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Piastre assial-simmetriche

Leone Corradi II vol. pag 158

Consideriamo il caso di lastrecircolari in condizioni di simmetriapolare, il cui comportamento sidescrive con il sistema di coordinatecilindriche (0; r, θθθθ, z)

z uscente dal piano

La piastra sia di spessore costante

vincolata in modo assial-simmetrico

caricata da carichi verticali normali al

piano medio e distribuiti con

simmetria radiale

Piastre assialsimmetriche

In queste condizioni di assial-simmetria di geometria, vincoli e carichi

possiamo dire che in ogni sezione diametrale sono nulle le tensioni

tangenziali ττττθθθθze ττττθθθθr mentre possono essere diverse da zero le σσσσθθθθ , σσσσr e

le ττττzr

∂σσ

r

Le componenti di spostamento diverse da zero sono ur e w

drr

rr ∂

∂+ σσ

θσ

θσ

rσ

zrτ

drrzr

zr ∂∂+ ττ

ϑd

Cinematica

IL campo di spostamento diviene

)(),(

)()(),(

rwzrw

rzruzru rr

0

0

====−−−−==== ϕϕϕϕ

IL campo di deformazione diviene

ϕϕϕϕγγγγ

ϕϕϕϕεεεε

ϕϕϕϕεεεε

θθθθ

−−−−====

−−−−====

−−−−====

drrdw

zr

rr

zr

ruzr

drrd

zdr

rduzr

rz

r

rr

)(),(

)()(),(

)()(),(

0

0

Cinematica: caso flessionale puro

IL campo di spostamento diviene

)(),(

)(),(

rwzrw

rzzrur

0====−−−−==== ϕϕϕϕ


ϕϕϕϕγγγγ

ϕϕϕϕεεεε

ϕϕϕϕεεεε

θθθθ

−−−−====

−−−−====

−−−−====

drrdw

zr

rr

zzr

drrd

zzr

rz

r

)(),(

)(),(

)(),(

Piastre sottili

zrr

zzr

zdr

wdzzr rr

====−−−−====

====−−−−====

χχχχϕϕϕϕεεεε

χχχχεεεε

θθθθθθθθ

2

2

)(),(

),(

Ipotesi di scorrimento nullo


drdw

zr

zr

zzr

rz ====⇒≈≈≈≈

====−−−−====

ϕϕϕϕγγγγ

χχχχεεεε θθθθθθθθ

0),(

),(

Dove si è posto

drdw

rrr

drd

drwd

r

1

2

2

−−−−====−−−−====

−−−−====−−−−====

)(ϕϕϕϕχχχχ

ϕϕϕϕχχχχ

θθθθ


Nel caso di materiale iperelastico lineare isotropo

(((( ))))

(((( ))))

++++−−−−

−−−−====++++−−−−

====

++++−−−−

−−−−====++++−−−−

====

)(

)(

rdrdEzE

rdrdEzE

r

rr

ϕϕϕϕϕϕϕϕυυυυυυυυ

εεεευευευευευυυυ

σσσσ

ϕϕϕϕννννϕϕϕϕυυυυ

υευευευεεεεευυυυ

σσσσ

θθθθθθθθ

θθθθ

22

22

11

11

Integrando sullo spessore si definiscono i momenti

generalizzati

++++====++++−−−−====∫====

++++====++++−−−−====∫====

−−−−

−−−−

)()(

)()(

/

/

/

/

r

h

h

r

h

hrr

Drdr

dDdzzm

Drdr

dDdzzm

νχνχνχνχχχχχϕϕϕϕϕϕϕϕυυυυσσσσ

νχνχνχνχχχχχϕϕϕϕννννϕϕϕϕσσσσ

θθθθθθθθθθθθ

θθθθ

2

2

2

2


L’equazione costitutiva in termini di variabili generalizzate

si scrive in forma compatta come

−−−−====

====

dr

d

DDm

m rr

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

υυυυυυυυ

χχχχχχχχ

υυυυυυυυ

θθθθθθθθ 1

1

1

1

rm υυυυχχχχυυυυ θθθθθθθθ 11

)( 2

3

112 υυυυ−−−−==== Eh

D

Equazioni di equilibrio

r

mr +dmr

mr

mθ

mθ+dmθ tr +dtr

tr

θdθ

z,w

mθ+dmθ tr +dtr

Equilibrio alla rotazione nel piano (r, z)

