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Números IrracionalesInconmensurabilidad

ContenidosArtículos

Número irracional 1Raíz cuadrada de 2 2Raíz cuadrada de 3 7Raíz cuadrada de 5 8Número áureo 12Número π 26Número e 46

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 53Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 54

Licencias de artículosLicencia 55

Número irracional 1

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde

y son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que noes racional.

NotaciónNo existe una notación universal para indicarlos, como , que es generalmente aceptada. Las razones son que elconjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ),los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tanapropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, locual puede crear confusión.Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.

ClasificaciónTras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podríaparecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de losnúmeros reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan losnúmeros racionales.Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dosenteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse alnúmero irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solouna aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifrasdecimales no periódicas.Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales quehacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tresprincipales son los siguientes:1. (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

2. e (Número "e" 2,7182 ...):

3. (Número "áureo" 1,6180 ...):

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito deradicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro medianteoperaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier ordenson irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica

, por lo que es un número irracional algebraico.2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente,

Número irracional 2

como los dos siguientes:

...

...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuaciónalgebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de losnúmeros naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de losirracionales.

Enlaces externos• Números Irracionales [1] Más información sobre números irracionales

Referencias[1] http:/ / numerosirracionales. com

Raíz cuadrada de 2

equivale a la longitud de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo e isósceles cuyos catetos tienen una longitud igual a launidad.

La raíz cuadrada de 2, o simplemente raíz de 2 sedefine como el único número real positivo tal que,multiplicado por sí mismo, es igual a 2. La notacióntradicional, utilizando el símbolo de radicación es , utilizando la notación de potencias: 20,5. La raízcuadrada de 2 es un número irracional (más aún,algebraico), su valor numérico es aproximadamente1.4, y truncado en 75 dígitos decimales es:[1]

.La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primernúmero irracional conocido. Geométricamente equivalea la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo ladoes igual a la unidad, lo cual se deduce del teorema dePitágoras, también conocida como constantepitagórica.[cita requerida]

Este número tiene numerosas aplicaciones en la vidacorriente:• las hojas de papel en formato internacional (ISO

216) están en proporción largo/ancho igual a √2;• en música, la razón de frecuencias de la cuarta aumentada de la gama temperada vale √2;• en electricidad, la máxima tensión de la corriente alterna monofásica vale √2 del valor eficaz indicado

(generalmente 110 o 220 voltios);• en fotografía, la sucesión de valores de apertura del diafragma son los valores aproximados de una progresión

geométrica de razón √2.

Raíz cuadrada de 2 3

HistoriaLas tablas babilónicas del (YBC 7289) (c. 2000–1650 a. C.) proporcionan una aproximación de en cuatrodígitos sexagesimales, que es similar a seis cifras decimales:[2]

.

Otra aproximación antigua a este número irracional se da en la antigua India por los textos matemáticos, elSulbasutras (c. 800—200 a. C.) diciendo: Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por sutres cuartas y su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro.[3] Esto es

El descubrimiento de la raíz cuadrada de 2 como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hipasode Metaponto, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad.La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar unaexpresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, yesto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio encontra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Algoritmo computacionalExiste una gran cantidad de algoritmos empleados la aproximación de la raíz cuadrada de 2. El más común de losalgoritmos para averiguar una aproximación en computadores o calculadoras es el denominado método babilónico[4]

de cálculo de las raíces cuadradas, siendo éste uno de los muchos empleados para el cálculo de raíces cuadradas.Funciona como sigue:Se toma en primer lugar un valor arbitrario, que denominaremos, ; esta primera aproximación importa poco, esconsiderada sólo como un punto de comienzo del algoritmo y afecta en cuantas iteraciones debe hacer el algoritmohasta alcanzar la aproximación con una precisión requerida. Entonces, empleando esta suposición inicial, se procedea iterar mediante la siguiente cómputo recursivo:

Cuanto más iteraciones se hagan mediante este algoritmo (es decir más cálculos con un valor de n grande), seobtendrá una mejor aproximación del valor real de raíz cuadrada de 2.

El valor de ha sido calculado hasta 137.438.953.444 posiciones decimales por el equipo de Yasumasa Kanadaen el año 1997. Entre las constantes matemáticas con cifras no periódicas, sólo π ha sido calculado con mayorprecisión.[5]

Raíz cuadrada de 2 4

Pruebas de irracionalidadExisten varias pruebas de la irracionalidad de basadas en el método del descenso infinito y en el método dereducción al absurdo, que se fundamenta en suponer que es un número racional y llegar, utilizandorazonamientos rigurosamente correctos, a una contradicción, lo que hace concluir que la primera suposición tieneque ser falsa.

Prueba geométrica

Se fundamenta en el método del descenso infinito. Es una construccióngeométrica clásica de regla y compás, probando el teorema por unmodo muy similar a como lo hacían los antiguos geómetras griegos.Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa de longitudde m y catetos de longitud n. Por el teorema de Pitágoras, n ² + n ² = m² ; 2n ² =m ² ; = m/n. Supongamos que m y n son números enteros.Trazamos los arcos BD y CE con centro en A. Unimos DE. Se sigueque AB = AD, AC = AE y el ∠BAC y el ∠DAE coinciden. Por lo tantolos triángulos ABC y ADE son congruentes por tener dos lados igualesy el ángulo comprendido también. Como ∠EBF es un ángulo recto y∠BEF es la mitad de un recto, BEF es también un triángulo rectánguloisósceles. Se cumple que BE = BF = m − n. Razonando análogamente,FDC es también un triángulo rectángulo isósceles, con catetos DF =DC = m − n, y con hipotenusa FC = n − (m − n) = 2n − m, que sonnúmeros también enteros y menores a n y m respectivamente. Al serABC y FDC dos triángulos semejantes podemos repetir el anteriorproceso de forma recurrente. Con las longitudes de las hipotenusas y con las de los catetos de los sucesivostriángulos, obtenemos dos sucesiones de números enteros estrictamente decrecientes que no son finitas, lo cual esimposible porque si n y m son enteros debe existir una fracción irreducible. Esta contradicción nos hace concluir quela suposición de que m y n son números enteros es falsa y que no puede ser una fracción con m y n enteros,por tanto tiene que ser un número irracional.

Prueba basada en argumentos de paridad

1. Se asume que: es un número racional, con ello se sabe que existen dos números enteros a y b tal que sesatisfaga que la fracción a / b = .

2. Entonces puede ser escrito como una fracción irreducible (la fracción es reducida tanto como sea posible) a /b tal que a y b son números primos entre sí y (a / b)² = 2.

3. Se sigue que a² / b² = 2 y a² = 2 b².4. Por lo tanto a² es par debido a que es igual a 2 b² lo cual es obvio.5. Se sigue que a debe ser número par. (Los números impares tienen raíces impares y los pares tienen raíces pares.)6. Debido a que a es par, entonces existe un número entero k tal que satisface: a = 2k.7. Insertamos la última ecuación de (3) en (6): 2b² = (2k)² es equivalente a 2b² = 4k² es equivalente a b² = 2k².8. Debido a que 2k² es par se deduce que b² es también par lo que significa que b es par porque sólo los números

pares tienen raíces cuadradas pares.9. Como (4) y (8) a y b son ambos pares, lo que contradice que a / b es irreducible tal y como se afirmó en (2).como se ha encontrado una contradicción al asumir en (1) que es un número racional, se deduce que estaafirmación es falsa. Se demuestra entonces lo contrario: es irracional.

Raíz cuadrada de 2 5

Prueba más general (y simple)

Supongamos que es un número racional. La escribimos en forma de fracción irreducible a/b . Esto significa quea y b son enteros sin factores primos comunes. De donde se deduce que a² y b² tampoco pueden tener factorescomunes. Por lo que la fracción a²/b² será también irreducible y tendrá una única expresión que será a²/b² = 2/1, loque implica a² = 2, lo cual es imposible ya que a es un número entero. La contradicción ha aparecido.Esta prueba puede ser generalizada para mostrar como cualquier raíz de cualquier número natural es o bien unnúmero natural o un número irracional.

Propiedades de la raíz cuadrada de dosLa mitad de , es aproximadamente 0,70710 67811 86548, y es muy usado en geometría y trigonometría,debidoa que el vector unitario que hace un ángulo de 45° con los ejes de un plano tiene como coordenadas:

Este número satisface:

Una propiedad interesante de la raíz cuadrada de dos es la que sigue:

Este resultado es una propiedad de la razón plateada.La raíz cuadrada es conocida también como una fracción continua

Series y representaciones en productos

La identidad , mediante un producto infinito de senos y cosenos, queda como sigue

y

o equivalentemente

El número puede ser expresado mediante una expansión en serie de Taylor de una función trigonométrica. Porejemplo, las series para da

La serie de Taylor de: x = 1 proporciona:

Raíz cuadrada de 2 6

La convergencia de esta serie puede ser acelerada por una transformada de Euler, produciendo

No se sabe si puede ser representado con una fórmula de tipo BBP. Sin embargo, si se conocen las fórmulas detipo-BBP para π y para . [6]

Distintas expresionesBinario: 1.0110101000001001111...Decimal: 1.4142135623730950488...Hexadecimal: 1.6A09E667F3BCC908B2F...

