i

SOlU

ciO

NA

riO

nÚmeros y cáLcuLo

prueba 1. Pili y Mili

1 1 punto por a), b) y c); 0,5 puntos si se indican solo dos opciones de las anteriores; 0 puntos en otro caso.

2 1 punto por c) indicando que se toma el valor exacto de π hasta la centésima; 0,5 puntos por c) sin razonar; 0 pun-tos en otro caso.

3 Pili = 1 y Mili = 3. Pierden la parte decimal, compuesta por infinitos decimales no periódicos. 1 punto por las aproximaciones y la reflexión acerca de la parte deci-mal; 0,5 puntos por las aproximaciones; 0 puntos en otro caso.

4

1 punto por las respuestas correctas con las operaciones; 0,5 puntos por las operaciones si el resultado es incorrec-to; 0 puntos en otro caso.

5

1 punto por la solución correcta con las operaciones; 0,5 puntos por las operaciones si el resultado es incorrec-to; 0 puntos en otro caso.

6

Los números enteros –1, 0, 1, 2 y 3 aparecen señalados con una cruz y con un círculo, y podemos afirmar que son números racionales (fracciones de denominador 1). Los números que solo aparecen marcados con una cruz son números racionales que no son números enteros. 1 punto por la solución correcta y bien argumentada; 0,5 puntos si la solución gráfica es correcta pero el razo-namiento es confuso; 0 puntos en otro caso.

7

Se debe levantar un cuadrado entre los números enteros 0 y 1. Con un compás, se traslada la diagonal del cuadra-do sobre la recta. 1 punto por el dibujo y el procedimien-to correcto; 0,5 puntos si solo se indica el cuadrado pero no el uso del compás; 0 puntos en otro caso.

8 Hay un número infinito de números racionales y tam-bién hay un número infinito de números irracionales. Paradójicamente, aunque ambos conjuntos son infini-tos, el de los números irracionales es más grande que el de los números racionales; es decir, su cardinal es un infinito mayor. 1 punto por el razonamiento correcto; 0,5 puntos si solo se indica que hay infinitos números racionales e irracionales; 0 puntos en otro caso.

9 Es imposible: con esto se pide encontrar la solución de la cuadratura del círculo. 1 punto si se concluye que no hay solución; 0,5 puntos si se encuentra una solución hipoté-tica; 0 puntos en otro caso.

10 La ecuación x2 + 1 = 0 tiene como solución x = –1, que no tiene sentido en el conjunto de los números reales, porque no hay ningún número real que al cuadrado sea un número negativo. 1 punto si la respuesta es correcta y está razonada; 0,5 puntos por la respuesta si no se jus-tifica correctamente; 0 puntos en otro caso.

;

prueba 2. La partícula puñetera

1 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.2 Quark abajo = 3,55 · 10–30 kg; quark cima = 3,01 · 10–25 kg.

1 punto por las soluciones en notación científi ca; 0,5 pun-tos por las soluciones, pero no en notación científi ca o si solo un resultado es correcto; 0 puntos en otro caso.

3 Es cierto, pues sumando sus masas resulta la del pro-tón. 1 punto si la respuesta es correcta y está razonada; 0,5 puntos por la respuesta si no se justifi ca correcta-mente; 0 puntos en otro caso.

4 Cinco quarks arriba, un quark encantado y un quark extra-ño: 4,16 · 10–24 g. 1 punto si la respuesta es correcta y está razonada; 0,5 puntos si la solución no es correcta pero se han elegido bien los quarks; 0 puntos en otro caso.

5 Respuesta abierta. Podría indicarse cualquier partícula cuyo peso en gramos sea de orden –31, considerando que una ballena pesa unas 50 t y que un alumno pesa unos 50 kg. 1 punto si se da un ejemplo con sentido y se razona correctamente; 0,5 puntos si se da un ejem-plo con sentido sin razonar; 0 puntos en otro caso.

6 (1,67 · 10–24) : (1,25 · 10–26) = 133 veces. 1 punto por la solución y los cálculos adecuados; 0,5 puntos si los cál-culos son los adecuados, pero hay algún error; 0 puntos en otro caso.

7 1 punto por c); 0,5 puntos por a) o b); 0 puntos en otro caso.8 El protón con una velocidad de la raíz cuarta de P (4 P ) y

el electrón con una velocidad de la raíz cúbica de E (3 E ). 1 punto por la solución correcta; 0 puntos en otro caso.

9 2 000 científi cos dedicaron un año, que son 2 000 · 365 ·· 24 = 17 520 000 h; 3 000 científi cos dedicaron un año y medio, que son de 3 000 · 547,5 · 24 = 39 4200 000 h; 1 000 científi cos dedicaron 8 h diarias, que son 1 000 · 3 · · 365 · 8 = 8 760 000 h. Suman un total de 65 700 000 h, esto es, más de 50 millones de horas. 1 punto por la solución y los cálculos adecuados; 0,5 puntos si los cálculos son los adecuados, pero hay algún error; 0 puntos en otro caso.

