Post on 05-Oct-2020
Piastre assial-simmetriche
Leone Corradi II vol. pag 158
Consideriamo il caso di lastrecircolari in condizioni di simmetriapolare, il cui comportamento sidescrive con il sistema di coordinatecilindriche (0; r, θθθθ, z)
z uscente dal piano
La piastra sia di spessore costante
vincolata in modo assial-simmetrico
caricata da carichi verticali normali al
piano medio e distribuiti con
simmetria radiale
Piastre assialsimmetriche
In queste condizioni di assial-simmetria di geometria, vincoli e carichi
possiamo dire che in ogni sezione diametrale sono nulle le tensioni
tangenziali ττττθθθθze ττττθθθθr mentre possono essere diverse da zero le σσσσθθθθ , σσσσr e
le ττττzr
∂σσ
r
Le componenti di spostamento diverse da zero sono ur e w
drr
rr ∂
∂+ σσ
θσ
θσ
rσ
zrτ
drrzr
zr ∂∂+ ττ
ϑd
Cinematica
IL campo di spostamento diviene
)(),(
)()(),(
rwzrw
rzruzru rr
0
0
====−−−−==== ϕϕϕϕ
IL campo di deformazione diviene
ϕϕϕϕγγγγ
ϕϕϕϕεεεε
ϕϕϕϕεεεε
θθθθ
−−−−====
−−−−====
−−−−====
drrdw
zr
rr
zr
ruzr
drrd
zdr
rduzr
rz
r
rr
)(),(
)()(),(
)()(),(
0
0
Cinematica: caso flessionale puro
IL campo di spostamento diviene
)(),(
)(),(
rwzrw
rzzrur
0====−−−−==== ϕϕϕϕ
IL campo di deformazione diviene
ϕϕϕϕγγγγ
ϕϕϕϕεεεε
ϕϕϕϕεεεε
θθθθ
−−−−====
−−−−====
−−−−====
drrdw
zr
rr
zzr
drrd
zzr
rz
r
)(),(
)(),(
)(),(
Piastre sottili
zrr
zzr
zdr
wdzzr rr
====−−−−====
====−−−−====
χχχχϕϕϕϕεεεε
χχχχεεεε
θθθθθθθθ
2
2
)(),(
),(
Ipotesi di scorrimento nullo
IL campo di deformazione diviene
drdw
zr
zr
zzr
rz ====⇒≈≈≈≈
====−−−−====
ϕϕϕϕγγγγ
χχχχεεεε θθθθθθθθ
0),(
),(
Dove si è posto
drdw
rrr
drd
drwd
r
1
2
2
−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−====
)(ϕϕϕϕχχχχ
ϕϕϕϕχχχχ
θθθθ
Piastre assialsimmetriche
Nel caso di materiale iperelastico lineare isotropo
(((( ))))
(((( ))))
++++−−−−
−−−−====++++−−−−
====
++++−−−−
−−−−====++++−−−−
====
)(
)(
rdrdEzE
rdrdEzE
r
rr
ϕϕϕϕϕϕϕϕυυυυυυυυ
εεεευευευευευυυυ
σσσσ
ϕϕϕϕννννϕϕϕϕυυυυ
υευευευεεεεευυυυ
σσσσ
θθθθθθθθ
θθθθ
22
22
11
11
Integrando sullo spessore si definiscono i momenti
generalizzati
++++====++++−−−−====∫====
++++====++++−−−−====∫====
−−−−
−−−−
)()(
)()(
/
/
/
/
r
h
h
r
h
hrr
Drdr
dDdzzm
Drdr
dDdzzm
νχνχνχνχχχχχϕϕϕϕϕϕϕϕυυυυσσσσ
νχνχνχνχχχχχϕϕϕϕννννϕϕϕϕσσσσ
θθθθθθθθθθθθ
θθθθ
2
2
2
2
Piastre assial-simmetriche
L’equazione costitutiva in termini di variabili generalizzate
si scrive in forma compatta come
−−−−====
====
dr
d
DDm
m rr
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
υυυυυυυυ
χχχχχχχχ
υυυυυυυυ
θθθθθθθθ 1
1
1
1
rm υυυυχχχχυυυυ θθθθθθθθ 11
)( 2
3
112 υυυυ−−−−==== Eh
D
Equazioni di equilibrio
r
mr +dmr
mr
mθ
mθ+dmθ tr +dtr
tr
θdθ
z,w
mθ+dmθ tr +dtr
Equilibrio alla rotazione nel piano (r, z)
tr
dr
r
z
mr +dmrmr
tr +dtr
mθdθ
Piastre assialsimmetriche
Belluzzi vol 3 pag 82
Equazioni di equilibrio
Equilibrio alla rotazione nel piano (r, z)
tr
dr
r
z
mr +dmrmr
tr +dtr
mθdθ
Equilibrio alla rotazione nel piano (r, z)
0====++++−−−−++++ rtmrdr
dmdm r
rr θθθθθθθθ
Piastre assial-simmetriche
L’equazione della superficie elastica si ottiene
sostituendo nell’equazione di equilibrio il
legame costitutivo in termini delle variabili
generalizzate
tdd ====−−−−++++2 1 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
Dt
rdrd
rdrd r====−−−−++++
22
1 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
si può scrivere l’espressione di tr per ogni condizine di carico
simmetrico . Tuttavia discutiamo il caso in cui si ha un carico
