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AULA #13 Projeto de Controladores

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AULA #13

Projeto de Controladores

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Projeto de Controladores

Depois de escolhido o tipo de controlador (P, PI ou PID),ainda existe a questao de se escolher quais os valores deseus parametros (Kc, τI e τD).

Este procedimento e conhecido como Projeto de Con-troladores ou Ajuste de Controladores, sendo baseadona resposta estacionaria e na resposta dinamica do sis-tema de controle.

Criterio de Performance da Resposta Estacionaria

O principal criterio de performance neste caso e estabe-lecer o erro igual a zero para o estado estacionario.

Tomando-se este criterio, sabe-se que o controlador P, namaioria das situacoes, nao elimina o desvio permanente,enquanto que o controlador PI sim. Alem disso, em umcontrolador PID, a medida que Kc aumenta, o ”offset”ereduzido.

Criterio de Performance da Resposta Transiente

A malha fechada deve satisfazer aos seguintes criterios deperformance:

• o sistema em malha fechada deve ser estavel

• os efeitos da perturbacao devem ser minimizados

• respostas rapidas, porem suaves, a variacoes no valorde referencia

– 1/4 de razao de declınio

– 5% de sobre-elevacao

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• evitar acoes de controle excessivas (reduzir desgasteda valvula de controle)

• o sistema de controle deve ser robusto: insensıvela variacoes nas condicoes operacionais e a erros nomodelo do processo

Em problemas de controle e muito difıcil atender a todos aesses criterios, pois eles sao muitas vezes conflitantes. Porexemplo, diminuindo-se o valor da sobre-elevacao atravesda reducao de Kc, torna a resposta em malha fechadamais lenta. De uma maneira geral, ajustes de um con-trolador PID que minimizam os efeitos da perturbacaotendem a aumentar a sobre-elevacao para variacoes novalor de referencia. De forma semelhante, ajustes paragerar uma resposta rapida e suave a variacoes no valor dereferencia, geralmente resultam em respostas lentas paraperturbacoes.

Outro conflito muito comum e entre robustez e perfor-mance: torna-se um sistema de controle robusto esco-lhendo valores conservativos para os parametros do con-trolador (por exemplo, Kc pequeno e τI grande). Entre-tanto, essa escolha resulta em respostas lentas a variacoesna carga e valor de referencia. Isto e, a performance docontrolador e afetada.

Cabe, entao, ao projetista saber balancear as caracterıs-ticas em conflito, a fim de se obter a melhor respostadesejada.

Existem diversos procedimentos de ajuste de controlado-res. O objetivo desses metodos e fornecer valores aproxi-mados para os parametros de controladores PID a seremimplementados na planta. Em ultima instancia, a sintoniaem campo e a que sera efetivamente usada.

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Metodo da Sıntese Direta

O Metodo da Sıntese Direta consiste em especificar ocomportamento da malha fechada (1a ordem, 2a ordemsubamortecido, etc), GCL(s), calculando a funcao de trans-ferencia do controlador, Gc(s), que forneca este compor-tamento desejado. Portanto, a questao fundamental noMetodo da Sıntese Direta e especificar a resposta em ma-lha fechada desejada.

Seja o diagrama de blocos padrao para um sistema decontrole por realimentacao

y ( s )+-

P r o c e s s oy s p ( s )u ( s )

d ( s )

++G ( s )G c ( s )

e ( s )

y(s) =Gc(s)G(s)

1 + Gc(s)G(s)︸ ︷︷ ︸

Gservo(s)

ysp(s) +1

1 + Gc(s)G(s)︸ ︷︷ ︸

Gcarga(s)

d(s)

Considerando operacao servo

y(s) =Gc(s)G(s)

1 + Gc(s)G(s)︸ ︷︷ ︸

Gservo(s)=GCL(s)

ysp(s) = GCL(s)ysp(s)

A funcao de transferencia G(s) = Gf(s)Gp(s)Gm(s) re-presenta a funcao de transferencia do processo mais ainstrumentacao pertinente, menos o controlador.

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Resolvendo a equacao da malha fechada para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

GCL(s)

[1 − GCL(s)]

Observacoes Importantes:

• a funcao de transferencia do controlador, Gc(s), poderesultar em uma equacao de projeto pouco pratica,pois a funcao de transferencia G(s) normalmente naoe conhecida. Neste caso, um procedimento de pro-jeto seria obtido aproximando-se G(s) pelo modelodo processo G(s) = Gf(s)Gp(s)Gm(s).

• observe que o controlador Gc(s) contem o inverso doprocesso, 1/G(s). Portanto, o cancelamento polo-zero e usado na determinacao de GCL(s): os polos docontrolador cancelam os zeros do processo, enquantoque os zeros do controlador cancelam os polos doprocesso.

• se o processo apresentar um polo instavel e matema-ticamente possıvel introduzir um zero no controladorde mesmo valor.

• cancelamento polo-zero exato e praticamente impos-sıvel de ser obtido, devido as imprecisoes na loca-lizacao dos polos e zeros do processo. Um poloinstavel do processo, nao exatamente cancelado pelozero do controlador, podera redundar em uma ope-racao instavel.

• cuidado especial deve ser adotado na utilizacao doMetodo da Sıntese Direta.

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a). controle perfeito

No controle perfeito a variavel controlada deve acompa-nhar qualquer variacao no valor de referencia instantane-amente e sem erro:

y(s) = ysp(s) ⇒ GCL(s) = 1

Com isso,

Gc(s) =1

G(s)

1

1 − 1=

1

G(s)

1

0

Portanto, controle perfeito nao e alcancado com controlepor realimentacao, pois a saıda acompanharia o valor dereferencia somente se o ganho do controlador fosse in-finito. Como nao existe erro, a acao corretiva ”feed-back”nao ocorre.

Entretanto, pode-se aproximar o controle perfeito fazendo

Gc(s) =Kc

G(s)

O controle perfeito seria, entao, igual a

GCL(s) =

Kc

G(s)G(s)

1 + Kc

G(s)G(s)

=Kc

1 + Kc

O controle perfeito e aproximado no limite quando Kc →∞, desde que GCL(s) → 1.

Observacoes Importantes:

• o controlador perfeito nao sera realizavel se o pro-cesso contiver atrasos ou mais polos do que zeros

• se o processo contiver um zero positivo, o controladorcontera tambem um polo positivo e, portanto, serainstavel

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b). processos de fase mınima

Parece bem natural especificar que a resposta desejadaem malha fechada seja de primeira ordem, uma vez quesuas caracterısticas sao bem conhecidas:

GCL(s) =1

τcs + 1

Observe que τc e o unico parametro a ser ajustado (para-metro de projeto), representando a constante de tempoda resposta em malha fechada:

• τc elevado → resposta lenta (mais robusta) em malhafechada

• τc pequeno → resposta rapida em malha fechada

O ganho da malha fechada e feito igual a 1 para garantirausencia de ”offset”. Portanto,

Gc(s) =1

G(s)

GCL(s)

[1 − GCL(s)]=

1

G(s)

1τcs+1

1 − 1τcs+1

=1

G(s)

1

τcs

Observe que o controlador obtido contem acao integral(1/τcs) como resultado da especificacao de ganho unitariopara a malha fechada.

b.1). processo de 1a ordem

Considere o processo de 1a ordem

G(s) =Kp

τps + 1

Resolvendo para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

1

τcs=

τps + 1

Kp

1

τcs=

τp

Kpτc

(

1 +1

τps

)

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Veja que o controlador obtido pelo Metodo da SınteseDireta para um processo de 1a ordem e simplesmente umcontrolador PI, onde

