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GEOMETRIA ANALÍTICA

PROF. ENZO MARCON TAKARA

EDIÇÃO 2017

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1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL

Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy),

eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a

origem do sistema.

IMPORTANTE

Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal 1) Origem (0,0) 2) Um ponto do eixo x ( a,0) 3) Um ponto do eixo y ( 0,a) 4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a , a) ou ( -a , -a) 5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a)

EXERCÍCIO BÁSICO

1) Determine m para que o ponto P(2m - 8, m) pertence ao eixo dos y .

2) Determine r para que o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira dos quadrantes ímpares

3) Determine k para que o ponto P(k, -2) pertença a equação x + 2y - 10 = 0

04-(Unifesp) Um ponto do plano cartesiano é

representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y)

e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um

mesmo sistema de coordenadas. Nestas

condições, yx é igual a

a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9.

GABARITO

1) m=4 2) r=-2 3) k=14 4)A

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2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema

cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(CESGRANRIO) A distância entre os pontos

M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8.

02-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à

origem.

03-(UFRG) Sendo os pontos A (- 1, 5) e B(2, 1)

vértices consecutivos de um quadrado, o

comprimento da diagonal desse quadrado é

a) 2.b) 22 . c) 23 . d) 5. e) 25

04-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

a) 4 b) 4 2 c) 8 d)8 2 e) 16 05-(PUC) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é: a) (3, 1) b) (3, 6) c) (3, 3). d) (3, 2) e) (3, 0) GABARITO 1) B 2)10 3) E 4)A 5)C

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3- PONTO MÉDIO

Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM do ponto

médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais

M é ponto médio.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices. 2-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale:

a) 2 3 b) 3 c) 5 d) 3 2 e) 6

3-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo

retângulo estão sobre os eixos de um sistema

cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto médio da

hipotenusaBC , é correto afirmar que a soma das

coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a: a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4

4-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos

A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices

consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas

condições, o comprimento da BD é

a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 5 e) 5

GABARITO 1) C (8,-3) e D (2,-6) 2)C 3) D 4)D

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4-BARICENTRO

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3

medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto

ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).

Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde

A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias

aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC

onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1);

(-1,3) o baricentro (ponto de encontro das

medianas) é: a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2) d) (1, 5/3) e) (0, 3/2)

2-Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?

GABARITO

1) C( -3,6) 2) 65

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5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

5.1 - Área de um triângulo

Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por

S = D2

1onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .

Temos portanto:

A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)

Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.

5.2 - Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .

É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois

considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .

Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é

que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .

Exercício resolvido: Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) 2

Solução:

Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:

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Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:

- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5.

Portanto a alternativa correta é a letra D.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B (a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ? 2-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. 3-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares.

4-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares. 05-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 10. e) 12 06-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9 c) 11 d) 10 e) 5

GABARITO 1) a≠-1 e a ≠ 4 2) (0,-5) 3) ( -13,-13) 4) (-30/13 , 30/13) 5)A 6)D

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6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE

UMA RETA

6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO

Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou formarão uma reta). Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.

A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu coeficiente angular (m) igual a: m = tg β. A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação da inclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares: Exemplo 1: Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.

Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1. Exemplo 2: Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.

Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2. Exemplo 3:

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Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°.

Exemplo 4: Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 0°, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 0º = 0.

6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS

O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα

Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois

pontos, A );( aa yx e B );( bb yx

Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

AB

AB

BA

BA

xx

yy

xx

yytgm

adjacente cateto

oposto cateto

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EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Determine o coeficiente angular e a inclinação

da reta que passa pelos pontos A ( 3,6) e B (4,5).

2- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes angulares

das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo

representado a seguir.

A sequência das retas r, s e t que corresponde à

ordenação crescente dos coeficientes angulares é a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t. d) s, t, r. e) t, s, r.

3- (Ufscar 2004) Considere a relação gráfica:

Podemos afirmar que a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo. c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear

zero. d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o

do gráfico I. e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o

do gráfico II.

4. (Ufjf-pism 3 2016) Considere os pontos

A (2, 0), B ( 1, 3) e C ( 1, 3) em um

plano cartesiano.

a) Determine o ângulo ABC.

b) Calcule a área do triângulo ABC.

5. (Espm 2015) O gráfico abaixo é formado por 3

segmentos de retas consecutivos.

Sabe-se que:

I. A reta que contém o segmento AB tem co-

eficiente linear igual a 4

II. O coeficiente angular do segmento BC vale

metade do coeficiente angular do segmento AB

III. A ordenada do ponto D é 2

3 da ordenada do

ponto C

IV. O coeficiente angular do segmento CD é igual

a 1

Podemos concluir que a abscissa do ponto D vale: a) 17 b) 19 c) 15 d) 18 e) 16

GABARITO

1) m=-1 e α=135 2)C 3)D 4) a) ABC 60 .

b) 33 5)A

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7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA

CONCEITO: É A CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA QUE UM PONTO P(x;y) PERTENÇA A UMA RETA DE INCLINAÇÃO α E QUE PASSA PELO PONTO A

);( 00 yx

A equação fundamenta da reta é:

)( 00

0

0 xxmyyxx

yym

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Unitau) A equação da reta que passa pelos pontos

(3, 3) e (6, 6) é: a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) 2y = x. e) 6y = x. 2- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que passa

pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um

ângulo de 60° é:

a) 2 x - y = 2 - 1 b) 3 x + y = 1 - 3

c) 3 x - y = 3 - 1 d) 3

2x + y = 1 -

3

2

e) 3

2x - y =

3

3- 1

3-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo Ox

no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é: a) x - 3y - 1 = 0 b) x - 3y - 3 = 0 c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0 e) 3x + y + 1 = 0

4-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r e s,

concorrentes no ponto (1;3).

Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas,

então a equação da reta

a) r é 3 x + 3y - 6 = 0 b) s é x + y + 4 = 0

c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0 d) s é x + y - 4 = 0

e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0

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5-(Unirio )

A equação geral da reta anterior representada é:

a) 3x - 3 y + 6 = 0 b) 3x + 3 y + 6 = 0

c) 3 x - y - 2 = 0 d) y = 3 x + 2 3

e) y = 3

3(x+2)

6-(Puc) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos

pontos a) (5, -4) e (1/2, 1/2). b) (0, 0) e (1/2, 1/2). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5).

7-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.

Uma equação cartesiana da reta r é

a) y = 3

3- x b) y =

3

3(1-x)

c) y = 1 - 3 x d) y = 3 (1-x)

e) y = 3 (x-1)

8-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo

determinado pelo ponto A e pelos pontos de

abscissas -3 e 7, representado a seguir.

A área desse triângulo é

a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20

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9-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de

equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da

origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B

é a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5.

10- (Puc ) Para que a reta

(k - 3)x - (4 - k2)y + k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem

dos eixos coordenados, o valor da constante k deve

ser: a) ± 2 b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3

11-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o triângulo

de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e

C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir.

I. O triângulo ABC é isósceles.

II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento AB.

III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é

2x + y = 5.

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

12-(UFPR) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é:

a) x 2y 4 b) 4x 9y 0 c) 2x 3y 1

d) x y 3 e) 2x y 3

GABARITO 1)A 2)C 3)B 4)D 5)A 6)A 7)B 8)E 9)B 10)C 11)A 12)A

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8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA

8.1-Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

Em que: • a, b, e c são números reais; • a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

8.2-Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

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Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Onde:

8.3-Equação segmentária da reta

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa pela

origem.

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8.4-Equação paramétrica da reta

As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a

ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.

As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para

representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos:

Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra.

x = t + 9 x – 9 = t

y = 2t – 1 y = 2 (x – 9) – 1 y = 2x – 18 – 1 y = 2x – 19 2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.

8.5-Reta horizontal

É toda reta do tipo y=k.

8.6-Reta vertical.

É toda reta do tipo x=k . (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU)

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EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1), B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é: a) y = 1 b) x = 1 c) x = y d) x - y = 1 e) x + y = 1

3-(PUC) Considere a parábola de equação y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então a equação de r é a) x + y -6 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0 4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na

figura a seguir é:

a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 e) 4x - 3y + 12 = 0

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5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir.

Nessa figura, está representada a reta r de equação

y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o

valor de a é

a) - 5 b) - 2 c) 6

5 d) 2 e) 5

6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetória

no plano cartesiano, tendo sua posição a cada

instante t (t ≥ 0) dada pelas equações. x 2t

y 3t 2

.

A distância percorrida pelo ponto P (x,y)

para 0 ≤ t ≤ 3 é

a) 2 b) 3 c) 13 d) 3 13 e) 61

7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como

vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O

vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a

inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25

08- (Fgv) O ponto da reta de equação

y = (1/2)x + 3, situado no 1. quadrante e

equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja

soma é: a) menor que 11. b) maior que 25. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 20.

GABARITO 1)D 2)A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C

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9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas

formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser

preciso construir o gráfico.

9.1-Retas paralelas

Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem

iguais ou não existirem.

As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão

existir.

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo

Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais.

PORTANTO tu qq e tu mm

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares

serão iguais.

PORTANTO tu qq e tu mm

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9.2-Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser

diferentes ou um existir e o outro não.

As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão

diferentes.

As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o

coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(Ufmg ) Observe a figura.

Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares,

B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da

área do paralelogramo OABC. Então, C é o

ponto de coordenadas

a) 3

2,5

b) 12

2,5

c) (2, 1) d) (3, 2) e) (2, 2)

02-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0,

representa: a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das

ordenadas c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0

03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e

2x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale: a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8

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04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e

my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o

coeficiente m vale: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação

3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r

com a parábola de equação y=x2-4 tem abscissa

1. A equação de r é a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 10 = 0

06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e

NÃO intercepta a reta de equação y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes

pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)

07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17.

Das equações a seguir, a que representa uma

reta paralela a r é a) 2y = (x/2) + 10 b) 2y = - 2x + 5 c) 2y = x + 12 d) y = - 2x + 5 e) y = x + 34

08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são

paralelas; logo o valor de k é a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2

09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y =

m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o

valor de m será: a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.

10- (Unemat 2010) Dada a equação de reta (s):

2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s

pelo ponto P(1,1) será: a) 2x - y = 0 b) 2x + y +1 = 0 c) 2x + y -1 = 0 d) 2x - y -1 = 0 e) 2x - y + 2 = 0 GABARITO

1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D

22

10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS

Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único

ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.

Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0.

Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.

O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o

ponto de intersecção.

Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o

ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.

Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim,

veja a resolução do sistema abaixo:

x + 4y – 7 = 0

3x + y + 1 = 0

x + 4y = 7 (-3)

3x + y = -1

-3x – 12y = -21

3x + y = -1

-11y = -22

y = 2

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:

x + 4y = 7 x + 4 . 2 = 7 x + 8 = 7 x = 7 – 8 x = -1

Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).

23

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações

2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r

contém o ponto A = (5,1) e o ponto de interseção de t e s.

A equação de r é:

a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0

c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0

02- (Puc) O ponto de intersecção entre a reta que passa

por (4,4) e (2,5) e a reta que passa por (2,7) e (4,3) é:

a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4).

d) (7/2, 4). e) (10/3, 13/3).

03- (Fei) As retas representadas pelas equações

y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo

ponto. O valor de b é:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

04-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de

equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a área do triângulo

de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é

a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.

5- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-

2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é paralela ao eixo das

ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto

em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o

ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do

triângulo ABC é:

a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 )

d) 3 (3 3 ) e) 5 ( 5 + 3 )

6- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s:

5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as

três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é

a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.

8-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único

ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x + 2. O valor de a é a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2

GABARITO

1)A 2)E 3)D 4)D 5)A 6)E 7)D

24

11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO

Considere duas retas perpendiculares r e s .

Pelo teorema dos ângulos externos temos :

2 =90+ 1

1

0

1

0

290cos

90

sentg

1

0

1

0

0

11

0

.90cos.90cos

90cos.cos.90

sensen

sensen

=

1

1cos

sen=

1

1

tg

PORTANTO 1

2

1

tgtg

Portanto r

sm

m1

, ou seja, 1. sr mm

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do

segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4)

2-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação

2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.

A equação da reta r é

a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0

c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0

e) x + 2y - 1 = 0

25

3-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a

reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s

contém o ponto:

a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)

4-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a

reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o ponto de coordenadas

(2,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da

reta que contém o lado BA é:

a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0

c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = 0

5- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos

afirmar que elas

a) se interceptam no ponto de coordenadas

(-1,2).

b) se interceptam formando um ângulo de 60°.

c) são perpendiculares aos eixos OX e OY,

respectivamente.

d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas

(3, 3).

6-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e

y + 3x + 9 = 0 são

a) coincidentes.

b) paralelas entre si.

c) perpendiculares entre si.

d) concorrentes no ponto (1, -9).

e) concorrentes no ponto (3, 0).

7-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5

mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale:

a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5

8 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2);

B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo

vértice C tem equação:

a) 2y - x - 3 = 0 b) y - 2x + 3 = 0

c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0

e) 2y + x - 9 = 0

26

9. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e

y = [(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares. O valor de a é:

a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2

10. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta

r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é

a) y = - (1/2)x - 1 b) y = (1/2)x - 1

c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1

11-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se cortam no

ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e

y = bx + c. Com base nessas informações, é correto

afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a:

a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6

12- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r)

de equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos eixos

coordenados. A equação da reta que passa por P e é

perpendicular a (r) é

a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0.

c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0.

e) 15x - 3y - 4 = 0.

13-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto

A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é: a) (1, 1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2) GABARITO 1)A 2)A 3)A 4)D 5)D 6)B 7)B 8)A 9)E 10)C 11)D 12)A 13)C

27

12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste

ponto P à reta através da expressão matemática:

DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR

A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois

valores de m de modo que a distância do ponto

P(m,1) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6;

a soma destes valores é: a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3

2- ( ANGLO) Determine o comprimento da altura

relativa ao vértice A do triângulo ABC cujos

vértices são A(-1,4) , B (2,3) e C( 3,5)

GABARITO

1)A 2) 2

28

13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES Uma inequação do 1o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas

num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura.

29

Exemplo 1

Resolver graficamente

a) x + y - 2 > 0 e x - y < 0

b) x + y - 2 > 0 ou x - y < 0

30

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir.

Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano

cartesiano, com y ≥ 0 e tais que

a) y ≤ x2

3+ 3 e y ≤ -3x + 3 b) y ≤ x

3

2+ 3 e y ≤ -3x + 1

c) y ≤ x2

3+ 3 e y ≥ -3x + 3 d) y ≤ 3x + 3 e y ≤- x

2

3+ 3

e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1

2-(Fgv) A região do plano cartesiano determinada pelas

inequações x + y ≤ 5 , y ≤ 3 , x ≥ 0 e y ≥ 0 tem uma

área A. O valor de A é:

a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12

3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas

retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é:

a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5

4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de

inequações

3x 5y 15 0

2x 5y 10 0

x 0

a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3

5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado pelas retas

y = x, y = - x e y = 3 é:

a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1.

6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de

equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1 é

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

GABARITO

1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D

31

14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r²,

Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r.

A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P (x,y)

pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “.

Ou seja rdCP

Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:

22

pcpcCP yyxxd =r

22byax =r

Elevando-se os dois lados ao quadrado temos: (x-a)² + (y-b)² = r²,

Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3. Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a)

2 + (y – b)

2.

(x – (-4))

2 + (y – 1)

2 = (1/3)

2

(x + 4)2 + (y – 1)

2 = 1/9

Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2)

2 + (y + 5/2)

2 = 9.

É preciso que seja feito à comparação das equações: (x – 1/2)

2 + (y + 5/2)

2= 9

(x – a)2 + (y – b)

2 = R

2

- a = -1/2 a = 1/2

- b = 5/2 b = -5/2

R2 = 9 R = 3

Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio igual a R = 3

32

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é:

a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20

c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5

e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20 2-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação

(x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 3- (Puc ) A distância entre o centro da circunferência de

equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de equação y + 5 x = 0 é a) - 5 b) 0 c) 2 d) 5 e) 9

4-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência

de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 e o ponto P dado pela interseção das retas 2x - 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da circunferência é: a) o dobro do raio da circunferência b) igual ao raio da circunferência. c) a metade do raio da circunferência. d) o triplo do raio da circunferência. 5-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função:

f(x) = x2 - 5x + 6.

Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é:

a) (x - 6)2 + y = 45 b) x2 + (y - 6)2 = 9

c) x2 + (y - 6)2 = 45 d) (x - 6)2 + y2 = 9

e) x2 + (y - 3)2 = 9 6- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação

(x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a) 22. b) 24. C ) 25. d) 26. e) 28 GABARITO 1)A 2)B 3)B 4)A 5)C 6)B

33

15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA

A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes. (x – a)² + (y – b)² = r² x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0 x

2 + y

2 – 2ax – 2by + a

2 + b

2 – r

2 = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução. Comparação Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, temos: –2a = –2 a = 1 –2b = 8 2b = –8 b = –4

a² + b² – r² = 8 1² + (–4)² – r² = 8 1 + 16 – r² = 8 17 – r² = 8 – r² = 8 – 17 – r² = – 9 r = 3 Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y + k = 0

represente uma circunferência, devemos ter:

a) K < 20 b) K > 13 c) K < 12

d) K > 12 e) K < 10

2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos

cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 +

y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos

pontos A e O é:

a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2

d) y = 2x e) y = x

3-(Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e

x2 + y2 - 16x - 12y = 0 são:

a) exteriores.

b) secantes.

c) tangentes internamente.

d) tangentes externamente.

e) concêntricas.

4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa

um círculo se e semente se

a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13

d) m > -13 e) m < 13

34

5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5,

cujo centro é o ponto comum às retas

x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é:

a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0

c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0

e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0

6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma

circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do

centro é igual a:

a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15

7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em

coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de

raio 1 e centro

a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2). d) (-3, -2). e) (6, -4).

8-(Ufv ) Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0. O

maior valor inteiro p para que a equação anterior represente

uma circunferência é:

a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10

9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro da

circunferência x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um

quadrado inscrito em um círculo são os pontos (1, 3) e

(-1, 1). Então, a equação do círculo é

a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0. b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0.

c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0. d) x2 + y2 + 2 = 0.

e) x2 + y2 - 4y = 0.

35

11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais,

considere a circunferência λ e a reta r, de equações

x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. A reta s, que é

paralela a r e contém o centro de λ, tem equação

a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0

c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0

e) 7x + 3y - 2 = 0

12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à

circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 5 = 0 mede

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está

inscrito no círculo de equação

x2 + y2 - 4 = 0.

A área do octógono é

a) 5 2 . b) 8 2 . c) 10. d) 10 2 . e) 20.

14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de equação x2

+ y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c2 de

centro em O(13, - 2) que passa pelo ponto P(9, 0). A área

da figura plana formada pelos pontos internos à

circunferência c1 e externos à circunferência c2, em

unidades de área, é:

a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π.

15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se p é o

maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92. 16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados,

depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de

igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da

circunferência que limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 =

0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área

da massa utilizada para confeccionar cada pastel são,

respectivamente,

a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04

d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86

36

17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação

x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada

máxima. A soma das coordenadas de P e:

a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1

18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência,

cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia

os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da

circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:

a) 2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0

b) 2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0

c) 2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0

d) 2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0

e) 2 2x y 4x 4y 4 0

19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas retas

r e s. perpendiculares. A reta r tem equação e a

reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a

equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0),

B (10,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s.

20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os pontos

A( 1,2) e B(3,4).

a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma

com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.

b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela intersecção das retas r e s .

c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.

GABARITO

1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 10)B 11)A

12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A 18)B 19) (x-5)² +y²=25

20)a) y=-x+1 b) y=x+1 c) (x-2)² +(y-1)² =2

y 2x

37

16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA

CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0

CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0

CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0

Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum.

38

O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência

(x - a)2 + (y - b)

2 = R

2. Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo

grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência: Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência. Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau. Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1)

2 + y

2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção.

Resolução: x + y – 6 = 0 → equação 1 (x+1)

2 + y

2 = 25 → equação 2

Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas. x + y – 6 = 0 x = 6 – y Substituímos o valor de x na equação 2. (6 – y +1)

2 + y

2 = 25

(-y + 7)2 + y

2 = 25

(-y)2 – 14y + 49 + y

2 = 25

y2 – 14y + 49 – 25 + y

2 = 0

2y2 – 14y + 24 = 0 (: 2)

y2 – 7y + 12 = 0

Δ = b

2 – 4ac

Δ = (-7)2 – 4 . 1 . 12

Δ = 49 – 48 Δ = 1 Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.

Para y’= 4 x = 6 – y x = 6 – 4 x = 2

Para y’’ = 3 x = 6 – y x = 6 – 3 x = 3

Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3).

