Πιθανότητες · 2020. 11. 5. · ∆ειγματικόςχώρος...

Πιθανότητες

• Έννοια πιθανότητας• Ορισμοί πιθανότητας• Τρόπος υπολογισμού• Πράξεις πιθανοτήτων• Χρησιμότητα τους

«Πείραμα» Tύχης

• Οτιδήποτε συμβαίνει και δενγνωρίζουμε από πριν τοακριβές αποτέλεσμά του.

• Απασχόλησαν από πολύ παλιάτους ανθρώπους οι οποίοι μεδιάφορους τρόπους(επιστημονικούς ήυπερφυσικούς) προσπάθησαννα προβλέψουν τι θα συμβεί.

Πειράματα Tύχης

• Ρίξιμο κέρματος• Ρίξιμο ζαριού• Επιλογή χαρτιού τράπουλας• Τυχεροί αριθμοί joker• Χρόνος δρομολογίου λεωφορείουαπό κέντρο μέχρι ΤΕΙ

• Καιρός σήμερα το απόγευμα• Φύλο νεογέννητου μωρού• Πλήθος πελατών σε μια μέρα• Βαθμός εξέτασης στο μάθημα

∆ειγματικός χώροςκαι ενδεχόμενα

• Το σύνολο όλων των «δυνατών»αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης, ονομάζεται δειγματικός χώρος καισυμβολίζεται με Ω.

• Κάθε ένα από τα δυνατά αποτελέσματαπου μπορεί να συμβεί ονομάζεταιενδεχόμενο και συμβολίζεται με ένακεφαλαίο γράμμα.

• Σε κάποια πειράματα όλα τα ενδεχόμεναέχουν ίδια πιθανότητα να συμβούν(ισοπίθανα), ενώ σε κάποια άλλα όχι(μη ισοπίθανα).

• Υπάρχουν απλά ενδεχόμενα (ένα) καισύνθετα ενδεχόμενα (περισσότερααπλά)

Πειράματα Tύχηςισοπίθανα ή όχι;

• Ρίξιμο κέρματος• Ρίξιμο ζαριού• Επιλογή χαρτιού

τράπουλας• Τυχεροί αριθμοί joker• Χρόνος δρομολογίου

λεωφορείου απόκέντρο μέχρι ΤΕΙ

• Καιρός σήμερα τοαπόγευμα

• Φύλο νεογέννητουμωρού

• Πλήθος πελατών σεμια μέρα

• Βαθμός εξέτασης στομάθημα

Πειράματα Tύχηςισοπίθανα ή όχι;


τράπουλας• Τυχεροί αριθμοί joker• Χρόνος δρομολογίου





• Βαθμός εξέτασης στομάθημα

• Ισοπίθανο• Ισοπίθανο• Ισοπίθανο

• Ισοπίθανο• Όχι ισοπίθανο

• Όχι ισοπίθανο• Ναι και Όχι

ισοπίθανο

• Όχι ισοπίθανο

• Όχι ισοπίθανο

Πειράματα Tύχης∆ειγματικός χώρος Ω


τράπουλας• Τυχεροί αριθμοί

joker• Χρόνος δρομολογίου





• Βαθμός εξέτασηςστο μάθημα

Κ , Γ1,2,3,4,5,652 διαφορετικά

φύλλα1…49

8 λεπτά έως 28 λεπτά

ήλιος, βροχή, αέρας, συνεφιά, …)

αγόρι, κορίτσι

0,1,2,3,4,5, …..

• 0 έως 10

Πείραμα Ω ένα ενδεχόμενο

Γ4

Άσος κούπα

6-16-26-36-46-49

15,5 λεπτά

ήλιος

αγόρι

12

7,2

Πιθανότητα ενδεχομένουΡίξιμο κέρματος Ισοπίθανο Ρ(Γ)=

Ρίξιμο ζαριού Ισοπίθανο Ρ(4)=

Επιλογή χαρτιούτράπουλας

Ισοπίθανο Ρ(Άσος κούπα)=

Τυχεροί αριθμοίjoker

Ισοπίθανο Ρ(6-9-26-36-46-49)=

Χρόνοςδρομολογίουλεωφορείου απόκέντρο μέχριΤΕΙ

Όχιισοπίθανο

Ρ(15,5 λεπτά)=

Καιρός σήμερατο απόγευμα


Ρ(ήλιος)=

Φύλονεογέννητουμωρού

Ναι και όχιισοπίθανπ

Ρ(αγόρι)=

Πλήθοςπελατών σε μιαμέρα


Ρ(12)=

Βαθμόςεξέτασης στομάθημα


Ρ(7,2)