10 El acelerador tiene unos 10 km de diámetro y un campo de fútbol tiene 0,1 km de largo; luego la proporción de las longitudes en el dibujo debe ser de 100:1. 1 punto si se muestra, por ejemplo, un círculo de 10 cm de diáme-tro y un campo con un largo de 1 mm; 0,5 puntos si se aprecia que la proporción entre longitudes es superior a 10:1; 0 puntos en otro caso.

prueba 3. La enfermedad de Berta

1 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.2 12 h tienen 24 periodos de 30 min: 10 · 223 = 83 886 080 =

= 8,3 · 107 bacterias. 1 punto por la solución en notación científica; 0,5 puntos si se muestra la idea pero tiene algún fallo como equivocarse en el exponente de una unidad o si el resultado no está en notación científica; 0 puntos en otro caso.

3 Progresión geométrica de razón 2 porque se van multi-plicando las bacterias por 2. 1 punto por la solución razo-nada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

4 an = 10 · 2n – 1; a

1 = 10 · 21 – 1 = 10 · 1 = 10. 1 punto por

el término general y la comprobación; 0,5 puntos por el término general; 0 puntos en otro caso.

5 Es falso. Al cabo de 36 h hay 10 · 271 = 2,36 · 1022 bacterias, es decir, un número de orden 22. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por el número de bacterias si no se menciona el orden; 0 puntos en otro caso.

√——

√—

√—

2 =1,4142135=1414213510000000

3π 2 +1( )⋅ 2 −1( )⋅ 2π( )−1=

3π 2( )2−12( )

2π=3 2−1( )

2=32

π = 3,1415926 =3141592610 000000

–1 3210

1

12

10

ππ

ππ

π

ii

0

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50

100

250

150

200

300

350

400

450

500

0

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

100

200

500

300

400

600

700

matrícula 1 mes 2 meses 3 meses 4 meses ... 10 meses

Gym (pisas) 0 60 120 180 240 — 600

natura (pisas) 100 145 190 235 280 — 550

6 El crecimiento de los virus es una progresión aritmética de diferencia 1 280. Como han transcurrido 2 semanas, n = 2 · 7 · 24 = 336, por lo que 429 300 = a

1 + (336 – 1) ·

· 1 280, de donde a1 = 500; es decir, al comienzo del expe-

rimento había 500 virus en el campo de cultivo. 1 punto si la solución es correcta y está razonada; 0,5 puntos por la solución si el razonamiento es solo matemático (uso exclusivo de la fórmula del término general); 0 puntos en otro caso.

7 En ese momento las bacterias se habrán reproducido en 27 ocasiones (han transcurrido 9 h, es decir 9 · 3 = 27 inter-valos de 20 min), por lo que habrá 1 · 227 – 1 = 67 108 864 ≈ ≈ 6,7 · 107 bacterias. 1 punto por la solución correcta en notación científica; 0,5 puntos por la solución, pero no en notación científica; 0 puntos en otro caso.

8 El eje x debe ir de 0 a 10 días, y el eje y debe llegar a 512. Debe ser una línea curva del tipo siguiente y no una po-ligonal:

1 punto si se han elegido bien los ejes y las unidades y la gráfica es parecida; 0,5 puntos si la gráfica no es correcta; 0 puntos en otro caso.

9 Así nunca desaparecería del todo la infección, aunque se mantuviera constante el número de bacterias (cosa que, como se ha visto, no es así, sino que el número de bacte-rias crece de forma exponencial), con lo que, al dejar de tomar antibióticos, las bacterias volverían a reproducirse. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solu-ción correcta si no se razona adecuadamente; 0 puntos en otro caso.

10 Es falso. Aunque aparezca el número decimal en la nota-ción científica, al multiplicarlo por la potencia de 10 que-da siempre, en el caso del número de bacterias, un núme-ro natural. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

áLGebra

prueba 4. Los gimnasios

1 1 punto por a); 0 puntos en otro caso.2 Gym: 60 · 3 = 180 pisas; Natura: 45 · 3 + 100 = 135 + 100 =

= 235 pisas; Simbio: 50 · 3 + 30 = 180 pisas. Puede ele-gir Gym o Simbio. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar o por solo dos de los tres gimnasios calculados; 0 puntos en otro caso.

3 Ninguna de las mensualidades es superior a 80 pisas, ya que en cualquiera de los tres casos, la mensualidad con clases de natación es inferior a 80 pisas, por lo que debe de haber pagado la matrícula. Está matriculada en el gimnasio Simbio y es su primer mes, por lo que ha pa-gado 30 pisas de matrícula y 50 pisas de mensualidad. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solu-ción sin razonar; 0 puntos en otro caso.

4 En el gimnasio Gym, el precio anual sin natación es de 40 · 12 = 480 pisas. Como Natura es un 5% más caro, será 480 + 24 = 504 pisas; luego el semestre serán 504 : 2 = = 252 pisas. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

5 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.6 En el gimnasio Simbio se pagan 40 pisas al mes. Por tan-

to, si se asiste x meses, tendremos que pagar 40x pisas. Como además hay que abonar 30 pisas de matrícula, la expresión algebraica que representa el precio en función del número de meses es y = 30 + 40x. 1 punto por la so-lución razonada; 0,5 puntos si se comete un error de cál-culo en el razonamiento; 0 puntos en otro caso.

7 a) Si a 680 pisas le restamos las 30 pisas de matrícula y lo dividimos entre 50, resultan 13 meses (o bien, 680 = 0 + + 50x; por tanto, x = (680 – 30) : 50 = 13 meses); b) En el gimnasio Simbio, las clases de natación cuestan 10 pisas al mes; como son 13 meses, sale a 130 pisas por todas las clases. Si ha recibido 26 clases, ha pagado 130 : 26 = = 5 pisas por clase. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

8 a)

b)

1 punto por la tabla y la gráfica; 0,5 puntos por la tabla o la gráfica; 0 puntos en otro caso.