39

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta

x + y = 3 determina na circunferência de centro em (2,1) e

raio 5

2 é:

a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2

2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro

no ponto O = (0,0) para que a reta x - 2y - 10 = 0 seja

tangente a essa circunferência?

a) 4 2 b) 2 5 c) 20 d) 5 2 e) 4 5

3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferência que

passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na

relação

a) 2y + x = 6 b) 5y + 2x = 15 c) 5y + 3x = 15

d) 8y + 3x = 25 e) 9y + 4x = 36

4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta

5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência

x2 + y2 = 9. O valor de b é

a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7

5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x - 12 = 0,

então a circunferência α, que é concêntrica à circunferência

β e tangente à reta r: x + y = 0, é

a) x2 + (y + 2)2 = 4 b) y2 - 4x + y2 = 0

c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0

e) (x + 2)2 + y2 = 2

6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(2,1) e

tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é

a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8 b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2

c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2 d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4

e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4

40

7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina, na

circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma corda de

comprimento:

a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) 8 2

8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferência de

equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P

e Q e passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ

vale

a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°

9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante,

tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3),

então o centro dessa circunferência é o ponto:

a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)

10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela

solução do sistema

2 2x y 9

x y 3 0

, pode-se afirmar que esta área

corresponde a

a) 9

4

π b)

9 2

4

π . c)

3 3

2

π .

d) 3 3

4

π . e)

3

3

π .

11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos

das inequações y ≤ - x - 1 e x2 + y2 ≤ 1, no sistema de

coordenadas cartesianas. A área dessa região é

a) π/4 - 1/2 b) π/4 - 1/3 c) π/2 - 1

d) π/2 + 1 e) 3π/2 - 1

12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k

tangencia a circunferência de equação

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são:

a) -2 ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou 2

d) 1 ou 3 e) 2 ou 4

41

13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com

origem O, considere a circunferência C dada pela equação

x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A

reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais

próximo da origem. A equação da reta que tangencia a

circunferência C no ponto A é

a) x - 2y + 3 = 0 b) x + 2y - 5 = 0

c) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + y - 5 = 0

e) 2x - y - 4 = 0

14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseção da

circunferência x2 + (y - 2)2 = 2 com a reta mx - y + 2 = 0,

onde m é real, podemos afirmar que:

a) contém um único ponto.

b) é o conjunto vazio.

c) contém dois pontos.

d) contém três pontos.

e) depende de m.

15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x +

1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de equação x + y = 0. É

CORRETO afirmar:

a) r é tangente a C.

b) r não corta C.

c) r corta C no ponto (1, 1).

d) r passa pelo centro de C.

16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem

que tangencia a reta de equação y = x -1 é

a) 1 b) 1

2 c) 2 d)

2

2e) 2 -1

42

17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano

cujos pontos satisfazem as sentenças

(x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y.

A área de R, em unidades de superfície, é

a) π b) 2π c) π2 d) 4π e) 4π2

18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada pela curva

de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com x ≥ 1 e y ≤ 2 é

a) 4π b) 2π c) π d) π/2 e) π/4

19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - 2y = 0 e da

circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 = 0, podemos afirmar que

a) a reta é tangente à circunferência.

b) a reta é secante à circunferência.

c) a reta é exterior à circunferência.

d) a reta está em plano distinto da circunferência.

20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da

circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada

no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta

4x - 3y = 0, é

a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c.

21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o

valor positivo de b tal que a reta y = x + b é tangente ao

círculo de equação

x2 + y2 = 1 é:

a) 2 b) 1 c) 2 d) 1

2 e) 3

GABARITO

1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 10)B11)A 12)D

13)B 14)C 15)D 16)D 17)B 18)C 19)A 20)C 21) C

43

17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS

1-ELIPSE

Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

1

2

2

0

2

2

0

b

yy

a

xx

1

2

2

0

2

2

0

a

yy

b

xx

44

Nas ilustrações das elipses acima temos: F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c). O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a. O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b.

O centro C );( 00 yx é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos F1 e F2.

A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a. Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:

a² = b² + c²

ÁREA DE UMA ELIPSE É DADA O A=abπ

Exemplo 1 Vamos determinar as equações das seguintes elipses: a)

a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 100 a = 10

Equação:

b)

a² = b² + c² a² = 5² + 12² a² = 25 + 144 a² = 169 a = 13

Equação:

45

Exemplo 2 Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.

Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: a² = 16 → a = 4 b² = 4 → a = 2 a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14

Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0). A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.

2-HIPÉRBOLE

No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica. Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c). A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados. Hipérbole com focos sobre o eixo x.

Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse

caso, a equação da hipérbole será do tipo:

12

2

0

2

2

0

b

yy

a

xx

46

Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a

equação da hipérbole será do tipo:

12

2

0

2

2

0

b

xx

a

yy

Elementos e propriedades da hipérbole:

Centro );( 00 yx

2c → é a distância focal. c

2 = a

2 + b

2 → relação fundamental.

A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 2a → é a medida do eixo real. 2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade

Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8 Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c

2 = a

2 + b

2

102 = 8

2 + b

2

b2 = 100 – 64

b2 = 36

b = 6 Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:

47

Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:

Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c). Da equação da hipérbole obtemos que: a

2 = 16 → a = 4

b2 = 9 → b = 3

Utilizando a relação fundamental, teremos: c

2 = a

2 + b

2

c2 = 16 + 9

c2 = 25

c = 5 Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).

3- PARÁBOLA

2-Como traçar uma parábola.

Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é

o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não

pertencente à diretriz, chamado foco.

Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.

O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se

deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta:

2-Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das

abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:

Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que

PF = Pd onde:

PF = distância entre os pontos P e F

PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

48

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto

qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da

parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:

y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:

(y - y0)2 = 2p(x-x0)

3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:

x2 = 2py

3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima

fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)

Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

49

Solução: Temos p/2 = 2 p = 4

Daí, por substituição direta, vem:

y2 = 2.4.x y

2 = 8x ou y

2 - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)

2 y

2 = 8(x-2) y

2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y

2 - 6y + 9 = 16x - 32 y

2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x

2 = 12y - 12 x

2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de

parábola, deve deduzir sua utilização.

Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas

parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais

fracos se concentram tornando-se um sinal forte.

EXERCÍCIOS

1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0

consiste de: a) duas retas e uma parábola. b) duas parábolas e uma reta. c) dois círculos e uma reta. d) duas retas e um círculo. e) um círculo e uma parábola.

2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que

os planetas se movem mais rapidamente quando

próximos ao sol do que quando afastados dele.

Lembrando que os planetas descrevem órbitas

elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos

afirmar que, dos pontos assinalados na figura,

aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o

ponto:

a) A b) B c) C d) D e) E

50

3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e

y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano,

respectivamente: a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole 4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0,

x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0

representam, respectivamente, uma: a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta. 5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a

curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:

6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8)

e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25

+ y2/9 = 1, é igual a: a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64 7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0

representa, no plano cartesiano, uma curva

fechada. A área do retângulo circunscrito a essa

curva, em unidades apropriadas, vale: a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são

as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os

eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano

cartesiano de tal forma que uma de suas

extremidades permanece sempre no eixo y e o seu

ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a

sua outra extremidade desloca-se ao longo de

uma: a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole. 10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4

representa uma hipérbole. Os focos dessa

hipérbole são:

a) 1

,02

e 1

,02

b) (2, 0) e (-2, 0)

c) (2 2 , 0) e (-2 2 , 0)

d) (0, 2 ) e (0, - 2 )

e) 1

0,2

e 1

0,2

11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das

curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações

paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é: a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse 13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em

laboratórios escolares de Ciências é constituída por

um plano inclinado, de altura aproximadamente

igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado

em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda é

curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no

qual se coloca uma bola de gude. A experiência

consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra

bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das

canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente

com a borda da mesa e com a primeira bola.

A borda da mesa tem a forma de um arco de: a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos. b) parábola, e o ponto marcado é seu foco. c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus

focos. d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro. e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.

51

14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que

estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e

do eixo ox, no plano cartesiano xy é

a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4.

b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1.

c) a parábola de equação y = 4x2 +1.

d) a parábola de equação y = 2x2 +1.

15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) -

(y2/9) = 1 é uma: a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola. 16. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números

reais e b IR . Encontre os valores de b, tais que

no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a

elipse 2

2xy 1

4 em um único ponto. A soma dos

valores de b é:

a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5

17. (Uerj ) Um holofote situado na posição (-5,0)

ilumina uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 =

5, projetando sua sombra numa parede

representada pela reta x = 3, conforme ilustra a

figura a seguir.

Considerando o metro a unidade dos eixos, o

comprimento da sombra projetada é de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0

é uma equação de: a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas.

e) duas retas concorrentes.

19. (Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice

no ponto (xn, yn).

O lugar geométrico dos vértices da parábola,

quando n varia no conjunto dos números reais, é a) uma parábola. b) uma elipse. c) um ramo de uma hipérbole. d) uma reta. e) duas retas concorrentes. 20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações

x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um

polígono. A equação da reta traçada pela

intersecção das diagonais desse polígono, e

paralela à reta de equação

2x - y + 3 = 0, é a) x + 2y - 2 = 0 b) x + 2y + 2 = 0 c) 2x - y + 4 = 0 d) 2x - y - 2 = 0 e) 2x - y + 2 = 0 21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir,

classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0

representa uma circunferência que é tangente,

tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das

ordenadas.

( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta

a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas

dois pontos, que são os vértices da hipérbole.

( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é

paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4.

Assinale a alternativa que contém a sequência

correta, de cima para baixo. a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F

GABARITO

1) D 2)E 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C

11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)A 17)C 18)E

19)A 20)D 21)B

52

QUESTÕES PARA A PO

01-(FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é

perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o centro da

circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s

é:

a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3

d) y - x = 3 e) 2x + y = 6

2. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do

plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do

segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-

horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C

são:

a) (2, 2 + 3 ). b) 5

1 3,2

c) (2, 1 + 3 ). d) (2, 2 - 3 ).

e) (1 + 3 , 2 + 3 ).

3. (FUVEST) Uma circunferência de raio 2, localizada no

primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação

4x - 3y = 0.

Então a abscissa do centro dessa circunferência é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 ) 5

4. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) é tangente à

circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ângulo

que a reta forma com o eixo x.

a) 1

5. b)

1

2. c)

3

2.

d) 2

2. e) 5 .

