AULA #13

Projeto de Controladores

Projeto de Controladores

Depois de escolhido o tipo de controlador (P, PI ou PID),ainda existe a questao de se escolher quais os valores deseus parametros (Kc, I e D).

Este procedimento e conhecido como Projeto de Con-troladores ou Ajuste de Controladores, sendo baseadona resposta estacionaria e na resposta dinamica do sis-tema de controle.

Criterio de Performance da Resposta Estacionaria

O principal criterio de performance neste caso e estabe-lecer o erro igual a zero para o estado estacionario.

Tomando-se este criterio, sabe-se que o controlador P, namaioria das situacoes, nao elimina o desvio permanente,enquanto que o controlador PI sim. Alem disso, em umcontrolador PID, a medida que Kc aumenta, o offsetereduzido.

Criterio de Performance da Resposta Transiente

A malha fechada deve satisfazer aos seguintes criterios deperformance:

o sistema em malha fechada deve ser estavel

os efeitos da perturbacao devem ser minimizados

respostas rapidas, porem suaves, a variacoes no valorde referencia

1/4 de razao de declnio

5% de sobre-elevacao

evitar acoes de controle excessivas (reduzir desgasteda valvula de controle)

o sistema de controle deve ser robusto: insensvela variacoes nas condicoes operacionais e a erros nomodelo do processo

Em problemas de controle e muito difcil atender a todos aesses criterios, pois eles sao muitas vezes conflitantes. Porexemplo, diminuindo-se o valor da sobre-elevacao atravesda reducao de Kc, torna a resposta em malha fechadamais lenta. De uma maneira geral, ajustes de um con-trolador PID que minimizam os efeitos da perturbacaotendem a aumentar a sobre-elevacao para variacoes novalor de referencia. De forma semelhante, ajustes paragerar uma resposta rapida e suave a variacoes no valor dereferencia, geralmente resultam em respostas lentas paraperturbacoes.

Outro conflito muito comum e entre robustez e perfor-mance: torna-se um sistema de controle robusto esco-lhendo valores conservativos para os parametros do con-trolador (por exemplo, Kc pequeno e I grande). Entre-tanto, essa escolha resulta em respostas lentas a variacoesna carga e valor de referencia. Isto e, a performance docontrolador e afetada.

Cabe, entao, ao projetista saber balancear as caracters-ticas em conflito, a fim de se obter a melhor respostadesejada.

Existem diversos procedimentos de ajuste de controlado-res. O objetivo desses metodos e fornecer valores aproxi-mados para os parametros de controladores PID a seremimplementados na planta. Em ultima instancia, a sintoniaem campo e a que sera efetivamente usada.

Metodo da Sntese Direta

O Metodo da Sntese Direta consiste em especificar ocomportamento da malha fechada (1a ordem, 2a ordemsubamortecido, etc), GCL(s), calculando a funcao de trans-ferencia do controlador, Gc(s), que forneca este compor-tamento desejado. Portanto, a questao fundamental noMetodo da Sntese Direta e especificar a resposta em ma-lha fechada desejada.

Seja o diagrama de blocos padrao para um sistema decontrole por realimentacao

y ( s )+-

P r o c e s s oy s p ( s )u ( s )

d ( s )

++G ( s )G c ( s )

e ( s )

y(s) =Gc(s)G(s)

1 + Gc(s)G(s)

Gservo(s)

ysp(s) +1

1 + Gc(s)G(s)

Gcarga(s)

d(s)

Considerando operacao servo

y(s) =Gc(s)G(s)

1 + Gc(s)G(s)

Gservo(s)=GCL(s)

ysp(s) = GCL(s)ysp(s)

A funcao de transferencia G(s) = Gf(s)Gp(s)Gm(s) re-presenta a funcao de transferencia do processo mais ainstrumentacao pertinente, menos o controlador.

Resolvendo a equacao da malha fechada para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

GCL(s)

[1 GCL(s)]

Observacoes Importantes:

a funcao de transferencia do controlador, Gc(s), poderesultar em uma equacao de projeto pouco pratica,pois a funcao de transferencia G(s) normalmente naoe conhecida. Neste caso, um procedimento de pro-jeto seria obtido aproximando-se G(s) pelo modelodo processo G(s) = Gf(s)Gp(s)Gm(s).

observe que o controlador Gc(s) contem o inverso doprocesso, 1/G(s). Portanto, o cancelamento polo-zero e usado na determinacao de GCL(s): os polos docontrolador cancelam os zeros do processo, enquantoque os zeros do controlador cancelam os polos doprocesso.

se o processo apresentar um polo instavel e matema-ticamente possvel introduzir um zero no controladorde mesmo valor.

cancelamento polo-zero exato e praticamente impos-svel de ser obtido, devido as imprecisoes na loca-lizacao dos polos e zeros do processo. Um poloinstavel do processo, nao exatamente cancelado pelozero do controlador, podera redundar em uma ope-racao instavel.

cuidado especial deve ser adotado na utilizacao doMetodo da Sntese Direta.

a). controle perfeito

No controle perfeito a variavel controlada deve acompa-nhar qualquer variacao no valor de referencia instantane-amente e sem erro:

y(s) = ysp(s) GCL(s) = 1

Com isso,

Gc(s) =1

G(s)

1

1 1=

1

G(s)

1

0

Portanto, controle perfeito nao e alcancado com controlepor realimentacao, pois a sada acompanharia o valor dereferencia somente se o ganho do controlador fosse in-finito. Como nao existe erro, a acao corretiva feed-backnao ocorre.