uniforme q per unità di superficie della piastra ed un carico
concentrato P al centro
Nella sezione cilindrica generica di raggio r il taglio totale
tr2ππππr deve fare equilibrio al carico
Piastre assial-simmetriche
Prq ++++2ππππ
rPqr
t
rtPrq
r
r
ππππ
ππππππππ
22
22
++++====
====++++q
P
tr
Piastre assial-simmetriche
Sostituendo l’espressione trovata di tr nella equazione della
superficie elastica si ottiene
++++−−−−====
rPqr
Ddrrd
rdrd
ππππϕϕϕϕ
2211 )(
Il cui integrale generale si scrive
(((( )))) )ln(Pr
128162
3
21 −−−−−−−−−−−−++++==== rDD
qrrcrc
rππππ
ϕϕϕϕ
Piastre assial-simmetriche
Nel caso di piastre sottili
drdw
rrr
drd
drwd
r
1
2
2
−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−====
)(ϕϕϕϕχχχχ
ϕϕϕϕχχχχ
θθθθ
Sostituendo tali espressioni nella equazione della superficie
elastica elastica e derivando rispetto ad si ottiene la foprma
seguente della superficie elastica
Dq
drdw
rdrwd
rdrwd
rdrwd ====++++−−−−++++
32
2
23
3
4
4 112
Piastre assial-simmetriche
Nel caso di piastre sottili
Dq
drdw
rdrwd
rdrwd
rdrwd ====++++−−−−++++
32
2
23
3
4
4 112
Ammette il seguente integraleAmmette il seguente integrale
)(lnPr
ln)( 18644
24
32
2
1 −−−−++++++++++++++++==== rDD
qrcrc
rcrw
ππππ
Le costanti c1,c2,c3 vengono determinate scrivendo le
condizioni al bordo esterno ed una condizione per r=0
Caso della flessione uniforme
Si definisce stato di curvatura o di
flessione uniforme una deformata
per cui le curvature sono tutte
uguali e la deformata risulta una
superficie sferica di raggio ρρρρ
Belluzzi III pag 78
superficie sferica di raggio ρρρρ
0============ xyyx e χχχχχχχχχχχχχχχχ
χχχχρρρρ /1====
Caso della flessione uniforme
In virtù delle equazioni costitutive
generalizzate risulta anche che
temmm yx tancos============
Belluzzi III pag 78
ρρρρυυυυχχχχχχχχυυυυ 1
11 ====
++++====⇔⇔⇔⇔++++====
Dm
Dm)(
)(
Caso della flessione uniforme
tec
Dmm
crcr
c
r
tancos)(
,)(
)(
====++++========
========−−−−====
====⇒====
1
22
000
1
11
2
υυυυ
χχχχχχχχϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
θθθθ
Ad esempio questo è il caso di un
fondello di serbatoio
teDmmr tancos)( ====++++========2
1 υυυυθθθθ
Se R è il raggio della piastra la
rotazione a al contorno e la freccia f
al centro risultano
( )D
mRRRf
D
mRR
)1(228
2
)1(
222
υρρυρα
+===
+==
Caso della flessione uniformeAltro esempio: stato di deformazione indotto da una differenza di temperatura
∆t tra le 2 facce di una piastra circolare di spessore h=costante incastrata la
bordo
Formula di Stoney
B�D
Piastra circolare incastrata al bordo
Determinazione delle costanti mediante imposizione delle
condizioni cinematiche al bordo
Pqr
crPer
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ 0002
2
−−−−++++====⇒========
====⇒========
DDqr
cwRrPer
rD
PqrcRrPer
ππππ
ππππϕϕϕϕ
16640
1248
0
22
3
1
Pr
)ln(
++++====⇒========
−−−−++++====⇒========
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a carico
distribuito
[[[[ ]]]]22
3
424
3116
1613
64
rRq
mmomento
Ehqr
Dqr
fcentroalfreccia
r )()(
)(
νννννννν
υυυυ
++++−−−−++++====
−−−−========
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]22 31116
16
rRq
mmomento
r
)()( ννννννννθθθθ ++++−−−−++++====
88
116
0
22
2
qRm
qRmRrper
Rq
mmrper
r
r
υυυυ
νννν
θθθθ
θθθθ
−−−−====−−−−========
++++============ )(
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a carico
concentrato
−−−−++++====
−−−−++++====
====
υυυυνννν
ννννππππ
ππππ
RP
rRP