9 a) En el gimnasio Simbio, pues la función es lineal; b) Por el punto (0, 0). 1 punto por las dos respuestas; 0,5 pun-tos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

10 El punto de corte es el resultado de resolver el sistema formado por y = 60x e y = 45x + 100 (x = 6,67 e y = 400). Hasta 6 meses es más barato Gym y a partir de 7 meses es más barato Natura. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos si hay un error de cálculo; 0 puntos en otro caso.

prueba 5. Actividades deportivas

1

Como d = v · t, tenemos que d = 15 · 0,75 + 9 · 0,75 = 18 km. 1 punto por la respuesta y el esquema; 0,5 puntos por la

respuesta o el esquema; 0 puntos en otro caso.2 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.

3 pulsaciones/min

1 punto por la respuesta y la ecuación; 0,5 puntos por la respuesta o la ecuación; 0 puntos en otro caso.

4 Si x es la edad de Luis, años.

1 punto por la solución y la ecuación; 0,5 puntos por la solución sin la ecuación; 0 puntos en otro caso.

160x100

=160→ x =100 ⋅160160

=100

x −16 = 3⋅162→ x = 40

Ana Luis

v(Luis) = 15 km/hd

punto de encuentro

v(Ana) = 9 km/h

iii

5 Sustituyendo x = 3 observamos que 2 + 13 + 5 = 20. El enunciado del problema es una respuesta abierta, por ejemplo: «¿Hace cuántos años la suma de mi edad y la de mis hermanos, que tienen hoy 5 y 8 años, era exac-tamente la tercera parte de la edad de mi abuelo, que tiene hoy 60 años?». 1 punto por la comprobación y el planteamiento de un problema adecuado; 0,5 puntos por la comprobación o el planteamiento; 0 puntos en otro caso.

6 Si tiene x años hoy: x = 3(x + 3) – 3(x – 3) x = 3x + 9 – – 3x + 9 x = 18 años. 1 punto por la solución y el plan-teamiento; 0,5 puntos por la solución sin el planteamien-to; 0 puntos en otro caso.

7 Nadando 1,5 h a 2 km/h, se recorre un espacio de 2 · 1,5 = = 3 km. Por tanto, 30 vueltas son 3 km = 3 000 m, por lo que el perímetro mide 3 000 : 30 = 100 m. Como la anchu-ra es una cuarta parte de la longitud, tenemos que si de ancho mide x, de largo mide 4x, y como el perímetro son 100 m resulta: 2x + 2 · 4x = 100 2x + 8x = 100 10x = = 100 x = 10 m. Anchura: 10 m; longitud: 4 · 10 = 40 m. 1 punto por la solución y el razonamiento; 0,5 puntos por la solución sin un razonamiento adecuado; 0 puntos en otro caso.

8

1 punto por el esquema y la expresión; 0,5 puntos por el esquema o la expresión; 0 puntos en otro caso.

9 a) Si han pagado 1 120 pisas por pintar la piscina a 5 pi-sas/m2, las paredes internas de la piscina miden 1 120 : 5 == 224 m2. Las paredes internas de la piscina tienen un área de:

Sustituyendo este valor de x, obtenemos que las dimen-siones de la piscina son 20 × 4 × 3 m. b) V = 20 · 4 · 3 = = 240 m3 = 240 000 dm3 = 240 000 L. 1 punto por las dos soluciones; 0,5 puntos por la solución del apartado a); 0 puntos en otro caso.

10 En 1 h, la primera manguera llena 1/2 piscina, y la segun-da llena 1/4. Por tanto, en 1 h, las dos mangueras juntas llenan:

1 punto por la solución y el planteamiento; 0,5 puntos por la solución sin el planteamiento adecuado; 0 puntos en otro caso.

prueba 6. De excursión a la granja

1

Irene está en lo cierto, porque el espacio recorrido por el autocar en 1,5 h ha de ser el mismo que el espacio recorrido por la motocicleta en 1 h; es decir, 80 · 1,5 = v ·· 1 v = 120 km/h. 1 punto por la solución mediante un razonamiento correcto; 0,5 puntos por la solución si el razonamiento es confuso; 0 puntos en otro caso.

2 1 punto por a) y b); 0,5 puntos por a) o b); 0 puntos por d).3

1 punto si la gráfica es correcta; 0,5 puntos si la gráfica es correcta en líneas generales pero le faltan detalles; 0 pun-tos en otro caso.

4 f(x) = 0,6x. 1 punto si la función es correcta; 0,5 puntos si solo se indica 0,6x; 0 puntos en otro caso.

5 Si en el instante inicial había C coches, transcurrida me-

dia hora había . Si el número de coches ha aumenta-

do en x% en esa media hora, tenemos que

La respuesta no depende de la cantidad inicial de co-ches. 1 punto por la respuesta y la ecuación; 0,5 puntos por la respuesta o la ecuación; 0 puntos en otro caso.

6 Circulando a 60 km/h se recorren 23 km; es decir, 23 : 60 == 0,383 h ≈ 23 min. Tardará más. 1 punto por la solución y el razonamiento; 0,5 puntos por la solución sin un razo-namiento adecuado; 0 puntos en otro caso.