Gc(s) =τp

Kpτc

(

1 +1

τps

)

︸ ︷︷ ︸

sıntese direta

≡ Kc

(

1 +1

τIs

)

︸ ︷︷ ︸

PI

{Kc = τp

Kpτc

τI = τp

Observacoes Importantes:

• observe que sera necessario ajustar apenas um pa-rametro: a constante de tempo da malha fechada,τc

• faz-se τI = τp e ajusta-se Kc ”on-line”ate obter aresposta em malha fechada desejada

b.2). processo de 2a ordem

Considere o processo de 2a ordem

G(s) =Kp

(τp1s + 1)(τp2s + 1)

Resolvendo para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

1

τcs=

(τp1s + 1)(τp2s + 1)

Kp

1

τcs

Gc(s) =τp1τp2s2 + (τp1 + τp2)s + 1

Kp

1

τcs

Gc(s) =τp1 + τp2

Kpτc+

1

Kpτcs+

τp1τp2s

Kpτc

Gc(s) =τp1 + τp2

Kpτc

[

1 +1

(τp1 + τp2)s+

τp1τp2s

τp1 + τp2

]

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Veja que o controlador obtido pelo Metodo da SınteseDireta para um processo de 2a ordem e simplesmente umcontrolador PID, onde

Gc(s) =τp1 + τp2

Kpτc

[

1 +1

(τp1 + τp2)s+

τp1τp2s

τp1 + τp2

]

︸ ︷︷ ︸

sıntese direta

≡ Kc

(

1 +1

τIs+ τDs

)

︸ ︷︷ ︸

PID

Kc =τp1+τp2

Kpτc

τI = τp1 + τp2

τD = τp1τp2

τp1+τp2

Observacoes Importantes:

• observe que sera necessario ajustar apenas um pa-rametro: a constante de tempo da malha fechada,τc

• faz-se τI = τp1 + τp2 e τD = τp1τp2

τp1+τp2e ajusta-se Kc ”on-

line”ate obter a resposta em malha fechada desejada

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c). processos de fase nao mınima

Processos de fase nao mınima apresentam tempos mortos(”time delays”) e zeros no semi-plano direito do planocomplexo (”RHP zeros”):

G(s) =Kpe−τds

τps + 1: tempo morto

G(s) =Kp(−as + 1)

τps + 1: RHP zero 1/a (a > 0)

Seria natural tambem escolher um sistema de primeiraordem para representar o comportamento da malha fe-chada:

GCL(s) =1

τcs + 1

Entretanto, essa escolha sem considerar o tempo mortoou RHP zero tornara a malha fechada inviavel de ser im-plementada ou instavel:

• tempo morto

Gc(s) =1

G(s)

1

τcs=

τps + 1

Kpe−τds

1

τcs=

τp

Kpτc

(

1 +1

τps

)

eτds

O controlador resultante corresponde a um controla-dor PI com o termo adicional eτds. Este termo nao efisicamente realizavel porque requer o conhecimentode erros futuros para obter a acao de comando pre-sente.

• RHP zero

Gc(s) =1

G(s)

1

τcs=

τps + 1

Kp(−as + 1)

1

τcs

A presenca de polo RHP e devido a inversao do RHPzero do processo, tornando o controlador instavel e

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a acao de controle nao limitada (elemento final decontrole ira saturar).

Por esses motivos, um controlador fisicamente realizavele estavel pode ser obtido se a resposta desejada da ma-lha fechada contiver o mesmo atraso e RHP zeros doprocesso.

c.1). processos com tempo morto

Reformulando a resposta desejada para a malha fechada,incluindo o tempo morto, tem-se

GCL(s) =e−τdcs

τcs + 1

onde, agora, τc e τdcsao parametros de projeto (o contro-

lador sera fisicamente realizavel se τdc≥ τd). Para τdc

= τd,

Gc(s) =1

G(s)

GCL(s)

[1 − GCL(s)]=

1

G(s)

e−τds

τcs+1

1 − e−τds

τcs+1

Gc(s) =1

G(s)

e−τds

τcs + 1 − e−τds

Aproximando-se e−τds ≈ 1 − τds no denominador de Gc(s),este assumira a forma de um controlador PID padrao:

Gc(s) =1

G(s)

e−τds

(τc + τd)s

Observe que nao foi necessario efetuar a mesma apro-ximacao do e−τds do numerador de Gc(s), pois este seracancelado com termo identico em G(s).

c.1.1). processo de 1a ordem com tempo morto

Considere o processo de 1a ordem com tempo morto

G(s) =Kpe−τds

τps + 1

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Resolvendo para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

e−τds

(τc + τd)s=

τps + 1

Kpe−τds

e−τds

(τc + τd)s

Gc(s) =τp

Kp(τc + τd)

(

1 +1

τps

)

Veja que o controlador obtido pelo Metodo da SınteseDireta para um processo de 1a ordem com tempo mortoe simplesmente um controlador PI, onde

Gc(s) =τp

Kp(τc + τd)

(

1 +1

τps

)

︸ ︷︷ ︸

sıntese direta

Gc(s) = Kc

(

1 +1

τIs

)

︸ ︷︷ ︸

PI

{Kc = τp

Kp(τc+τd)

τI = τp

c.1.2). processo de 2a ordem com tempo morto

Considere o processo de 2a ordem com tempo morto

G(s) =Kpe−τds

(τp1s + 1)(τp2s + 1)

Resolvendo para Gc(s)

Gc(s) =1

G(s)

e−τds

(τc + τd)s=

(τp1s + 1)(τp2s + 1)

Kpe−τds

e−τds

(τc + τd)s

Gc(s) =τp1τp2s2 + (τp1 + τp2)s + 1

Kp

1

(τc + τd)s

Gc(s) =τp1 + τp2

Kp(τc + τd)

[

1 +1

(τp1 + τp2)s+

τp1τp2s

τp1 + τp2

]

Veja que o controlador obtido pelo Metodo da SınteseDireta para um processo de 2a ordem com tempo morto

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e simplesmente um controlador PID, onde

Gc(s) =τp1 + τp2

Kp(τc + τd)

[

1 +1

(τp1 + τp2)s+

τp1τp2s

τp1 + τp2

]

︸ ︷︷ ︸

sıntese direta

≡ Kc

(

1 +1

τIs+ τDs

)

︸ ︷︷ ︸

PID

Kc = τp1+τp2

Kp(τc+τd)

τI = τp1 + τp2

τD = τp1τp2

τp1+τp2

c.2). processos com um RHP zero 1/a (a > 0)

Reformulando a resposta desejada para a malha fechada,incluindo o RHP zero 1/a (a > 0), tem-se

GCL(s) =−as + 1

τcs + 1

onde, agora, τc e a sao parametros de projeto. Assim,

Gc(s) =1

G(s)

GCL(s)

[1 − GCL(s)]=

1

G(s)

−as+1τcs+1

1 − −as+1τcs+1

Gc(s) =1

G(s)

−as + 1

(τc + a)s

Observe que Gc(s) assume a forma de um controlador PIDpadrao:

Gc(s) =1

G(s)

−as + 1

(τc + a)s

De forma semelhante, chegar-se-a as expressoes para oscontroladores PID considerando processos de 1a e 2a or-dem com um RHP zero 1/a (a > 0):

c.2.1). processo de 1a ordem com um RHP zero

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Considere o processo de 1a ordem com RHP zero 1/a (a >0)

G(s) =Kp(−as + 1)