Πιθανότητα ενδεχομένουΡίξιμο κέρματος Ισοπίθανο Ρ(Γ)=1/2

Ρίξιμο ζαριού Ισοπίθανο Ρ(4)=1/6

Επιλογή χαρτιούτράπουλας

Ισοπίθανο Ρ(Άσος κούπα)=1/52

Τυχεροί αριθμοίjoker

Ισοπίθανο Ρ(6-9-26-36-46-49)= ;

Χρόνοςδρομολογίουλεωφορείου απόκέντρο μέχριΤΕΙ


Ρ(15,5 λεπτά)=;

Καιρός σήμερατο απόγευμα


Ρ(ήλιος)= ;

Φύλονεογέννητουμωρού

Ναι και όχιισοπίθανπ

Ρ(αγόρι)= ; 1/2

Πλήθοςπελατών σε μιαμέρα


Ρ(12)= ;

Βαθμόςεξέτασης στομάθημα


Ρ(7,2)= ;

ΟρισμοίΠιθανοτήτων

• Κλασσικός ορισμόςΡ(Α)= ευνοϊκές περιπτώσεις Α

πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ω

• Στατιστικός ορισμόςΡ(Α)= εμφανίσεις Α

πλήθος επαναλήψεων (μεγάλο)

• Αξιωματικός ορισμόςΡ(Α) = 0,3 εξ’ ορισμού

(έτσι πιστεύουμε)

Κλασσικός ορισμός• Υπολογίζεται εύκολα αλλάμόνο για ισοπίθαναενδεχόμενα και γνωστό Ω

ΠαράδειγμαΠιθανότητα να φέρω ζυγόαριθμό ρίχνοντας ένα ζάρι

Πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων 3Πλήθος δυνατών περιπτώσεων 6

=0,5

Εφαρμογή ΟρισμώνΠιθανοτήτων

• Κλασσικός ορισμόςΜόνο για ισοπίθανα πειράματα μεπεπερασμένο Ω

• Στατιστικός ορισμόςΚαι για ισοπίθανα αλλά κυρίως γιαμη ισοπίθανα πειράματα

• Αξιωματικός ορισμόςΕιδικές μαθηματικές περιπτώσεις

Στατιστικός ορισμός• Χρειάζεται η παρατήρηση τουπειράματος τύχης πολλές φορέςκαι η δημιουργία πίνακασυχνοτήτων. (όσο μεγαλύτερο τοπλήθος, τόσο σωστότερος ουπολογισμός της πιθανότητας).

• Η σχετική συχνότητα είναι ηαντίστοιχη πιθανότητα να συμβείμια τιμή στο μέλλον.

• Χρησιμότητα στατιστικώνπαρατηρήσεων για προβλέψεις.

Στατιστικός ορισμόςΠαράδειγμα για τον καιρό τουΑπριλίου (απόγευμα)τιμή συχνότητα Σχετική συχνότητα

Πιθανότητα να συμβεί

ήλιος 40 40/95= 0,42

Βροχή 30 30/95= 0,32

συννεφιά 15 15/95= 0,16

αέρας 8 8/95= 0,08

κρύο 2 2/95= 0,02

Πλήθοςημερών

95 1,00

ΙδιότητεςΠιθανότητας

• 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 ή 0% ≤ Ρ(Α) ≤ 100%

• Ρ(Ω)=1 «βέβαιο ενδεχόμενο»

• Ρ()=0 «αδύνατο ενδεχόμενο»

Πράξειςενδεχομένων

• Ένωση Α U Βνα συμβεί ή το Α ή το Β

• Τομή Α∩Βνα συμβεί και το Α και το Β

• Συμπλήρωμα Α’Να μη συμβεί το Α

Πράξεις πιθανοτήτων

• Ένωση Α U ΒΡ(Α U Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)

• Τομή Α∩ΒΡ(Α ∩ Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β) (ανεξάρτητα ΑΒ)

Ρ(Α ∩ Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β|Α) (Β εξαρτάται από Α

• Συμπλήρωμα Α’Ρ(Α’)=1-Ρ(Α)

Υπό συνθήκηπιθανότητα

Πιθανότητα να συμβεί το Β, ανξέρουμε ότι συνέβη ήδη το Α

Ρ(Β|Α) =Ρ(Α ∩ Β)/Ρ(Α)

Ή από χρήση στατιστικού ορισμού, όπως στο επόμενοπαράδειγμα

Παράδειγμα με πίνακαδιασταυρώσεων

• Ένας διευθυντής νοσοκομείου, μελετάει τονπαρακάτω πίνακα του Ιατρικού Συλλόγου, πουπαρουσιάζει τα μέλη του ανά φύλο και ηλικία.