Fracción continua:

Bibliografía• Flannery, David (2005). The Square Root of Two. Springer. ISBN 0-387-20220-X.• Fowler, David; Eleanor Robson (noviembre 1998). «Square Root Approximations in Old Babylonian

Mathematics: YBC 7289 in Context [7]» (PDF). Historia Mathematica 25 (4):  pp. 366-378.• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: [8]. Incluye información de como calcular dígitos de .• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra [9]

• Weisstein, Eric W. «Pythagoras's Constant [10]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] (sucesión A002193 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002193) en OEIS)[2] Fowler and Robson, p. 368.

Fotografía, ilustración, y descripción de la root(2) tablilla procedente de la "Yale Babylonian Collection" (http:/ / it. stlawu. edu/ ~dmelvill/mesomath/ tablets/ YBC7289. html)Fotografías de alta resolución y análisis descriptivo de las tablas de la root(2) (YBC 7289) procedente de la "Y"ale Babylonian Collection"(http:/ / www. math. ubc. ca/ ~cass/ Euclid/ ybc/ ybc. html)

[3][3] Henderson.[4] Aunque se denomine "Método babilónico" generalmente, no existe evidencia que muestre un uso de esta aproximación por los babilónicos en

el cálculo de la aproximación de tal y como se puede ver en la tablilla YBC 7289. Fowler and Robson ofrece generalmente detalle y

conjeturas sobre esto.Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.

[5] Number of known digits (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ Miscellaneous/ Records. html)[6] http:/ / crd. lbl. gov/ ~dhbailey/ dhbpapers/ bbp-formulas. pdf[7] http:/ / www. hps. cam. ac. uk/ dept/ robson-fowler-square. pdf[8] http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ Sqrt2/ sqrt2. html[9] http:/ / www. math. cornell. edu/ ~dwh/ papers/ sulba/ sulba. html[10] http:/ / mathworld. wolfram. com/ PythagorassConstant. html

Raíz cuadrada de 2 7

Enlaces externos• La raíz cuadrada de 2 con cinco millones de dígitos por Bonnell & Robert Nemiroff. May, 1994. (http:/ / www.

gutenberg. org/ etext/ 129)• Bogomolny, Alexander. « Square root of 2 is irrational (http:/ / www. cut-the-knot. org/ proofs/ sq_root. shtml)»

(en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (http:/ / www. cut-the-knot. org/ index. shtml)., unacolección de pruebas

• √2.net (http:/ / xn--2-tbo. net), sitio de entusiastas del número con cálculos on-line• Representación de la raíz cuadrada de 2. (http:/ / www. foro. resuelveproblemas. com/

Matematicas-Representaciones-de-raiz-cuadrada-de-dos)

Raíz cuadrada de 3

La raíz cuadrada de 3 es igual a la longitud a través de loslados planos de un hexágono regular con los lados de la

longitud 1.

La raíz cuadrada de tres es un número real positivo quecuando es multiplicado por sí mismo da el número tres. Sedenota por

Su valor numérico por truncamiento con diez cifrasdecimales es de 1,7320508075 (secuencia nº A002194 [1] delOEIS).

La raíz cuadrada de 3 es un número irracional. También seconoce como constante de Teodoro nombrada en honor deTeodoro de Cirene.

Geometría

Si un triángulo equilátero con los lados de longitud 1 se cortaen dos partes iguales, bisectando un ángulo interno a travéspara hacer un ángulo recto con un lado, el ángulo recto da el triángulo de la hipotenusa con ésta de longitud uno y loscatetos de longitud 1/2 y . De esto la función trigonométrica tangente de 60º es igual a .

Esto es la distancia entre los lados planos opuestos de un hexágono regular con los lados de la longitud 1.La raíz cuadrada de 3 también es igual a la diagonal de un cubocuyos lados tengan todos como medida 1, esto puede serdemostrado por el teorema de Pitágoras de la siguiente forma:

Ya que las caras que forman el cubo tienen también medida 1podemos demostrar que la diagonal de cualquiera de sus carasmide la raíz cuadrada de 2 así:

;

Ahora construyendo un rectángulo cuya superficie abarque todo elpaso de la diagonal del cubo, ese rectángulo tendría unos ladoscuyas medidas serían y 1, siendo la diagonal de esterectángulo la diagonal del cubo, por lo que al calcular esa diagonalvemos que:

Raíz cuadrada de 3 8

;

Quedando demostrado que la diagonal de un cubo cuyos lados tengan como medida uno es igual a la raíz cuadradade 3.

Distintas expresionesBinario: 1.1011101101100111101...Decimal: 1.7320508075688772935...Hexadecimal: 1.BB67AE8584CAA73B...

Fracción continua:

Enlaces externos• Probar que la raíz cuadrada de 3 es irracional [2] (en inglés)• Constante de Theodorus [3] en MathWorld (en inglés)

Referencias[1] http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ A002194[2] http:/ / www. grc. nasa. gov/ WWW/ K-12/ Numbers/ Math/ Mathematical_Thinking/ irrationality_of_3. htm[3] http:/ / mathworld. wolfram. com/ TheodorussConstant. html

Raíz cuadrada de 5La raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando es multiplicado por sí mismo, da el número primo 5.Este número es notable en parte porque aparece en la fórmula para el número áureo. Puede ser denotado como:

La raíz cuadrada de 5 es un número irracional algebraico.[1]

Valor numéricoLos primeros sesenta dígitos significativos de su extensión decimal son:

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 21345 6574 88995 90000.(secuencia nº A002163 [2] del OEIS).El cual puede ser redondeado a 2.236 con una exactitud dentro del 99.99%. En abril de 1994, su valor numérico endecimal había sido computado por lo menos a un millón de dígitos.[3]

Raíz cuadrada de 5 9

Como fracción continuaPuede ser expresado como la fracción continua [2; 4, 4, 4, 4, 4…]. La secuencia de la mayor aproximación racionales:

Las convergentes de la fracción continua están coloreadas; sus numeradores tienen la secuencia nº A001077 [4] delOEIS y sus denominadores tienen la secuencia nº A001076 [5] del OEIS. Los otros términos no coloreados sonsemiconvergentes.

Cuando es computado con el método babilónico, comenzando con r0 = 2 y usando rn+1 = (rn + 5/rn) / 2, el nthaproximado rn es igual a la 2n-th converge de la secuencia convergente:

Relación del número áureo y la sucesión de Fibonacci

La diagonal √5/2 de un medio cuadrado (el quetienen como medida sus lados 1 y 0.5) forman la

base para la construcción geométrica delrectángulo áureo.

El número áureo φ es la media aritmética de 1 y la raíz cuadrada de5.[6] La relación algebraica entre la raíz cuadrada de 5, el número áureoy el número áureo conjugado (Φ = 1/φ = φ − 1) son expresados en lasfórmulas siguientes:

(Véase la sección abajo para su interpretación geométrica comodescomposiciones de un rectángulo raíz-5.)La raíz cuadrada de 5 entonces calcula naturalmente en la expresióncerrada para los sucesión de Fibonacci, un fórmula de la forma que seescriba generalmente en términos del número áureo:

GeometríaGeométricamente, la raíz cuadrada de 5 corresponde a la diagonal de un rectángulo cuyos lados tengan una longitudde 1 y 2, o a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos sean 1 y 2, cumo se puede comprobar con el teorema dePitágoras. Tal rectángulo puede ser obtenido partiendo en dos un cuadrado, o poniendo dos cuadrados iguales juntos.Junto con la relación algebraica entre √5 y φ, esto forma la base para la construcción geométrica del rectánguloáureo de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (puesto que el cocientelado-a-diagonal en un pentágono regular es φ).Formando un ángulo recto diedro con los dos cuadrados iguales que parten en dos un rectángulo de 1:2, puede servisto que √5 corresponde también al cociente entre la longitud de un borde del cubo y la distancia más corta a uno desus vértices del opuesto uno, al atravesar la superficie del cubo (la distancia más corta cuando se atraviesa a travésdel interior del cubo, corresponde a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de 3 veces el borde).

Raíz cuadrada de 5 10

El número √5 puede estar algebraica y geométricamente relacionado con la raíz cuadrada de dos y la raíz cuadradade tres, como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de medida √2 y √3, probándolo otravez el teorema de Pitágoras con:

;;

;

Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un cubo: los lados de cualquiertriángulo definido por el punto de centro de un cubo, una de esos vértices, y el punto medio de un lado situado enuna las caras que contienen ese vértice y frente a ella, están en el cociente √2:√3:√5. Esto sigue de las relacionesgeométricas entre un cubo y las cantidades √2 (cociente borde-a-cara-diagonal, o la distancia entre los bordesopuestos), √3 (cociente borde-a-cubo-diagonal) y √5 (la relación mencionada arriba).Un rectángulo con las proporciones 1:√5 de lado se llama un rectángulo raíz-cinco y es parte de la serie derectángulos dinámicos, con su base en √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5… y así sucesivamente se construyen usando ladiagonal del rectángulo anterior de la raíz, a partir de un cuadrado.[7] Un rectángulo raíz-5 es particularmente notableen que puede estar partido en un cuadrado y dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones Φ × 1), o en dosrectángulos áureos de diversos tamaños (de dimensiones Φ × 1 y 1 × φ).[8] Puede también ser descompuesto como launión de dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones 1 × φ) cuya intersección forme un cuadrado. Todo estopuede ser visto como la interpretación geométrica de las relaciones algebraicas entre √5, φ y Φ mencionados arriba.El rectángulo raíz-5 se puede construir con un rectángulo de 1:2 (el rectángulo raíz-4), o directamente de uncuadrado de una forma similar al que está para el rectángulo áureo demostrado en la ilustración, pero extender elarco de la longitud a ambos lados.