7 a) Si x = bocadillos de tortilla e y = bocadillos de jamón, se cumple:

b)

1 punto si se plantea y resuelve correctamente el sistema y la gráfica; 0,5 puntos por el sistema o la gráfica; 0 pun-tos en otro caso.

8 Si x = patos e y = conejos, se cumple:

1 punto si se plantea y resuelve correctamente el siste-ma; 0,5 puntos si se plantea correctamente pero hay al-gún error de cálculo; 0 puntos en otro caso.

9 Si x = base e y = altura, se cumple:

El perímetro de la valla mide .

El pintor cobrará aproximadamente 810 pisas. 1 punto por la solución y el planteamiento del sistema; 0,5 pun-tos si se plantea correctamente el sistema pero hay al-gún error de cálculo; 0 puntos en otro caso.

(1 día y 8 h)

x −16 = 3⋅162→ x = 40

x −16 = 3⋅162→ x = 40

x −16 = 3⋅162→ x = 40

x −16 = 3⋅162→ x = 40

x −16 = 3⋅162→ x = 40

x −16 = 3⋅162→ x = 40

D = x 2+ 5x( )2 +

x2+1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

2xx2+1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+2 ⋅5x

x2+1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+5x ⋅ x = 224→ x 2

+2x +5x 2+10x +5x 2

= 224→11x 2+12x = 224→ x = 4.

12+14=1x→ x =

43→ x =1,

3

2xx2+1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+2 ⋅5x

x2+1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+5x ⋅ x = 224→ x 2

+2x +5x 2+10x +5x 2

= 224→11x 2+12x = 224→ x = 4.

2xx2+1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+2 ⋅5x

x2+1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+5x ⋅ x = 224→ x 2

+2x +5x 2+10x +5x 2

= 224→11x 2+12x = 224→ x = 4.

54C

54C =

100+ x100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟C→

54=100+ x100

→500 = 400+ 4x→ x =1004

= 25%

54C =

100+ x100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟C→

54=100+ x100

→500 = 400+ 4x→ x =1004

= 25%

x + y = 22,5x +3y =75⎧⎨⎩

→x =18y =75

⎧⎨⎩

x +1= 2y

2x + 4 y −1( )+3= 93⎧⎨⎩⎪

→x = 23y =12

⎧⎨⎩

x = 2y

x 2+ y 2

= 32

⎧⎨⎩⎪

→x =

6 55

y =3 55

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2x +2y =18 55

≈ 81m2x +2y =18 55

≈ 81mpunto de

encuentrov(autocar) = 80 km/h

autocar

motocicleta

tiempo (h)

esp

acio

(km

)

v(motocicleta) = v km/h

d

5x

x x + 1 2

x + y = 28

2,5x + 3y = 75

0

10

10

20

20

30

30

solución: P (18,10)

iV

10 Respuesta abierta, por ejemplo: «Sabiendo que somos 28 alumnos, calcula la edad de doña Francisca y la de un alumno teniendo en cuenta: 1.º) Que la suma de las eda-des del alumno y de doña Francisca es 107; y 2.º) Que su edad es solo la quinta parte de la suma de las edades de todos los alumnos». 1 punto si se inventa un problema que se resuelva mediante un sistema; 0,5 puntos si se inventa un problema pero no hace falta resolverlo me-diante un sistema o no se puede resolver; 0 puntos en otro caso.

GeomeTrÍa

prueba 7. La tienda de belenes

1 1 punto por d); 0 puntos en otro caso.2 Local: 10 · 6 = 60 m2; aseos y almacén: 2 · 2 = 4 m2; despa-

cho y trastero: 2 · 3 = 6 m2. 1 punto por las tres respuestas, 0,5 puntos por dos respuestas; 0 puntos en otro caso.

3 Usando el teorema de Tales, debe guardar la proporción

. 1 punto por la solución razonada;

0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

4 Lo más conveniente es colocar el mostrador a la izquier-da en vertical y poner dos estanterías de unos 5 m de largo (incluso podrían ser 6 m) por 1 m de ancho, como indica la figura:

1 punto por el dibujo correcto con estanterías de 5 o 6 m de largo; 0,5 puntos por el mostrador en horizontal con estanterías de 8 m pero sin dejar el espacio de 1 m entre paredes, estanterías y mostrador; 0 puntos en otro caso.

5 La proporción entre la longitud y la altura será de 2 a 1, pues 6/3 = 2/1. Sin embargo, no se puede dar la dimen-sión del cuadro, pues no se sabe ni el largo ni el alto que se desea. 1 punto por las dos respuestas razonadas; 0,5 pun-tos por una respuesta razonada; 0 puntos en otro caso.

6

1 punto por la solución desarrollada correctamente; 0,5 puntos por la solución sin desarrollar; 0 puntos en otro caso.

7 Hay que usar el teorema de Pitágoras. El largo que recorre es 5 m de la pared de la izquierda y 3,5 m hasta la entrada, lo que hace un total de 8,5 m de largo y 1,80 m de alto. Usando el teorema de Pitágoras, el cable medirá:

1 punto por la respuesta y los cálculos; 0,5 puntos por la respuesta sin los cálculos o si se indican los cálculos con la idea principal pero con un error; 0 puntos en otro caso.