τps + 1

O controlador obtido pelo Metodo da Sıntese Direta paraum processo de 1a ordem com um RHP zero e simples-mente um controlador PI, onde

Gc(s) =τp

Kp(τc + a)

(

1 +1

τps

)

︸ ︷︷ ︸

sıntese direta

Gc(s) = Kc

(

1 +1

τIs

)

︸ ︷︷ ︸

PI

{Kc = τp

Kp(τc+a)

τI = τp

c.2.2). processo de 2a ordem com RHP zero

Considere o processo de 2a ordem com RHP zero 1/a (a >0)

G(s) =Kp(−as + 1)

(τp1s + 1)(τp2s + 1)

O controlador obtido pelo Metodo da Sıntese Direta paraum processo de 2a ordem com um RHP zero e simples-mente um controlador PID, onde

Gc(s) =τp1 + τp2

Kp(τc + a)

[

1 +1

(τp1 + τp2)s+

τp1τp2s

τp1 + τp2

]

︸ ︷︷ ︸

sıntese direta

≡ Kc

(

1 +1

τIs+ τDs

)

︸ ︷︷ ︸

PID

Kc = τp1+τp2

Kp(τc+a)

τI = τp1 + τp2

τD =τp1τp2

τp1+τp2

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Controle com Modelo Interno – IMC

Diferentemente do Metodo da Sıntese Direta, o Controlecom Modelo Interno (IMC) considera o modelo do pro-cesso como parte integrante do controlador. Com o usoexplıcito do conhecimento de processo, o projeto do con-trolador:

• leva em conta as incertezas do modelo

• permite contrabalancear a performance com a robus-tez do sistema de controle, a variacoes no processoe erros de modelagem

a). desenvolvimento da estrutura IMC

Quando o processo esta no estado estacionario, e naoha perturbacoes, entao as entradas e saıdas sao iguais azero (em variaveis-desvio). Considere, por exemplo, quese deseja mudar a saıda, y(s), de modo que ela siga o seuvalor de referencia, ysp(s). Isso pode ser feito projetandoum controlador em malha aberta, G?

c(s), tal que umarelacao desejada entre a y(s) e ysp(s) seja especificadae tenha caracterısticas dinamicas apropriadas (respostarapida sem muita sobre-elevacao, sem ”offset”, etc):

y(s)

ysp(s)= G?

c(s)G(s)

onde G(s) = GF(s)Gp(s)Gm(s) relaciona o processo e todaa instrumentacao envolvida, menos o controlador.

y ( s )P r o c e s s o

y s p ( s ) u ( s ) G ( s )G * c ( s )

No entanto, na presenca de incertezas no modelo do pro-cesso e de perturbacoes, alguma forma de realimentacao

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e necessaria para compensar o efeito delas sobre a res-posta, y(s).

Embora o procedimento de projeto do IMC seja identicoao procedimento de projeto de um controlador em ma-lha aberta, a sua implementacao resulta em um sistemade controle por realimentacao. Isto e, o IMC e capazde compensar para incertezas no modelo e perturbacoes,enquanto que o controle em malha aberta nao.

Alem disso, para muitos processos, a estrutura IMC podeser formulada como a estrutura ”feedback”padrao. Comisso, nesses casos, o IMC acaba por se assemelhar aum controlador PID. Isso e muito saudavel, ja que epossıvel se utilizar equipamentos e algoritmos padroes(controladores PID) para implementar conceitos de con-trole avancado.

O desenvolvimento da estrutura IMC parte da estruturado controle em malha aberta:

• considere que um modelo do processo, G(s), estadisponıvel e recebe a mesma variavel manipulada quechega ao processo real (planta)

y ( s )P r o c e s s o

y s p ( s ) u ( s ) G ( s )G * c ( s )

P r o c e s s oG ( s )P r o c e s s oG ( s )~ y ( s )~

s a í d ad o p r o c e s s o

s a í d ad o m o d e l o

• pode-se, agora, subtrair a resposta do processo (me-dida real) da resposta do modelo (predicao do mo-delo) para determinar o erro do modelo

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y ( s )P r o c e s s o

y s p ( s ) u ( s ) G ( s )G * c ( s )

P r o c e s s oG ( s )P r o c e s s oG ( s )~ y ( s )~

e r r od o m o d e l o

+-

y ( s ) - y ( s )~

• a perturbacao, tambem, pode ser incorporada ao sis-tema

y ( s )P r o c e s s o

y s p ( s ) u ( s ) G ( s )G * c ( s )

P r o c e s s oG ( s )P r o c e s s oG ( s )~ y ( s )~

e r r od o m o d e l o

+-

y ( s ) - y ( s )~

++

d ( s )

Assim, o calculo da incerteza do modelo tambem in-clui perturbacoes nao-medidas.

• essa informacao pode ser agora usada pelo contro-lador para compensar os erros de modelagem e per-turbacoes

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y ( s )P r o c e s s o

y s p ( s ) u ( s ) G ( s )G * c ( s )

P r o c e s s oG ( s )P r o c e s s oG ( s )~ y ( s )~ +-

d ( s ) = y ( s ) - y ( s )~

++

d ( s )

+ -

~

y s p ( s )~

Forma-se, assim, a estrutura IMC, onde

d(s) = perturbacao

d(s) = perturbacao estimada

G(s) = processo (planta)

G(s) = modelo do processo

G?c(s) = controle com modelo interno

ysp(s) = valor de referencia

ysp(s) = valor de referencia modificado

(corrige para erro no modelo e perturbacoes)

u(s) = variavel manipulada (saıda do controlador)

y(s) = variavel de saıda (medida) do processo

y(s) = variavel de saıda do modelo

b). casos limites

b.1). modelo perfeito, sem perturbacoes

Se o modelo e perfeito (G(s) = G(s)) e nao ha per-turbacoes (d(s) = 0), entao o sinal de realimentacao ezero e

y(s) = G?c(s)G(s)ysp(s)

Note que esta relacao e exatamente igual a relacao obtidacom o controle em malha aberta. Isto e interessante, poisse o controlador, G?

c(s), e estavel e o processo, G(s), etambem estavel, o sistema em malha fechada e estavel

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(lembre que um controlador por realimentacao padraopode se tornar instavel com uma escolha incorreta dosvalores de seus parametros).

b.2). modelo perfeito, com perturbacoes

Se o modelo e perfeito (G(s) = G(s)) e ha perturbacoes(d(s) 6= 0), entao o sinal de realimentacao e igual a d(s) =d(s): realimentacao e necessaria para compensar o efeitode perturbacoes nao-medidas.

b.3). incerteza no modelo, sem perturbacoes

Se o modelo apresenta erros (G(s) 6= G(s)) e nao ha per-turbacoes (d(s) = 0), entao o sinal de realimentacao eigual a d(s) = [G(s) − G?

c(s)]u(s): realimentacao e ne-cessaria para compensar o efeito das incertezas no mo-delo.