TrigonometríaComo √2 y √3, la raíz cuadrada de cinco aparece extensivamente en las fórmulas para las constantes trigonométricasexactas, y como tal el cómputo de su valor es importante para generar tablas trigonométricas. Puesto que √5 estágeométricamente ligada a los semi-cuadrados y a los pentágonos, también aparece con frecuencia en los fórmulaspara las características geométricas de las figuras derivadas de ellas, por ejemplo en el fórmula para el volumen deun dodecaedro.

Aproximación diofánticaEl teorema de Hurwitz en aproximación diofántica indica que cada número irracional x se puede aproximar medianteinfinitos números racionales m/n expresados en forma irreducible de una manera tal que

y ese √5 es el mejor posible, en el sentido que para cualquier constante más grande que √5, hay algunos númerosirracionales x para los cuales solo es posible un número finito de tales aproximaciones existentes.[9]

Se relaciona de cerca con esto el teorema[10] que de alguna de las tres convergentes consecutivas pi/qi, pi+1/qi+1,pi+2/qi+2, de un α del número, por lo menos una de las tres inecuaciones tiene:

Y la √5 en el denominador es la mejor posible vinculación, puesto que las convergentes del número áureo sediferencian en el lado izquierdo arbitrariamente cerca del valor en el lado derecho. En particularmente, uno no puedeobtener un límite vinculativo considerando secuencias de cuatro o más convergentes consecutivas.[10]

Raíz cuadrada de 5 11

ÁlgebraEl anillo contiene los números de forma , donde a y b enteros. Este anillo es un ejemplo confrecuencia citado de un anillo conmutativo que no sea un dominio de factorización única. El número 6 tiene dosfactorizaciones no equivalentes dentro de este anillo:

Identidades de RamanujanLa raíz cuadrada de 5 aparece en las varias identidades de Ramanujan que implican fracciones continuas deRogers-Ramanujan.[11][12] Por ejemplo:

Distintas expresionesBinario: 10.0011110001101111...Decimal: 2.23606797749978969...Hexadecimal: 2.3C6EF372FE94F82C...

Fracción continua:

Raíz cuadrada de 5 12

Notas[1] Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volumen 248; Pág 122.[2] http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ A002163[3] R. Nemiroff and J. Bonnell: El primer millón de dígitos de la raíz cuadrada de 5 (http:/ / antwrp. gsfc. nasa. gov/ htmltest/ gifcity/ sqrt5.

1mil)[4] http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ A001077[5] http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ A001076[6] Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Sección: C; Pág 1. (Nota – este

es un artículo extensamente citado).[7] Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition (http:/ / books. google. com/ books?id=1KI0JVuWYGkC& pg=PA41&

ots=8ZNc5ZKfTG& dq=intitle:"Geometry+ of+ Design"+ "root+ 5"& sig=YitS7tv3b4_r87coR4s7EcjL4kk),Kimberly Elam, New York,Princeton Architectural Press, 2001, ISBN 1-56898-249-6

[8] The Elements of Dynamic Symmetry (http:/ / books. google. com/ books?id=VYJK2F-dh2oC& pg=PA26& ots=MqxrsVLmIH& dq="root+five+ rectangle"+ + section+ inauthor:hambidge& sig=meu0juFja5gpsjHKk_gG1stMbYo#PPA27,M1), Jay Hambidge, Courier DoverPublications, 1967, ISBN 0-486-21776-0

[9] LeVeque, William Judson, 1956, Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass, Mathematical Reviews0080682 (http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=0080682)

[10][10] Khinchin, Aleksandr (1964). . Chicago y Londres: University of Chicago Press.[11] Ramanathan K. G., 1984, On the Rogers-Ramanujan continued fraction, Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences

volumen 93, cuestión 2 y págs de la 67 a la 77, Mathematical Reviews 813071 (http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=813071),ISSN 0253-4142

[12] Eric W. Weisstein, Fracciones continuas de Ramanujan (http:/ / mathworld. wolfram. com/ RamanujanContinuedFractions. html)] enMathWorld

Número áureoEl número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea,proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (enmayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:[2]

El número áureo surge de la división en dos de unsegmento guardando las siguientes proporciones: Lalongitud total a+b es al segmento más largo a como a

es al segmento más corto b.

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),[3] por ser laprimera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunqueencontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito noperiódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fuedescubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino comorelación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporciónse encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en lanaturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en lasnervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de lasramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos inclusocreen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño dediversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiososde las matemáticas y el arte.

Número áureo 13

DefiniciónEl número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b quecumplen la siguiente relación:

El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir lalongitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureoDos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:

multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:

reordenamos:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .

Historia del número áureoAlgunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiriade alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuerautilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructuracompleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se puedaafirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, peroeste no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones MarioLivio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[4]

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de lasiguiente manera:

"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayorcomo el segmento mayor es al segmento menor.

Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, esun número irracional.Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuyeel desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

Número áureo 14

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIXesta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de quela palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los númerosirracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Estaopinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y laestructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. Enparticular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con lateoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas queconformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, elagua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Divina Proporción), en elque plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al Número áureo:1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad (sic).3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios

son equivalentes.4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por

el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas dondedescribe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral deDurero”.El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los solidiosplatónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una líneaentre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lodebemos denominar una joya preciosa”

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemáticoalemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro DieReine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la seccióndorada."

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no loincluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices

Número áureo 15

matemáticos del libro The Curves of Life, de Sir Theodore Cook.

El número áureo en las matemáticas

Propiedades y representaciones

Ángulo de oro

Propiedades algebraicas

• es el único número real positivo tal que:

La expresión anterior es fácil de comprobar:

•• Φ posee además las siguientes propiedades:

• Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores delmismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesiónrecurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma , donde es cualquiernúmero real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es ,

y .Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

. Aquí , , , y .Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

En general:

.

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesiónrecurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible queaparezcan potencias negativas de , hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de corresponde auna potencia positiva de su inverso, la sección áurea.Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio,parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

Número áureo 16

• El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y la sección áurea es su

inversa, « ». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:

.

Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas lasfracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo seaun número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidadmediante racionales.[5]

Por ello se dice que es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por elcual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

Representación mediante ecuaciones algebraicas

El número áureo y la sección áurea son soluciones de las siguientes ecuaciones:

Representación trigonométrica

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices noconsecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

Número áureo 17

Relacionando al número áureo

En 1994 se obtuvieron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia:

Lo que puede combinarse en la expresión:

Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidadangular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.

Representación mediante raíces anidadas

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidadde Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.El teorema general dice:

La expresión (donde ), es igual a la mayor de las

raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea,

Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como Fn + 1,descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razónáurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números deFibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: ; ; y

, lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes deque fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Porejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 -17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que seacercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...;301/186 = 1,6182795.[6]

A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula queaparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmulapermite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. Lafórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

Número áureo 18

El número áureo en la geometría

El tríangulo de Kepler:

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetosgeométricos regulares o semiregulares en los que haya simetríapentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera laraíz cuadrada de cinco.•• Relaciones entre las partes del pentágono.•• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o

pentagrama.•• Relaciones entre las partes del decágono.•• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD apartir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC

es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en laproporción del número áureo. Euclides, en su proposición 2.11 de Loselementos, obtiene su construcción.>

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

con lo que resulta evidente que

de donde, finalmente,

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectánguloáureo.

Generación de un rectángulo áureo a partir deotro.

Número áureo 19

En el pentagrama

Los segmentos coloreados del pentagrama poseenproporciones áureas.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonosregulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de unsegmento intersecta a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos ycinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ.Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa quedentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, conuna recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujarun pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interiorde una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de lascinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud decualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, elnúmero de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama esinfinito al añidar infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Se puede calcular el número áureo usando elteorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema dePtolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla ycompás. Aplicando este teorema, se forma un cuadrilátero al quitar unode los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor midenb, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ab lo queimplica:

Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, enparticular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones estándadas en términos del número áureo.

Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientespuntos:

(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Número áureo 20

Las 12 esquinas de losrectángulos coinciden con los

centros de las caras de undodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se puedenexpresar también en términos del número áureo:

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinasde los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, ycon los centros de las caras de un dodecaedro:El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedrocomo del icosaedro.