5. (FUVEST) A figura adiante mostra parte do gráfico de

uma função polinomial f(x) de grau 3. O conjunto de todos

os valores reais de m para os quais a equação f(x)=m tem

três raízes reais distintas é:

a) -4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0

d) -1 < m < 1 e) m > - 4

6. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B

= (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x2 + y2 =

5. A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC

a menor possível é:

a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2

7. (FUVEST) Para cada número real n seja Pn=(xn,yn) o

ponto de intersecção das retas

nx + y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos Pn

pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro

dessa circunferência?

a) (1/2, 1/2) b) (0,0) c) (-1/2, 1/2)

d) (-1/2, -1/2) e) (1,1)

8. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da circunferência

de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3, 1), então B é

o ponto

a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3)

9. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e

interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0,

5). Uma equação da reta r é

a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6

d) 2x + y = 8 e) y = 2x

10. (FUVEST) Na figura a seguir, A é um ponto do plano

cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A está

localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se

a) y < x

2e y < -x + 1 b) y <

x

2ou y > -x + 1

c) x

2< y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y <

x

2

e) x

2< y < -x + 1

11. (FUVEST) Uma reta de coeficiente angular m > 0

passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência

inscrita no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5).

Então

a) 0 < m < 1

3 b) m =

1

3 c)

1

3 < m < 1

d) m = 1 e) 1 < m < 5

3

53

12. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante

do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices

são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x

e 0y. Se a área desse triângulo é 18, a equação de r é:

a) x - y = 4 b) x - y = 16 c) x + y = 2

d) x + y = 4 e) x + y = 6

13. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos pontos

(2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do centro dessa

circunferência à origem é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14. (FUVEST) Das regiões hachuradas na sequência, a

que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do

plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de

desigualdades

x ≥ 0; y ≥ 0; x - y + 1 ≥ 0; x2 + y2 ≤ 9,

é:

15. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam

o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:

a) -2 b) 0 c)2 d) 1 e) 1/2

16. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x, y) do plano

cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação (x2 +

y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) = 0, pode ser

representado, graficamente, por:

17. (FUVEST) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1,

do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B.

Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB

é:

a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3)

d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2)

18. (FUVEST) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices

consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no

primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = -

2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na

origem e raio 5 . Então, as coordenadas de C são:

a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3)

d) (5, 2) e) (5, 1)

19. (FUVEST) Duas retas s e t do plano cartesiano se

interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes

angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto

(0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas

retas s e t é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

20. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança um

terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado a

seguir em um sistema de coordenadas. Elas pretendem

dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado

AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que

se obtenham dois lotes de mesma área é:

a) 5 - 1 b) 5 - 2 2 c) 5 - 2

d) 2 + 5 e) 5 + 2 2

21. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x,y), do plano

cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = │x - y│,

consiste de

a) uma reta. b) duas retas.

c) quatro retas. d) uma parábola.

e) duas parábolas.

54

22. (FUVEST) A circunferência dada pela equação x2 + y2

- 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y

nos pontos A e B, conforme a figura.

O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o

centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da

região hachurada vale

a) π - 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8

23. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy, a

circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam

P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy,

respectivamente.

Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ,

e com o maior perímetro possível.

Então, a área de PQR é igual a:

a) 2 2 - 2 b) 2 2 - 1 c) 2 2

d) 2 2 + 2 e) 2 2 + 4

24. (FUVEST) No plano cartesiano x0y, a reta de equação

x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além

disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual

a

a) 3 2

2 b)

5 2

2 c)

7 2

2

d) 9 2

2 e)

11 2

2

25. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1,

0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência,

de centro em (-1/2,4) é tangente a C no ponto (0,3). Então,

o raio de C vale

a) 5

8 b)

5

4 c)

5

2 d)

3 5

4 e) 5

26.(FUVEST) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C

é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o

ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale

a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10

27.( FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o ponto P

de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação

22

x 1 y 2 1. Uma reta t passa por P e é

tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

28-(FUVEST) Considere o triângulo ABC no plano

cartesiano com vértices A = (0, 0),

B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M

e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado

A—B e o vértice P sobre o lado B —C. Dentre todos os

retângulos construídos desse modo, o que tem área

máxima é aquele em que o ponto P é

a) (4, 16/ 5 ) b) ( 17 /4 , 3) c) (5, 12 /5 )

d) ( 11/ 2 , 2) e) (6, 8 /5)

29-(FUVEST) A equação X² + 2x +y² + my =n, em que m e

n são constantes, representa uma circunferência no plano

cartesiano. Sabe-se que a reta y= -x + 1 contém o centro da

circunferência e a intersecta no ponto (23, 4). Os valores de

m e n são, respectivamente,

a) 24 e 3 b) 4 e 5 c) 24 e 2 d) 22 e 4 e) 2 e 3

30. (UNESP) Seja A a intersecção das retas r, de equação

y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B e C são as

intersecções respectivas dessas retas com o eixo das

abscissas, a área do triângulo ABC é:

a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

31. ((UNESP) Dado um sistema de coordenadas

cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), B(4, -1) e

C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo, o valor de m deve

ser:

a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3.

32. (UNESP) Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de equação

y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância

de A à origem. Então a abscissa de B é igual a:

a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5

33. (UNESP) Considere uma circunferência de raio r < 4,

com centro na origem de um sistema de coordenadas

cartesianas. Se uma das tangentes à circunferência pelo

ponto (4, 0) forma com o eixo x um ângulo de 30°, então o

ponto de tangência correspondente é:

a) (1, - 3 ) b) (1, - 2 ) c) (1

2, - 3 )

d) (1

2, - 2 ) e) (

1

2,

3

2

)

55

34. (UNESP) A distância do vértice da parábola

y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é:

a) 72/25 b) 29/25 c) 43

d) 43/25 e) 43/5

35. (UNESP) Os pontos O, A e B, do plano cartesiano da

figura adiante, são os vértices de um triângulo equilátero

cuja medida dos lados é dada por 3 . As equações das

retas AB e OB são, respectivamente,

a) y = ( 2 ) . x - 3 e y = (- 2 ) . x.

b) y = ( 3 ) . x - 2 e y = (- 3 ) . x.

c) y = ( 3 ) . x - 3 e y = (- 3 ) . x.

d) y = x + 3 e y = -x.

e) y = 3x + 3 e y = -3x.

36. ((UNESP) Quando "a" varia sobre todos os números

reais, as equações y = ax + 1 representam

a) um feixe de retas paralelas.

b) um feixe de retas passando por (1, 0).

c) todas as retas passando pela origem.

d) todas as retas passando por (0, 1).

e) todas as retas passando por (0, 1), exceto uma.

37. ((UNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais xOy, considere a reta r de equação y=x+1 e o

ponto P=(2, 1). O lugar geométrico dos pontos do plano,

simétricos dos pontos de r em relação a P, é a reta de

equação

a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3.

d) y = x - 3. e) y = - x + 2.

38. (UNESP) O comprimento da corda que a reta y = x

determina na circunferência de equação

(x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 é

a) 4. b) 4 2 . c) 2. d) 2 2 . e) 2 .

39. (UNESP) Seja

S = {(x, y) e IR2: x2 + y2 ≤ 16 e x2 + (y - 1)2 ≥ 9} uma

região do plano. A área de S é:

a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π2.

40. (UNESP) A equação da circunferência com centro no

ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P= (0,3) é dada por

a) x2 + (y - 3)2 = 0.

b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4.

c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8.

d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16.

e) x2 + (y - 3)2 = 8.

41. (UNESP) O triângulo PQR, no plano artesiano, de

vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é

a) equilátero.

b) isósceles, mas não equilátero.

c) escaleno.

d) retângulo.

e) obtusângulo.

42. (UNESP) A figura representa uma elipse.

A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é

a)

2x

5

+

2y

7

= 1.

b)

2x 5

9

+

2y 7

16

= 1.

c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1.

d)

2x 5

9

+

2y 7

16

= 1.

e)

2x 3

5

+

2y 4

7

= 1.

43. (UNESP) O conjunto de todos os pontos P(x, y) do

plano, com y ≠ 0, para os quais x e y satisfazem a equação

sen [y/(x2 + 1)] = 0 é uma

a) família de parábolas.

b) família de circunferências centradas na origem.

c) família de retas.

d) parábola passando pelo ponto Q(0,1).

e) circunferência centrada na origem.

56

44. (UNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta

que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o

simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são,

respectivamente:

a) 1/3; x - 3y - 5 = 0.

b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0.

c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0.

d) 1/3; x + 3y - 5 = 0.

e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.

45. (UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendo-se que a área do

triângulo é 20, a abscissa x0 do ponto R é:

a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.

46. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva uma

órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que,

considerando um sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita

possa ser descrita aproximadamente pela equação

2 2x y

100 25

= 1, com x e y em milhões de

quilômetros.

A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo

planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA

mede 4

π.

A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no

instante representado na figura, é:

a) 2 5 . b) 2 10 . c) 5 2 .

d) 10 2 . e) 5 10 .

47. (UNESP) A figura mostra a representação de algumas

das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas

de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de

largura. Vamos admitir que:

I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área

iluminada na forma de uma elipse de excentricidade

0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo

da lâmpada, no meio da rua;

III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem

exatamente a largura da rua (calçadas e pista).

Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas

extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros,

entre dois postes consecutivos deverá ser de

aproximadamente:

Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111

a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15.

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para

produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1

000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no

processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1 000

unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no

processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a

quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de chocolates

produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de

lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo

processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas

em um dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de

horas trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.

57

48. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-se

trabalhar no máximo 9 horas por dia e no processo P2

pode-se trabalhar no máximo 24 horas por dia, a

representação no plano cartesiano do conjunto dos pontos

(x, y) que satisfazem, simultaneamente, às duas restrições

de número de horas possíveis de serem trabalhadas nos

processos P1 e P2, em um dia, é:

a)

b)

c)

d)

e)

49. (UNESP) Dado que o lucro na venda de uma unidade

do chocolate produzido pelo processo P1 é de R$ 0,50,

enquanto que o lucro na venda de uma unidade do

chocolate produzido pelo processo P2 é de R$ 0,80, e se

forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia

nos dois processos, no número máximo possíveis de horas,

o lucro obtido, em reais, será:

a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00.

d) 6.400,00. e) 11.200,00.

58

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no

qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de

vereadores. Observe que o quadriculado não representa os

quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos

pontos e retas no plano cartesiano.

Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos

equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida

Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada

pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de

vereadores.

50. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a

catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a

distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de

vereadores é de

a) 1500 m. b) 500 5 m.

c) 1000 2 m. d) 500 + 500 2 m.