Isso ilustra que, as razoes para controle por realimentacaosao:

• presenca de perturbacoes nao-medidas

• presenca de incertezas no modelo

• respostas em malha fechada mais rapidas do que emmalha aberta

• estabilizacao de sistemas instaveis em malha aberta

c). controle IMC-PID

A estrutura IMC pode ser rearranjada para fornecer a es-trutura PID padrao. Desta forma, consegue-se utilizarexplicitamente o modelo do processo em um controladorPID:

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y ( s )P r o c e s s o

y s p ( s ) u ( s )G ( s )G * c ( s )

P r o c e s s oG ( s )P r o c e s s oG ( s )~y ( s )~

+++

d ( s )

+ -

y ( s )P r o c e s s o

y s p ( s ) u ( s ) G ( s )G * c ( s )

P r o c e s s oG ( s )P r o c e s s oG ( s )~ y ( s )~ +-

d ( s ) = y ( s ) - y ( s )~

++

d ( s )

+ -

~

y s p ( s )~

( I M C )

( P I D )

+

G c ( s )y s p ( s )~e ( s )

A equivalencia entre as duas estruturas acontece quandoa malha interna formada por G?

c(s) e G(s) corresponde aocontrolador PID padrao igual a

u(s)

e(s)= Gc(s) =

G?c(s)

1 − G?c(s)G(s)

ou

G?c(s) =

Gc(s)

1 + Gc(s)G(s)

Portanto, a seguinte relacao em malha fechada para o

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IMC pode ser obtida:

y(s) =G?

c(s)G(s)

1 + G?c(s)[G(s) − G(s)]

ysp(s) +

1 − G?c(s)G(s)

1 + G?c(s)[G(s) − G(s)]

d(s)

c.1). modelo perfeito, operacao servo (d(s) = 0) ouoperacao reguladora (ysp(s) = 0)

y(s) = G?c(s)G(s)ysp(s) + [1 − G?

c(s)G(s)]d(s)

Se o modelo e perfeito (G(s) = G(s)), seja para operacaoservo – deseja-se que y(s) = ysp(s) – ou operacao regu-ladora – deseja-se que y(s) = 0, o controlador IMC deveser igual ao inverso do modelo do processo

G?c(s) =

1

G(s)controle perfeito

Desta forma, com ou sem erro entre o processo e seumodelo, o controlador IMC resultante pode ser inviavel,seja por ser instavel ou requerer predicao.

d). procedimento de projeto do IMC

O procedimento de projeto do IMC ocorre nas seguintesetapas:

Etapa 1 desenvolva um modelo para o processo, G(s)

Etapa 2 fatore o modelo do processo em duas partes:uma parte que possa ser invertida (parte boa do mo-delo – G−(s)) e outra parte que nao possa ser inver-tida (parte ruim do modelo – G+(s)). A parte ruimdo modelo e aquela que contera quaisquer atraso

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por transporte e zeros no semi-plano direito do planocomplexo (RHP zeros):

G(s) = G+(s)G−(s)

O objetivo dessa fatoracao e garantir que o contro-lador projetado seja estavel e nao requera predicao.

Etapa 3 forme o controlador IMC ideal. O controladorIMC ideal e aquele formado pelo inverso da parteque pode ser invertida do modelo do processo, G−(s)(parte boa do modelo):

G?c(s) =

1

G−(s)

Evita-se, assim, que o controlador IMC, G?c(s), con-

tenha elementos que o tornariam instavel ou requeri-riam predicao (atraso por transporte e RHP zeros doG+(s)).

Etapa 4 adicione um filtro, F(s), para tornar o contro-lador proprio (uma funcao de transferencia e propriase a ordem do polinomio do denominador e maior ouigual a ordem do polinomio do numerador);isto e, queG?

c(s) seja fisicamente realizavel:

G?c(s) =

1

G−(s)F(s)

O filtro, F(s), pode assumir as seguintes formas:

• variacao degrau no valor de referencia: nor-malmente o filtro assume a forma

F(s) =1

(τcs + 1)r

onde r e selecionado para tornar o controladorproprio ou que a acao derivativa ideal seja permi-tida (a ordem do numerador excede a ordem dodenominador em 1).

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• variacao rampa no valor de referencia: acon-selha-se utilizar o filtro

F(s) =rτcs + 1

(τcs + 1)r

• rejeicao a perturbacoes degrau na carga eprocessos integradores ou instaveis: o filtrorecomendado e o

F(s) =τns + 1

(τcs + 1)r

onde τn e selecionado para cancelar a constantede tempo mais lenta do processo.

Etapa 5 ajuste a constante de tempo do filtro, τc, paraselecionar a velocidade da resposta da malha fechada

• τc elevado → resposta lenta (mais robusta) emmalha fechada

• τc pequeno → resposta rapida em malha fechada

Etapa 6 realize simulacoes em malha fechada para am-bas as situacoes de modelo perfeito e com incertezas.Ajuste τc balenceando performance e robustez. Va-lores iniciais para τc estao na faixa de 1/3 a 1/2 daconstante de tempo dominante do processo.

d.1). modelo perfeito

y(s) = G+(s)F(s)ysp(s) + [1 − G+F(s)]d(s)

• operacao servo, d(s) = 0: y(s) = G+(s)F(s)ysp(s)

• operacao reguladora, ysp(s) = 0:y(s) = [1 − G+F(s)]d(s)

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Observe que, nestes casos, a parte ruim do modelo, G+(s),aparece na resposta da malha fechada: resposta inversapara RHP zeros e tempo morto para atraso por trans-porte.

e). projeto do IMC-PID

A estrutura IMC pode ser usada para obter os ajustesPID de um controlador Gc(s) a uma grande variedade demodelos de processos.

e.1). processo de 1a ordem

Considere o processo de 1a ordem

G(s) =Kp

τps + 1

passo 1 encontre a funcao de transferencia propria docontrolador IMC, G?

c(s), que inclua um filtro F(s):

G(s) = G+(s)G−(s) = 1︸︷︷︸

G+(s)

·Kp

τps + 1︸ ︷︷ ︸

G−(s)

G?c(s) =

1

G−(s)F(s) =

τps + 1

Kp

1

τcs + 1

G?c(s) =

1

Kp

τps + 1

τcs + 1

passo 2 encontre o controlador por realimentacao equi-valente, Gc(s), usando a transformacao:

Gc(s) =G?

c(s)

1 − G?c(s)G(s)

=

1Kp

τps+1

τcs+1

1 − 1Kp

τps+1

τcs+1

Kp

τps+1

=τps + 1

Kpτcs

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passo 3 rearranje a equacao de Gc(s) para que fique se-melhante a um PID. Neste caso, o controlador resultantee um PI:

Gc(s) =τp

Kpτc

(

1 +1

τps

)

︸ ︷︷ ︸

IMC

≡ Kc

(

1 +1

τIs

)

︸ ︷︷ ︸

PI

{Kc = τp

Kpτc

τI = τp

Observacoes Importantes:

• veja que o ganho proporcional Kc e inversamente rela-cionado a constante de tempo da malha fechada, τc,o que faz sentido: se τc e pequeno (resposta rapida),o ganho proporcional deve ser alto; se τc e grande(resposta lenta), o ganho proporcional deve ser pe-queno

• observe que sera necessario ajustar apenas um para-metro: a constante de tempo do filtro, τc

• faz-se τI = τp e ajusta-se Kc ”on-line”ate obter aresposta em malha fechada desejada

Este procedimento pode ser usado para desenvolver ocontrolador PID equivalente para outras funcoes de trans-ferencia.

