋅ γq Vmax1⋅+ 2623.458 kN⋅=:=Vdmin1 γg Vg⋅ γq Vmin1⋅+ 1292.72 kN⋅=:=

Vdmax2 γg Vg⋅ γq Vmax2⋅+ 2432.02 kN⋅=:=Vdmin2 γg Vg⋅ γq Vmin2⋅+ 1250.882 kN⋅=:=

Vdmax3 γg Vg⋅ γq Vmax3⋅+ 2252.339 kN⋅=:=Vdmin3 γg Vg⋅ γq Vmin3⋅+ 1164.454 kN⋅=:=

Vdmax4 γg Vg⋅ γq Vmax4⋅+ 2084.417 kN⋅=:=Vdmin4 γg Vg⋅ γq Vmin4⋅+ 1055.128 kN⋅=:=

Vdmax5 γg Vg⋅ γq Vmax5⋅+ 1928.254 kN⋅=:=Vdmin5 γg Vg⋅ γq Vmin5⋅+ 934.239 kN⋅=:=

Vdmax6 γg Vg⋅ γq Vmax6⋅+ 1783.848 kN⋅=:=Vdmin6 γg Vg⋅ γq Vmin6⋅+ 801.592 kN⋅=:=

Momentos Fletores:

Mdmax1 γg Mg⋅ γq M1⋅+ 6463.34 kN m⋅⋅=:=

Mdmax2 γg Mg⋅ γq M2⋅+ 9501.2 kN m⋅⋅=:=

Mdmax3 γg Mg⋅ γq M3⋅+ 11795.8 kN m⋅⋅=:=

Mdmax4 γg Mg⋅ γq M4⋅+ 13392.92 kN m⋅⋅=:=

Mdmax5 γg Mg⋅ γq M5⋅+ 14405.4 kN m⋅⋅=:=

Mdmax6 γg Mg⋅ γq M6⋅+ 14754.14 kN m⋅⋅=:=

Dimensionamento das longarinas

Achando as dimensões geometricas da seção

b1 if b .1 L⋅< b, .1 L⋅, ( ) 2 m=:=

b3 ifB 2 b⋅− 2 bw⋅−

2.1 L⋅<

B 2 b⋅− 2 bw⋅−

2, .1 L⋅,

2 m=:=

bf b1 bw+ b3+ 4.6 m=:=

hf 0.20m:= d 0.9 H⋅ 1.8 m=:=

Cálculo dos parametros para verificação da posição da linha neutra

βf

hf

d0.111=:=

βw

bw

bf

0.13=:= fcd

fck

1.417.857 MPa⋅=:=

σcd .85 fcd⋅ 15.179 MPa⋅=:= fyd500MPa

1.15434.783 MPa⋅=:=

μf βf 1βf

2−

⋅ 0.105=:=

ξlim if fck 35MPa≤ 0.45, 0.35, ( ) 0.45=:=

μlim βf 1 .5 βf⋅−( )⋅ βw .8 ξlim⋅ βf−( )⋅ 1 .4 ξlim⋅− .5 βf⋅−( )⋅+ 0.13=:=

Cálculo do Momento reduzido e Verificação da posição da Linha Neutra

μ μlim< logo só é necessário dimensionar a armadura positiva

μMdmax6

bf d2

⋅ σcd⋅

0.065=:=

como µ<µf, logo a L.N. corta a mesa, sendo assim, considera-se uma viga retangular.

Cálculo da área de aço logitudinal

Asmin 0.0015 bf hf⋅ H hf−( ) bw⋅+ ⋅ 0.003 m2

=:=

As 1 1 2 μ⋅−−( ) bf⋅ d⋅σcd

fyd

⋅ 195.11 cm2

⋅=:=

Bitolas comerciais (mm):

d1 16mm:=d2 20mm:= d3 25mm:=

As2

π d22

⋅

43.142 cm

2⋅=:=

As1

π d12

⋅

42.011 cm

2⋅=:= As3

π d32

⋅

44.909 cm

2⋅=:=

n roundAs

As1

0,

97=:= n roundAs

As2

0,

62=:= n roundAs

As3

0,

40=:=

Logo, para melhor distribuição da seçao, serao utilizadas 40 barras de 25 mm.