El número áureo en la Naturaleza

Concha de nautilus en espiral logarítmica.[7]

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con lasección áurea y/o los números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liberabacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre paracalcular el número de pares de conejos n meses después de queuna primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo quelos conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducircuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde lafecundación hasta la aparición y cada camada es de dosconejos). Este es un problema matemático puramenteindependiente de que sean conejos los involucrados. Enrealidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla enlas páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrióa conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijomatemático. El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o alnúmero áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesiónrecurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de1912.[8]

• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley deLudwig).[9][10]

• La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.[9]

•• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles•• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el

grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).• La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son

elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo. [11][12]

• La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144. [11]

• La distribución de las hojas de la yuca y la disposición de las hojas de las alcachofas. [11]

• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La

Número áureo 21

primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntossituados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, delMurex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral decrecimiento.[13][14] Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las cienciasconsideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga unnúmero infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningúnobjeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que unpunto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplentransgrediéndolas orgánicamente.[15]

• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo deinsolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según unángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..."En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos.[9]Para elcálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unassobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con lalatitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubiertoempíricamente por Church[9] y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puedemedirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeñadesviación respecto al valor teórico. No todas las plantas se benefician con un máximo de exposición solar o a lalluvia, por lo que se observan otros ángulos constantes diferentes del ideal de 137ª 30'. Puede encontrar una tablaen la página 26 del documento completo accesible en el enlace de la referencia.[12]

• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en elcaso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes ala sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.

• Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sinembargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo. En el mundo inorgánico noexiste el pentágono regular. Éste aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgánico; no podemospretender exactitud matemática al límite [16] ) exclusivamente en los organismos vivos.[17]

Número áureo 22

El número áureo en el arte y en la cultura

En el representación del Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci noutiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario propuesto por

Vitruvio

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide deGizeh. La afirmación de Heródoto de que elcuadrado de la altura es igual a la superficie de unacara es posible únicamente si la semi-secciónmeridiana de la pirámide es proporcional altriángulo rectángulo

, donde 1

representa proporcionalmente a la mitad de la base,la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta elvértice (inexistente en la actualidad) y el númeroáureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de laGran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por losmatemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price(ver referencias), se apoya en la interpretación de unpasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) yresulta teóricamente con sentido, aunque unaconstrucción de semejante tamaño deba contenererrores inevitables a toda obra arquitectónica y a lamisma naturaleza de la tecnología humana, que en lapráctica puede manejar únicamente númerosracionales. Los demás investigadores famosos seinclinan por la hipótesis de que los constructoresintentaron una cuadratura del círculo, pues la raízcuadrada del número áureo se aproxima mucho alcociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal,aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.[18] Noobstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento realno es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, loserrores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primerosconstructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metrosequivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambasposibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.[19]

Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del

Número áureo 23

Partenón en un rectángulo de módulo . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones

verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.[20] Como datoadicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertascorrecciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieranefectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueranexactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, suscolumnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se veríacomo una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Losconstructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando ensentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, estáninclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen unainclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la basedel triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevadoque los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquierobservador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.[21]

• En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano MatilaGhyka.[22][23][24]

• En las estructuras y tiempos de las películas "El acorazado Potemkin" e "Iván el Terrible" de Serguéi Eisenstein.[25] [24]

• En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras

de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.• Es necesario desmentir la expandida aseveración de que el número áureo aparece en la conocida representación

del hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue estrictamente lasproporciones fraccionarias del cuerpo humano que Vitruvio describe en su libro De architectura; concretamenteen el Capítulo I del Libro Tercero, “El origen de las medidas del Templo”.

• En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig vanBeethoven, en obras de Franz Schubert y Claude Debussy (estos compositores probablemente compusieron estasrelaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).

• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primerosocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador delmuseo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones del número phi(1,618) en la naturaleza y el ser humano. Menciona que las distancias entre nuestro cuerpo son proporcionalesentre si, como las de la pierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc.

• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de lamatemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral delas galaxias y en la concha del Nautilus.

•• En el episodio de Mentes Criminales "Obra maestra" (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenes del profesorRothschild siguen una sucesión de Fibonacci; en la primera zona, mató a una víctima; en la segunda, a otra; en latercera, a dos; en la cuarta, a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las localizaciones también se disponensegún una espiral áurea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estaban secuestrados los niños estaba justo en elcentro. Hasta eligió a sus doce primeras víctimas según cuánto se acercaran las relaciones entre sus rasgos facialesal número áureo: buscaba que fueran los "especímenes más perfectos de ser humano".

• El arte Póvera fue un movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en estasucesión.

Número áureo 24

• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi, el orden del caos, el personaje central, el matemático MaxCohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándolaincorrectamente Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

• El número phi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las matemáticas".[26].•• En la conformación de la estructura de la Torre Eiffel.

Referencias[1] Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1.[2] Este número es irracional, aunque es algebraico y también constructible mediante regla y compás, y existen numerosas aproximaciones

racionales con mayor o menor error. En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifras decimales correctas. (Ver: http:/ / numbers.computation. free. fr/ Constants/ Miscellaneous/ Records. html) Al igual que ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible construir unsegmento idealmente exacto con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura variable.

[3] Proporción Áurea en WolframMathWorld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ GoldenRatio. html)[4] Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3.Mario Livio (2009). La Proporción Áurea. La historia de phi,

el número más sorprendente del mundo. Editorial Ariel S. A.. ISBN 978-84-394-4495-X.[5] Bad approximable numbers in WolframMathWorld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ BadlyApproximable. html)[6] Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.[7] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo IV: "Flat Spirals in Shells".[8] N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas.[9] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo V: "Botany: The Meaning of Spiral

Leaf Arrangements", página 81 en adelante.[10] http:/ / www. archive. org/ stream/ cu31924028937179#page/ n10/ mode/ 1up (Libro on line, Biblioteca del Congreso de Estados Unidos de

América)[11] "[...] la flor de un girasol está formada por pequeñas estructuras que se encuentran alineadas de tal forma que producen hileras dispuestas en

espiral, algunas de ellas abren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj y las restantes en la dirección contraria. Si las contamos veremosque siempre habrá 13 espirales que se abren hacia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21). Este hecho puede parecer banal, peroadquiere relevancia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferentes tamaños y con otras flores como las margaritas y los mirasoles;pues encontramos que algunas tienen 21/34, otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. [...]" Miramontes, Pedro (abril-junio 1996). « "Lageometría de las formas vivas" (http:/ / www. ejournal. unam. mx/ cns/ no42/ CNS04203. pdf)». E Journal, Universidad Autónoma de México(42). .

[12] "Los números de Fibonacci en Botánica ocurren con gran regularidad. En 1968, Brousseau usó 4290 piñas de diez especies de pinosencontrados en California, de las cuales solo 74 piñas (1.7 por ciento) se desvió de los números de Fibonacci. En 1992, Jean R.V. en suartículo “Model texting in phyllotaxis” publicó que de 12.750 observaciones en 650 especies encontradas en la literatura de Botánica de losúltimos 150 años, la sucesión de Fibonaci aparecía en más del 92 por ciento de todos los posibles casos de plantas con disposición espiral desus elementos. Entre los 12.750 casos, la sucesión de Lucas (Edouard A. Lucas, 1842- 1891) se encontró en un dos por ciento. Coxeter llama ala apariencia de los números de Fibonacci: “Fascinante tendencia”. Otros se refieren a la prevalencia de Fibonacci como: “El misterio de laFilotaxis” o “La obsesión o pesadilla de los botánicos.” La disposición de las escamas de las piñas, frutos de diferentes especies de pinos, seorganiza en torno a dos espirales de escamas: una dextrógira y otra levógira. Se ha constatado empíricamente que en un número muy elevadode estas especies, son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Otros ejemplos son las tortas de girasol, las cabezuelas de lasmargaritas, etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto, están colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorridas siguiendouna espiral (figura 13). Mas concretamente, en Filotaxis se verifica la llamada ley de divergencia: “para cada especie de plantas el ángulo queforman dos hojas consecutivas, llamado ángulo de divergencia, es constante”." (Página 23 en adelante) Reyes Iglesias, Encarnación (2009). «"Arte y Naturaleza en clave geométrica" (http:/ / divulgamat2. ehu. es/ divulgamat15/ index. php?option=com_docman& task=doc_details&gid=533& Itemid=75)». Universidad de Valladolid. .

[13] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "DelCrecimiento Armonioso", páginas 118 a 144.

[14] D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form". Cambridge University Press. D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "OnGrowth and Form". Dover edition, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). "Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume,Madrid.Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge.

[15][15] Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka.[16][16] En cualquier ser orgánico o inorgánico sus partes constituyentes (moléculas, átomos, células) son objetos que tienen dimensiones; el punto

geométrico no. Por esa razón, cuando se sostiene que se verifica una proporción esta no será jamás un número iracional con infinitosdecimales, pues ello implicaría que las partes que forman al objeto en cuestión no tuvieran dimensiones como los puntos geométricos.Tendremos forzosamente un intervalo de incertidumbre, del que podremos indicar por lo menos dos racionales que lo limitan. Explicado deotra forma: si una célula está en el borde de un ser y decimos que otra parte está situada en proporción áurea con ese borde, ¿Desde dóndetenemos que medir para que haya infinitos decimales exactos? Esa célula no es un cuerpo rígido, se deforma, los bordes no son líneasperfectas. En la práctica la mayoría de los decimales infinitos del número áureo no tendrán razón de aparecer debido a la incertidumbre de la

Número áureo 25

medida.[17] Ghyka, Matila. "Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes", Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso"; obra citada.[18] "Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería más probable, porque de ella emana una construcción rigurosa, elegante y sencilla del

triángulo meridiano, mientras que en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con una aproximación muy grande el valor de π, laconstrucción sería puramente empírica y desprovista de verdadero interés geométrico" [Es notable, además, que aunque los antiguos no sabíande la trascendencia de π, estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos de cuadratura del círculo] MatilaGhyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: "La Pirámide deKeops", página 222.