tr

dr

r

z

mr +dmrmr

tr +dtr

mθdθ


Belluzzi vol 3 pag 82

Equazioni di equilibrio


tr

dr

r

z

mr +dmrmr

tr +dtr

mθdθ


0====++++−−−−++++ rtmrdr

dmdm r

rr θθθθθθθθ


L’equazione della superficie elastica si ottiene

sostituendo nell’equazione di equilibrio il

legame costitutivo in termini delle variabili

generalizzate

tdd ====−−−−++++2 1 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

Dt

rdrd

rdrd r====−−−−++++

22

1 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

si può scrivere l’espressione di tr per ogni condizine di carico

simmetrico . Tuttavia discutiamo il caso in cui si ha un carico

uniforme q per unità di superficie della piastra ed un carico

concentrato P al centro

Nella sezione cilindrica generica di raggio r il taglio totale

tr2ππππr deve fare equilibrio al carico


Prq ++++2ππππ

qq

rPqr

t

rtPrq

r

r

ππππ

ππππππππ

22

22

++++====

====++++q

P

tr


Sostituendo l’espressione trovata di tr nella equazione della

superficie elastica si ottiene

++++−−−−====

rPqr

Ddrrd

rdrd

ππππϕϕϕϕ

2211 )(

Il cui integrale generale si scrive

(((( )))) )ln(Pr

128162

3

21 −−−−−−−−−−−−++++==== rDD

qrrcrc

rππππ

ϕϕϕϕ


Nel caso di piastre sottili

drdw

rrr

drd

drwd

r

1

2

2

−−−−====−−−−====

−−−−====−−−−====

)(ϕϕϕϕχχχχ

ϕϕϕϕχχχχ

θθθθ

Sostituendo tali espressioni nella equazione della superficie

elastica elastica e derivando rispetto ad si ottiene la foprma

seguente della superficie elastica

Dq

drdw

rdrwd

rdrwd

rdrwd ====++++−−−−++++

32

2

23

3

4

4 112


Nel caso di piastre sottili

Dq

drdw

rdrwd

rdrwd

rdrwd ====++++−−−−++++

32

2

23

3

4

4 112

Ammette il seguente integraleAmmette il seguente integrale

)(lnPr

ln)( 18644

24

32

2

1 −−−−++++++++++++++++==== rDD

qrcrc

rcrw

ππππ

Le costanti c1,c2,c3 vengono determinate scrivendo le

condizioni al bordo esterno ed una condizione per r=0

Caso della flessione uniforme

Si definisce stato di curvatura o di

flessione uniforme una deformata

per cui le curvature sono tutte

uguali e la deformata risulta una

superficie sferica di raggio ρρρρ

Belluzzi III pag 78

superficie sferica di raggio ρρρρ

0============ xyyx e χχχχχχχχχχχχχχχχ

χχχχρρρρ /1====


In virtù delle equazioni costitutive

generalizzate risulta anche che

temmm yx tancos============

Belluzzi III pag 78

ρρρρυυυυχχχχχχχχυυυυ 1

11 ====

++++====⇔⇔⇔⇔++++====

Dm

Dm)(

)(


tec

Dmm

crcr

c

r

tancos)(

,)(

)(

====++++========

========−−−−====

====⇒====

1

22

000

1

11

2

υυυυ

χχχχχχχχϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

θθθθ

Ad esempio questo è il caso di un

fondello di serbatoio

teDmmr tancos)( ====++++========2

1 υυυυθθθθ

Se R è il raggio della piastra la

rotazione a al contorno e la freccia f

al centro risultano

( )D

mRRRf

D

mRR

)1(228

2

)1(

222

υρρυρα

+===

+==

Caso della flessione uniformeAltro esempio: stato di deformazione indotto da una differenza di temperatura