ϕl 25mm:=

Cálculo da armadura de cisallhamento (Seção 1):

Vd Vdmax1 2623.458 kN⋅=:=

Vrd2 0.27 1fck

250MPa−

⋅

fck

1.4⋅ bw⋅ d⋅ 4686.429 kN⋅=:=

Como Vd < Vrd2, o concreto res iste ao cisalhamento.

Cortante absorvido pelo concreto: (Vc)

fctm 0.3fck

MPa

2

3

⋅ 2.565=:=

fctd0.7

1.4fctm⋅ MPa⋅ 1.282 MPa⋅=:=

Vc 0.6 fctd⋅ bw⋅ d⋅ 831.048 kN⋅=:=

Vsw Vd Vc− 1792.41 kN⋅=:=

Área de aço transversal:

Asw

Vsw

0.9 fyd⋅ d⋅25.448

cm2

m⋅=:=

utilizando estribos de 2 pernas:

Asw1

Asw

212.724

cm2

m⋅=:=

Bitola dos estribos: ϕb 10mm:= Ab

π ϕb2

⋅

40.785 cm

2⋅=:=

Número de barras por metro: nb

Asw1 m⋅

Ab

16.201=:=

Espaçamento:eb

1

nb

100⋅ cm 6.173 cm⋅=:=

Cálculo da armadura de cisallhamento (Seção 2):

Vd Vdmax2 2432.02 kN⋅=:=

Vrd2 0.27 1fck

250MPa−

⋅

fck

1.4⋅ bw⋅ d⋅ 4686.429 kN⋅=:=

Como Vd < Vrd2, o concreto res iste ao cisalhamento.

Cortante absorvido pelo concreto: (Vc)

fctm 0.3fck

MPa

2

3

⋅ 2.565=:=

fctd0.7

1.4fctm⋅ MPa⋅ 1.282 MPa⋅=:=

Vc 0.6 fctd⋅ bw⋅ d⋅ 831.048 kN⋅=:=

Vsw Vd Vc− 1600.971 kN⋅=:=

Área de aço transversal:

Asw

Vsw

0.9 fyd⋅ d⋅22.73

cm2

m⋅=:=

utilizando estribos de 2 pernas:

Asw2

Asw

211.365

cm2

m⋅=:=

Bitola dos estribos: ϕb 10mm:= Ab

π ϕb2

⋅

40.785 cm

2⋅=:=

Número de barras por metro: nb

Asw2 m⋅

Ab

14.47=:=

Espaçamento:eb

1

nb

100⋅ cm 6.911 cm⋅=:=

Cálculo da armadura de cisallhamento (Seção 3):

Vd Vdmax3 2252.339 kN⋅=:=

Vrd2 0.27 1fck

250MPa−

⋅

fck

1.4⋅ bw⋅ d⋅ 4686.429 kN⋅=:=

Como Vd < Vrd2, o concreto res iste ao cisalhamento.

Cortante absorvido pelo concreto: (Vc)

fctm 0.3fck

MPa

2

3

⋅ 2.565=:=

fctd0.7

1.4fctm⋅ MPa⋅ 1.282 MPa⋅=:=

Vc 0.6 fctd⋅ bw⋅ d⋅ 831.048 kN⋅=:=

Vsw Vd Vc− 1421.291 kN⋅=:=

Área de aço transversal:

Asw

Vsw

0.9 fyd⋅ d⋅20.179

cm2

m⋅=:=

utilizando estribos de 2 pernas:

Asw3

Asw

210.089

cm2

m⋅=:=

Bitola dos estribos: ϕb 10mm:= Ab

π ϕb2

⋅

40.785 cm

2⋅=:=

Número de barras por metro: nb

Asw3 m⋅

Ab

12.846=:=

eb1

nb

100⋅ cm 7.784 cm⋅=:=Espaçamento:

Cálculo da armadura de cisallhamento (Seção 4):

Vd Vdmax4 2084.417 kN⋅=:=

Vrd2 0.27 1fck

250MPa−

⋅

fck

1.4⋅ bw⋅ d⋅ 4686.429 kN⋅=:=

Como Vd < Vrd2, o concreto res iste ao cisalhamento.

