Olivier GRANIER

(O.Granier)

Le théorème de Gauss

Olivier GRANIER

I – Flux du champ électrostatique

Définition :Soit E(M) un champ électrostatique défini dans un domaine de l’espace.

(C) orienté

Surface (ΣΣΣΣ)

Surface élémentaire dS

nr )(ME

r

M

θSoit (ΣΣΣΣ) une surface dont le contour (C) est orienté de manière arbitraire.

Le choix de cette orientation conditionne le choix du vecteur normal unitaire à la surface élémentaire dS centrée en M (règle du tire-bouchon ou de la main droite).

Olivier GRANIER

(C) orienté

Surface (ΣΣΣΣ)

Surface élémentaire dS

nr )(ME

r

M

θ

On appelle flux élémentaire dΦΦΦΦ du champ E à travers la surface dS orientée la quantité :

Le flux total du champ E à travers toute la surface est alors :

dSnMEdrr

).(=Φ

∫∫Σ=Φ

)().( dSnMErr

Intérêt physique du flux :

Le flux « compte » les lignes de champ qui traversent la surface (le flux est maximal lorsque θ θ θ θ = 0 et nul pour θ θ θ θ = ππππ/ 2 ).

dSMEd θcos)(=Φ

Olivier GRANIER

Surface fermée (ΣΣΣΣ)

dS

nr

)(MEr

M

Cas d’une surface fermée :Exemples de surfaces fermées (elles délimitent un volume fini) :

Le vecteur normal n est choisi, par convention, dirigé vers l’extérieur du volume délimité par la surface fermée.

On définit alors le flux sortant à travers la surface fermée, que l’on note :

∫∫Σ=Φ

)().( dSnMES

rr

Olivier GRANIER

II – Le théorème de GaussLe théorème de Gauss permet d’évaluer le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée, en fonction des charges contenues à l’intérieur de cette surface.

On considère une charge ponctuelle q placée en O et on choisit comme surface fermée la sphère ΣΣΣΣ(O,r) de centre O et de rayon r.

On évalue le flux sortant du champ électrique à travers ΣΣΣΣ(O,r).

O dS

M

runrr

=

)(MEr

rur

qME

rr

204

1)(

πε=

dSuMEdSnMEd rS

rrrr).().( ==Φ

dSr

qd S 2

0

1

4πε=Φ

q

ΣΣΣΣ(O,r)

Olivier GRANIER

En intégrant sur toute la sphère (sur laquelle r est constant) :

0

2

20

20

)4(1

4

1

4 επ

πεπε

qsoitr

r

qS

r

qSsphèreS =Φ==Φ

Généralisation : on considère des charges ponctuelles qint placées à l’intérieur d’un volume délimité par une surface fermée (ΣΣΣΣ) quelconque.

qint

qint

qint

dSM

nr

)(MEr

Volume intérieur (V)

Surface fermée (ΣΣΣΣ)

∑

∫∫=Φ

=ΦΣ

int

0

)(

1

).(

q

dSnME

S

S

ε

rr

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qext dS1

M11nr

)(1 MEr

Surface fermée (ΣΣΣΣ)

)(2 MEr

2nr

M2 dS2

Le flux sortant du champ créé par la charge qext à travers la surface fermée est nul (les flux à travers dS1 et dS2 se compensent deux à deux : les champs diminuent comme 1 / r2 mais les surfaces dS augmentent comme r2).

Cas de charges extérieures à la surface fermée :

r1

r2

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Le flux du champ sortant d’une surface fermée est égal au produit par 1/εεεε0de la somme des charges intérieures à la surface ; ce flux est indépendant de leur position et de la présence de charges extérieures.

Énoncé du théorème de Gauss :

Les charges qint et qext créent un champ E en tout point M de l’espace.

qint

qint

qint

dSM

nr

)(MEr

Volume intérieur (V)

Surface fermée (ΣΣΣΣ)

∑

∫∫=Φ

=ΦΣ

int

0

)(

1

).(

q

dSnME

S

S

ε

rr

qext

Olivier GRANIER

Cas d’une répartition volumique de charges :

Soit ρρρρ la densité volumique de charges.

dSM

nr

)(MEr

Volume intérieur (V)

Surface fermée (ΣΣΣΣ)

∫∫∫∫∫ ==ΦΣ )(

0)(

)(1

).(V

S dPdSnME τρε

rr

ρρρρ

ρρρρ

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2q - q

Nombre de lignes : les lignes partant de + 2q sont deux fois plus nombreuses que celles qui arrivent en – q.