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Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc(s)) para Processos Estaveise Integradores

G(s) F(s) Kc τI τD τF

A Kp

τps+11

τcs+1τp

Kpτcτp — —

Ba Kp

τps+1τns+1

(τcs+1)2

2τp−τc

Kpτc

2τpτc−τ 2c

τp— —

C Kp

(τp1s+1)(τp2s+1)1

τcs+1τp1+τp2

Kpτcτp1 + τp2

τp1τp2

τp1+τp2—

D Kp

τ 2p s2+2ζτps+1

1τcs+1

2ζτp

Kpτc2ζτp

τp

2ζ—

Eb Kp

τ 2p s2+2ζτps+1

1(τcs+1)2

ζτp

Kpτc2ζτp

τp

2ζτc

2

Fc Kp(−βs+1)

τ 2p s2+2ζτps+1

1(τcs+1)

2ζτp

Kp(β+τc)2ζτp

τp

2ζ—

Gb,c Kp(−βs+1)

τ 2p s2+2ζτps+1

−βs+1(−βs+1)(τcs+1)

2ζτp

Kp(2β+τc)2ζτp

τp

2ζβτc

2β+τc

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Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc(s)) paraProcessos Estaveis e Integradores

G(s) F(s) Kc τI τD τF

H Kp

s1

τcs+11

Kpτc— — —

IdKp

s2τcs+1(τcs+1)2

2Kpτc

2τc — —

J Kp

s(τps+1)1

τcs+11

Kpτc— τp —

Kd Kp

s(τps+1)2τcs+1(τcs+1)2

2τc+τp

Kpτ 2c

2τc + τp2τcτp

2τc+τp—

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Observacoes Importantes:

aO controlador e projetado para melhorar a rejeicao a

perturbacoes na carga: τn =2τpτc−τ 2

c

τp. Observe que deseja-

se τn > 0, o que conduz a τc < 2τp.

bO controlador e um PID com atraso dinamico: Gc(s) =

Kc

[τIτDs2+τIs+1

τIs

]

·[

1τFs+1

]

.

cAssume-se β > 0 (resposta inversa, RHP zeros).

dO controlador e projetado para variacao rampa no va-lor de referencia. Tambem conduz a melhor rejeicao aperturbacoes.

e.2). processo de 1a ordem com tempo morto

Considere o processo de 1a ordem com tempo morto

G(s) =Kpe−τds

τps + 1

passo 1 use aproximacao de Pade de 1a ordem para o

tempo morto e−τds ≈−

τd2s+1

τd2s+1

, tal que agora

G(s) =Kp(−

τd

2s + 1)

(τps + 1)(τd

2s + 1)

passo 2 fatore G(s)

G(s) = G+(s)G−(s) = (−τd

2s + 1)

︸ ︷︷ ︸

G+(s)

·Kp

(τps + 1)(τd

2s + 1)

︸ ︷︷ ︸

G−(s)

passo 3 forme o controlador idealizado

G?c(s) =

1

G−(s)=

(τps + 1)(τd

2s + 1)

Kp

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passo 4 adicione um filtro F(s)

G?c(s) =

1

G−(s)F(s) =

(τps + 1)(τd

2s + 1)

Kp

1

τcs + 1

Observe que, propositadamente, G?c(s) nao e feita propria.

Do contrario nao seria obtido um controlador PID. Usa-sea opcao derivativa, onde permite-se o numerador ser umaordem de grandeza maior do que o denominador.

passo 5 encontre o controlador PID equivalente Gc(s)

Gc(s) =G?

c(s)

1 − G?c(s)G(s)

=

(τps+1)(τd2s+1)

Kp

1τcs+1

1 −(τps+1)(

τd2s+1)

Kp

1τcs+1

Kp(−τd2s+1)

(τps+1)(τd

2s+1)

Gc(s) =(τps + 1)(τd

2s + 1)

Kp(τc + 12)s

Gc(s) =12τpτds

2 + (τp + 12τd)s + 1

Kp(τc + 12)s

Multiplicando a equacao de Gc(s) porτp+

1

2τd

τp+1

2τd, encontra-se

os parametros do controlador PID

Gc(s) =τp + 1

2τd

Kp(τc + 12τd)

[

1 +1

(τp + 12τd)s

+τpτds

2τp + τd

]

︸ ︷︷ ︸

IMC

≡ Kc

(

1 +1

τIs+ τDs

)

︸ ︷︷ ︸

PID

Kc =τp+

1

2τd

Kp(τc+1

2τd)

τI = τp + 12τd

τD =τpτd

2τp+τd

Observacoes Importantes:

• recomenda-se que τc > 0,8τd devido a aproximacaode Pade realizada

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• observe que sera necessario ajustar apenas um para-metro: a constante de tempo do filtro, τc

• faz-se τI = τp + 12τd e τD = τpτd

2τp+τde ajusta-se Kc ”on-

line”ate obter a resposta em malha fechada desejada

Este procedimento pode ser usado para desenvolver ocontrolador PID equivalente para outras funcoes de trans-ferencia com tempo morto.

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Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc(s)) paraProcessos Estaveis com Tempo Morto

G(s) F(s) Kc τI τD τF Notasa

AKpe−τds

τps+11

τcs+1

τp+1

2τd

Kp(τc+1

2τd)

τp + 12τd

τpτd

2τp+τd— 1

B Kpe−τds

τps+11

τcs+1τp

Kpτcτp — — 2

CKpe−τds

τps+11

τcs+1

τp

Kp(τc+τd)τp — — 3

D Kpe−τds

sτns+1

(τcs+1)2

2τc+τd

Kp(τc+τd)2 2τc + τd — — 3

Eb Kpe−τds 1(τcs+1)2

τd

Kp(4τc+τd)τd

2τd

6

2τ 2c −

τ2d

6

4τc+τd4

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Observacoes Importantes:

aIMC-PID e baseado na aproximacao de 1a ordem de Padepara o tempo morto, a nao ser que se diga o contrario:

1. G?c(s) e impropria; recomendando-se τc > 0,8τd

2. tempo morto e desprezado; recomenda-se τc > 1,7τd

3. tempo morto e aproximado por aproximacao de seriesde Taylor: (−τds + 1)

4. uma aproximacao de 2a ordem de Pade foi utilizadapara o tempo morto

bO controlador e um PID com atraso dinamico: Gc(s) =

Kc

[τIτDs2+τIs+1

τIs

]

·[

1τFs+1

]

.

Em todos os casos recomenda-se fazer τc > 0,2τp.

e.3). processo de 1a ordem instavel

Considere o processo de 1a ordem instavel, com polo 1/τp

G(s) =Kp

−τps + 1

passo 1 encontre a funcao de transferencia do controla-dor IMC, G?

c(s),

G?c(s) =

1

G−(s)F(s) =

(−τps + 1)

Kp

τns + 1

(τcs + 1)2

Escolha um filtro de segunda ordem para tornar o con-trolador G?

c(s) proprio, com numerador e denominador

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de mesma ordem. Deve-se, agora, encontrar τn tal queF(s = 1/τp) = 1:

F(s = 1/τp) =τn(1/τp) + 1

[τc(1/τp)s + 1]2= 1 ∴ τn = τc

(τc

τp+ 2

)

passo 2 apos algum algebrismo, encontre o controladorPID equivalente Gc(s)

Gc(s) =G?

c(s)

1 − G?c(s)G(s)

=

−τps+1Kp

τns+1(τcs+1)2

1 − −τps+1Kp

τns+1(τcs+1)2

Gc(s) =τn

Kp(2τc − τn)

(τns + 1)

τns

Gc(s) =τn

Kp(2τc − τn)

(

1 +1

τns

)

︸ ︷︷ ︸

IMC

≡ Kc

(

1 +1

τIs

)

︸ ︷︷ ︸

PI

{Kc = τn

Kp(2τc−τn)

τI = τn = τc

(τc

τp+ 2

)

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Ajuste do Controlador IMC-PID (Gc(s)) para Processos Instaveis