8 No es cierta la afirmación, pues si la proporción de las altu-ras es del doble, entonces la proporción entre las áreas será cuatro veces mayor y la proporción entre los volúmenes será ocho veces mayor. La sensación de un belén a otro será que el belén grande es mucho más que el doble del belén pequeño. 1 punto por la respuesta justificada; 0,5 puntos por la respuesta sin justificar; 0 puntos en otro caso.

9 El más alto, 25 cm, sirve para trazar la recta de las coronas.

Usando el teorema de Tales …

Se obtienen las distancias de los reyes al borde de la mesa, que son de 32, 48, 60, 80 y 100 cm. 1 punto por la distancia entre los reyes; 0,5 puntos por usar el teore-ma de Tales adecuadamente pero sin hallar los resulta-dos; 0 puntos en otro caso.

10

1 punto por el espejo y la trayectoria de la visual; 0,5 pun-tos por el espejo o la trayectoria; 0 puntos en otro caso.

prueba 8. Los logotipos de automóviles

1 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.2 A partir de un círculo se puede conseguir el logotipo de

Audi mediante traslaciones horizontales o bien utilizan-do simetrías axiales (rectas verticales). 1 punto por los dos movimientos; 0,5 puntos por uno de los dos movi-mientos; 0 puntos en otro caso.

3 Con un giro de 90º no coinciden los colores, pero sí con un giro de 180º. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

4 120º o 240º. 1 punto por los dos ángulos; 0,5 puntos por un ángulo; 0 puntos en otro caso.

5 a) Citroën y Renault (este último considerando los co-lores); b) Citroën, Mercedes, Mitsubishi y Renault (con-siderando los colores). 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por la mitad de las marcas correctas como mínimo y ningún error; 0 puntos en otro caso.

6 Giro de 90º o 270º Giro de 180º

10,5

=3x→ x =1,5m

100 ⋅1+ 52

=166,8 cm

25100

=20O ′B

25100

=15O ′C

espejo

,

0

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

15

5

20

25 A

B

C

D

A’B’C’D’

E

8

1215

2025

E’

espejoespejo

Fvisualnacimiento

El área del logotipo se multiplica por cuatro.1 punto por las dos figuras y la respuesta; 0,5 puntos por una de las dos figuras y la respuesta o por las dos figuras sin res-puesta; 0 puntos en otro caso.

Oficina

Entrada

2 metros

Aseos Almacen Trastero

V

7

1 punto por las dos soluciones; 0,5 puntos por una solu-ción correcta o si faltan dos ejes de simetría; 0 puntos en otro caso.

8 . 1 punto por la respuesta correcta; 0,5 puntos si se usa el teorema de Pitágoras correctamente pero la suma no es correcta; 0 puntos en otro caso.

9 Respuesta abierta, sirve cualquiera a partir de un pentá-gono regular, por ejemplo:

1 punto por un logotipo correcto; 0,5 puntos por un lo-gotipo que tenga algún fallo, si la idea general es correc-ta; 0 puntos en otro caso.

10 Respuesta abierta; puede servir algo basado en un trián-gulo equilátero, por ejemplo trasladar un círculo a los vértices del triángulo equilátero:

1 punto por el logotipo correcto; 0,5 puntos por el logoti-po con la idea pero con algún fallo; 0 puntos en otro caso.

prueba 9. Los aprendices de orfebrería

1 La inscripción mide un tercio de la altura y dos tercios de la anchura, luego no es proporcional a la placa. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

2 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.3 Algo parecido a esto:

1 punto por una solución correcta; 0,5 puntos por la so-lución con un error; 0 puntos en otro caso.

4 No es posible, ya que por cada piedra que no esté en las rectas de simetría hay otras tres, luego serán múltiplos de cuatro. Si hay una piedra en una recta, debe haber una piedra simétrica respecto de la otra recta, luego no puede haber un número impar. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 pun-tos en otro caso.

5 675 · 0,3 = 202,5 cm3. 1 punto por el resultado con los cálculos; 0,5 puntos por el resultado sin los cálculos; 0 puntos en otro caso.

6 1 200 mm3 = 1,2 cm3. 1 punto por las dos cifras; 0,5 pun-tos por una cifra; 0 puntos en otro caso.

7 El dibujo será algo así:

Área de la base: A = 10 · 10 = 100 m2; altura de uno de los triángulos laterales (usando el teorema de Pitágoras):

h = 52+122( )→ h = 169→ h =13mm ; área del trián-

gulo lateral: ; área de los cuatro trián-

gulos: A = 65 · 4 = 260 mm2; área total: 260 + 100 = = 360 mm2. 1 punto por el dibujo y el área total; 0,5 pun-tos por el dibujo y la longitud de la altura del triángulo; 0 puntos en otro caso.

8 La proporción entre las alturas es . La proporción

entre los volúmenes es el cubo de la proporción entre las

alturas: . 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos

por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

9 Una forma de hacerlo es cortando la pirámide por un plano que pase por el vértice superior y por los puntos medios de dos bases opuestas del cuadrado. Otra es cor-tando por un plano que pase por el vértice superior y por dos vértices opuestos del cuadrado. 1 punto por la res-puesta correcta justificada; 0,5 puntos si se indica cómo realizar una mitad; 0 puntos en otro caso.

