3 leyde gauss

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y de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855) útil para calcular campos eléctricos de distribucio ltamente simétricas. Flujo: A A

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Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855)Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de carga altamente simétricas.

Flujo:A

A

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A

dx

Densidad de partículas =

PasaronAdxpartículasen un tiempo dt

Por unidad de tiempo pasaron Av partículas, donde v es la velocidad de las partículas. Esto es lo que se llama el flujo: = vA.

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dx dx

Densidad de partículas =

cos ’=

v

A’ = v A’ = v A cos = v A

Flujo de materia.

es un vector perpendicular al área y su módulo esigual al área.

Campo de velocidades v.

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Flujo para un campo vectorial arbitrario.

Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector representando un elemento de área en ese punto se define el elementode flujo por:

d = F da. daF

AF

da

da

F

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E

da

q

Eda

Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido a una carga eléctrica q colocada en el centro:

= ∫ E da. = ∫q

r2r rda.

r

ke = 4keq

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r

R

Angulo sólido

dAR

dAr

d= dAR

R2=

dAr

r2

dr =

q

keqr2

dAr

dR =keq

R2

dAR = q

R2

R2

r2dAr = dr ke

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q

dAR = dA’cos

dA’

dAR

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dA’= ke q

R2

r dA’. =ke q

R2

dA’ cos k eq

R2= dAR = dR

El flujo a través de cualquier superficie que contenga a lacarga q0 es el mismo.

E da.= ∫ =

q1

q2

; E = E0 + E1 + E2

q0

4keq0 + 4keq1 + 4keq2

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= 4 ∫ ( r ) dV distribución continua de cargas

= 4 ∑i=1

Nqi distribución discreta de N cargas.

∫ ( r ) dVE da.∫ =

E da.∫ ∑i=1

Nqi=

Ley de Gauss

ke

ke

4 ke

4 ke

Page 10: 3 leyde gauss

x

y

z

dx

dEy

E

Ey= ∫-

cos R2

R

d

dx

RdRd = dx cos

= ∫d

r

R

r = R cos

= -

∫r

cos d

= 2ke r

keke ke

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r

r

E da.∫L

= 4ke L

=> Er L 2r == 4keL

=>2ke Er = r

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Plano de carga no conductor

++ +++

+

+

++

++

+

++

+ ++

+

++

+

++

+

+

+

++

+

++

+

EE

A

= 2EA = o

+ +

+

E = 2o

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Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente:

E1= 0

y

E = ^E2 = 0

j

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Conductor

A

E+

+

+

+

+ +

+

+

+

++

+ +

+ ++

Cargas en la superficie.Campo es nulo en el interior.Campo perpendicular a la superficie.Campo es mayor donde la curvatura es mayor.

= EA =Ao

E = o

Justo fuera del conductor:

muy pequeño

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Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados:

P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio Rcon densidad de carga uniforme . Encuentre el campo eléctrico a a una distancia r < R del eje.

r

RE =

r

2o

r

L

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∫ E da = ∫ E r da r = E 2 r L ^^ = o

ley de Gauss

r2 L

Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso de la simetría del problema.

Page 17: 3 leyde gauss

Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera de radio R.

R

343RQ

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i) Rr r

3

33

33

34

43

34

Rr

QrRQ

rQ Rr

Aplicando ley de Gauss:

rR

QE

RQr

rE

30

30

32

4

4

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ii) Rr r

0

24

QEr

20

14 rQ

E

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R

E

r

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Cascarón esférico delgado de radio R

20

14 rQ

E

afuera0Eadentro

R

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P53, P55

Page 23: 3 leyde gauss

3Q

a

b

c

-Q

Page 24: 3 leyde gauss

i) cr

0

2 24

QrE

20

12 rQ

E

ii) brc

0E Interior del conductor

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iii) arb

rrQk

rr

QE

QrE e ˆ

1433

4 2200

2

iv) ar

raQk

raQ

E

aQr

rE

e 33

0

30

32

34

3

34

Page 26: 3 leyde gauss

a b c r

E

Page 27: 3 leyde gauss

a

b

c

conductordescargado

no conductor cargadohomogéneamente

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i) Campo en r < a

32

3

414 r

qrEadE

oo

r

luego:

rr

Eo

ˆ3

ii) Campo en a < r < b

32 3

4con ˆ

4aQr

r

QE

o

iii) Campo en b < r < c

0E

interior del conductor

Page 29: 3 leyde gauss

iv) Campo en r > c

32 3

4con ˆ

4aQr

r

QE

o

v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor

conductor; delinterior superficie laen carga la es donde

00

s

o

s

q

qQadadE

luego:

24 :entoncesy

b

QQqs

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vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor.

Puesto que el conductor está descargado la carga totalsobre esta superficie es

Qqq sc luego:

24 c

Qc

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P60

a

2a

r

r1

Ex = 0

aEy =

3o

a

Campo en lacavidad esférica

x

y

No hay campo gravitacional.

Esfera no conductoracon una cavidad ycargada uniformemente.

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rrRR

krRQ

krE ee

03

3

3 334

)(

La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas y de densidad Queda entonces una esfera completa de radioR= 2a con densidad de carga y una esfera de radio a condensidad de carga –

el campo de la esfera de radio R es:

y el de la esfera de radio a es:

10

13

3

13 334

)( rraa

kra

QkrE e

aea

En el punto ;r

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Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo dentro de la cavidad:

103

rrET

pero ,1 arr

luego,

aarrET

00 33

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Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q.

Page 35: 3 leyde gauss

Problema 3

Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad de carga como se muestra en la figura

y

xa2aa

Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y.

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Problema 7

Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidadparalela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Ademásse encuentra cargado uniformemente con densidad de carga

x

y

R2 R

Encuentre el campo en la cavidad yen el punto xRr ˆ

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Solución.

Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 yotro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de cargauniforme y el segundo una densidad de carga uniforme –.

R

Ro

RR r

rE ˆ

2

En la cavidad:

rr

Eo

R ˆ22

r

Rr

xRrrR ˆ

xR

EEEo

RR ˆ22

En xRr

xR

Eo

R ˆ4

xR

Eo

R ˆ22

xR

EEEo

RR ˆ22

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P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de carga positiva uniforme .

x

y

Campo en este punto está enla dirección x.

vista de canto

Aplicamos Gauss al cilindro A

x

EA = x

o

E = x o

i

x