G(s) F(s) Kc τI τD Notas

AKp

−τps+1τns+1

(τcs+1)2

τn

Kp(2τc−τn)τn — 1

B Kp

(−τp1s+1)(τp2s+1)τns+1

(τcs+1)2

−τp1(τn+τp2)Kpτ 2

c

τn + τp2τnτp2

τn+τp22

C Kp(τp3s+1)(−τp1s+1)(τp2s+1)

τns+1(τcs+1)2

−1Kp

(

1 + 2τp1

τc

)

τn — 2,3

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Observacoes Importantes:

1. τn = τc

(τc

τp+ 2

)

2. τn = τc

(τc

τp1+ 2

)

3. controlador e um PI com filtro: Gc(s) = Kc

[τIs+1

τIs

]

·[

τp2s+1τp3s+1

]

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Metodo de Ajuste Baseado na Oscilacao em MalhaFechada

Este foi o primeiro metodo de ajuste dos parametros deum PID amplamente utilizado. Ele foi apresentado porZiegler e Nichols em 1942.

a). metodo de Ziegler-Nichols em malha fechada

A tecnica de ajuste de Ziegler-Nichols em malha fechada(ou simplesmente metodo de Ziegler-Nichols – ZN) foitalvez o primeiro metodo rigoroso de ajuste de controla-dores PID. A tecnica nao e hoje mais utilizada extensa-mente, porque o comportamento da malha fechada tendea se tornar oscilatorio e sensıvel a incertezas. Ela e apre-sentada mais por razoes historicas e porque ela e similaras tecnicas usadas em controle auto-ajustaveis (”auto-tuning”).

O metodo de ZN consiste nas seguintes etapas:

1. com controle proporcional apenas (τI → ∞ e τD =0), aumenta-se o valor do ganho proporcional Kc atesurgir uma oscilacao contınua da variavel controlada.

y ( s )+-

P r o c e s s oy s p ( s )u ( s )

d ( s )

++G ( s )G c ( s )

e ( s )

K c = K u

2. o valor do ganho proporcional que provoca essa os-cilacao contınua e chamado de ganho crıtico ouultimo, Ku. Com esse valor do ganho proporcional,a malha se encontra no limite de estabilidade (margi-nalmente estavel) com um controlador proporcional.O perıodo de oscilacao observado quando Kc = Ku

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(o intervalo de tempo entre dois picos sucessivos)chama-se perıodo crıtico ou ultimo, Pu.

0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tempo

y

Oscilação Contínua com Controle Proporcional: Kc=K

u

Pu

3. os ajustes de ZN sao calculados a partir de Ku e Pu,conforme mostra a tabela

Ajuste de ZN em Malha Fechada

Controlador Kc τI τD

P 0,5Ku — —

PI 0,45KuPu

1,2—

PID 0,6KuPu

2Pu

8

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Observacoes Importantes:

• normalmente, o disturbio na malha e introduzido pelovalor de referencia. Pode-se variar o seu valor compequenos degraus em torno da condicao de operacaonormal do processo. Cuidado especial deve ser ado-tado quando o ganho proporcional aumenta, pois issopode levar a valvula e o sensor a saturacao.

• as relacoes de sintonia propostas por Ziegler e Ni-chols foram desenvolvidas para fornecer uma razaode declınio 1/4.

• o ajuste de ZN frequentemente conduz a malha aoscilacoes indesejaveis para um processo tıpico.

• os parametros de ajuste tambem nao sao muito ro-bustos; isto e, sao muito sensıveis as incertezas doprocesso.

• a malha pode se tornar instavel com a mudanca dascondicoes operacionais.

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b). metodo de Tyreus e Luyben em malha fechada

Tyreus e Luyben sugeriram regras de ajuste de parametrosque provocam menos oscilacoes e que sao menos sensıveisas mudancas nas condicoes operacionais e as incertezasdo processo:

Ajuste de Tyreus-Luyben em Malha Fechada

Controlador Kc τI τD

PI Ku

3,22,2Pu —

PID Ku

2,22,2Pu

Pu

6,3

Em ambos os casos, observe que a acao proporcional ereduzida quando acao integradora e adicionada (PI). Jaquando a acao derivativa e incorporada, pode-se elevaro efeito da acao proporcional, conseguindo uma respostamais rapida (PID).

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Metodo de Ajuste Baseado na Curva de Reacao deProcesso

O metodo de ajuste de ZN e baseado em testes queforcam o processo a oscilar continuamente. O grandeproblema desse procedimento e levar o sistema ao limiteda instabilidade, alem de necessitar de um consideravelintervalo de tempo para obter a oscilacao contınua.

Uma alternativa a esse metodo foi proposta por Cohene Coon, em 1953, que apresentaram relacoes de projetobaseadas em modelos de processos obtidos a partir deteste degrau em malha aberta.

a). metodo de Cohen-Coon (CC)

O procedimento de Cohen e Coon ficou conhecido comoMetodo da Curva de Reacao de Processo. A aplicacaodo metodo baseia-se nos seguintes procedimentos:

• abra-se a malha entre o controlador e o elementofinal de controle.

• introduz-se uma perturbacao degrau de amplitude Ana variavel que atua sobre o elemento final de con-trole.

• registra-se o valor da variavel de saıda com o tempo.A curva y(t) e a chamada Curva de Reacao deProcesso. A funcao de transferencia entre y(s) eu(s) chama-se Funcao de Transferencia da MalhaAberta

y(s)

u(s)= G(s) = Gf(s)Gp(s)Gm(s)

e representa a funcao de transferencia do processomais a instrumentacao pertinente, menos o contro-lador.

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y ( s )+-

P r o c e s s oy s p ( s )

u ( s ) d ( s )

++G ( s )G c ( s )

e ( s )

A

Cohen e Coon observaram que uma grande variedade deprocessos possuem curvas de reacao de processo seme-lhantes e com forma S chamada sigmoidal

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3150

200

250

300

350

tempo

y

Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau

Esta curva pode ser adequadamente aproximada pela res-posta ao degrau de um sistema de primeira ordem comtempo morto (”FOPDT”)

y(s)

u(s)= G(s) ≈

Kpe−τds

τps + 1

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Os parametros Kp, τp e τd podem ser estimados a partir dacurva de reacao do processo, seguindo os passos abaixo:

1. Kp – ganho estacionario do processoele pode ser facilmente determinado lendo-se o valorfinal de y(t) e calculando

Kp =∆y

∆u=

B

A

0

u

t

A

1 0 0

1 5 0

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3150

200

250

300

350

tempo

y

Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau

B

2. τp – constante de tempo do processoela e calculada a partir da inclinacao, S, da reta tan-gente ao ponto de inflexao de y(t)

τp =∆y

S=

B

S

Lembre que, para a resposta ao degrau de um sistemade 1a ordem, a maior inclinacao da reta tangente

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ocorre a t = 0 (ou a t = τd, quando com tempomorto), sendo igual a

S =∆y

τp=

B

τp

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5150

200

250

300

350

tempo

y

Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau

resposta real

1a ordem + tempo morto

reta tangente aoponto de inflexão

B

τpτ

d

S=B/τp

A presenca de ruıdos de medida e a principal desvan-tagem em utilizar a inclinacao da reta tangente noponto de inflexao em y(t) para determinar τp. Torna-se muito difıcil identificar o ponto de inflexao.

3. τd – tempo morto do processotempo decorrido do inıcio da perturbacao ate o inıcioem que a resposta sente a perturbacao. Ele e encon-trado a partir da intersecao da reta tangente com aabscissa, sendo considerado tempo morto aparente.