Topographie du champ électrostatique

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III – Applications du théorème de Gauss

Méthode de raisonnement : choix d’une surface de Gauss (ΣΣΣΣ) puis :

∑∫∫ ==ΦΣ

int

0)(

1).( qdSnMES

ε

rr

Calcul direct du flux en utilisant les propriétés de symétrie fortes du champ

(si elles existent !)

Calcul des charges intérieures à la surface de Gauss choisie.

L’identification des deux expressions du flux sortant donne ensuite la valeur du champ en tout point de l’espace.

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1 – Sphère ΣΣΣΣ(O,R) uniformément chargée en volume :

ρρρρ

Mr

O

rurEMErr

)()( =

rur

ΣΣΣΣ(O,R)

Surface de Gauss ΣΣΣΣ(O,r)

)(4

)()(

.)(

).(

2

),()(

)(

)(

rEr

SrEdSrE

dSuurE

dSnME

S

rOS

rrS

S

π=Φ

==Φ

=Φ

=Φ

ΣΣ

Σ

Σ

∫∫

∫∫

∫∫rr

rr

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ρρρρ

Mr

O

rurEMErr

)()( =

rur

ΣΣΣΣ(O,R)

Surface de Gauss ΣΣΣΣ(O,r)

Si r > R :

Si r < R :

Q désignant la charge totale portée par la sphère ΣΣΣΣ(O,r).

QRq == ρπ 3int

3

4

QR

rrq

3

3int

3

4

== ρπ

Olivier GRANIER

L’application du théorème de Gauss donne alors :

Pour r > R :

C’est équivalent au champ dû à une charge ponctuelle Q placée en O.

Pour r < R :

Le champ varie linéairement avec la distance au centre r (il estnotamment nul au centre de la sphère).

rur

QEet

r

QrE

rr

20

20 4

1

4

1)(

πεπε==

rR

Qur

R

QEetr

R

QrE r

rrr

30

30

30 4

1

4

1

4

1)(

πεπεπε===

Olivier GRANIER

R0

204

1

R

Q

πε

E(r)

r

204

1

r

Q

πε

Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :

Olivier GRANIER

Détermination du potentiel :

La relation intrinsèque entre le champ et le potentiel donne ici, en coordonnées sphériques :

Pour r > R :

en ayant choisit V(r) nul à l’infini (pas de charges à l’infini).

On retrouve l’expression du potentiel créé par une charge ponctuelle Q placée en O.

dr

dVrEVgradE −=⇒−= )(

r

r

QrVoùd

r

Q

dr

dV

02

0 4

1)('

4

1

πεπε=−=

Olivier GRANIER

Pour r < R :

KrR

QrVsoitr

R

Q

dr

dV+−=−= 2

30

30 4

1

2

1)(

4

1

πεπε

La constante K s’obtient en écrivant la continuité du potentiel en r = R :

Soit :

R

QK

R

QKR

R

QRV

0

0

2

30

4

1

2

3

4

1

4

1

2

1)(

πε

πεπε

=

=+−=

−=

2

2

0

34

1

2

1)(

R

r

R

QrV

πε

Olivier GRANIER

R0

R

Q

04

1

πε

V(r)

r

r

Q

04

1

πε

Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :

R

Q

04

1

2

3

πε

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2 – Sphère uniformément chargée en surface :

L’application du théorème de Gauss donne alors :

Pour r > R : (avec Q = 4ππππR2σσσσ)

C’est équivalent au champ et au potentiel dus à une charge ponctuelle Q placée en O.

Pour r < R :

Le champ est donc nul à l’intérieur de la sphère chargée en surface.

Il y a continuité du potentiel pour r = R.

r

QrVu

r

QE

r

QrE r

02

02

0 4

1)(;

4

1;

4

1)(

πεπεπε===

rr

R

QcsteVEq

0

int4

1;0;0

πε====

rr

Olivier GRANIER

R0

204

1

R

Q

πε

E(r)

r

204

1

r

Q

πε

Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :

02

04

1

ε

σ

πε==∆

R

QE

Discontinuité « habituelle »

du champ

Olivier GRANIER

R0

R

Q

04

1

πε

V(r)

r

r

Q

04

1

πε

Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :

Le potentiel est continu en r = R

Olivier GRANIER

3 – Cylindre infini uniformément chargé en volume :

M

O

x

y

z

ρρρρ

rurEMErr

)()( =

r

rur

∞

∞

H

P

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M

O

x

y

z

ρρρρ

rurEMErr

)()( =

r

rur

∞

∞

H

h

Surface de Gauss (cylindre (C) d’axe Oz, de hauteur h et de rayon r)