51. (UNICAMP) O ponto de interseção das avenidas Brasil e

Juscelino Kubitschek pertence à região definida por

a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.

b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2.

c) x ]1, 3[, y ]4, 6[.

d) x = 2, y [5, 7].

52. (UNICAMP) A área do triângulo OAB esboçado na figura

abaixo é

a) 21

4 b)

23

4 c)

25

4 d)

27

4

53- (UNICAMP) No plano cartesiano, a reta de equação 2x –

3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas a) (4, 4/ 3). b) (3, 2). c) (4, – 4 /3). d) (3, –2). 54. (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0,

0), (b, 2b) e (5b, 0), com

b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do

quarto vértice são dadas por:

a) (- b, - b) b) (2b, - b) c) (4b, - 2b)

d) (3b, - 2b) e) (2b, - 2b)

55. (ITA) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente

angular 2a e tangencia a parábola y = x2 - 1 no ponto de

coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de

dois pontos de t tais que c > 0 e c = -2d, então a/b é igual a:

a) - 4/15 b) - 5/16 c) - 3/16 d) - 6/15 e) - 7/15

56. (ITA) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal que ε1:

9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0, considere uma elipse ε2, de

eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de ε1 e

cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de ε1.

Sabendo que ε2 está inteiramente contida no primeiro

quadrante, o centro de ε2 é:

a) (7, 3) b) (8, 2) c) (8, 3) d) (9, 3) e) (9, 2)

57- (ITA) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e p2: y

= x2 - 3x + 11

4 cujos vértices são denotados,

respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que

contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é:

a) 5

26 b)

7

26 c)

7

50d)

17

50 e)

11

74

58. (ITA) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma

corda AB da circunferência (x - 1)2 + y2 = 4, então a equação

da reta que contém A e B é dada por:

a) y = 2x - 3 b) y = x - 1

c) y = - x + 3 d) y = 3x/2 - 2

e) y = - (1/2)x + 2

59

59. (ITA) São dadas as retas (r ) x-y+1 + 2 =0 e

(s) x 3 +y-2+ 3 =0 e a circunferência (C )

X²+2y+y²=0. Sobre a posição relativa desses três elementos,

podemos concluir que:

a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C.

b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é

tangente à C.

c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente

à C.

d) r e s são concorrentes, s é tangente á C e r não é tangente

à C.

e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.

60. (ITA) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas,

respectivamente, pelas equações x + y = 3 e

x - y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante

com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A, B) = d(A, C) = 2 , então

a reta passando por B e C é dada pela equação

a) 2x + 3y = 1 b) y = 1 c) y = 2

d) x = 1 e) x = 2

61. (ITA) Considere os pontos A:(0, 0), B:(2, 0) e

C:(0, 3). Seja P:(x, y) o ponto de intersecção das bissetrizes

internas do triângulo ABC. Então x+y é igual a

a) 10+ 10.4 b) 32 c) 25 d) 5 e) 2

62. (ITA) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes

das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas

diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste

paralelogramo, em cm2, vale:

a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5

63. (ITA) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas

equações são, respectivamente,

5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1).

Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos

quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da

hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P ao

vértice da parábola T, é:

a) A elipse de equação

2

2

(x 3)1

4 (y 2)

3

b) A hipérbole de equação

2

2

(y 1)1

5 (x 3)

4

c) O par de retas dadas por y = ± (3x - 1)

d) A parábola de equação y2 = 4x + 4

e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio 120

64. (ITA) Considere o paralelogramo ABCD onde A=(0,0), B=(-

1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos distintos e o vértice D

deste paralelogramo são, respectivamente:

a) π/4, 3π/4 e D = (-2,-5)

b) π/3, 2π/3 e D = (-1,-5)

c) π/3, 2π/3 e D = (-2,-6)

d) π/4, 3π/4 e D = (-2,-6)

e) π/3, 2π/3 e D = (-2,-5)

65. (ITA) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 +

2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação

x2 + 4y2 - 4x + 8y + 4 = 0. Então:

a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.

b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.

c) C e E são tangentes exteriormente.

d) C e E são tangentes interiormente.

e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.

66. (ITA) Pelo ponto C:(4, -4) são traçadas duas retas que

tangenciam a parábola y=(x-4)2+2 nos pontos A e B. A

distância do ponto C à reta determinada por A e B é:

a)6 12 b) 12 c) 12 d) 8 e) 6

67. (ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de

superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A:(2, 1) e

B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o

eixo das abscissas, pode-se afirmar que suas coordenadas

são

a) (-1/2, 0) ou (5, 0). b) (-1/2, 0) ou (4, 0).

c) (-1/3, 0) ou (5, 0). d) (-1/3, 0) ou (4, 0).

e) (-1/5, 0) ou (3, 0).

68. (ITA) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta

3x - y = 37 e tangentes à circunferência

x2 + y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a origem e

d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a

a) 12 . b) 15 . c) 7 . d) 10 . e) 5 .

69. (ITA) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar geométrico dos

pontos P=(x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado

da distância de P a A e o dobro do quadrado da distância de P

à reta y=-r, é:

a) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r.

b) uma elipse centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo r e

2r.

c) uma parábola com vértice em (r, -r).

e) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo

r.

60

70. (ITA) O coeficiente angular da reta tangente à elipse

2 2x y1

16 9

no primeiro quadrante e que corta o eixo das

abscissas no ponto P = (8,0) é

a) 3

3 b)

1

2 c)

2

3 d)

3

4 e)

2

4

71. (ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas

retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2,

respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B ∈ r e C ∈ s

são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento

BC é perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual a

12×10-1, então a distância de B ao eixo das ordenadas vale

a) 8/5. b) 4/5. c) 2/5. d) 1/5. e) 1.

72. (ITA) Considere a família de circunferências com centros

no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma

destas circunferências corta o eixo Ox em dois pontos,

distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar geométrico dos

centros destas circunferências é parte:

a) de uma elipse.

b) de uma parábola.

c) de uma hipérbole.

d) de duas retas concorrentes.

e) da reta y = - x.

73. (ITA) A área do polígono, situado no primeiro quadrante,

que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto

{(x, y) IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a:

a)6 b) 5/2 c)2 d) 3 e) 10/3

74. (ITA) Uma circunferência passa pelos pontos

A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da

circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são

a) (0, 5) e 6. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5.

d) (4, 5) e 5. e) (4, 6) e 5.

75.(ITA) Assinale a opção que representa o lugar geométrico

dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação

a) Uma elipse. b) Uma parábola.

c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole.

e) Uma reta. 76. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse com

centro na origem e que passa pelos pontos (1,0) e (0,-2) são,

respectivamente,

a) 3 e 1

2. b)

1

2e 3 . c)

3

2 e

1

2.

d) 3 e3

2. e) 2 3 e

3

2.

77. (ITA) Sejam a reta s: 12x - 5y + 7 = 0 e a circunferência C:

x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular a s e é

secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada

pertence ao seguinte intervalo

a) (- 91/12, - 81/12) b) (-81/12, - 74/12)

c) (- 74/12, 30/12) d) (30/12, 74/12)

e) (75/12, 91/12)

78. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e

F2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A

área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a

a) 22 10 b) 18 10 c) 15 10

d) 12 10 e) 6 10

79. (ITA) Considere no plano cartesiano xy o triângulo

delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e

x = - 2y + 10. A área desse triângulo mede

a) 15/2. b) 13/4. c) 11/6. d) 9/4. e) 7/2.

80. (ITA) Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos do

plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas

alternativas a seguir, assinale a equação do lugar geométrico

dos pontos P : (x, y) cuja distância à reta que passa por A e B,

é igual à distância de P ao ponto C.

a) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a2 = 0

b) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0

c) x2 + y2 - 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0

d) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0

e) x2 + y2 + 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0

81. (ITA) Dada a cônica λ: x2 - y2 = 1, qual das retas abaixo é

perpendicular à λ no ponto

P = (2, 3 )?

a) y = 3 x - 1 b) y = 3

x2

c) y = 3

x 13

d) y = -3

x 75

e) y = -3

x 42

82. (ITA) Considere as circunferências

C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e

C2: (x – 10)2 + (y – 11)2 = 9. Seja r uma reta tangente interna

a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e intercepta o segmento

de reta 1 2O O definido pelos centros O1 de C1 e C2 de C2. Os

pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede

a) 5 3 . b) 4 5. c) 3 6. d) 25

.3

e) 9.

61

83. (ITA) Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos

A, B e C do plano xOy, sendo

B = (2,1) e C = (5,5). Das seguintes afirmações:

I. A se encontra sobre a reta y =3 11

x ,4 2

II. A esta na intersecção da reta y =3 45

x4 8

com a

circunferência (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25,

III. A pertence às circunferências (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25 e

2

27 75x y 3 ,

2 4

é (são) verdadeira(s) apenas

a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.

84. (ITA) Sejam m e n inteiros tais que m 2

n 3 é a equação

36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa uma circunferência

de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante.

Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy,

a área do triângulo ABC, em cm2, é igual a

a) 8 2

3 b)

4 2

3 c)

2 2

3 d)

2 2

9 e)

2

9

85.(ITA) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de

um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a

a) 5

3 b)

97

3 c)

109

3 d)

5

3 e)

10

3

86. (ITA) Sobre a parábola definida pela equação

2 2x 2xy y 2x 4y 1 0 pode-se afirmar que

a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.

d) a abscissa do vértice da parábola é x 1.

e) a abscissa do vértice da parábola é 2

x .3

87. (UEL) Considere, no plano cartesiano, o paralelogramo de

vértices (1, 1), (3, 3), (6, 1) e (8, 3). A maior diagonal desse

paralelogramo mede

a) 5 5 b) 71 c) 5 3 d) 53 e) 3 5

88. (UEL) São dados:

uma circunferência de centro C = (3/2,1);

um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.

A reta que contém T e é paralela à reta de equação y = x é

dada por

a) 3x - 2y +1 = 0 b) 3x - 3y - 1 = 0

c) 2x - 2y - 5 = 0 d) 3x - 3y - 5 = 0

e) 3x - y - 1 = 0

89. (UEL) São dados:

uma circunferência de centro C = (3/2,1);

um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.

A equação da circunferência dada é

a) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 3 = 0

b) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 4 = 0

c) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 2 = 0

d) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 4 = 0

e) x2 + y2 - 3/2x - y = 0

90. (UEL) Considere os pontos A(0,0) , B(2,3) e C(4,1). A

equação da reta paralela a AC conduzida pelo ponto B é:

a) x - 4y + 10 = 0 b) x + 4y -11 = 0

c) x - 4y -10 = 0 d) 2x + y - 7 = 0

e) 2x - y -1 = 0

91. (UEL) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1).