[19] Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven.Jay Hambidge (22/08/2007).Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.

[20] Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Hay todavíadisponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250.

[21] Banister; Fletcher. "A History of Architecture". B. T. Basford, Londres.[22] http:/ / www. educacion. gob. es/ exterior/ ad/ es/ publicaciones/ Aula_Abierta2_Belleza. pdf , página 86.[23][23] J. L. Ferrier, Dalí, Leda atómica, París: Denöel, Gonthier, 1980.[24] Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Filosofía. "Aspectos Estéticos de la Divina proporción. Memoria para optar al grado de

Doctor", Araceli Casans Arteaga, Madrid, 2001, ISBN: 84-669-1867-1. http:/ / eprints. ucm. es/ tesis/ fsl/ ucm-t25388. pdf[25][25] S. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del montaje, en contracampo, nro. 29, año IV, abril-junio 1982, página 42.[26] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=jZjYLbZh_mo& feature=related

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detalladamente]• Rt000z8y.EresMas.net (http:/ / rt000z8y. eresmas. net/ El numero de oro. htm#6) (más ejemplos de Φ en la vida).• Castor.es (http:/ / www. castor. es/ numero_phi. html) (El número Fi en arquitectura, pintura, animales, plantas

etc.)• Gráficas de sucesiones áureas en MATLAB (http:/ / matematicas. ingenieria. googlepages. com/

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Número áureo 26

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en la biología).• MCS.Surrey.ac.uk (http:/ / www. mcs. surrey. ac. uk/ Personal/ R. Knott/ Fibonacci/ phi. html) (La sección áurea:

fi).

Número ππ (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un númeroirracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física eingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

π ≈ 3,14159265358979323846...El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantesmatemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constanteque más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y sudiámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es unaconstante en geometría euclidiana.

Lista de números – Números irracionalesζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ

Binario 11,00100100001111110110…

Decimal 3,14159265358979323846…

Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…

Fracción continua

Nótese que la fracción continua no es periódica.

Número π 27

El nombre π

Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 porWilliam Jones y popularizado por Leonhard

Euler.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabrasde origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro)de un círculo,[1] notación que fue utilizada primero por WilliamOughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galésWilliam Jones[2] (1675-1749), aunque fue el matemático LeonhardEuler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748,quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante deLudolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o comoconstante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número deArquímedes).

Historia del cálculo del valor π

La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerososcientíficos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.

Antiguo Egipto

Detalle del papiro Rhind.

El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a laépoca del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en elpapiro Rhind,[3] donde se emplea un valor aproximado de π afirmandoque: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado esigual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 deldiámetro. En notación moderna:

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua culturaegipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro esel papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximadodel número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de sulibro The Exact Sciences in Antiquity,[4] describe un método inspiradoen los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π,mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 8.

Número π 28

MesopotamiaAlgunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de igual a 3, alcanzando enalgunos casos valores más aproximados, como el de

Referencias bíblicasUna de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de laBiblia:

«(23) Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cincocodos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos. (26) El grueso del mar era de un palmo menor, y elborde era labrado como el borde de un cáliz o de flor de lis; y cabían en él dos mil batos. »

I Reyes 7:23-26 [5] (Reina-Valera 1995)El codo mide aproximadamente 45 cm y el palmo menor 7,5 cm. Se debe hallar el valor del radio restando eldiámetro total con el grosor del artefacto y dividiendo por dos, dando 210 cm. Con estos datos, se puede hallar elvalor de π usado aquí mediante la fórmula C=2πr : C/2*r=π. Se reemplazan los números: 1350/2*210 y se da que~3,2143. Un valor aproximado a π.Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4:2 [6]. En él aparece en una lista de requerimientos para laconstrucción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C..

Método de Arquímedes para encontrar dos valores quese aproximen al número π, por exceso y defecto.

Método de aproximación de Liu Hui.

Antigüedad clásica

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz dedeterminar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 310/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con estaaproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error queoscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usadopor Arquímedes[7] era muy simple y consistía en circunscribir einscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias ycalcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezócon hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el númerode lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romanoVitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo ladistancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetroconocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionariopor aproximaciones:

Matemática china

El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chinoChang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación , que dedujo de la razón entre el

volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.[8] Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue

Número π 29

el primero en sugerir[9] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96[10] o 192[8] lados.Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.[10][11]

A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó«valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muyconocidas ambas,[12] siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nuevesiglos después, en el siglo XV.[10]

Matemática indiaUsando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó elvalor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmaguptacalcula π como , cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene unaaproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar laestimación.[8]

Matemática islámicaEn el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) hace notar que el hombre práctico usa22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyathal-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numéricasexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

Renacimiento europeo

John Wallis (1616–1703).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, sefacilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. Elmatemático Fibonacci, en su «Practica Geometriae», amplifica elmétodo de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho.Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos dehasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (AdrianusRomanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando elmétodo de Arquímedes.

Número π 30

Leonhard Euler (1707–1783).

Época moderna (pre-computacional)En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgullosode esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos añosdenominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie[13]

Con obtuvo una serie para .

El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

.

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con unaprecisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:

Con se obtiene una serie para . Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar

alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método paraobtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:

.

El inglés William Oughtred fue el primero que empleó la letra griega π como símbolo del cociente entre laslongitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159andc. = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió en lanotación habitual que se usa hasta nuestros días.El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados.

Número π 31

Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fueel primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvodurante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie deShanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguientetabla:

Año Matemático o documento Cultura Aproximación Error(en partes por millón)

~1900 a. C. Papiro de Ahmes Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm

~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 25/8 = 3,125 5282 ppm

~600 a. C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Judía ~3,2143 4570 ppm

~500 a. C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm

~250 a. C. Arquímedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7empleó 211875/67441 ~ 3,14163

<402 ppm13,45 ppm

~150 Claudio Ptolomeo Greco-egipcia 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm

263 Liu Hui China 3,14159 0,84 ppm

263 Wang Fan China 157/50 = 3,14 507 ppm

~300 Chang Hong China 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm

~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929empleó 355/113 ~ 3,1415929

<0,078 ppm0,085 ppm

~500 Aryabhata India 3,1416 2,34 ppm

~600 Brahmagupta India 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm

~800 Al-Juarismi Persa 3,1416 2,34 ppm

1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm

1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm

1424 Al-Kashi Persa 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm

Época moderna (computacional)Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π conla mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords,obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, deesta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8 h y23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series denúmeros procedentes de π.En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas

Número π 32

consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.

Año Descubridor Ordenador utilizado Número de cifras decimales

1949 G.W. Reitwiesner y otros[14] ENIAC 2037

1954 NORAC 3092

1959 Guilloud IBM 704 16 167

1967 CDC 6600 500 000

1973 Guillord y Bouyer[14] CDC 7600 1 001 250

1981 Miyoshi y Kanada[14] FACOM M-200 2 000 036

1982 Guilloud 2 000 050

1986 Bailey CRAY-2 29 360 111

1986 Kanada y Tamura[14] HITAC S-810/20 67 108 839

1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134 217 700

1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201 326 000

1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480 000 000

1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1 011 196 691

1991 Hermanos Chudnovsky 2 260 000 000

1994 Hermanos Chudnovsky 4 044 000 000

1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6 442 450 000

1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51 539 600 000

1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68 719 470 000

1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206 158 430 000

2002 Kanada y otros[14] [15] Hitachi SR8000/MP 1 241 100 000 000

2004 Hitachi 1 351 100 000 000

2009 Daisuke Takahashi[16] T2K Tsukuba System 2 576 980 370 000

2009 Fabrice Bellard[17] Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB 2 699 999 990 000

2010 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 5 000 000 000 000

2011 Shigeru Kondo 10 000 000 000 000

En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo queestas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquinacuando su marca aparece en la lista de los récords.

Número π 33

Características matemáticas

Se muestra la relación entre un cuadrado de lado y un círculo de radio . Elárea del círculo es .

Definiciones

Euclides fue el primero en demostrar que larelación entre una circunferencia y sudiámetro es una cantidad constante.[18] Noobstante, existen diversas definiciones delnúmero , pero las más común es:

• es la relación entre la longitud de unacircunferencia y su diámetro.

Por tanto, también es:• El área de un círculo unitario (de radio

unidad del plano euclídeo).• El menor número real positivo tal que .También es posible definir analíticamente ; dos definiciones son posibles:

• La ecuación sobre los números complejos admite una infinidad de soluciones reales positivas, lamás pequeña de las cuales es precisamente .

• La ecuación diferencial con las condiciones de contorno para laque existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica (la funcióntrigonométrica ) cuya raíz positiva más pequeña es precisamente .