10 ; otra forma más sencilla de hallar

el radio es calcular el diámetro y dividir entre 2. 1 pun-to por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

esTadÍsTica y probabiLidad

prueba 10. La cafetería de Sofía

1 1 punto por d); 0 puntos en otro caso.2 No es correcto, porque tan solo contestaron 200 de los

500 clientes. Dejando esto claro, sí que se podría decir algo del tipo «a partir de los datos de la encuesta…» o «de las personas que contestaron la encuesta…». 1 pun-to por la solución justificada; 0,5 puntos por la solución sin justificar; 0 puntos en otro caso.

3

Las frecuencias absolutas relativas no coinciden con el porcentaje; para ello habría que multiplicarlo por 100. El porcentaje de personas no contentas con el servicio sería de 2,5 + 5 + 15 = 22,5%. 1 punto por las soluciones correctas; 0,5 puntos por la tabla y la respuesta a una de las dos preguntas; 0 puntos en otro caso.

4

puntuación fi Fi

0 5 0,0251 10 0,052 30 0,153 45 0,2254 65 0,3255 40 0,26 5 0,025

A=13⋅102

= 65mm2

2012

=53

53

33

V =4π r 3

3→ r =

3V4π

3

2,5% puntuación 02,5% puntuación 6

20% puntuación 5

32,5% puntuación 4

5% puntuación 1

15% puntuación 2

22,5% puntuación 3

π

π

Vi

La respuesta 0 y la respuesta 6 se pueden intercambiar por tener los mismos porcentajes. 1 punto por cada res-puesta con su sector y porcentaje; 0,5 puntos por una de las dos soluciones o por las dos soluciones si hay dos errores; 0 puntos en otro caso.

5 Cuando se trata de representar variables cualitativas en un diagrama de barras, estas deben aparecer separadas. 1 punto por la respuesta; 0,5 puntos por la idea si no está bien expresada; 0 puntos en otro caso.

6 Cuando se toman demasiados intervalos, como sería to-mar 20 intervalos en este caso, aparecerá más precisa la media y otros parámetros, pero hará falta un gran tra-bajo. Con solo 2 intervalos sería menos trabajo pero los parámetros no representarían adecuadamente a la po-blación. 1 punto por los dos razonamientos; 0,5 puntos por un razonamiento; 0 puntos en otro caso.

7

1 punto por la tabla completa; 0,5 puntos por dos errores como máximo; 0 puntos en otro caso.

8 La media es (5 · 20 + 15 · 30 + 25 · 50 + 35 · 60 + 45 · 30 + + 55 · 10) : 200 = 29. Todos los clientes fueron 500, luego el cálculo correcto es 500 · 29 = 14 500 pisas. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

9 Se toma como moda la marca de clase del intervalo con mayor frecuencia absoluta; en este caso, 35. La mediana deja, una vez ordenados los datos, el 50% de los datos por detrás y por delante de ella. En este caso, el 50% de los datos está justo al acabar el intervalo [20, 30); luego la mediana será la media entre las marcas de clase de los intervalos [20, 30) y [30, 40), esto es, la media de 25 y 35, luego la mediana es 30. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

10

1 punto por el histograma correctamente dibujado; 0,5 puntos si el diagrama presenta las barras separadas o contiene algún otro fallo; 0 puntos en otro caso.

prueba 11. Bodas, bautizos y comuniones

1 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.

2 a) ; b) . 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos

por una respuesta; 0 puntos en otro caso.3 Tómbolo. P (boda + boda) = 4/8 · 3/7 y P (Tómbolo +

+ Tómbolo) = 5/8 · 4/7; pero vale con decir que en Tóm-bolo se celebrarán 5 eventos mientras que solo hay 4 bo-das. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

4

Hay 10 formas distintas. 1 punto por la respuesta con el árbol; 0,5 puntos por el árbol con un error; 0 puntos en otro caso.

5 Hay que dar tres fechas para las bodas de las cinco posi-bles; son combinaciones sin repetición de cinco elemen-

tos tomados de tres en tres: formas.

1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solu-ción sin razonar; 0 puntos en otro caso.

6 Son un tipo especial de variaciones que se llaman permu-taciones por utilizar todos los elementos. Son 5! = 5 · 4 · · 3 · 2 · 1 = 120 posibilidades. 1 punto por las dos respues-tas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

7 La misma que en el ejercicio anterior, siguen siendo per-mutaciones de cinco elementos. Se puede pensar que una seguirá siendo la primera, otra la segunda… y otra la quinta. Esto es, 5!. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

8 Podemos pensar en los niños que hay entre las dos ni-ñas: estas pueden estar juntas, puede que haya un niño en medio (habría tres por el otro lado), que haya dos ni-ños en medio (habría dos por el otro lado) y no hay más posibilidades. La representación puede ser:

1 punto si se dan las tres posibilidades y se representan adecuadamente; 0,5 puntos si se representan dos res-puestas correctas; 0 puntos en otro caso.

9 Dejando a María y Ana fijas, hay cuatro sillas para cuatro niños, luego son permutaciones de cuatro elementos: 4! = 24 formas. Como las niñas pueden intercambiar sus asientos: 24 · 2 = 48 formas. 1 punto por la respuesta ra-zonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar o si solo se indica el resultado; 0 puntos en otro caso.

