Los números reales es el conjunto de todos los números:

los positivos, los negativos y el cero.

- Los números reales incluyen a todos los enteros.

- Los números reales incluyen a todos los números racionales,

es decir, aquellos que se pueden poner como el cociente de

dos números enteros.

- También incluyen a los números irracionales, como , 2,

que no pueden ser escrito

eπcomo el cociente de dos números

enteros

Todos los números reales pueden ser escritos como

un número decimal.

Los números decimales pueden:

Terminar

Repetirse indefinidamente

Continuar para siempre

Todos los números reales pueden ser escritos como

un número decimal.

Los números decimales pueden terminar.

Ejemplos:

-5

20.4

53

0.754

=

− =

Todos los números reales pueden ser escritos como

un número decimal.

Los números decimales pueden repetirse

indefinidamente

Ejemplos:

10.333333333333...

30.2121212121212121...

=

Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal.

Los números decimales pueden continuar para siempre.

Ejemplos:

=3.1415926535897932384626433832795028841

971693993751058209749445923078

π16406286208

998628034825342117068...

2.7182818284590452353602874713526624977

57247093699959574966967627724076630353547

594571382178525166427...

2=1.414213562373095048801688724209698078

5696718753769480731

e =

76679737990732478462107

038850387534327641573...

Ley de tricotomía

Para cualesquiera dos elementos y en una y

solamente una de las siguientes relaciones se verifica:

, ,

Ley transitiva

Si y , entonces

Si , entonces, para todo

a b R

a b a b a b

a b b c a c

a b c

< = >

< < <

< ,

Si y 0 , entonces

R a c b c

a b c ac bc

∈ + < +

< < <

El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud” de un número, independientemente de su signo.Si tenemos un número real x su valor absoluto se escribe │x│.

•El valor absoluto de 7 es 7•El valor absoluto de –π es π•El valor absoluto de -3 es 3

El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor absoluto, 20

Si es un número real distinto de cero, entonces

o o es positivo.

Aquél de los dos que es positivo es llamado

valor absoluto de .

El valor absoluto de un número real ,

denotado por , se define por

a

a a

a

a

a

−

la regla

si 0

y

si 0

a a a

a a a

= ≥

= − <

En la recta real, el valor absoluto de un número es su distancia al 0 (al origen)

0x

Valor absoluto

Una desigualdad o inecuación es una relación

matemática que hace uso de la forma en que los

números reales están ordenados.

•La desigualdad 7<11 dice que el número 7 es menor

que el 11

•La desigualdad x2≥0 expresa el hecho que el

cuadrado de cualquier número real siempre es mayor

o igual que cero

Las desigualdades aparecen constantemente en todos

los campos de las matemáticas y en todas las áreas de

su aplicación

La solución de una desigualdad como -2x+6>0 son

los valores de x para los cuales la expresión -2x+6

es siempre mayor que cero.

Las reglas del álgebra pueden ser aplicadas para

resolver las desigualdades (como se hacen con una

igualdad), excepto que la dirección de la desigualdad

debe ser invertida cuando se multiplica o divide por

números negativos

mayor que

< menor que

mayor o igual que

menor o igual que

>

≥≤

2

Si y , entonces

Si , entonces

Si y 0, entonces

Si 0, entonces 0

a b c d a c b d

a b a b

a b c ac bc

a a

< < + < +

< − > −

< < >

≠ >

1

Si 0 y 0 , entonces

Si y tiene el mismo signo 0

Si y tiene diferente signo 0

tiene el mismo signo que

a b c d ac bd

a b ab

a b ab

a a−

≤ < ≤ ≤ < <

><

1 1

2 2

2

Si y tiene el mismo signo y , entonces

Si 0 y 0, entonces si y sólo si

Si 0, entonces si y sólo si ó

a b a b a b

a b a b a b

b a b a b a b

− −< >

≥ ≥ > >

≥ > > < −

Resolver la desigualdad 3 5 3

3 5 3

3 5 5 3 5

2 8

4

La solución está dada por todos los

números reales mayores que 4

x x

x x

x x x x

x

x

+ > −+ > −+ − − > − − −> −

> −

−

2

2

2

2

2

2

Resolver la desigualdad 2 6 0

2 6 0

13 0

21 49 49

32 16 161 1 49

2 16 16

1 49

4 16

x x

x x

x x

x x

x x

x

+ − >+ − >

+ − >

+ − + >

+ + >

+ > ÷

2

2

Resolver la desigualdad 2 6 0

1 49

4 16

1 7 1 7 ó

4 4 4 43

ó 22

La solución está dada por todos los números reales

3mayores que ó números reales menores

2

x x

x

x x

x x

+ − >

+ > ÷

+ > + < −

> < −

que 2−

( )

( ) { }

Es el conjunto de todos los números reales ,

tales que .

Es decir,

,

Nota: El intervalo abierto no in

Interva

cluye "los extremos",

de ahí

lo

su nomb

abierto ,

re

x

a x b

a b x

a b

R a x b

< <

= ∈ < <

a b

[ ]

[ ] { }

Es el conjunto de todos los números reales ,

tales que .

Es decir,

,

Nota: El intervalo cerrado in

Interval

cluye "los extremos",

de ahí su n

o cerrado ,

ombre

x

a x b

a b

a

R x

b

x a b

≤ ≤

= ∈ ≤ ≤

a b

{ }

Es el conjunto de todos los números reales ,

tales que .

Es decir,

( , ]

Nota: El intervalo cerrado no incl

Intervalo abie

uye el extremo

izquierdo y sí in

rto-cerrado ( , ]

cluye el derecho

a b

x

a x b

a b x R a x b

< ≤

= ∈ < ≤

a b

{ }

Es el conjunto de todos los números reales ,

tales que .

Es decir,

[ , )

Nota: El intervalo cerrado incl

Intervalo abie

uye el extremo

izquierdo y no incluye

rto-cerra

el d

do

er

[ , )

echo

a b

x

a x b

a b x R a x b

≤ <

= ∈ ≤ <

a b

( ) { }{ }

( ) { }{ }

( ) { }

,

[ , )

,

( , ]

,

a x R x a

a x R x a

a x R x a

a x R x a

x R

∞ = ∈ >

∞ = ∈ ≥

−∞ = ∈ <

−∞ = ∈ ≤

−∞ ∞ = ∈