Número irracional y trascendenteSe trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros,como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no esla raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemanndemostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema dela cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[19] 1953), es decir, no sólo es trascendental sinoque no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham1970[cita requerida]).

Las primeras cincuenta cifras decimalesA pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales.Los cincuenta primeros son:

≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias (5·1012 decimales),[20] así como Las primerasdiez mil cifras decimales [21] A00796 y OEIS.En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo unadocena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con unerror más pequeño que el tamaño de un protón.[22]

Número π 34

Fórmulas que contienen el número π

En geometría• Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π rÁreas de secciones cónicas:• Área del círculo de radio r: A = π r²• Área interior de la elipse con semiejes a y b: A = π ab

Áreas de cuerpos de revolución:• Área del cilindro: 2 π r (r+h)• Área del cono: π r² + π r g• Área de la esfera: 4 π r²Volúmenes de cuerpos de revolución:• Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³• Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h• Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3Ecuaciones expresadas en radianes:• Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

En probabilidad• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/𲕠Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser

los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4•• El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden

es relevante).• Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas

paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: 2L/Dπ

En análisis matemático• Fórmula de Leibniz:

• Producto de Wallis:

• Euler:

•• Identidad de Euler

• Área bajo la campana de Gauss:

• Fórmula de Stirling:

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• Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:

• Euler:

• Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:

•• También como desarrollo en series:

• Formas de representación aproximada a [23]

•• Método de MontecarloEn un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la delcuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.[24]

Cómputos de π

Pi y los números primosUtilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2se obtiene:

donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando laexpresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.

Número π 36

Fórmula de MachinUna forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula deMachin, descubierta en 1706:

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el yacitado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).

Métodos eficientesLos primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos).Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad deTokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones porsegundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientesfórmulas modificadas de Machin:• K. Takano (1982).

• F. C. W. Störmer (1896).

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sinopara comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en lamemoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

Aproximaciones geométricas a πEs posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtenersin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griegoconocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculocualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron variosmétodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando reglay compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

Número π 37

Método de Kochanski

Método de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radioR. Se inscribe el triángulo equiláteroOEG. Se traza una recta paralela alsegmento EG que pase por A,prolongándola hasta que corte alsegmento OE, obteniendo D. Desde elpunto D y sobre ese segmento setransporta 3 veces el radio de lacircunferencia y se obtiene el punto C.El segmento BC es aproximadamentela mitad de la longitud de lacircunferencia.Demostración (suponiendo R = 1)

Sustituyendo en la primera fórmula:

Número π 38

Método de Mascheroni

Método de Mascheroni.

Método desarrollado por LorenzoMascheroni: se dibuja unacircunferencia de radio R y se inscribeun hexágono regular. El punto D es laintersección de dos arcos decircunferencia: BD con centro en A', yCD con centro en A. Obtenemos elpunto E como intersección del arcoDE, con centro en B, y lacircunferencia. El segmento AE es uncuarto de la longitud de lacircunferencia, aproximadamente.

Demostración (suponiendo R = 1)

Por el teorema de Ptolomeo, en elcuadrilátero ABEB'

Uso en matemáticas yciencia

π es ubicuo en matemática; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de lageometría euclídea.[25]

Geometría y trigonometríaPara cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr2.Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con lacircunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.[26] π aparece en integrales definidas que describen lacircunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad delárea de un círculo unitario es:[27]

y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:[28]

Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.[29]

De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienenperíodo 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) =0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180)radianes.

Número π 39

En la matemática moderna, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menorentero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometríaeuclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, porejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series depotencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.

Análisis superior y teoría de números

La frecuente aparición de π en análisis complejo puedeestar relacionada con el comportamiento de la funciónexponencial de una variable compleja, descrito por lafórmula de Euler

donde i es la unidad imaginaria que satisface laecuación y e ≈ 2.71828 es el número deEuler. Esta fórmula implica que las potenciasimaginarias de e describen rotaciones un círculounitario en el plano complejo; estas rotaciones tienenun período de 360º = 2π. En particular, la rotación de180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

La integral de Gauss

Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un númeroimpar) y √π es un número racional.

FísicaAunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principiosfundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y,correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck sepuede eliminar a veces a π de las fórmulas.• La constante cosmológica:[30]

• Principio de incertidumbre de Heisenberg:[31]

• Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general:[32]

• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:[33]

Número π 40

• Permeabilidad magnética del vacío:[34]

• Tercera ley de Kepler:

Probabilidad y estadísticaEn probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:• la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que

depende de la integral gaussiana:[35]

• la función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy (estándar):[36]

Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que , entonces las

fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.[37]

Representación del experimento en el modelo dela "aguja de Buffon", se lanzas dos agujas (a, b)

ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a estácruzando la línea mientras que la aguja b no.

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como unaaproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud lrepetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectasparalelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (cont > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja selanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puedeaproximar π usando el Método de Montecarlo, lanzándola grancantidad de veces:[38][39][40][41]

Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarsemás que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos(incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos,[38] y el número de lanzamientos creceexponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t setransfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo enuna aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbresen la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite deprecisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.

Número π 41

Curiosidades

Reglas mnemotécnicasEs muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.•• Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada

palabra:Soy y seré a todos definiblemi nombre tengo que daroscociente diametral siempre inmediblesoy de los redondos aros

•• Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de unacantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letragriega π.•• Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimidono sabrán jamás que sueño hallarte,perímetro difícil, escondidoque en mis neuronas late...Oscuro el camino para verlos secretos que tú ocultas¿hallarlos podré?...

•• Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su leysingular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."Aquí también se utiliza la letragriega π para el primer 1.Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "CadaeicCadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros3.834 dígitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca losdígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi:

C a d a e i c3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia paradescubrir el arte empleado en cada idioma).

Aparición en medios• En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree

que el mundo se representa por números.• Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.• En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un

programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presionaCRTL+ALT+Click en π, se accede a la interfaz de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de losPretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.

• En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan

Número π 42

vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.• En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.• La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en

base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

Datos interesantes

"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de lamatemática en TU Berlín.

Detalle del "Mazda Pi", se añadieron 27 cifrasdecimales de π a este automóvil.

Tarta con el número pi.

• El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.• El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se

marca también como el día pi en el que los fans de este número locelebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleañosde Einstein.

•• 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación¡cuasi-perfecta!

• Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual comoamazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.

• John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en unacanción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada"Something Tells Me". La canción acaba con una letra como:"What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".

• El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultaren el Proyecto Gutenberg o en este enlace [42].

• La numeración de las versiones del programa de tratamiento detexto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. Laversión del año 2002 se etiquetó con 3.141592

•• Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierracon el objeto de ser identificados por una civilización inteligenteextraterrestre.

• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar seanprimos entre si es

•• Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono enlas 50.000.000 primeras cifras de π

• En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantosdígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como:RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».

• En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el recordmundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sinparar, doblando el anterior record en posesión del también japonésHiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada,y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio recordrecitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.

•• El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitosen la expansión decimal de pi es 60.872.

• Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.

Número π 43

Construcción aproximada para la cuadratura delcírculo, encontrada por Ramanujan.

• En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias enestaciones de trenes y subterráneos es ∗31416.[43]

• El valor principal de la expresión es un número real y está dadopor[44]

• En la página web thinkgeek.com [45] pueden comprarse camisetas yaccesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la quese construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.[46][47]

• Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27cifras de π, después del 3.[48]

• Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada, con regla ycompás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo unsegmento aproximadamente igual a :[49]

• Los hebreos consideran al número pi como "el número de Dios". En la película Pi: Fe en el Caos los estudiantesde la Torá consideran los 216 (6x6x6) primeros decimales como representación del verdadero nombre de Dios.En la Biblia (hebrea y cristiana) el nombre de Dios aparece en el capítulo 3 y versículo 14 del Libro del Éxodo(Exodo 3,14 [50]).

• 355 y 113 son los dos números racionales (enteros) cuya relación proporcional es pi con 6 decimales. La longituddel metro es tal que da para que la circunferencia ecuatorial del planeta Tierra mida prácticamente 355 × 113 km

Días de Aproximación a PiSegún determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:•• 14 de marzo•• 26 de abril•• 22 de julio•• 10 de noviembre•• 21 de diciembre

Cuestiones abiertas sobre π•• Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?• La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una

sucesión de mil ceros consecutivos?• ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma

probabilidad de aparición en una expansión decimal?• No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y

con coeficientes enteros del orden 109.[51][52]

Número π 44

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Número e 46

Número e

e} es el único número a, tal que la derivada de lafunción exponencial f(x) = ax (curva azul) en elpunto x = 0 es igual a 1. En comparación, las

funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos)son mostradas; no son tangentes a la línea de

pendiente 1 (rojo).

La constante matemática es uno de los más importantes númerosreales.[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo,la derivada de la función exponencial es esa mismafunción. El logaritmo en base se llama logaritmo natural oneperiano.El número , conocido a veces como número de Euler o constantede Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por elmatemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto delogaritmo en el cálculo matemático.