10 Pablo, María y Carlos en una fila; David, Ana y Jaime en otra. 1 punto por la respuesta correcta; 0,5 puntos si hay un fallo como máximo; 0 puntos en otro caso.

prueba 12. Una fi nal olímpica

1 1 punto por a); 0 puntos en otro caso.2

eua puntos

Chandler 2

Durant 30

James 19

Bryant 17

Paul 11

españa puntos

P. Gasol 24

Rudy 14

Navarro 21

Calderón 0

M. Gasol 17

intervalo(pisas)

marca de clase

fi Fi

[0, 10) 5 20 = 0,1 20 = 0,1

[10, 20) 15 30 = 0,15 50 = 0,25

[20, 30) 25 50 0,25 100 0,5

[30, 40) 35 60 0,3 160 0,8

[40, 50) 45 30 0,15 190 0,95

[50, 60) 55 10 0,05 200 1

Total 200 1

fin

20200

20200

30200

50200

Fi

n

35

34

C35=

5!3!⋅2!

=5⋅42

=10

0

0

10 20 30 40 50 60

20

10

30

40

50

60

B

B

b

b

B

b

BBBBbb

BBbBb

BBbbB

BbBBb

BbBbB

BbbBB

bBBBb

bBBbB

bBbBB

bbBBB

b

B

b

B

B

b

A

AO

O O

O

A

OO

O A

O

A

OO

O O

A

Vii

1 punto por la tabla completa con un error como máxi-mo; 0,5 puntos si hay tres errores como máximo; 0 pun-tos en otro caso.

3 Media: 201,2; desviación típica: 10,83. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

4 Las medias de EUA y España son 201,2 y 201,6 respec-tivamente, y las desviaciones típicas son 10,83 y 11,09 (si bien no es necesario calcular la media y la desviación típica de España). Una mayor desviación típica significa una mayor dispersión de los datos. 1 punto por los datos y la explicación correcta; 0,5 puntos si se explica pero no queda claro (por ejemplo, si no se habla de dispersión); 0 puntos en otro caso.

5 Durant: 90%; Rudy: 87,5%. Estuvo mejor Durant. 1 punto por los dos porcentajes y la respuesta correcta; 0,5 pun-tos por un porcentaje correcto; 0 puntos en otro caso.

6 EUA: 15/37 (41%); España: 7/19 (37%). 1 punto por las dos soluciones; 0,5 puntos por una solución; 0 puntos en otro caso.

7 a) 7/35 = 0,2; b) 7/22 = 0,3182. 1 punto por las dos solucio-nes; 0,5 puntos por una solución; 0 puntos en otro caso.

8 Para tener una media de 19,5 puntos en 8 partidos hay que meter 19,5 · 8 = 156 puntos en los 8 partidos, lo cual es po-sible. Para tener una media de 19,1 puntos en 8 partidos hay que meter 19,1 · 8 = 152,8 puntos en los 8 partidos, lo cual es imposible. 1 punto por las respuestas razonadas; 0,5 puntos por las respuestas sin razonar o si solo una es correcta; 0 puntos en otro caso.

9 a)

b) Diagrama de sectores (el primer cuarto es el que está arriba a la derecha y los siguientes cuartos son los si-guientes sectores en el sentido de las agujas del reloj):

1 punto por la tabla completa y el diagrama de sectores; 0,5 puntos por la tabla y parte del diagrama; 0 puntos en otro caso.

10 «Los equipos estaban compuestos por 12 jugadores, de los cuales solo 5 jugaban en la cancha. ¿De cuántas for-mas distintas podían elegirse estos 5 jugadores?». O bien: «Durante el partido hubo 12 canastas de bella ejecución, de las cuales una cadena de televisión solo tiene tiempo para retransmitir 5. ¿De cuántas formas distintas puede elegirlas?». 1 punto por un enunciado correcto; 0,5 pun-tos si el enunciado es ambiguo; 0 puntos en otro caso.

GLobaL

prueba 13. Alegría doble

1 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.2 No aparecen las unidades: se trata de semanas y gramos.

1 punto si se identifica el error y se añaden las unidades;

0,5 puntos si se identifica el error pero se indica alguna unidad incorrectamente; 0 puntos en otro caso.

3 a) La recta es de la forma y = mx + n. Como la recta debe pasar por (24, 30) y por (30, 40), se debe verificar que 30 = m · 24 + n y 40 = m · 30 + n. Cambiando el signo a la primera y sumando se obtiene 10 = m · 6, por lo tanto

. Luego .

La recta es ; o bien 5x – 3y = 30.

b) A las 27 semanas será:

También puede calcularse suponiendo que el aumento es constante. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

4

Las opciones son: niño-niño, niño-niña, niña-niño y niña-niña; todas tienen igual probabilidad: 1/4. Luego niño- niño y niña-niña tienen una probabilidad de 1/4 y «la parejita» tiene una probabilidad de 1/2. 1 punto por el resultado y el diagrama; 0,5 puntos por el resultado o el diagrama; 0 puntos en otro caso.

5 a) La probabilidad será: 0,02 · 0,02 = 0,0004; b) La proba-bilidad será: 0,02 · 0,98 + 0,98 · 0,02 = 0,0392. 1 punto por los dos resultados; 0,5 puntos por un resultado; 0 puntos en otro caso.

6

La escala puede ser de 1:50, de forma que 1 cm del dibujo sea 0,5 m reales. 1 punto por el dibujo a escala; 0,5 puntos por el dibujo si la escala es incorrecta; 0 puntos en otro caso.