ΣΣΣΣ1

ΣΣΣΣ2

ΣΣΣΣlat

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∫∫∫∫∫∫

∫∫

ΣΣΣ++=Φ

=Φ

)()(2

)(1

)(

.)(.)(.)(

.)(

21 lat

dSuurEdSnurEdSnurE

dSnME

rrrrS

CS

rrrrrr

rr

)(2 rEhrS π=Φ

10 nucar r

rr⊥= 20 nucar r

rr⊥=

)(2)(.)()()(

rEhrdSrEdSuurElatlat

rrS π===Φ ∫∫∫∫ ΣΣ

rr

Calcul direct du flux sortant :

Olivier GRANIER

ρπ hRq2

int =

Calcul des charges intérieures :

Pour r > R :

Pour r < R :

L’application du théorème de Gauss donne alors :

Pour r > R :

Pour r < R :

.

ρπ hrq2

int =

rur

RMEet

r

RrE

rr 2

0

2

0 2)(

2)(

ε

ρ

ε

ρ==

rurMEetrrErr

00 2)(

2)(

ε

ρ

ε

ρ==

Olivier GRANIER

Détermination du potentiel :La présence de charges à l’infini ne permet pas d’annuler le potentiel à l’infini. On choisit arbitrairement la surface du cylindre (pour r = R) au potentiel nul, par exemple.

Pour r > R :

Pour r < R :

Par continuité du potentiel en r = R, on obtient :

KrRrVdoncr

R

dr

dV+−=−= )ln(

2)(

2

2

0

2

0 ε

ρ

ε

ρ

'22

1)(

2

2

00

KrrVdoncrdr

dV+−=−=

ε

ρ

ε

ρ

)ln(2

)(2

0 r

RRrV

ε

ρ=

( )22

04)( rRrV −=

ε

ρ

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4 – Plan infini uniformément chargé en surface :

σσσσ

O

xy

z

M

MS

zuzEMErr

)()( =

zS uzEMErr

)()( −=

(S)

(S)

2z

Surface de Gauss

Olivier GRANIER

0

E(z)

z

Représentation graphique du champ E(z) (pour σσσσ > 0) :

Discontinuité « habituelle »

du champ

02ε

σ

02ε

σ−

0ε

σ=∆E

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5 – Charges volumiques positives entre deux plans (ex n°8) :

Des charges positives sont contenues entre les deux plans x = + a et x = - a, avec une densité volumique uniforme ρρρρ.

Calculer le champ et le potentiel en tout point de l'espace On admet que le plan x = 0 est au potentiel V0.

ρρρρ

0

y

x

z

M

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0

E(x)

x

Représentation graphique du champ E(x) (pour ρρρρ > 0) :

0ε

ρa

0ε

ρa−

a- a

0

00

)(:

)(:)(:

ε

ρ

ε

ρ

ε

ρ

xxEaxa

axEax

axEax

=<<−

=>−=−<

Le champ est ici continu

(propriété des distributions volumiques)

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0

V(x)

x

Représentation graphique du potentiel V(x) (pour ρρρρ > 0) :

0V

a- a

02

0

0

0

2)(:0

2)(:

VxxVax

Va

xa

xVax

+−=<<

+

+−=>

ε

ρ

ε

ρ

Le potentiel est une fonction paire.

La pente du potentiel est continue en x=+a

et x=-a.

)(aV

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6 – Théorème de Gauss et principe de superposition (ex n°12) :

On considère un plan infini percé d'un trou circulaire de rayon R, et chargé uniformément en surface.

A l'aide du principe de superposition, calculer le champ électrostatique en un point M situé sur l'axe du trou.

σσσσ

O

xy

zM (z)

Olivier GRANIER

IV – Théorème de Gauss pour le champ gravitationnelAnalogies formelles :

∑∫∫ ==ΦΣ

int

0)(

1).( qdSnMES

ε

rr

rélec ur

qQf

rr

204

1

πε=

rgrav ur

mMGf

rr

2−=

G−⇔04

1

πε

mq ⇔

∑∫∫ −==ΦΣ

int)(

4).( mGdSnMGS πrr

Olivier GRANIER

Exemples (ex n°16) :

Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ gravitationnel créépar une sphère de masse M en tout point de l'espace, dans les deux cas suivants :

*** Sphère creuse (densité surfacique σσσσ = cste).

*** Sphère pleine (masse volumique ρρρρ = cste).