O comprimento da altura do triângulo ABC, relativa ao lado

BC , é

a) 2 b) 3 2

2 c) 2 2 d)

5 2

2 e) 5 2

92. (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A =

(- 2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

a) 4 b) 4 2 c) 8 d) 8 2 e) 16

93. (UEL) Seja P um ponto do eixo das ordenadas

pertencente à reta de equação 2x - 3y - 6 = 0. A equação da

circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abcissas

é

a) x2 + y2 = 4 b) x2 + y2 + 4x = 0

c) x2 + y2 +4y = 0 d) x2 + y2 - 4x = 0

e) x2 + y2 - 4y = 0

94 (UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),

B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da mediana

do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é:

a) y = 1 b) x = 1 c) x = y

d) x - y = 1 e) x + y = 1

95. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r,

de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de equação x2 +

y2 - 4x = 0.

O comprimento da corda AB é

a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 8

96. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r,

de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de equação x2 +

y2 - 4x = 0. A equação da reta paralela a r, conduzida pelo

centro de λ, é

a) x - y = 0 b) x - y - 2 = 0

c) x - y + 2 = 0 d) x + y - 2 = 0

e) x + y + 2 = 0

97. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r,

de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de equação x2 +

y2 - 4x = 0. Se A e B são tais que a abscissa de A é menor

que a de B, a equação da reta tangente a λ, traçada pelo

ponto B, é

a) y = - 2 b) x = - 2 c) y = 2x

d) x = 2 e) y = 2

98. (UEL) As retas de equações x - 2y + 1 = 0 e

62

-x - 2y - 1 = 0 são

a) concorrentes e não perpendiculares entre si.

b) paralelas e não coincidentes.

c) perpendiculares entre si.

d) coincidentes.

e) ortogonais.

99. (UEL) Na figura a seguir têm-se a reta r, bissetriz do

primeiro e terceiro quadrantes, e as circunferências C1 e C2,

de mesmo raio, tangentes entre si e com centros sobre r. Se a

equação de C1 é x2+y2=9, então o centro de C2 é o ponto

a) (1; 2 ) b) (3; 3) c) (3 2 ; 3 2 )

d) (3; 6) e) (6; 6)

100. (UEL) A reta r intercepta o eixo das ordenadas em

y = 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de p é y =

3x2 - 6x + 8, então r intercepta o eixo das abcissas no ponto

a) (3/4; 0) b) (2/5; 0) c) (0; 0)

d) (-1/2; 0) e) (-2/3; 0)

101. (UEL) A trajetória de um móvel no plano cartesiano pode

ser descrita, em função do tempo t, pelas equações

x 2 t

y 3t

Essa trajetória determina uma reta

a) que contém os pontos (3; 9) e (-2; 6).

b) paralela à reta de equação 6x - 2y - 1 = 0.

c) perpendicular à reta de equação 3x - y + 1 = 0.

d) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3).

e) perpendicular à reta de equação 5x - y = 0.

102. (UEL) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos

que distam 2 unidades da reta de equação x - y - 3 = 0. Esses

pontos pertencem todos

a) às retas de equações -x + y + 5 = 0 ou

-x + y + 1 = 0.

b) ao 10. ou 40. quadrantes.

d) à circunferência de equação x2 + y2 - 9 = 0.

e) às retas de equações -x - y - 3/2 = 0 ou -x - y + 3/2 = 0.

103. (UEL) Uma circunferência de raio 2 tem centro na

origem do sistema cartesiano de coordenadas ortogonais.

Assim, é correto afirmar:

a) Um dos pontos em que a circunferência intercepta o eixo x

é (0, 1).

b) A reta de equação y = -2 é tangente à circunferência.

c) A equação da circunferência é x2 + y2 + 4 = 0.

d) A reta de equação y = x + 2 não intercepta a circunferência.

e) O ponto (2, 2) está no interior da circunferência.

104. (UEL) No gráfico a seguir, os pontos

A(-1, -1) e B(3, -1) são vértices do quadrado ABCD. A respeito

da reta de equação y = x, é correto afirmar:

a) Contém o vértice D.

b) Contém o lado BC.

c) É paralela ao eixo x.

d) Contém o centro do quadrado.

e) É perpendicular à reta 2x - 2y + 1 = 0.

DESENHO PARA AS PRÓXIMAS 3 QUESTÕES

105. (UEL) A equação da reta perpendicular a r, traçada pelo

ponto A, é

a) x + y - 2 = 0 b) x + y + 2 = 0

c) x + y + 3 = 0 d) x - y + 3 = 0

e) x - y - 3 = 0

106. (UEL) A distância do centro C da circunferência λ à reta r

é

a) ( 2)

2 b) 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 4 2

107 (UEL) A equação da circunferência de centro em A e raio

AB é

a) x2 + y2 - 6y + 8 = 0 b) x2 + y2 - 6x + 8 = 0

c) x2 + y2 - 6y + 1 = 0 d) x2 + y2 - 6x + 1 = 0

e) x2 + y2 - 6y - 1 = 0

63

108. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região

retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para

construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este

deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região

retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos

pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a

distância entre os aspersores?

a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m

109. (UEL) Na decoração de uma pré-escola são usadas

placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas

é formada por uma figura que pode ser definida por x2 + y 2 -

8x - 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy,

onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada

usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x

no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como

referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e

a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai

fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata de tinta

para pintar 3m2 de placa, serão necessárias, no mínimo,

quantas latas de tinta vermelha?

a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48

110. (UEL) Existem pessoas que nascem com problemas de

saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena

Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para

solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em

um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m

de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que

aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras

vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma

corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão

12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na

coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela

possa deslizar livremente por toda a extensão da corda.

Observe a figura e responda a questão a seguir.

Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra

possa pastar na maior área possível, dentro do campo

retangular?

a) 10 m. b) 15 m. c) 20 m. d) 25 m. e) 30 m.

111. (UEL) Seja a parábola de equação

y = 3x2 + 4. As equações das retas tangentes ao gráfico da

parábola que passam pelo ponto

P = (0, 1) são:

a) y = 5x +1 e y = - 5x + 1

b) y = 6x +1 e y = - 6x + 1

c) y = (3x/2) +1 e y = - (3x/2) + 1

d) y = (5x/4) +1 e y = - (5x/4) + 1

e) y = 5x - 1 e y = - 5x -1

112. (UEL) Considere a reta r de equação

y - 2x - 2 = 0. Com relação à representação geométrica da reta

r no plano cartesiano, pode-se afirmar:

I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eixos

coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada.

II. A circunferência de equação x2 + y2 = 2 contém todo o

triângulo formado pela reta r e pelos eixos coordenados.

III. A circunferência de equação x2 + y2 + 2x - 4y = 0

tangencia a reta r.

IV. A reta r é perpendicular à reta 2y + x + 10 = 0.

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:

a) I e II b) I e III c) I e IV

d) II e III e) II, III e IV

113. (UEL) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de

equação y = x2 são dados por:

a) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/4); Reta diretriz

y = -1/4

b) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/2); Reta diretriz

y = -1/2

c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz y = -1

d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, -1); Reta diretriz y = 1

e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz y = -2

114. (UEL) Os pontos A = (6, 2), B = (-2, 6) e

C = (2, 6) são representados no plano cartesiano no qual O é

a origem. Considere as afirmativas a seguir:

I. Os segmentos de reta OA e OB são perpendiculares.

II. O cosseno do ângulo entre os segmentos de reta OB e OC

é 1

5.

III. O ponto médio do segmento de reta AB é (4, -2).

IV. O ponto P = (3 - 3 , 1 + 3 3 ) é equidistante dos pontos

O e A.

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:

a) I e II b) II e III c) I e IV d) III e IV e) II, III e IV

115. (UEL) Considere os pontos distintos A, B, C e D do

plano cartesiano. Sabendo que A = (2, 3), B = (5, 7) e os

pontos C e D pertencem ao eixo y de modo que as áreas dos

triângulos ∆ABC e ∆ABD sejam iguais a (47/2) u2, onde u é a

unidade de medida usada no sistema. A distância d entre os

pontos C e D é:

a) d = (2/3) u. b) d = 30 u.

c) d = (94/3) u. d) d = - 10 u.

e) d = (47/5) u.

64

116. (UEL) Dois dos pontos A = (2,-1), B = (2,-3),

C = (1,4), D = (4,-3) estão numa das bissetrizes das retas 3y -

4x - 3 = 0 e 4y - 3x - 4 = 0.

Nessas condições, a equação dessa bissetriz é:

a) y + x - 1 = 0 b) y + 7x - 11 = 0

c) y - x - 1 = 0 d) x = 2

e) y + x - 5 = 0

117. (UEL) Considere o círculo x2 + y2 - r2 = 0 de raio r e a

hipérbole x2 - y2 = 1.

Nesse caso, pode-se afirmar que:

a) Se r < 1, então as curvas se intersectam em quatro pontos.

b) Se r = 1, então as curvas tem quatro pontos em comum.

c) Se r = 1, as curvas se intersectam em (0,1) e

(0,-1)

d) Se r = 17 , então as curvas se intersectam apenas nos

pontos (3, 2 2 ) e (-3, -2 2 )

e) Se r > 17 , então as curvas se intersectam em quatro

pontos.

118. (MACK) Num triângulo ABC são conhecidos o vértice A

= (3, 5) e as retas y - 1 = 0 e x + y - 4 = 0, suportes de duas

medianas do triângulo. A reta que passa pelos vértices B e C

tem equação:

a) 2x + 3y - 2 = 0. b) 3x + y - 1 = 0.

c) x + 2y - 1 = 0. d) 2x + y - 1 = 0.

e) x + 3y - 1 = 0.

119. (MACK) A curva x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 tem um único

ponto comum com a reta x + y = k,

k IR. A soma dos possíveis valores de k é:

a) 4. b) -2 c) -4. d) 2. e) 0.

120. (MACK) Na figura a seguir, cotg α = 4, tg β = 2

3e M (2,

3) é o ponto médio de AB .

Então o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A

e B é:

a) - 1. b) - 2. c) - 3

5. d) -

4

5. e) -

5

2.

121. (MACK) Um segmento de reta de comprimento 8

movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P e Q

apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre os pontos

do lugar geométrico descrito pelo ponto médio de PQ, o de

maior ordenada possui abscissa:

a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2.