Entretanto, pode-se aproximar o controle perfeito fazendo

Gc(s) =Kc

G(s)

O controle perfeito seria, entao, igual a

GCL(s) =

KcG(s)

G(s)

1 + KcG(s)

G(s)=

Kc

1 + Kc

O controle perfeito e aproximado no limite quando Kc , desde que GCL(s) 1.

Observacoes Importantes:

o controlador perfeito nao sera realizavel se o pro-cesso contiver atrasos ou mais polos do que zeros

se o processo contiver um zero positivo, o controladorcontera tambem um polo positivo e, portanto, serainstavel

b). processos de fase mnima

Parece bem natural especificar que a resposta desejadaem malha fechada seja de primeira ordem, uma vez quesuas caractersticas sao bem conhecidas:

GCL(s) =1

cs + 1

Observe que c e o unico parametro a ser ajustado (para-metro de projeto), representando a constante de tempoda resposta em malha fechada:

c elevado resposta lenta (mais robusta) em malhafechada

c pequeno resposta rapida em malha fechada

O ganho da malha fechada e feito igual a 1 para garantirausencia de offset. Portanto,

Gc(s) =1

G(s)

GCL(s)

[1 GCL(s)]=

1

G(s)

1cs+1

1 1cs+1

=1

G(s)

1

cs

Observe que o controlador obtido contem acao integral(1/cs) como resultado da especificacao de ganho unitariopara a malha fechada.

b.1). processo de 1a ordem

Considere o processo de 1a ordem

G(s) =Kp

ps + 1

Resolvendo para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

1

cs=

ps + 1

Kp

1

cs=

p

Kpc

(

1 +1

ps

)

Veja que o controlador obtido pelo Metodo da SnteseDireta para um processo de 1a ordem e simplesmente umcontrolador PI, onde

Gc(s) =p

Kpc

(

1 +1

ps

)

sntese direta

Kc

(

1 +1

Is

)

PI

{Kc =

pKpc

I = p

Observacoes Importantes:

observe que sera necessario ajustar apenas um pa-rametro: a constante de tempo da malha fechada,c

faz-se I = p e ajusta-se Kc on-lineate obter aresposta em malha fechada desejada

b.2). processo de 2a ordem

Considere o processo de 2a ordem

G(s) =Kp

(p1s + 1)(p2s + 1)

Resolvendo para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

1

cs=

(p1s + 1)(p2s + 1)

Kp

1

cs

Gc(s) =p1p2s2 + (p1 + p2)s + 1

Kp

1

cs

Gc(s) =p1 + p2

Kpc+

1

Kpcs+

p1p2s

Kpc

Gc(s) =p1 + p2

Kpc

[

1 +1

(p1 + p2)s+

p1p2s

p1 + p2

]

Veja que o controlador obtido pelo Metodo da SnteseDireta para um processo de 2a ordem e simplesmente umcontrolador PID, onde

Gc(s) =p1 + p2

Kpc

[

1 +1

(p1 + p2)s+

p1p2s

p1 + p2

]

sntese direta

Kc

(

1 +1

Is+ Ds

)

PID

Kc =p1+p2Kpc

I = p1 + p2D =

p1p2p1+p2

Observacoes Importantes:

observe que sera necessario ajustar apenas um pa-rametro: a constante de tempo da malha fechada,c

faz-se I = p1 + p2 e D =p1p2

p1+p2e ajusta-se Kc on-

lineate obter a resposta em malha fechada desejada

c). processos de fase nao mnima

Processos de fase nao mnima apresentam tempos mortos(time delays) e zeros no semi-plano direito do planocomplexo (RHP zeros):

G(s) =Kpeds

ps + 1: tempo morto

G(s) =Kp(as + 1)

ps + 1: RHP zero 1/a (a > 0)

Seria natural tambem escolher um sistema de primeiraordem para representar o comportamento da malha fe-chada:

GCL(s) =1

cs + 1

Entretanto, essa escolha sem considerar o tempo mortoou RHP zero tornara a malha fechada inviavel de ser im-plementada ou instavel:

tempo morto

Gc(s) =1

G(s)

1

cs=

ps + 1

Kpeds1

cs=

p

Kpc

(

1 +1

ps

)

eds

O controlador resultante corresponde a um controla-dor PI com o termo adicional eds. Este termo nao efisicamente realizavel porque requer o conhecimentode erros futuros para obter a acao de comando pre-sente.

RHP zero

Gc(s) =1

G(s)

1

cs=

ps + 1

Kp(as + 1)

1

cs

A presenca de polo RHP e devido a inversao do RHPzero do processo, tornando o controlador instavel e

a acao de controle nao limitada (elem