Es considerado el número por excelencia del cálculo, así como lo esde la geometría y el número del análisis complejo. El simple hechode que la función coincida con su derivada hace que la funciónexponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuacionesdiferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe elcomportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas,como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, elgiro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento delsistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la mismamanera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos(descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento decélulas, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

El número , al igual que el número y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dosenteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.Además, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuaciónalgebraica con coeficientes racionales.Su valor aproximado (truncado) es:

≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Número e 47

Historia

Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e pararepresentar la constante; además fue el descubridor de

numerosas propiedades referentes a ella.

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de JohnNapier.[2] No obstante, esta tabla no contenía el valor de laconstante, sino que era simplemente una lista de logaritmosnaturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escritapor William Oughtred.

El "descubrimiento" de la constante está acreditado a JacobBernoulli, quien estudió un problema particular del llamadointerés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (queabreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100%anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM.Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, esdecir 1 UM x 1,50 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos(trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x1,25 = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciendea 1 UM x = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que seaumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (quetiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en elperíodo, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definición quese da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y unatasa de interés anual R, proporcionará UM con interés compuesto.El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a ChristiaanHuygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y elprimer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los añossubsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en laterminología usual.En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando unpolinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas ,anteriormente, por Lambert. David Hilbert —también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primerasdemostraciones.[3]

Número e 48

DefiniciónLa definición más común de e es como el valor límite de la serie

que se expande como

Otra definición habitual[4] dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:

que implica

es decir que se define e como el número para el que

o lo que es lo mismo, el número para el que

Propiedades

CálculoLa función exponencial f(x) = ex es su propia derivada y su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitivatambién:

y

Además, e es el límite de la sucesión de término general:

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambiode variable :

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

Número e 49

Desarrollo decimalEl desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden sernormalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

Lo que se escribe e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fraccióncontinua no normalizada:

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

ÁlgebraEl número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primernúmero trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito(comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree quee además es un número normal.Véase también: Demostración de que e es irracional.

Números complejosEl número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler

de lo que se deduce que:

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

que es la fórmula de De Moivre.

Número e 50

Función exponencialSe llama exponencial la función definida sobre los números reales por • La función exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el

análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.• La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: . Un caso

particular de esta relación es la identidad de Euler.En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula[5] que se aproxima a "e":

Representaciones de eEl número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un productoinfinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones,particularmente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

Cuando tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de estaexpresión tiende a , como se quería demostrar.

La serie infinita anterior no es única; e también puede ser representado como:

Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simplecontinua infinita:

Número e 51

Dígitos conocidosEl número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto alaumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[6][7]

Número de dígitos conocidos de e

Fecha Dígitos decimales Cálculo realizado por

1748[8] 18 Leonhard Euler

1853 137 William Shanks

1871 205 William Shanks

1884 346 J. M. Boorman

1946 808 ?

1949 2010 John von Neumann (en la ENIAC)

1961 100 265 Daniel Shanks y John W. Wrench

1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell

Mayo de 1997 18 199 978 Patrick Demichel

Agosto de 1997 20 000 000 Birger Seifert

Septiembre de 1997 50 000 817 Patrick Demichel

Febrero de 1999 200 000 579 Sebastian Wedeniwski

Octubre de 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski

21 de noviembre de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon

10 de julio de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon

16 de julio de 2000 3 221 225 472 Colin Martin y Xavier Gourdon

2 de agosto de 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon

16 de agosto de 2000 12 884 901 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon

21 de agosto de 2003 25 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon

18 de septiembre de 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon

27 de abril de 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo

6 de mayo de 2009 200 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo

21 de febrero de 2010 500 000 000 000 Alexander J. Yee[9]

5 de julio de 2010 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo y Alexander J. Yee[10]

Número e 52

Referencias• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal [11],

publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0 [12].[1] Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics (http:/ / books. google. com/ books?id=LIsuAAAAIAAJ&

q="important+ numbers+ in+ mathematics"& dq="important+ numbers+ in+ mathematics"& pgis=1). Holt, Rinehart & Winston. .[2] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), « The number e (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ HistTopics/ e. html)» (en

inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, .[3] Pro Mathematica , Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP, Lima.ISSN 1012-3938[4] Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2da

edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2da edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.[5] Mathsoft (http:/ / www. mathsoft. com/ asolve/ constant/ e/ e. html) "Expresión de Keller", Steven Finch (1998)[6] Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ E/ e. html)[7] Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ PiProgram/ computations. html)[8][8] New Scientist 21 de julio de 2007 p.40[9] Announcing 500 billion digits of e... (http:/ / www. numberworld. org/ misc_runs/ e-500b. html)[10] A list of notable large computations of e (http:/ / www. numberworld. org/ digits/ E/ )[11] http:/ / enciclopedia. us. es/ index. php/ N%C3%BAmero_e[12] http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ deed. es

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número eCommons.• Un millón de cifras del número e. (http:/ / antwrp. gsfc. nasa. gov/ htmltest/ gifcity/ e. 1mil)• Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito (http:/ / hk. youtube. com/

watch?v=Iys1eJgTtXU)

Fuentes y contribuyentes del artículo 53

Fuentes y contribuyentes del artículoNúmero irracional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=60074090  Contribuyentes: .Sergio, 2rombos, 3coma14, Abajo estaba el pez, Adriansm, Allforrous, Angel.F, Aparejador,Axxgreazz, Açipni-Lovrij, Banfield, BlackBeast, Ca in, Carabás, Charly genio, Cobalttempest, Cotiixe On, Decot, Diego Javier Gomez, Diegusjaimes, Dnu72, Edslov, Especiales, Facuman8,Gato ocioso, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek, HanniballL, HiTe, Hispa, Humberto, Ialad, Igna, Iulius1973, JMCC1, Jarke, Jkbw, Joseaperez, Juanitorreslp, Julian Mendez, Kn, Leonpolanco,Lsdelrio, Lucien leGrey, Mafores, Magister Mathematicae, Manolo456, Matdrodes, Mencey, Moriel, Mortadelo2005, Mr-lonxito, Msdus, Muro de Aguas, Netito777, Nicoguaro, Nikho 98,Otnirebal, PACO, Poco a poco, Pólux, Radical88, Ramjar, RamonExio, Raulshc, Raystorm, Rosarinagazo, Rubpe19, Sabbut, SaeedVilla, Sanbec, Savh, Snakefang, Tano4595, Technopat,Tirithel, Tomatejc, Tortillovsky, UA31, Varano, Vivero, Waka Waka, Wewe, Will vm, Xenoforme, YoaR, Youssefsan, conversion script, Érico Júnior Wouters, 300 ediciones anónimas

Raíz cuadrada de 2  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=60105322  Contribuyentes: Alexandrosas, Andreasmperu, Banfield, BetoCG, Carabás, Diegusjaimes, Elliniká, ErnestoBueno, Eviruena, FAR, Fibonacci, Gapaciaa, GermanX, Gusgus, Gustavo Parker, Halfdrag, Heliocrono, Hirowe, Hk2 t, Homo logos, Jean-François Clet, Jerowiki, Juan Mayordomo,Leonpolanco, Magister Mathematicae, Majora2, Marsal20, Muro de Aguas, Netito777, Qwertyytrewqqwerty, R2D2!, Raulshc, Rcapsada, Richy, Rogersolano, Rubpe19, SuperBraulio13,Thebiguserpratwiki, Wolfmaniaco, Yeza, 65 ediciones anónimas

Raíz cuadrada de 3  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58839882  Contribuyentes: Alexandrosas, Antur, FAR, GermanX, Hprmedina, Jerowiki, Jkbw, Sverigekillen,T5t75tj57gt5tu, Ttbya, 12 ediciones anónimas

Raíz cuadrada de 5  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59726132  Contribuyentes: Alexandrosas, Diegusjaimes, Espilas, GermanX, Jerowiki, Jkbw, KanTagoff, MagisterMathematicae, Raulshc, 18 ediciones anónimas