122.(PUC) Num plano cartesiano ortogonal, seja o triângulo

ABC, em que A, B e C são as interseções das retas de equações: y=-1,5x+1, y=1,5x+1 e y=2 Considerando que a unidade das medidas nos eixos coordenados é o metro e π = 3,14, então a rotação do triângulo ABC em torno do eixo das ordenadas gera um recipiente cuja capacidade, em litros, é um número A) menor que 15000. B) compreendido entre 15000 e 18000. C) compreendido entre 18000 e 21000. D) compreendido entre 21000 e 24000.

E) maior que 24000

123. (MACK) Se P(x,y) é o ponto de maior ordenada do plano

tal que x2+y2=x, então x+y vale:

a) -1 b) -1/2 c) 0 d) 1/2 e) 1

124. (MACK) Na figura a seguir, as retas r e s são dadas

pelos pontos (x,y) do plano tais que 2 24x 4xy y = 2.

A equação da reta t é:

a) 2x - 2y + 1 = 0 b) 2x - y + 3 = 0

c) 2x - y + 2 = 0 d) x - 2y + 2 = 0

e) x - 2y + 3 = 0

125. (MACK) As retas (3k - 1)x - (2 - k)y - k = 0 e

x + (k + 1)y + (k + 2) = 0, onde k é um número real, são

suportes das diagonais de um quadrado. Deste modo, a soma

dos possíveis valores de k é:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

126. (MACK) Supondo π = 3, então os pontos (x, y) do plano

tais que x2 + y2 - 16 ≤ 0, com x + y ≥ 4, definem uma região

de área:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

127. (MACK) Os pontos P(x, y) do plano tais que

y2 + xy - 2x2 ≥ 0, onde │ y │ ≤ 3, definem uma região de área:

a) 27/2 b) 18 c) 9/2 d) 27 e) 13/2

128. (MACK) A reta que passa pelo centro da circunferência

x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0 e é paralela à bissetriz dos

quadrantes pares tem equação:

a) x + y + 5 = 0 b) x + y - 5 =0

c) 5x + 5y + 1 = 0 d) x + y - 1 = 0

e) x + y + 1 = 0

65

129. (MACK) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas e

a reta s é tangente à parábola de vértice (0, -2). Então a

distância d entre r e s é:

a) 7 5

5 b)

8 5

5 c)

9 5

5

d) 11 5

5 e)

12 5

5

130. (MACK) Uma circunferência de centro C (a, b) passa

pelos pontos M (0, 0), N (4, 0) e P (k, k), M ≠ P. Então a + b

vale:

a) k b) k/2 c) 3k/2 d) 2k e) 3k

131. (MACK) A reta de menor coeficiente angular, que passa

por um dos focos da elipse 5x2 + 4y2 = 20 e pelo centro da

circunferência x2 + y2 - 4x - 6y = 3, tem equação:

a) 3x - y - 3 = 0 b) 2x - y - 1 = 0

c) x - 3y - 7 = 0 d) x - 2y - 4 = 0

e) x - y + 1 = 0

132. (MACK) Na figura, a área do triângulo assinalado é 6.

Então a distância entre as retas paralelas r e s é:

a) 2 b) 3

2 c)

6

5 d)

7

5 e)

8

5

133. (MACK) A circunferência que passa pelos pontos (1, -3)

e (1, 5), cujo centro pertence à reta 2x - 3y - 6 = 0, possui raio

no intervalo:

a) [ 2, 3 [ b) [ 3, 4 [ c) [ 4, 5 [

d) [ 5, 6 [ e) [ 6, 7 ]

134. (MACK) Na figura a seguir, as retas t e s são paralelas e

a circunferência tem equação x2 + y2 - 8x - 8y + 28 = 0. Deste

modo, a área do triângulo que a reta tangente s define com os

eixos é igual a:

a) 2 b) 4 c) 3

2 d)

4

3 e)

1

2

135. (MACK) Dada a função real definida por f(x) =

2(4 x ) de [-2,2] em [0,2]. Considere uma reta t tangente

ao gráfico de f(x) e paralela à reta y = x + 509. Se (x, y) é o

ponto de tangência, então x + y vale:

a) 0 b) 2 c) 2 2 d) 2 e) -2 2

136. (MACK) Uma reta passa pelos pontos A(2, 1) e

B(K + 2, K - 1), encontrando o eixo das abscissas num ponto

P(m, o), com m > 2. Assinale, dentre as alternativas abaixo,

um possível valor de K.

a) - 5/4 b) 5/4 c) 9/4 d) 11/4 e) - 9/4

137. (MACK) A circunferência da figura, tangente ao eixo e à

reta r, tem equação

x2 + y2 - 3x - 2ky + k2 = 0. Se α = arctg3

4, então k vale:

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 5,0 e) 6,0

66

138. (MACK)

Na figura, a distância entre as retas paralelas r e s é 2 e o

triângulo OAB é isósceles. Um ponto de s é:

a) (17, -15) b) (-8, 6) c) (7, -3) d) (-9, 5) e) (3, 1)

139. (MACK) Os gráficos de y = x - 1 e y = 2 definem com os

eixos uma região de área:

a) 6 b) 5/2 c) 4 d) 3 e) 7/2

140. (MACK) A reta x

k+

y

k 1= 1, k > 0, forma, no primeiro

quadrante, um triângulo de área 6 com os eixos coordenados.

O perímetro desse triângulo é:

a) 12 b) 18 c) 14 d) 10 2 e) 12 2

141. (MACK) Considere os triângulos, nos quais um dos

vértices é sempre o ponto (0, 2) e os outros dois pertencem à

reta r, como mostra a figura. Para x = 1, 2, 3, ..., n, a soma das

áreas dos n triângulos é:

a)

2n

2. b) 3n. c ) 6n. d)

n 3

2. e)

n n 1

2

.

142. (PUC) Os pontos A = (-1; 1), B = (2; -1) e

C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:

a) x + 5y + 3 = 0. b) x - 2y - 4 = 0.

c) x - 5y - 7 = 0. d) x + 2y - 3 = 0.

e) x - 3y - 5 = 0.

143. (PUC) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os eixos

coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os extremos

de um diâmetro da circunferência λ. A equação

correspondente a λ é

a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0

b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0

c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0

d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0

e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0

144. (PUC) Considere a parábola de equação

y = -x2 + 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da

parábola e tem uma inclinação de 135°, então a equação de r

é

a) x + y + 2 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0

d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0

145. (PUC) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da

função f, de IR em IR, definida por f(x) = cosx

2

, no qual

estão destacados os pontos A e B.

Os pontos A e B pertencem à reta de equação

a) x - 3πy - π = 0 b) x + 3πy - π = 0

c) x - 3πy + π = 0 d) 2x + 3πy - π = 0

e) 2x - 3πy - π = 0

146. (PUC) As equações das retas suportes dos lados de um

triângulo são: x + 3y - 3 = 0,

x - 3y - 3 = 0 e x = -1. Esse triângulo é

a) escaleno.

b) equilátero.

c) isósceles e não retângulo.

d) retângulo e não isósceles.

e) retângulo e isósceles.

147. (PUC) Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de um

quadrado tais que A = (1; 3) e B e D pertencem à reta de

equação x - y - 4 = 0. A área desse quadrado, em unidades de

superfície, é igual a

a) 36 2 b) 36 c) 32 2 d) 32 e) 24 2

67

148. (PUC) Seja x2 + y2 + 4x = 0 a equação da circunferência

de centro Q representada a seguir

Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixo das

abcissas e o vértice N pertence à circunferência, o ponto N é

dado por

a) ( 2 - 2; 2 ) b) (- 2 + 2; 2 )

c) ( 2 - 2; 2) d) (- 2 - 2; 2 - 2 )

e) (- 2 ; 2 - 2 )

149. (PUC) Sejam x + 2y - 1 = 0 e 2x - y + 3 = 0 as equações

das retas suportes das diagonais de um quadrado que tem um

dos vértices no ponto

(- 5; 3). A equação da circunferência inscrita nesse quadrado

é

a) x2 + y2 + 2x - 2y - 8 = 0

b) x2 + y2 + 2x + 2y - 8 = 0

c) x2 + y2 - 2x - 2y - 8 = 0

d) x2 + y2 + 4x - 2y - 10 = 0

e) x2 + y2 - 4x + 2y - 10 = 0

150. (Epcar (Afa) 2016) Considere os pontos A (4 , 2),

B (2 , 0) e todos os pontos P (x , y), sendo x e y números

reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo.

É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P (x , y)

são tais que

a) são equidistantes de C (2 , 1)

b) o maior valor de x é 3 2

c) o menor valor de y é 3

d) x pode ser nulo. 151. (Espcex (Aman) 2016) Considere as afirmações:

I. Uma elipse tem como focos os pontos 1F ( 3, 0), 2F (3, 0) e

a medida do eixo maior é 8. Sua equação é

2 2x y1.

16 7

II. Os focos de uma hipérbole são 1F ( 10, 0), 2F (10, 0) e

sua excentricidade é 5

.3

Sua equação é 2 216x 9y 576.

III. A parábola 28x y 6y 9 tem como vértice o ponto

V(3, 0).

Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmações são falsas. b) Apenas as afirmações I e III são falsas.

c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 152. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de coordenadas

x0y (x e y em metros), o triângulo PQR tem ângulo reto

no vértice R (3, 5), base PQ paralela ao eixo x e está

inscrito no círculo de centro C(1,1). A área desse triângulo,

em metros quadrados, é igual a

a) 40. b) 8 20. c) 4 20. d) 80.

153. (Uece 2015) Em um sistema de coordenadas cartesiano

usual os pontos P (1, 2) e Q (4, 6) são vértices do

triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela ao

segmento PQ que contém o ponto (8, 6), então a medida da

área do triângulo PQM é

a) 7 u.a. b) 8 u.a. c) 9 u.a. d) 10 u.a.

154. (Fuvest 2015) A equação 2 2x 2x y my n, em

que m e n são constantes, representa uma circunferência no

plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o

centro da circunferência e a intersecta no ponto ( 3, 4). Os

valores de m e n são, respectivamente,

a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e 2

d) 2 e 4 e) 2 e 3

155. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual

com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta y 2x 1

intercepta os semieixos positivos OX e OY,

respectivamente, nos pontos P e Q formando o triângulo

POQ. Se a medida da área deste triângulo é igual a 29 m ,

então a distância entre os pontos P e Q é igual a

a) 5 m. b) 3 5 m. c) 4 5 m. d) 2 5 m.

