ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΠΠ ιι θθ αα νν όό ττ ηη ττ εε ςς ΙΙ

ΠειραιάςΠειραιάς 20020088

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 2

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας3

Η Διωνυμική κατανομή για(πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p

ΗΗ χρήσηχρήση τουτου τύπουτύπου

παρουσιάζειπαρουσιάζει αρκετέςαρκετές δυσκολίεςδυσκολίες ότανόταν τοτο νν παίρνειπαίρνει μεγάλεςμεγάλες τιμέςτιμές καικαι τοτοx x δενδεν είναιείναι ούτεούτε κοντάκοντά στοστο 0 0 ούτεούτε κοντάκοντά στοστο νν

νν ν ,...,1,0,)()( =

=== − xqp

xxXPxf xx

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας4

Η Διωνυμική κατανομή για(πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p

ΗΗ χρήσηχρήση τουτου τύπουτύπου

παρουσιάζειπαρουσιάζει αρκετέςαρκετές δυσκολίεςδυσκολίες ότανόταν τοτο νν παίρνειπαίρνει μεγάλεςμεγάλες τιμέςτιμές καικαι τοτοx x δενδεν είναιείναι ούτεούτε κοντάκοντά στοστο 0 0 ούτεούτε κοντάκοντά στοστο νν

νν ν ,...,1,0,)()( =

=== − xqp

xxXPxf xx

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας5

Η Διωνυμική κατανομή για(πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p

ΠΡΟΤΑΣΗΠΡΟΤΑΣΗ

ΒλέπεΒλέπε βιβλίοβιβλίο ((σελίδασελίδα 300)300)ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας6

Η κατανομή Poisson

ΟΡΙΣΜΟΣΟΡΙΣΜΟΣ)(~ λPX

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας7

Η συνάρτηση πιθανότητας τηςκατανομής Poisson

,...1,0,!

)()( ==== − xx

exXPxfxλλ

κκατανομήατανομή Poisson

Poisson

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας8

Προσέγγιση τηςΔιωνυμικής κατανομής απότην κατανομή Poisson

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 9

Άσκηση 1/Σελίδα 311

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας10

Μέση τιμή και διακύμανση τηςκατανομής Poisson

ΠΡΟΤΑΣΗΠΡΟΤΑΣΗ

ΓιαΓια τητη διασποράδιασπορά βλέπεβλέπε βιβλίοβιβλίο ((σελίδασελίδα 306)306)

ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας11

Μερικές περιπτώσεις που μπορεί ναχρησιμοποιηθεί η κατανομή Poisson

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 12

Άσκηση 2/Σελίδα 311

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 13

Άσκηση 5/Σελίδα 311

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 14

Άσκηση 6/Σελίδα 311

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 15

Άσκηση 7/Σελίδα 311

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 16

Άσκηση 9/Σελίδα 312

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 17

Άσκηση 11/Σελίδα 312

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 18

Άσκηση 13/Σελίδα 312

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 19

ΘέμαΘέμα εξετάσεωνεξετάσεωνΣε μια κάλπη υπάρχουν α άσπρες και β μαύρες σφαίρες. Εξάγεται μια σφαίρα, σημειώνεται το χρώμα της και στη συνέχεια η σφαίρα επιστρέφεται στη κάλπη. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται 5 φορές και ας συμβολίσουμε με Χ τον αριθμό των φορών που εμφανίστηκε άσπρη σφαίρα. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί α. τη διωνυμική κατανομή β. την εκθετική κατανομή γ. την υπεργεωμετρική κατανομή δ. τη γεωμετρική κατανομή ε. την κατανομή Poisson

Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε α

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 20

ΘέμαΘέμα εξετάσεωνεξετάσεωνΈνα αμερόληπτο ζάρι ρίχνεται συνεχώς μέχρι να εμφανιστεί για τρίτη φορά η ένδειξη 2, 3, 4 ή 5. Ο αριθμός Χ (τυχαία μεταβλητή) των δοκιμών μέχρι να συμβεί αυτό ακολουθεί α. την κατανομή Poisson με παράμετρο 6/4=λ β. τη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο 3/2=p γ. την κανονική κατανομή με μέση τιμή 4/6 δ. την αρνητική διωνυμική κατανομή με παραμέτρους 3=r και 6/4=p ε. την υπεργεωμετρική κατανομή

Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε δ

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 21

ΘέμαΘέμα εξετάσεωνεξετάσεωνΈνα ηλεκτρικό καλώδιο μήκους 30m παρουσιάζει κατά μέσο όρο 0.5 ατέλειες και ο αριθμός των ατελειών του καλωδίου ακολουθεί τη διαδικασία Poisson. Ηπιθανότητα να έχει δύο ατέλειες ένα καλώδιο μήκους 60mείναι ίση με

α. 22 −e β. 1−e γ. 2/1−e δ. 2−e ε. 2/2 2−e

Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε γ

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 22

ΘέμαΘέμα εξετάσεωνεξετάσεωνΟ αριθμός X των γεννήσεων σε ένα νοσοκομείο της Πάτρας σε μια ημέρα ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ και γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να συμβεί μια γέννηση σε μια ημέρα είναι τετραπλάσια της πιθανότητας να συμβούν δύο γεννήσεις σε μια ημέρα. (α) Να δειχτεί ότι η τιμή της παραμέτρου λ είναι ίση με 2/1 . (β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να συμβούν τουλάχιστον

δύο γεννήσεις σε μια ημέρα γνωρίζοντας ότι έχει συμβεί τουλάχιστον 1 γέννηση.

(γ) Να δοθεί ο αναμενόμενος αριθμός των γεννήσεων σε μια ημέρα.

Πιθανότητες Ι - Μ. Κούτρας 23

ΘέμαΘέμα εξετάσεωνεξετάσεωνΟ αριθμός N των χαρακτήρων που εκτυπώνονται λανθασμένα σε μια σελίδα από ένα εκτυπωτή ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο 2=λ . α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να υπάρξουν τουλάχιστον 3 λανθασμένα

εκτυπωμένοι χαρακτήρες σε μια σελίδα. β. Να υπολογιστεί η πιθανότητα σε 4 σελίδες να υπάρξουν ακριβώς 3 σελίδες που

να περιέχουν (η καθεμία) το πολύ 2 λανθασμένα εκτυπωμένους χαρακτήρες. γ. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός σελίδων που αναμένονται να εκτυπωθούν μέχρι να

εμφανιστεί για τρίτη φορά σελίδα με τουλάχιστον 3 λανθασμένα εκτυπωμένους χαρακτήρες;

(Δίνεται ότι: 14.02 =−e ) Λύση: α. 7.014.055)2( 2 =⋅==≤ −eNP 3.0)2(1)3( =≤−=≥ NPNP

β. 62.03.07.034

)3( 13 =

==XP

γ. 103.0/3)( ==YE