Com base no modelo aproximado (primeira ordem comtempo morto), Cohen e Coon propuseram relacoes de

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projeto baseadas em uma resposta com 1/4 de razao dedeclınio (como Ziegler e Nichols):

Ajuste de Cohen-Coon em Malha AbertaCurva de Reacao de Processo

Controlador Kc τI τD

P 1Kp

τp

τd

(

1 + τd

3τp

)

— —

PI 1Kp

τp

τd

(910

+ τd

12τp

)

τd30+3τd/τp

9+20τd/τp—

PD 1Kp

τp

τd

(54+ τd

6τp

)

— τd6−2τd/τp

22+3τd/τp

PID 1Kp

τp

τd

(43+ τd

4τp

)

τd32+6τd/τp

13+8τd/τpτd

411+2τd/τp

b). metodo de Ziegler-Nichols (ZN)

Ziegler e Nichols tambem obtiveram diferentes expressoespara o ajuste dos parametros dos controladores, atravesde um procedimento semelhante ao utilizado por Cohene Coon. Os resultados foram os seguintes:

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Ajuste de Ziegler-Nichols em Malha AbertaCurva de Reacao de Processo

Controlador Kc τI τD

P 1Kp

τp

τd— —

PI 0,9Kp

τp

τd3,3τd —

PID 1,2Kp

τp

τd2τd 0,5τd

Observacoes Importantes:

• um problema importante nesses metodos e que elesnormalmente nao sao muito robustos; isto e, pe-quenas variacoes nos parametros do processo podemcausar a instabilidade do sistema em malha fechada.

• esses metodos utilizam apenas um ponto para estimara constante de tempo, τp.

• para processos que apresentam atraso por transportemuito pequeno; isto e, τd proximo de zero, a curvade reacao do processo fica semelhante a resposta aodegrau de um sistema de primeira ordem simples. Osajustes de CC e ZN indicarao um valor extremamenteelevado de Kc. Escolhe-se o maior valor possıvel parareduzir o desvio permanente, quando um controladorproporcional for empregado.

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Modelos Empıricos

Para muitos processos e mais vantajoso, por questao detempo e/ou esforco, desenvolver modelos empıricos doque fundamentais. Particularmente, se o interesse princi-pal e ajustar uma malha de controle especıfica, e mais in-teressante obter um modelo entrada-saıda, do tipo funcaode transferencia, a partir de um teste na planta.

O teste na planta mais utilizado e realizar uma pertur-bacao degrau na variavel manipulada de interesse (saıdado controlador) e observar a resposta da saıda medida doprocesso. A partir de entao, um modelo e desenvolvidode modo a obter a melhor semelhanca entre a saıda domodelo e a saıda do processo observada.

Uma das principais consideracoes na hora de desenvol-ver um modelo entrada-saıda e selecionar o melhor parea-

mento (casamento) entre as possıveis variaveis de entradae saıda do processo.

Feita essa selecao, traz-se o processo para uma condicaoestacionaria consistente e desejavel, antes da perturbacaodegrau ser aplicada. Uma importante decisao diz respeitoa amplitude do degrau a ser implementado na variavel deentrada:

• se o degrau tem amplitude muito pequena, a saıdamedida pode nao mudar significativamente para de-senvolver o modelo. Este fato e particularmente im-portante quando o sinal medido apresenta muito ru-ıdo. Neste caso, a amplitude do degrau na entradadeve ser tal que a relacao sinal de saıda / ruıdo sejaalta o suficiente para se obter um bom modelo.

• se o degrau tem amplitude muito elevada, a variavelde saıda pode variar tanto, que o produto fica fora

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de especificacao durante muito tempo, enquanto oteste e realizado (claramente, essa nao e uma solucaoeconomicamente recomendavel). Tambem, se o de-grau e elevado, efeitos nao-lineares podem predomi-nar, conduzindo o processo a condicoes operacionaisbem diferentes das desejadas.

Claramente, a perturbacao deve ser de tal magnitude queseja possıvel observar o comportamento da variavel desaıda (ela deve ir acima do ruıdo), mas nao tao ele-vada de modo a provocar grandes alteracoes no seu valor(causando problemas economicos e/ou produzindo efeitosnao-lineares significativos).

O modelo mais utilizado para o projeto de sistemas decontrole e o modelo representado por uma funcao detransferencia de primeira ordem com tempo morto.

a). sistema de 1a ordem com tempo morto:resposta ao degrau

A resposta ao degrau de amplitude A de um sistema de1a ordem com tempo morto

y(s)

u(s)= G(s) =

Kpe−τds

τps + 1

tem a seguinte expressao:

y(t) =

0 ,0 ≤ t < τd

KpA

[

1 − e−(

t−τdτp

)]

, t ≥ τd

Os tres parametros do processo Kp, τp e τd podem serestimados a partir de um unico teste na planta:

• o ganho do processo, Kp, e obtido calculando-se arazao entre o variacao total da resposta ao degrau,

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∆y, e a variacao total da entrada perturbada comum degrau de amplitude A, ∆u = A

• o tempo morto, τd, corresponde ao intervalo detempo observado entre o instante inicial da pertur-bacao degrau e o momento inicial quando a respostacomeca a se alterar

Diversos metodos para determinar a constante de tempodo sistema, τp, podem ser utilizados:

a.1). tempo para atingir 63,2% da variacao final daresposta

Fazendo-se t = τp + τd na equacao da resposta ao degrau,de um sistema de 1a ordem com tempo morto, obtem-se

y(τp + τd) = KpA

[

1 − e−(

τp+τd−τdτp

)]

= KpA[

1 − e−(1)]

y(τp + τd) = 0,632KpA = 0,632∆y = 0,632B

Portanto, t63,2% = τp + τd corresponde ao intervalo detempo para a resposta do sistema atingir 63,2% de suavariacao final.

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−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5150

200

250

300

350

tempo

y

Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau

B

τp

τd

0,632 B

a.2). metodo da inclinacao maxima

A maxima inclinacao da reta tangente a resposta ao de-grau, aplicado a t = 0, de um sistema de primeira ordemcom tempo morto ocorre em t = τd:

τp =∆y

S=

Kp∆u

S=

B

S

Portanto, a maior inclinacao a curva de reacao de pro-cesso, y(t), e utilizada na determinacao de τp. Essa maiorinclinacao ocorre no ponto de inflexao de y(t), sendo iguala S.

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−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5150

200

250

300

350

tempo

y

Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau

resposta real

1a ordem + tempo morto

reta tangente aoponto de inflexão

B

τpτ

d

S=B/τp

Observe que, os dois metodos de calculo de τp anterioressao baseados em apenas um ponto da curva de reacao deprocesso.

a.3). metodo com dois pontos

Os metodos a seguir utilizam dois pontos da curva dereacao do processo para a determinacao de τp.

a.3.1). tempo para atingir 28,3% e 63,2% davariacao final da resposta

A constante de tempo τp e o tempo morto τd podem serobtidos das seguintes relacoes

τp = 1,5(t63,2% − t28,3%)

τd = t63,2% − τp

onde t28,3% e t63,2% sao os tempos para atingir 28,3% e63,2% da variacao final da resposta, respectivamente.

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−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

tempo

y

Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau

B

0,632 B

0,283 B

t28,3%

t63,2%

a.3.2). tempo para atingir 35,3% e 85,3% davariacao final da resposta

Sundaresan e Krishnaswamy, em 1977, propuseram o calculode τp e τd a partir de dois pontos da curva de reacao doprocesso, utilizando as seguintes relacoes

τp = 0,67(t85,3% − t35,3%)

τd = 1,3t35,3% − 0,29t85,3%

onde t35,3% e t85,3% sao os tempos para atingir 35,3% e85,3% da variacao final da resposta, respectivamente.