156. (Espcex (Aman) 2015) O ponto simétrico do ponto (1,5)

em relação à reta de equação 2x 3y 4 0 é o ponto

a) 3, 1 . b) 1, 2 . c) 4,4 . d) 3,8 . e) 3,2 .

157. (Ita 2015) Considere os pontos A (0, 1), B (0,5) e

a reta r : 2x 3y 6 0. Das afirmações a seguir:

I. d(A,r) d(B,r).

II. B é simétrico de A em relação à reta r.

III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice

C ( 3 3,2) ou C (3 3,2).

É (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III.

68

158. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual, a

medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as

interseções de cada uma das retas x y 1 0 e

x y 1 0 com a circunferência 2 2x y 25, calculada

com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no

referencial cartesiano considerado, é

a) 216(u.c) . b)

214(u.c) . c) 218(u.c) . d)

220(u.c) .

159. (Pucrj 2015) Sejam r e s as retas de equações

y x 2 e x 5

y ,2 2

respectivamente, representadas no

gráfico abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s.

Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo

horizontal, respectivamente.

A área do triângulo ABC vale:

a) 1,0 b) 1,5 c) 3,0 d) 4,5 e) 6,0

160. (Fgv 2015) Observe as coordenadas cartesianas de

cinco pontos:

A(0,100), B(0, 100), C(10,100),

D(10, 100), E(100,0).

Se a reta de equação reduzida y mx n é tal que mn 0,

então, dos cinco pontos dados anteriormente, o único que certamente não pertence ao gráfico dessa reta é

a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.

161. (Unicamp 2015) No plano cartesiano, a equação

x y x y representa

a) um ponto. b) uma reta. c) um par de retas paralelas. d) um par de retas concorrentes.

162. (Ita 2015) Dados o ponto 25

A 4,6

e a reta

r : 3x 4y 12 0, considere o triângulo de vértices ABC,

cuja base BC está contida em r e a medida dos lados AB e

AC é igual a 25

.6

Então, a área e o perímetro desse

triângulo são, respectivamente, iguais a

a) 22

3 e

40.

3 b)

23

3 e

40.

3 c)

25

3 e

31.

3

d) 25

3 e

35.

3 e)

25

3 e

40.

3

163. (Udesc 2015) Seja f a função que representa a área do

triângulo ABC, representado na figura.

A expressão da função f(x), para 0 x 4, é:

a) 23

f(x) x 6x 124

b) f(x) 3x 12

c) 3 2f(x) x 3x x 12 d)

3 2f(x) x 5x 4x 12

e) 2f(x) x 8x 16

164. (Ita 2015) Considere uma circunferência C, no primeiro

quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x y 0.

Sabendo-se que a potência do ponto O (0,0) em relação a

essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C

são, respectivamente, iguais a

a) (2, 2 2 2) e 2 2 2.

b) 2 1

2,2 2

e

2 1.

2 2

c) (2, 2 1) e 2 1.

d) (2, 2 2) e 2 2.

e) (2, 4 2 4) e 4 2 4.

165. (Upf 2015) Sabendo que o ponto P(4,1) é o ponto

médio de uma corda AB da circunferência 2 2x 6x y 4 0, então a equação da reta que passa por

A e B é dada por:

a) y x 5 b) y x 5 c) y x 3

d) y x 3 e) 1

y x 52

69

166. (Ueg 2015) Observe a figura a seguir.

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é

a) 2 2x y 4x 4y 18 0

b) 2 2x y 4x 4y 14 0

c) 2 2x y 8x 8y 14 0

d) 2 2x y 8x 8y 18 0

167. (Upe 2015) No sistema cartesiano, sendo a

circunferência C de equação 2 2x y 6x 2y 6. Qual

a equação da circunferência C ' simétrica de C em relação à

origem do sistema?

a) 2 2x y 6x 2y 4 b)

2 2x y 6x 2y 4

c) 2 2x y 6x 2y 4 d)

2 2x y 6x 2y 6

e) 2 2x y 6x 2y 6

168. (Uece 2015) A interseção das curvas representadas no

plano, com o sistema cartesiano ortogonal usual, pelas

equações 2 2x y 1 e | x | | y | 2 é um conjunto

a) vazio. b) unitário (um ponto). c) com dois elementos (dois pontos). d) com quatro elementos (quatro pontos). 169. (Epcar (Afa) 2016) Analise as proporções abaixo e escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

I. ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola

2y 4x 4 0 é igual a 1 unidade de comprimento.

II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si.

III. ( ) A equação 2 22x y 4x 4y 4 0 representa

uma elipse que tem um dos focos no ponto P (1, 4)

A sequência correta é a) F - F - V b) V - F - V c) F - V - F d) V - V - F

170. (Espcex (Aman) 2016) Considere a circunferência que

passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de

coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos

(0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro

dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa

circunferência, que passa pelo ponto (3, 2), tem por

equação

a) 3x 2y 13 0 b) 2x 3y 12 0

c) 2x y 8 0 d) x 5y 13 0

e) 8x 3y 18 0

171. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação

cartesiana 2 2x y ax by, onde a e b são números

reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

172.(Fuvest 2016) no plano cartesiano, um círculo de centro P=(a,b) tangencia as retas de equações y=x, x=0. Se P pertence à parábola de equação y=x² e a>0, a ordenada b do ponto P é igual a

a) 2+ 22 b) 3+ 22 c) 4+ 22

d) 5+ 22 e) 6+ 22

173. (Uerj 2017) Considere o gráfico a seguir, em que a

área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r,

que passa por A(0, 4) e B(2, 0), e pela reta

perpendicular ao eixo x no ponto oP(x ,0), sendo

o0 x 2.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo

de vértices C(0, 0), A e B, o valor de ox deve ser

igual a:

a) 2 2 b) 3 2 c) 4 2 d) 5 2 174. (Eear 2017) Seja ABC um triângulo tal que

A(1,1), B(3, 1) e C(5, 3). O ponto _____ é o baricentro

desse triângulo. a) (2,1). b) (3, 3). c) (1, 3). d) (3,1).

70

175. (Eear 2017) O triângulo ABC formado pelos

pontos A (7, 3), B ( 4, 3) e C ( 4, 2) é

a) escaleno b) isósceles c) equiângulo d) obtusângulo 176. (Espcex (Aman) 2017) Considere a reta t

mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta

s : 2x 3y 12 0 intercepta os eixos coordenados.

Então, a distância do ponto M(1,1) à reta t é

a) 13 3

11 b)

10 13

13 c)

13 11

13

d) 3 11

13 e)

3 3

11

177. (Pucsp 2017) A circunferência

2 2x y 4x 10y 13 0,λ de centro C, e a reta

r : x y 11 0 se interceptam nos pontos P e Q. A

área do triângulo PCQ, em unidades de área, é

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 178. (Eear 2017) As posições dos pontos A (1, 7) e

B (7,1) em relação à circunferência de equação

2 2(x 6) (y 2) 16 são, respectivamente,

a) interna e interna. b) interna e externa. c) externa e interna. d) externa e externa. 179. (Unicamp 2017) Considere a circunferência de

equação cartesiana 2 2x y x y. Qual das equações

a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais? a) x y 1. b) x y 1.

c) x y 1. d) x y 1.

180. (Espcex (Aman) 2017) Seja C a circunferência de

equação 2 2x y 2x 4y 2 0. Considere em C a

corda MN cujo ponto médio é P( 1, 1). O

comprimento de MN (em unidade de comprimento) é igual a

a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 2 3 e) 2 181. (Fuvest 2017) Duas circunferências com raios 1 e

2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em

dois pontos distintos de coordenadas 1 1(x , y ) e

2 2(x , y ).

O valor de 2 21 1 2 2(x y ) (x y ) é igual a

a) 5

2 b)

7

2 c)

9

2 d)

11

2 e)

13

2

182. (Epcar (Afa) 2017) Seja

2 2: 3x 3y 6x 12y k 0,λ uma circunferência que

no plano cartesiano tem intersecção vazia com os eixos coordenados.

Considerando k , é correto afirmar que

a) k k

P ,3 3

é interior a .λ

b) existem apenas dois valores inteiros para k. c) a reta r : x k intersecta .λ d) se c é o comprimento de ,λ então c 2π unidades

de comprimento. 183. (Efomm 2017) Sejam as circunferências

2 21c : x y 16 0 e 2 2

2c : (x 2) (y 2) 4.

Considere A e B os pontos de intersecção dessas

circunferências. Determine a distância entre A e B.

a) 2 7 b) 14 c) 2 14 d) 7 e) 7

2

184. (Espcex (Aman) 2017) Os valores reais de n para

os quais a reta (t) y x n seja tangente à elipse de

equação 2 22x 3y 6 são iguais a

a) 5 e 5 b) 3 e 3 c) 3 e 3 d) 2 e 2 e) 5 e 5 GABARITO

1) B 2)A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 10)E 11)C 12)E 13)D 14)A 15)E 16)D 17)D 18)E 19)B 20)B 21)B 22)B 23)D 24)B 25)E 26)C 27)D 28)D 29)A 30)A 31)C 32)D 33)A 34)E 35)C 36)E 37)D 38)B 39)D 40)C 41)B 42)B 43)A 44)C 45)E 46)B 47)B 48)E 49)A 50) B 51) B 52)C 53)D 54) C 55)A 56)D 57)E 58)C 59)E 60)D 61)A 62)E 63)E 64)D 65)C 66)C 67)C 68)E 69)E 70)D 71)B 72)C 73)B 74)D 75)C 76)E 77)C 78)D 79)A 80)A 81)E 82)A 83)E 84)D 85)B 86)B 87)D 88)C 89)A 90)A 91)D 92)A 93)C 94)A 95)B 96)D 97)A 98)A 99) C 100)E 101)B 102)C 103)B 104)D 105)D 106)B 107)C 108)E 109)C 110)C 111)B 112)C 113)A 114)C 115)C 116)A 117)E 118)C 119)A 120)A 121)C 122)A 123)E 124)C 125)A 126)B 127)A 128)A 129)C 130)A 131)E 132)C 133)D 134)C 135)A 136)B 137)A 138)A 139)C 140)A 141)B 142)C 143)B 144)A 145)A 146)C 147)B 148)A 149)A 150)B 151)C 152)C 153)B 154)A 155)B 156)A 157)D 158)B 159)B 160)E 161)D 162)E 163)A 164)A 165)A 166)C 167)D 168)C 169)D 170)A 171)C 172)B 173)A 174)D 175)A 176)B 177)C 178)C 179)C 180)C 181)C 182)B 183 )B 184)A