•Αν επιλέξει τυχαία ένα μέλος του συλλόγου, ποια ηπιθανότητα να είναι:1. Άνδρας;2. Μεταξύ 35 και 54 χρόνων;3. Άνδρας μεταξύ 35 και 54 χρόνων;4. Γυναίκα άνω των 54 χρόνων;5. Είτε άνδρας είτε μεταξύ 35 και 54 χρόνων;6. Είτε γυναίκα είτε άνω των 54 χρόνων;7. Άνδρας δεδομένου ότι είναι κάτω των 35 χρόνων;8. Άνδρας δεδομένου ότι είναι πάνω των 54 χρόνων;9. Πάνω των 54 χρόνων δεδομένου ότι είναι άνδρας;10. Πάνω των 54 χρόνων δεδομένου ότι είναι γυναίκα;

ΚΑΤΩΑΠΟ 35

ΜΕΤΑΞΥ35-54

ΠΑΝΩΑΠΟ 54

ΣΥΝΟΛΟ

ΑΝΔΡΑΣ 27 87 26 140ΓΥΝΑΙΚΑ 14 25 3 42ΣΥΝΟΛΟ 41 112 29 182

ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Ο υπεύθυνος πωλήσεων ενός καταστήματος

κλιματιστικών, καταγράφει τις ημερήσειςπωλήσεις και έχει εκτιμήσει τις πιθανότητεςπου φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

•

• Καθορίστε το δειγματικό χώρου του πειράματοςτύχης «πλήθος κλιματιστικών που θαπουληθούν αύριο.

• Ορίστε το ενδεχόμενο να πουληθούνπερισσότερα από 2 κλιματιστικά αύριο καιυπολογίστε την πιθανότητά του.

• Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν 2-3 κλιματιστικά αύριο;

• Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν 6 κλιματιστικά αύριο;

•

Ημερήσιες πωλήσειςκλιματιστικών

πιθανότητα

0 0,09

1 0,18

2 0,25

3 0,20

4 0,15

5 0,13

ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Ένα κατάστημα κατέγραψε τα ποσοστά του

τρόπου πληρωμής των πελατών του, ανάλογα μετο συνολικό ποσό των αγορών τους:

• Τι ποσοστό αγορών πληρώνεται με μετρητά; • Να υπολογίστε την πιθανότητα μια αγορά άνω

των 150 να πληρωθεί με πιστωτική κάρτα.• Αν ξέρουμε ότι κάποιος πλήρωσε με πιστωτική

κάρτα, ποια είναι η πιθανότητα το συνολικό ποσότων αγορών του να είναι κάτω από 30 ευρώ;

ΜΕΤΡΗΤΑΠΙΣΤΩΤΙΚΗΚΑΡΤΑ

ΧΡΕΩΣΤΙΚΗΚΑΡΤΑ

<30 5% 4% 4%30-150 3% 22% 17%>150 9% 24% 12%

ΑΣΚΗΣΕΙΣ• Ρίχνουμε ένα κέρμα 3 φορές. Να γραφεί ο δειγματικός

χώρος Ω του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς 2 κεφαλές; β) Ποια πιθανότητα να φέρουμε το πολύ 2 κεφαλές; γ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε 1 κεφαλή την πρώτηφορά;δ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε μόνο γράμματα καιτις 3 φορές;

• Αν παίξουμε 3 φορές παιχνίδι με πιθανότητα 30% νακερδίσουμε κάθε φορά. Να γραφεί ο δειγματικός χώροςΩ του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε ακριβώς 2 φορές; β) Ποια πιθανότητα να κερδίσουμε το πολύ 2 φορές; γ) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε την πρώτη φορά;

• Στην εταιρεία ΑΛΦΑ-ΒΗΤΑ, υπάρχουν 400 εργαζόμενοι και οι 120 καπνίζουν. Οι 150 είναι άνδρεςκαι οι 80 απ’ αυτούς καπνίζουν. Υπολογίστε τιςπαρακάτω πιθανότητες για ένα εργαζόμενο πουεπιλέγεται στην τύχη.

α) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα;β) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας καπνιστής;γ) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας ή να καπνίζει;δ) Ποια η πιθανότητα να καπνίζει δεδομένου ότι είναι γυναίκα;ε) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα δεδομένου ότι καπνίζει;

• Έστω τα ενδεχόμενα Α κα Β ενός δειγματικού χώρουΩ, τα οποία είναι ανεξάρτητα, και Ρ(Α)= 0,15 Ρ(Β)=0,45. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Ρ(όχι Α), Ρ(Α και Β), Ρ(Α ή Β) , Ρ(όχιΑ και όχι Β), Ρ(Α|Β)

Πιθανότητες · 2020. 11. 5. · ∆ειγματικόςχώρος...

Documents

Transcript of Πιθανότητες · 2020. 11. 5. · ∆ειγματικόςχώρος...