∆t tra le 2 facce di una piastra circolare di spessore h=costante incastrata la

bordo

Formula di Stoney

B�D

Piastra circolare incastrata al bordo

Determinazione delle costanti mediante imposizione delle

condizioni cinematiche al bordo

Pqr

crPer

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ 0002

2

−−−−++++====⇒========

====⇒========

DDqr

cwRrPer

rD

PqrcRrPer

ππππ

ππππϕϕϕϕ

16640

1248

0

22

3

1

Pr

)ln(

++++====⇒========

−−−−++++====⇒========

Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a carico

distribuito

[[[[ ]]]]22

3

424

3116

1613

64

rRq

mmomento

Ehqr

Dqr

fcentroalfreccia

r )()(

)(

νννννννν

υυυυ

++++−−−−++++====

−−−−========

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]22 31116

16

rRq

mmomento

r

)()( ννννννννθθθθ ++++−−−−++++====

88

116

0

22

2

qRm

qRmRrper

Rq

mmrper

r

r

υυυυ

νννν

θθθθ

θθθθ

−−−−====−−−−========

++++============ )(

Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a carico

concentrato

−−−−++++====

−−−−++++====

====

υυυυνννν

ννννππππ

ππππ

RP

rRP

mmomento

DPR

fcentroalfreccia

r ln)( 114

16

2

ππππ4P−−−−

Piastra circolare soggetta a carico concentrato

ππππυυυυ

ππππ θθθθ

θθθθ

44

0

Pm

PmRrper

divergonomemrper

r

r

−−−−====−−−−========

+∞+∞+∞+∞→→→→==== )(

−−−−++++==== υυυυννννππππθθθθ r

RPmmomento ln)(1

4

ππππνννν

4P−−−−

Piastra circolare appoggiata al bordo

Determinazione delle costanti mediante imposizione delle

condizioni cinematiche al bordo

000 2 ====⇒======== crPer ϕϕϕϕ00

000 2

================⇒========

)(RwemRrPer

crPer

r

ϕϕϕϕ

Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a

carico distribuito

22

3

4

163

18

15

64

rRq

mmomento

DqR

bordoalrotazione

DqR

fcentroalfreccia

r )()(

)(

)(

νννν

υυυυαααα

υυυυυυυυ

−−−−++++====

++++====

++++++++====

[[[[ ]]]]22 31316

163

rRq

mmomento

rRmmomento r

)()(

)()(

νννννννν

νννν

θθθθ ++++−−−−++++====

−−−−++++====

2

2

810

163

Rq

mmbordoal

Rq

mmcentroal

r

r

)(

)(

υυυυ

νννν

θθθθ

θθθθ

−−−−========

++++========

Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a

forza concentrata

++++====

++++====

++++++++====

ln)(

)(

ννννππππ

ππππνννναααα

ππππνννννννν

14

411

1613 2

rRP

mmomento

DPR

bordoalrotazione

DPR

fcentroalfreccia

r

ππππυυυυ

θθθθ

θθθθ

41

0P

mmbordoal

divergonomemcentroal

r

r

)(

)(

−−−−========

+∞+∞+∞+∞→→→→

−−−−++++++++====

)(ln)( υυυυννννππππ

ππππ

θθθθ 114

4

rRP

mmomento

r

Tensioni indotte dal carico concentrato

A- il carico concentrato è solo un caso

limite, perché in realtà il carico agisce

su una zona di raggio r=a finito

Se a è molto piccolo, non vale la teoria

sviluppata in quanto cadono le ipotesi

di conservazione delle sezioni piane, le

curvature sono localmente molto

grandi…..

a

a1

mr

grandi…..

B- valutazione approssimata dove si

considera un momento mr logaritmico

a cui si sovrappone un termine

parabolico di intensità P/4ππππ

C- se a è molto piccolo, occorre

effettuare verifiche a schiacciamento e

punzonamento

Armature

A- ferri radiali e circonferenziali

Armature

B- 2 reti a passo variabile con 2 ordini di

ferri

Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff

Piastra rettangolare appoggiata sotto carico sinusoidale

(LC II pag 197)


Piastra rettangolare appoggiata sotto carico sinusoidale (LC II pag

197)

L’equazione di Germain-Lagrange diventa

b

ym

a

xnPyxp nm

ππsinsin),( =

b

ym

a

xn

D

P

y

w

yx

w

x

w nm ππsinsin2

4

4

22

4

4

4

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

Il problema ammette la soluzione

dove

baDyyxxsinsin2

4224=

∂+

∂∂+

∂

b

ym

a

xnWyxw nm

ππsinsin),( =

2224

1

+

=

b

m

a

nD

PW nm

nm π

Soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff Piastra rettangolare appoggiata sotto carico sinusoidale (LC II pag 197)


Reazioni vincolari

Reissner-Mindlin

Kirchhoff


Il carico non è mai sinusoidale

Tuttavia si dimostra che è possibile esprimere un

qualunque carico sotto forma di serie doppia di Fourier

(trattazione di Navier)

ymxnPyxp

MN ππsinsin),( ∑∑=

La soluzione dell’equazione di Germain-Lagrange diviene

b

ym

a

xnPyxp nm

mn

ππsinsin),(

11∑∑

==

=

b

ym

a

xn

b

m

a

n

P

Dyxw nm

M

m

N

n

πππ

sinsin

][

1),(

222

114

+

= ∑∑

==


Lastra quadrata con carico uniforme

K,5,3,1,16

20 == mn

nm

pPnm π

Fermandosi al primo termine si commette un errore del 2,5%

Con 3 termini l’errore è < 1%

nmπ


Lastra rettangolare con due lati opposti appoggiati

axinxw

w ,0002

========∂∂∂∂

∂∂∂∂====

Soluzione in serie semplice di Levy;