Número áureo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59970693  Contribuyentes: **JDP**, .José, Alex299006, Alexandroverdugo, Alexlm78, Algarabia, Alhen, Almamora,Amadís, Andreasmperu, Andrew diaz, Angel GN, Antur, Antón Francho, Arkady, Ascánder, AstroF7, Azcarlos2, Açipni-Lovrij, Banfield, Barmes, Bluenote, BuenaGente, C90182, CHV, Campoestético, Carlos Alberto Carcagno, CarlosGarcia, Caronte.Rules, Castorpuntoes, Cdlfd, Cencina, Chalisimo5, Charly genio, Clone2, Cobalttempest, Cokepe, CommonsDelinker, Correogsk,Correogskmaya, Covi, Ctrl Z, Dactilos, Damian cf, Davidfase, Davius, Demonacho, Deprieto, Desatonao, Desde el planeta de los simios, Diegusjaimes, Diosa, Dodo, Dorieo, Eli22, Elsenyor,Ensada, Eralos, Escale, EspaisNT, Evaristor, EvolvE, Facuman8, Faelomx, Filipo, Firulillo, Fixertool, Frankwillis, Gafotas, Gallo Pinto, GerGhiotti, GermanX, Geronime, Goliardo, Gonmator,Gothmog, Greek, Gregoriobart, Grillitus, Gusbelluwiki, Götz, HUB, Heliocrono, Helmy oved, Hermzz, Hiperfelix, Homo logos, Hprmedina, Hulp, Humbefa, Humberto, IIM 78, Ialad, Icabezud,Icvav, Inri, Integral triple, Invadinado, Isha, JAGT, JMCC1, Jamercues, Jarke, Javierito92, Jcaraballo, Jerowiki, Jesam, Jiacontrerasp, Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, Joselarrucea, Jtico, JuanMayordomo, Kadellar, Kim FOR sure, Kismalac, Kn, KnightRider, Kved, Lasneyx, Laura Fiorucci, Lawaya, Leandrodiazezequiel, Leonbloy, Leonpolanco, Lew XXI, Libertad y Saber, Lin linao,Llsalcedo, Lopezmts, LordT, Lucien leGrey, Luis1970, Madalberta, Makete, Maldoror, Man77, Manuribadeo, Manwë, Marsal20, Matdrodes, Matematico2008, Matias111, Mel 23, Mephystovals,Meredhit, Mignog, Miguel303xm, Miguelectronico, Miss Manzana, Moriel, Mortadelo2005, Mrexcel, Mrsyme, Muro de Aguas, Mushii, Mutari, Negyek, Neodop, Netito777, Novellón, OLM,Oblongo, Ovidio Santana Salvador, Papix, Paporrubio, Petronas, Piccard, Pincho76, Pino, Ponchi182, Proferichardperez, Prometheus, Pólux, Queninosta, RASECZENITRAM, Ramjar, Rastrojo,Raúl González Molina, Remalbi2012, Retama, Ricardogpn, Roberpl, Robertollefi, Ronaldo16, Rosarino, RosenJax, Rrmsjp, Rubpe19, Sabbut, Saloca, Santi Gomà, Santiperez, Saul ip, Savh,Sefer, Shalbat, Sigmanexus6, Simeón el Loco, SimónK, Smartlink, Srbanana, Strigoiul, SuperBraulio13, Superzerocool, Taichi, Tamorlan, Tano4595, Tatvs, Technopat, The Bear That Wasn't,Tirithel, Tláloc, Toad32767, TorQue Astur, Tortillovsky, Tuliopa, Txuspe, Uaxuctum, Unaiaia, Urbtecto, VanKleinen, Varano, Varusso, Vatelys, Vester, VictorSanchez2, Vitamine, Vivero,Wikirom, Wilfredor, Wisho mayor Junior, Xaero476, Xenoforme, Xgarciaf, Yeza, YoaR, Yodigo, Youssefsan, Yrithinnd, Zupez zeta, 852 ediciones anónimas

Número π  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59811482  Contribuyentes: -Erick-, -jem-, -seb-, .Sergio, ALVHEIM, Abajo estaba el pez, Achury, Airunp, Alhen, Alpertron,Alvaro 789, Amadís, Angel GN, Angus, Anonimo12345, Antur, Antón Francho, Apartidista, Arkady, Arthurfx, Ascánder, AstroF7, Aswarp, Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, Barba roja, Barcex,Belb, Billyrobshaw, Blackman.cl, Bnom, Brahma, Bryant1410, Bucephala, CF, CHV, Cameri, Carmin, Cdlfd, Cgb, Cheveri, Chico palm, Cinabrium, Cobalttempest, CommonsDelinker,Cristianuz12, Cronos x, Crypdan, Ctrl Z, DJ Nietzsche, David gonzalez, David0811, Davius, Dcoetzee, Dequet, Diego Caro, Diego Godoy, Diego hurtado, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Dorieo,Dove, Drc1997, Edmenb, Edocastillo, Eduardosalg, Edub, El Caro, El guardian999, ElVaka, Emiduronte, Eralos, Euratom, Ezarate, Ezequiel3E, FAR, Facundos 23, Faelomx, Feliciano,Felknight, Ferenckv, Filipo, Folkvanger, Fonshu23, Frutoseco, Furado, Gaijin, Gaius iulius caesar, GeminiSaga, Gengiskanhg, GermanX, Gijzopium, Giragus, Gizmo II, Gonmator, Govalant,Gusgus, Gustronico, Gydunhn, HUB, Harvin, Heliocrono, Homo logos, House, Hprmedina, Hugone, Humberto, Igna, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Invadinado, Irfit, Isha,JEDIKNIGHT1970, JMCC1, Jacksys, Jaime Xenius, Jamawano, Jarfil, Jarisleif, Jarke, Javierito92, Javivierjavi, Jclerman, Jerowiki, Jesam, Jgomez53, Jkbw, John PC, Jordissm, Jorgechp,Jorosmtz, Joseaperez, Josell2, Jtico, Juan Mayordomo, Julian Mendez, KPM, Kadellar, Kn, KnightRider, Kraton, Krysthyan, LP, Leonpolanco, LitOrdes, Lmcuadros, LordT, Lordsito, LucienleGrey, Luis Cortés Barbado, Luiscg, M S, Madalberta, MadriCR, Magister Mathematicae, Mahey94, Makete, Maldoror, Manimecker, ManuelGR, Manuelt15, Manwë, MarcosTusar,Mariantobis, Marsi Mario, Matdrodes, Mauricio Maluff, Mcleod ideafix, Megalfático, Miguel, Miss Manzana, Moriel, Mortadelo2005, Mpeinadopa, Muro de Aguas, Mutari, Natrix, Navelegante,Nestoreleditor, Netito777, Nicoguaro, Nioger, Nixón, Numbo3, Oconel, OiraM, Oscar ., Pabloallo, Paintman, Palica, Pan con queso, Peejayem, Pertile, Petruss, Pieter, Pilielena, Purodha, Pólux,QnanG5284, Quijav, Qwertyytrewqqwerty, Rafa3040, Rafagb, Ramjar, Raulshc, Raúl González Molina, RedTony, Remedios.Frutos, Resped, Roberpl, Roberto Fiadone, Romanovich,Rosarinagazo, Rovnet, RoyFocker, Rpmi1640, Sabbut, Sanbec, Santiperez, Sapiensjpa, Savh, Sebrev, Sefirah, Segavi, Sergiotarrancas, Snakefang, Snakeyes, Soro 04, Stifax, Stormnight,SuperBraulio13, Superzerocool, Surscrd, Suso de la Vega, Taichi, Tano4595, Technopat, The Scene, Tirithel, Tomatejc, Tostadora, Trejina, UA31, UltimateTroll, Vitamine, Vivero, Wewe,Wiilliam, Wiles, YonDemon, Zaka, ZrzlKing, Zulucho, Zupez zeta, 625 ediciones anónimas

Número e  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59327781  Contribuyentes: -jem-, AJSM, AVIADOR, AlbertoCrakito, Alpertron, Angiolo, Angus, Antur, Açipni-Lovrij, Baiji,BlackBeast, Bradomín, Brandon Jose, BuenaGente, Cal Jac02, Cdlfd, Cheveri, Comu nacho, DJ Nietzsche, Davidr89, Davidsevilla, Davius, Diegusjaimes, Dodo, Esteban Gadacz, FAR, Fak119,Fito hg, Fonsi80, Freecore, Gadacz Esteban, Gaspar, Gengiskanhg, GermanX, Glenn L, Gonso6gonso, Gsrdzl, Guillermo-, Hashar, Herraiz, Hispa, Ingenioso Hidalgo, Isha, JViejo, Jacevix,Jaenerisimo, Jaime Xenius, Jcea, Jclerman, Jerowiki, Jesam, Jgomez53, Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, Juan Mayordomo, Juanpabl, Kn, Kraton, Kved, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Luis FelipeSchenone, Magister Mathematicae, Manwë, Marsal20, Matdrodes, Mauer uk07, Mecamático, Mizar, Moriel, Muro de Aguas, Mushii, Nach90, Nicoguaro, Nioger, Paulienator, Platonides, Pólux,Qwertyytrewqqwerty, Ramjar, Raulshc, Retama, Roberto Fiadone, Romero Schmidtke, Rosarino, Sabbut, Satanás va de retro, Savh, Speedplus, SuperBraulio13, Tano4595, Tirithel, Togo, UA31,Ucevista, Usuwiki, Victorespejo, Vivero, Wewe, Wiles, Xtquique, Yaakob7, 303 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 54

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logosArchivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg  Licencia: GNU Free DocumentationLicense  Contribuyentes: User:Chris 73Archivo:Da Vinci Vitruve Luc Viatour.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Originaldrawing: Photograpy:Archivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt andcleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.Archivo:Pi-unrolled-720.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pi-unrolled-720.gif  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: John ReidArchivo:Pi-CM.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pi-CM.svg  Licencia: desconocido  Contribuyentes: EDUCA33E, Juiced lemon, Miya, Phrood, Trockennasenaffe,2 ediciones anónimasArchivo:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Egyptian_A'h-mosè_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Anarkman, G.dallorto, JMCC1, Luestling, Mdd, Otso Huuska, 3 ediciones anónimasArchivo:Archimedes pi.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Archimedes_pi.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes:Leszek KrupinskiArchivo:Liuhui Pi Inequality.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Liuhui_Pi_Inequality.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:derivative work: Pbroks13 (talk) Liuhui_Pi_Inequality.jpg: GislingArchivo:John Wallis by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: 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