Cortante absorvido pelo concreto: (Vc)

fctm 0.3fck

MPa

2

3

⋅ 2.565=:=

fctd0.7

1.4fctm⋅ MPa⋅ 1.282 MPa⋅=:=

Vc 0.6 fctd⋅ bw⋅ d⋅ 831.048 kN⋅=:=

Vsw Vd Vc− 1253.369 kN⋅=:=

Área de aço transversal:

Asw

Vsw

0.9 fyd⋅ d⋅17.795

cm2

m⋅=:=

utilizando estribos de 2 pernas:

Asw4

Asw

28.897

cm2

m⋅=:=

Bitola dos estribos: ϕb 10mm:= Ab

π ϕb2

⋅

40.785 cm

2⋅=:=

Número de barras por metro: nb

Asw4 m⋅

Ab

11.328=:=

Espaçamento:eb

1

nb

100⋅ cm 8.827 cm⋅=:=

Cálculo da armadura de cisallhamento (Seção 5):

Vd Vdmax5 1928.254 kN⋅=:=

Vrd2 0.27 1fck

250MPa−

⋅

fck

1.4⋅ bw⋅ d⋅ 4686.429 kN⋅=:=

Como Vd < Vrd2, o concreto res iste ao cisalhamento.

Cortante absorvido pelo concreto: (Vc)

fctm 0.3fck

MPa

2

3

⋅ 2.565=:=

fctd0.7

1.4fctm⋅ MPa⋅ 1.282 MPa⋅=:=

Vc 0.6 fctd⋅ bw⋅ d⋅ 831.048 kN⋅=:=

Vsw Vd Vc− 1097.205 kN⋅=:=

Área de aço transversal:

Asw

Vsw

0.9 fyd⋅ d⋅15.578

cm2

m⋅=:=

utilizando estribos de 2 pernas:

Asw5

Asw

27.789

cm2

m⋅=:=

Bitola dos estribos: ϕb 10mm:= Ab

π ϕb2

⋅

40.785 cm

2⋅=:=

Número de barras por metro: nb

Asw5 m⋅

Ab

9.917=:=

Espaçamento:eb

1

nb

100⋅ cm 10.084 cm⋅=:=

Cálculo da armadura de cisallhamento (Seção 6):

Vd Vdmax6 1783.848 kN⋅=:=

Vrd2 0.27 1fck

250MPa−

⋅

fck

1.4⋅ bw⋅ d⋅ 4686.429 kN⋅=:=

Como Vd < Vrd2, o concreto res iste ao cisalhamento.

Cortante absorvido pelo concreto: (Vc)

fctm 0.3fck

MPa

2

3

⋅ 2.565=:=

fctd0.7

1.4fctm⋅ MPa⋅ 1.282 MPa⋅=:=

Vc 0.6 fctd⋅ bw⋅ d⋅ 831.048 kN⋅=:=

Vsw Vd Vc− 952.8 kN⋅=:=

Área de aço transversal:

Asw

Vsw

0.9 fyd⋅ d⋅13.527

cm2

m⋅=:=

utilizando estribos de 2 pernas:

Asw6

Asw

26.764

cm2

m⋅=:=

Bitola dos estribos: ϕb 10mm:= Ab

π ϕb2

⋅

40.785 cm

2⋅=:=

Número de barras por metro: nb

Asw6 m⋅

Ab

8.612=:=

Espaçamento:eb

1

nb

100⋅ cm 11.612 cm⋅=:=

ρmin

0.2 fctm⋅

5000.103 %⋅=:=

Aswmin ρmin bw⋅ 6.156cm

2

m⋅=:=

Dimensionamento a fadiga:

Verificações no ELS

αe 0:= fsdfadmin 175MPa:=

Ecs 0.85 5600⋅

fck

MPa⋅ 23800=:=

αe if αe 0> 0, 210000

Ecs,

8.824=:=

Linha Neutra da seção fissurada:

baux2 As⋅ αe⋅

bf

7.485 cm⋅=:= aux 1:=

caux2 As⋅ αe⋅ d⋅

bf

1347.306 cm2

⋅=:=

xiibaux− baux

24 aux⋅ caux⋅++( )