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−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5150

200

250

300

350

tempo

y

Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau

B

0,853 B

0,353 B

t35,3%

t85,3%

a.4). regressao linear

Pode-se determinar a constante de tempo ajustando ospontos da curva de reacao do processo a uma linha reta.Para tanto, rearranja-se a solucao ao degrau de um sis-tema de primeira ordem com tempo morto, tal que

y(t) = KpA

[

1 − e−(

t−τdτp

)]

= y∞

[

1 − e−(

t−τdτp

)]

y∞ − y(t)

y∞= e

−(

t−τdτp

)

ln

(y∞ − y(t)

y∞

)

= −t

τp+

τd

τp

onde y∞ = KpA = B e o valor final da resposta do sistema,em variavel-desvio. y(t) tambem esta em variavel-desvio.

Os parametros do modelo de primeira ordem com tempomorto sao assim calculados:

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• o ganho do processo, Kp, e obtido calculando-se

Kp =y∞

A

• a constante de tempo, τp, e calculada do coefici-ente angular da reta ajustada, α,

τp = −1

α

• o tempo morto, τd, e calculado do coeficiente linearda reta ajustada, β,

τd = βτp

0 0.5 1 1.5 2 2.5−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

tempo

ln(y

−y/y

)

Regressão Linear

resposta real

regressão linearτd/τ

p

α = −1/τp

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Apos o ajuste linear, obtem-se o seguinte modelo de pri-meira ordem com tempo morto, representado na figuraabaixo e comparado a curva de reacao de processo

0 0.5 1 1.5 2 2.5150

200

250

300

350

tempo

y

Curva de Reação do Processo: resposta ao degrau

resposta real

regressão linear: 1a ordem+tempo morto

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Metodo de Ajuste Baseado na Minimizacao daIntegral do Erro

Os parametros de ajuste baseados na razao de declınioigual a 1/4 nao sao unicos.

Na tentativa de criar relacoes de projeto unicas, foramdesenvolvidos criterios de performance da malha fechadaque minimizavam o desvio entre o valor de referencia e ovalor da variavel controlada, ou o erro.

Como o erro e uma funcao do tempo, a soma do erroa cada instante deve ser minimizada. Como as relacoesde projeto pretendem minimizar a integral do erro, estemetodo e conhecido com Minimizacao da Integral doErro.

e ( t )

t0

o p . r e g u l a d o r a

e ( t )

t

0

o p . s e r v o

1

i n t e g r a l d o e r r o

i n t e g r a l d o e r r o

Como a integral do erro nao pode ser minimizada di-retamente, pois um erro negativo muito grande seria omınimo, sao utilizadas diferentes formulacoes para a inte-gral:

a.1). integral do erro absoluto (”IAE”)

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IAE =

∫ ∞

0

|e(t)|dt

O IAE e utilizado principalmente para suprimir erros pe-quenos. Lembrando que o e(t) = ysp(t) − y(t).

a.2). integral do quadrado do erro (”ISE”)

ISE =

∫ ∞

0

e2(t)dt

O ISE e utilizado principalmente para suprimir erros mai-ores, pois contribuem mais para o valor da integral do que|e(t)| < 1. Esses erros maiores normalmente ocorrem noinıcio da resposta, do que erros pequenos, que ocorremao final da mesma.

Entretanto, na tentativa de reduzir os erros iniciais, ocriterio ISE resulta em ganhos proporcionais maiores erespostas mais oscilatorias (razao de declınio alta), como erro oscilando ao redor de zero por um tempo relativa-mente longo.

Este fenomeno sugere que o criterio de performance de-veria conter uma penalidade que incluısse o tempo deresposta.

a.2). integral do erro absoluto ponderado pelotempo (”ITAE”)

ITAE =

∫ ∞

0

t|e(t)|dt

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Esse criterio e principalmente utilizado para suprimir errosque persistem por um longo tempo, ampliando o efeitomesmo dos pequenos erros no valor da integral.

a.2). integral do quadrado do erro ponderado pelotempo (”ITSE”)

ITSE =

∫ ∞

0

te2(t)dt

Observacoes Importantes:

• os criterios de performance da integral do erro utili-zam toda a resposta da malha fechada, indo de t = 0ate o novo estado estacionario.

• a menos que limt→∞ e(t) = 0, os ındices de perfor-mance tendem a infinito.

• quando limt→∞ e(t) nao tende a zero, pode-se definiro erro como

e(t) = y(∞) − y(t)

Desta forma tem-se ındices de performance finitos.Este e o caso quando nao se usa acao integral, ondeo erro nao e forcado a zero.

• diferentes criterios de performance conduzem a dife-rentes projetos de controladores.

• a forma da perturbacao considerada (degrau, rampa,etc.) tambem afeta os parametros do controladorprojetado.

• o modo de operacao da malha de controle (op. re-guladora ou op. servo) conduz a projetos diferentes.

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Formulas de ajuste para atender os criterios de perfor-mance da integral do erro foram calculadas para variacoesdegrau na carga e no valor de referencia, considerando omodelo do sistema como de primeira ordem com tempomorto (Gp(s) = Gd(s)) e controlador PID:

Formulas para a Minimizacao do Erro IntegralOperacao Servo

Modelo do Processo G(s) =Kpe−τds

τps+1

Controlador PI Gc(s) = Kc

(

1 + 1τIs

)

Integral do Erro IAE ITAE

Kc = a1

Kp

(τd

τp

)b1 a1 = 0,758 0,586b1 = -0,861 -0,916

τI = τp

a2+b2

(τdτp

) a2 = 1,02 1,03b2 = -0,323 -0,165

Controlador PID Gc(s) = Kc

(

1 + 1τIs

+ τDs)

Integral do Erro IAE ITAE

Kc = a1

Kp

(τd

τp

)b1 a1 = 1,086 0,965b1 = -0,869 -0,855

τI =τp

a2+b2

(τd

τp

) a2 = 0,740 0,796b2 = -0,130 -0,147

τD = a3τp

(τd

τp

)b3 a3 = 0,348 0,308b3 = 0,914 0,9292

para 0,1 ≤ τd/τp ≤ 1,0

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Formulas para a Minimizacao do Erro IntegralOperacao Reguladora

Modelo do Processo G(s) = Kpe−τds

τps+1

Controlador P Gc(s) = Kc

Integral do Erro ISE IAE ITAE

Kc = aKp

(τd

τp

)b a = 1,411 0,902 0,490b = -0,917 -0,985 -1,084

Controlador PI Gc(s) = Kc

(

1 + 1τIs

)

Integral do Erro ISE IAE ITAE

Kc = a1

Kp

(τd

τp

)b1 a1 = 1,305 0,984 0,859b1 = -0,959 -0,986 -0,977

τI =τp

a2

(τd

τp

)b2 a2 = 0,492 0,608 0,674b2 = 0,739 0,707 0,680

Controlador PID Gc(s) = Kc

(

1 + 1τIs

+ τDs)

Integral do Erro ISE IAE ITAE

Kc = a1

Kp

(τd

τp

)b1 a1 = 1,495 1,435 1,357b1 = -0,945 -0,921 -0,947

τI = τp

a2

(τd

τp

)b2 a2 = 1,101 0,878 0,842b2 = 0,771 0,749 0,738

τD = a3τp

(τd

τp

)b3 a3 = 0,560 0,482 0,381b3 = 1,006 1,137 0,995

para 0,1 ≤ τd/τp ≤ 1,0