mmomento
DPR
fcentroalfreccia
r ln)( 114
16
2
ππππ4P−−−−
Piastra circolare soggetta a carico concentrato
ππππυυυυ
ππππ θθθθ
θθθθ
44
0
Pm
PmRrper
divergonomemrper
r
r
−−−−====−−−−========
+∞+∞+∞+∞→→→→==== )(
−−−−++++==== υυυυννννππππθθθθ r
RPmmomento ln)(1
4
ππππνννν
4P−−−−
Piastra circolare appoggiata al bordo
Determinazione delle costanti mediante imposizione delle
condizioni cinematiche al bordo
000 2 ====⇒======== crPer ϕϕϕϕ00
000 2
================⇒========
)(RwemRrPer
crPer
r
ϕϕϕϕ
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a
carico distribuito
22
3
4
163
18
15
64
rRq
mmomento
DqR
bordoalrotazione
DqR
fcentroalfreccia
r )()(
)(
)(
νννν
υυυυαααα
υυυυυυυυ
−−−−++++====
++++====
++++++++====
[[[[ ]]]]22 31316
163
rRq
mmomento
rRmmomento r
)()(
)()(
νννννννν
νννν
θθθθ ++++−−−−++++====
−−−−++++====
2
2
810
163
Rq
mmbordoal
Rq
mmcentroal
r
r
)(
)(
υυυυ
νννν
θθθθ
θθθθ
−−−−========
++++========
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a
forza concentrata
++++====
++++====
++++++++====
ln)(
)(
ννννππππ
ππππνννναααα
ππππνννννννν
14
411
1613 2
rRP
mmomento
DPR
bordoalrotazione
DPR
fcentroalfreccia
r
ππππυυυυ
θθθθ
θθθθ
41
0P
mmbordoal
divergonomemcentroal
r
r
)(
)(
−−−−========
+∞+∞+∞+∞→→→→
−−−−++++++++====
)(ln)( υυυυννννππππ
ππππ
θθθθ 114
4
rRP
mmomento
r
Tensioni indotte dal carico concentrato
A- il carico concentrato è solo un caso
limite, perché in realtà il carico agisce
su una zona di raggio r=a finito
Se a è molto piccolo, non vale la teoria
sviluppata in quanto cadono le ipotesi
di conservazione delle sezioni piane, le
curvature sono localmente molto
grandi…..
a
a1
mr
grandi…..
B- valutazione approssimata dove si
considera un momento mr logaritmico
a cui si sovrappone un termine
parabolico di intensità P/4ππππ
C- se a è molto piccolo, occorre
effettuare verifiche a schiacciamento e
punzonamento
Armature
A- ferri radiali e circonferenziali
Armature
B- 2 reti a passo variabile con 2 ordini di
ferri
Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff
Piastra rettangolare appoggiata sotto carico sinusoidale
(LC II pag 197)
Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff
Piastra rettangolare appoggiata sotto carico sinusoidale (LC II pag
197)
L’equazione di Germain-Lagrange diventa
b
ym
a
xnPyxp nm
ππsinsin),( =
b
ym
a
xn
D
P
y
w
yx
w
x
w nm ππsinsin2
4
4
22
4
4
4
=∂∂+
∂∂∂+
∂∂
Il problema ammette la soluzione
dove
baDyyxxsinsin2
4224=
∂+
∂∂+
∂
b
ym
a
xnWyxw nm
ππsinsin),( =
2224
1
+
=
b
m
a
nD
PW nm
nm π
Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff Piastra rettangolare appoggiata sotto carico sinusoidale (LC II pag 197)
Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff
Reazioni vincolari
Reissner-Mindlin
Kirchhoff
Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff
Il carico non è mai sinusoidale
Tuttavia si dimostra che è possibile esprimere un
qualunque carico sotto forma di serie doppia di Fourier
(trattazione di Navier)
ymxnPyxp
MN ππsinsin),( ∑∑=
La soluzione dell’equazione di Germain-Lagrange diviene
b
ym
a
xnPyxp nm
mn
ππsinsin),(
11∑∑
==
=
b
ym
a
xn
b
m
a
n
P
Dyxw nm
M
m
N
n
πππ
sinsin
][
1),(
222
114
+
= ∑∑
==
Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff
Lastra quadrata con carico uniforme
K,5,3,1,16
20 == mn
nm
pPnm π
Fermandosi al primo termine si commette un errore del 2,5%
Con 3 termini l’errore è < 1%
nmπ
Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff
Lastra rettangolare con due lati opposti appoggiati
axinxw
w ,0002
========∂∂∂∂
∂∂∂∂====
Soluzione in serie semplice di Levy;
Si suppone che il carico trasversale possa essere scritto come
Si assume la soluzione nella forma
a
xnyPyxp n
N
n
πsin)(),(
1∑
=
=
a
xnyYyxw n
N
n
πsin)(),(
1∑
=
=
Generalizzazione della teoria
delle piastre inflesse
1) Piastre anisotrope ed ortotrope
2) Limiti dell’ipotesi di piccoli spostamenti2) Limiti dell’ipotesi di piccoli spostamenti
Piastre anisotrope
Si parte dal modello cinematico descritto (basato sulle ipotesi
di indeformabilità della sezione trasversale, conservazione
delle sezioni piane)
Si considera ancora uno stato piano di tensione nel pianoSi considera ancora uno stato piano di tensione nel piano
della piastra
Si introducono equazioni costitutive di carattere generale
Si ottiene quindi una generalizzazione delle teorie viste
hkijhkij C εεεεσσσσ ====
Piastre ortotrope
Esempi di piastre ortotrope
Piastre ortotrope
Il legame costitutivo diventa
Piastre ortotrope
Il legame generalizzato momento-curvatura diviene
Piastre ortotrope
L’equazione di Sophie Germain –Lagrange
nell’ipotesi di piastre sottili diviene (Huber, 1929)
dove: B è la rigidezza torsionale effettiva
Altri esempi: piastre sandwich
Szilard, p531
Piastre sandwich
Piastre sandwich
LC II vol p180
Piastre laminate
Le deformazioni taglianti non sono trascurabili
First Order Shear Deformation Theory
Laminati non simmetrici
Deformazioni membranali e flessionali sono accoppiate
Stato di pressoflessione nello spessore
Es soffitti a cassettoni
Limiti delle ipotesi di piccoli spostamenti
Al diminuire dello spessore h della piastra, l’ipotesi di
piccoli spostamenti perde di validità, ed il modello di
Kirchhoff non tiene conto delle azioni membranali che
nella configurazione deformata concorrono ad
equilibrare i carichi
L’ipotesi di piccoli spostamenti risulta adeguata solo per
spostamenti piccoli rispetto allo spessore, requisito
molto più restrittivo per le piastre rispetto alle travi data
l’esiguità degli spessori
Teoria di Von Karman
Piastra elastica in presenza di spostamenti moderatamente grandi
Teoria di Von Karman
Il problema dell’equilibrio della piastra elastica in presenza di
spostamenti moderatamente grandi è governato dalle segquenti
equazioni di equilibrio alla traslazione
Ainy
N
x
N
y
N
x
N yxyxyx 00 =∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂∂
ed equilibrio alla rotazione
Ainw
Nyx
wN
x
wNp
y
M
yx
M
x
Myxyx
yxyx2
22
2
2
2
22
2
2
22y∂
∂−∂∂
∂−∂∂−−=
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
yxyx ∂∂∂∂
Introduciamo una funzione di sforzo ΦΦΦΦ(x,y) da cui le azioni di
membrana si ottengono attraverso le relazioni
Teoria di Von Karman
yxN
xN
yN xyyx ∂∂
Φ∂−=∂
Φ∂=∂
Φ∂=2
2
2
2
2
Sostituendo nell’equazione di equilibrio alla rotazione si ottiene
Ainw
xyx
w
yxx
w
yp
y
M
yx
M
x
M xyyxyx2
2
2
222
2
2
2
2
2
22
2
2
22y∂
∂∂
Φ∂−∂∂
∂∂∂
Φ∂+
∂∂
∂Φ∂−−=
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
Se sostituiamo le equazioni costitutive
nell’equazione di equilibrio alla rotazione si ottiene
Teoria di Von Karman
xyxyxyyyxx DMDMDM χυυχχυχχ2
1)()(
−=+=+=
)(22
2
2
222
2
2
2
24 aAin
w
xyx
w
yxx
w
ypw xy
y∂∂
∂Φ∂−
∂∂∂
∂∂Φ∂
+∂∂
∂Φ∂−−=∇
Da accoppiare con l’equazione di equilibrio alla traslazione
NB: Le a) e b) sono accoppiate in regime di spostamenti non
trascurabili
)(2
2
2
2224 bAin
y
w
x
w
yx
wEh
∂∂
∂∂−
∂∂∂=Φ∇