7 Un bebé con 2 000 g tenía para 2 meses, luego un bebé con 1 000 g tiene para 1 mes. Si compra 4 · 800 = 3 200 g, un bebé con 3 200 g tendrá para 3,2 meses y dos bebés con 3 200 g tendrán para 1,6 meses. También se puede calcular mediante una regla de tres compuesta. 1 punto por el resultado razonado; 0,5 puntos por el resultado sin razonar o por el razonamiento sin concluir; 0 puntos en otro caso.

8 Hay la misma cantidad. Al quedar 200 g en los dos bi-berones, la cantidad que falta en uno está en el otro. Por ejemplo, si hubiera 1/5 de leche con cereales A en el segundo biberón, sería porque hay 1/5 de leche con cereales B en el primer biberón. 1 punto por el resultado razonado; 0,5 puntos por el resultado sin razonar; 0 pun-tos en otro caso.

9 Cada bote contiene 800 g = 800 cm3; como están llenos en sus 4/5, la capacidad del bote es de 1 000 cm3. Como el volumen del cilindro viene dado por la fórmula πr2 · h =

= 1 000 cm3, resulta que:

1.º 2.º 3.º 4.º

eua 35 24 24 24

españa 27 31 24 18

cuarto

m=106=53

30 =53⋅24+n→30 = 40+n→ n = −10

y =53x −10

y =53⋅27−10→ y = 45−10→ y = 35 cm

niñoniño

niño

niña

niñaniña

Viii

1 punto por la altura con los cálculos y la fórmula; 0,5 pun-tos por la capacidad del bote y la fórmula del volumen o si se halla el volumen con los 800 cm3; 0 puntos en otro caso.

10 De cada 100 niños que nacen, solo 3 pesan menos que ellas. 1 punto por el significado de percentil 3; 0,5 pun-tos si la respuesta no es precisa, del tipo «pesan poco»; 0 puntos en otro caso.

prueba 14. La gasolinera

1 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.2 Se puede hacer con los puntos (0, 3 000) y (2, 3 500) y

resulta la recta y = 250x + 3 000. 1 punto por la recta; 0,5 puntos por los puntos si la recta es incorrecta; 0 pun-tos en otro caso.

3

Puede entenderse que en julio y agosto desciende el número de visitas por las vacaciones. En diciembre tam-bién puede descender algo, pero no tanto como en ve-rano (son menos días festivos). En octubre, noviembre y diciembre es razonable un número de visitas superior a 2 500 e inferior a 4 000. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

4 a)

b) Vcubo

= 53 = 125 m3; Vpirámide

; luego,

en el depósito caben 125 + 25 = 150 m3 = 150 000 dm3 = = 162 700 L. 1 punto por el esquema y los resultados; 0,5 puntos por el esquema o el resultado final; 0 puntos en otro caso.

5 a) Dejó de lo que quedaba, y lo que quedaba es

; luego nos dejó .

b) Lo que quedó en el camión fueron .

Como volvió con 2 000 L: · carga máxima = 2 000 L, la

carga máxima son 12 000 L. 1 punto por las dos solucio-nes; 0,5 puntos por una solución; 0 puntos en otro caso.

6 Es posible asegurarlo independientemente de la velo-cidad que lleve el camión. Basta con imaginar que el mismo día salen dos camiones, uno a las 14.00 h de la gasolinera y otro a las 14.00 h del depósito central y re-piten el recorrido. En algún momento se encontrarán. 1 punto por la argumentación correcta; 0,5 puntos si la respuesta es afirmativa pero no se argumenta correcta-mente; 0 puntos en otro caso.

7 En una hora, las dos mangueras vacían del depósito,

mientras que por separado, en una hora, una vaciaría

y la otra, . Por lo tanto, se verifica que:

Las mangueras por separado tardarían 6 h y 12 h. 1 pun-to por el resultado si el desarrollo es correcto; 0,5 puntos si el desarrollo es correcto pero contiene un error; 0 pun-tos en otro caso.

8 Si algo vale 100 y sube un 20%, costará 120. Si lue-go aumenta un 10%, costará 132; luego, la subida es del 32%. 1 punto por el resultado con las operaciones; 0,5 puntos por el resultado sin las operaciones; 0 puntos en otro caso.

9 a) ; b)

1 punto por los dos resultados con las operaciones; 0,5 puntos por un resultado; 0 puntos en otro caso.

10 Es más beneficioso tres lavados al precio de dos: en este caso, con tres lavados te regalan uno. En el caso de la se-gunda unidad a mitad de precio, sería necesario adquirir cuatro lavados para que te regalaran uno. 1 punto por la respuesta justificada; 0,5 puntos por la respuesta sin justificar; 0 puntos en otro caso.

1x+

1x +6

=14→ 4 x +6( )+ 4x = x x +6( )→ 4x +24+ 4x = x 2

+6x→ x 2−2x −24 = 0→ x = 6

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

= 0,2373 1−14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

= 0,999

1x+

1x +6

=14→ 4 x +6( )+ 4x = x x +6( )→ 4x +24+ 4x = x 2

+6x→ x 2−2x −24 = 0→ x = 6

79⋅34=2136

=712

57⋅712

=512

14 1

x

1x

1x +6

27⋅712

=212

=161

6

57

0E F M A M J J A S O N D

500

1 000

1 500

3 000

3 500

4 000

Número de visitas

2 000

2 500

Número de visitas