Si suppone che il carico trasversale possa essere scritto come

Si assume la soluzione nella forma

a

xnyPyxp n

N

n

πsin)(),(

1∑

=

=

a

xnyYyxw n

N

n

πsin)(),(

1∑

=

=

Generalizzazione della teoria

delle piastre inflesse

1) Piastre anisotrope ed ortotrope

2) Limiti dell’ipotesi di piccoli spostamenti2) Limiti dell’ipotesi di piccoli spostamenti

Piastre anisotrope

Si parte dal modello cinematico descritto (basato sulle ipotesi

di indeformabilità della sezione trasversale, conservazione

delle sezioni piane)

Si considera ancora uno stato piano di tensione nel pianoSi considera ancora uno stato piano di tensione nel piano

della piastra

Si introducono equazioni costitutive di carattere generale

Si ottiene quindi una generalizzazione delle teorie viste

hkijhkij C εεεεσσσσ ====

Piastre ortotrope

Esempi di piastre ortotrope

Piastre ortotrope

Il legame costitutivo diventa

Piastre ortotrope

Il legame generalizzato momento-curvatura diviene

Piastre ortotrope

L’equazione di Sophie Germain –Lagrange

nell’ipotesi di piastre sottili diviene (Huber, 1929)

dove: B è la rigidezza torsionale effettiva

Altri esempi: piastre sandwich

Szilard, p531

Piastre sandwich

Piastre sandwich

LC II vol p180

Piastre laminate

Le deformazioni taglianti non sono trascurabili

First Order Shear Deformation Theory

Laminati non simmetrici

Deformazioni membranali e flessionali sono accoppiate

Stato di pressoflessione nello spessore

Es soffitti a cassettoni

Limiti delle ipotesi di piccoli spostamenti

Al diminuire dello spessore h della piastra, l’ipotesi di

piccoli spostamenti perde di validità, ed il modello di

Kirchhoff non tiene conto delle azioni membranali che

nella configurazione deformata concorrono ad

equilibrare i carichi

L’ipotesi di piccoli spostamenti risulta adeguata solo per

spostamenti piccoli rispetto allo spessore, requisito

molto più restrittivo per le piastre rispetto alle travi data

l’esiguità degli spessori

Teoria di Von Karman

Piastra elastica in presenza di spostamenti moderatamente grandi


Il problema dell’equilibrio della piastra elastica in presenza di

spostamenti moderatamente grandi è governato dalle segquenti

equazioni di equilibrio alla traslazione

Ainy

N

x

N

y

N

x

N yxyxyx 00 =∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂∂

ed equilibrio alla rotazione

Ainw

Nyx

wN

x

wNp

y

M

yx

M

x

Myxyx

yxyx2

22

2

2

2

22

2

2

22y∂

∂−∂∂

∂−∂∂−−=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yxyx ∂∂∂∂

Introduciamo una funzione di sforzo ΦΦΦΦ(x,y) da cui le azioni di

membrana si ottengono attraverso le relazioni


yxN

xN

yN xyyx ∂∂

Φ∂−=∂

Φ∂=∂

Φ∂=2

2

2

2

2

Sostituendo nell’equazione di equilibrio alla rotazione si ottiene

Ainw

xyx

w

yxx

w

yp

y

M

yx

M

x

M xyyxyx2

2

2

222

2

2

2

2

2

22

2

2

22y∂

∂∂

Φ∂−∂∂

∂∂∂

Φ∂+

∂∂

∂Φ∂−−=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

Se sostituiamo le equazioni costitutive

nell’equazione di equilibrio alla rotazione si ottiene


xyxyxyyyxx DMDMDM χυυχχυχχ2

1)()(

−=+=+=

)(22

2

2

222

2

2

2

24 aAin

w

xyx

w

yxx

w

ypw xy

y∂∂

∂Φ∂−

∂∂∂

∂∂Φ∂

+∂∂

∂Φ∂−−=∇

Da accoppiare con l’equazione di equilibrio alla traslazione

NB: Le a) e b) sono accoppiate in regime di spostamenti non

trascurabili

)(2

2

2

2224 bAin

y

w

x

w

yx

wEh

∂∂

∂∂−

∂∂∂=Φ∇

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