2aux33.153 cm⋅=:=

Momento de Inércia da seção fissurada:

Ifisbf xii

3⋅

3αe 1−( ) As⋅ d xii−( )

2⋅+ 0.385 m

4⋅=:=

Usando a combinação frequente de serviço, obtemos:

Mdsermax Mg 0.5 Mdmax6⋅+ 12348.87 kN m⋅⋅=:=

Mdsermin Mg 0.5Mdmax1+ 8203.47 kN m⋅⋅=:=

σmaxMdsermax d xii−( )⋅

Ifis47.096 MPa⋅=:= σmin

Mdsermin d xii−( )⋅

Ifis31.287 MPa⋅=:=

∆σ "Seção passa na verificação a fadiga" σmax σmin− fsdfadmin<if

"Aumentar área de aço da seção" otherwise

:=

∆σ "Seção passa na verificação a fadiga"=

Detalhamento:

Distribuição na seção transverssal: ϕagregado 1.9cm:= ϕl 2.5 cm⋅=

Espaçamento na direção horizontal: eh max 2.0cm ϕl, 1.2 ϕagregado⋅, ( ) 2.5 cm⋅=:=

Espaçamento na direção vertical: ev max 2.0cm ϕl, 0.5 ϕagregado⋅, ( ) 2.5 cm⋅=:=

N° de barras por camada:

ϕt 1.0cm:= c 4 cm⋅= bw 60 cm⋅= H 200 cm⋅=

bsi bw 2 c ϕt+( )⋅− 50 cm⋅=:= nbsi eh+

ϕl eh+10.5=:= Até 10 barras por camada.

Comprimento de Ancoragem:

fctd 1.282 MPa⋅= fbd 2.25 fctd⋅ 2.886 MPa⋅=:= lb

ϕl fyd⋅

4 fbd⋅0.942 m=:=

As.nec As 195.11 cm2

⋅=:= As.calc As3 40⋅ 196.35 cm2

⋅=:= α1 1:= Para barras sem gancho.

lb.min max 0.3 lb⋅ 10 ϕl⋅, 100mm, ( ) 0.283 m=:=

lb.nec α1 lb⋅

As.calc

As.nec

⋅ 0.948m=:=

Comprimento de Transpasse: lot 1.2 lb.nec⋅ 1.137 m=:=

Escalonamento da Armadura longitudinal:

alVdmax1

2 Vdmax1 Vc−( )⋅d⋅ 131.728 cm⋅=:=

Armadura de Pele: ϕpele 1.25cm:= Aspele

π ϕpele2

⋅

41.227 cm

2⋅=:=

hdisp H 2 ϕt⋅− 2 c⋅− 7 ϕl⋅− ϕpele− 171.25 cm⋅=:=

npele 8:=

ep

hdisp ϕpele npele⋅−

npele 1+17.917 cm⋅=:= ep 17cm:=

Por face 8 ϕ12,5 com espaçamento de 17 cm.

Armadura Transversal

A viga foi dividida em cinco partes por uma questão de economia. Sendo adotado os cortantes das seções 0, 2 e 5 daviga.

Seções 0 e 1.

As10π ϕb

2⋅

40.785 cm

2⋅=:=

S 200As10

Asw1

⋅ 12.345 m=:= Logo teremos: ϕ10 c12 entre as seções 0 e 2.

Seções 2 e 3.

Asl2π ϕb

2⋅

40.785 cm

2⋅=:=

S 200Asl2

Asw2

⋅ 13.821 m=:= Logo teremos: ϕ10.0 c12 entre as seções 2 e 4.

Seções 4, 5 e 6.

As14π ϕb

2⋅

40.785 cm

2⋅=:=

S 200As14

Asw5

⋅ 20.167 m=:= Logo teremos: ϕ10.0 c20 entre as seções 4 e 6.

0.075

0.175

0.275

5922kN m⋅:=