Geometrie - Ausgewählte Kapitel

Christina Birkenhake

christina@birkenhake.nethttp://christina.birkenhake.net

8. März 2010

Urspünge der Navigation

Erste Navigationsgeräte

Infinitesimale Methoden I

r=1/2M

Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π

Un Umfang n-Eckdann: Un

n→∞−→ π

Infinitesimale Methoden I

M

�s12

s62

r=1/2

r=1/2

Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π

Un Umfang n-Eckdann: Un

n→∞−→ πUn = n · sn

Infinitesimale Methoden I

M

�s12

s62

r=1/2

r=1/2

F

B

C

Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π

Un Umfang n-Eckdann: Un

n→∞−→ πUn = n · sn

Pythagoras:l(MF ) =

√1−s2

n2

l(FB) =√s22n −

s2n2

Infinitesimale Methoden I

M

�s12

s62

r=1/2

r=1/2

F

B

C

Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π

Un Umfang n-Eckdann: Un

n→∞−→ πUn = n · sn

Pythagoras:l(MF ) =

√1−s2

n2

l(FB) =√s22n −

s2n2

l(MF ) + l(FB) = 12

...s2n =

√12 −

12

√1− s2

n

U2n = n√

12 −

12

√1− U2

nn2

Infinitesimale Methoden II

r=1/2M

s =1 2

s =4√𝍩

22

Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1

mit TR iterativ sn und Un be-rechnen

s2n =

√12 −

12

√1− s2

n

Un = nsnn sn Un2 1 24

√2

2 2√2

8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141

......

∞ π

Infinitesimale Methoden II

r=1/2M

s =1 2

s =4√𝍩

22

Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1mit TR iterativ sn und Un be-rechnen

s2n =

√12 −

12

√1− s2

n

Un = nsnn sn Un2 1 24

√2

2 2√2

8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141

......

∞ π

Infinitesimale Methoden II

r=1/2M

s =1 2

s =4√𝍩

22

Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1mit TR iterativ sn und Un be-rechnen

s2n =

√12 −

12

√1− s2

n

Un = nsn

n sn Un2 1 24

√2

2 2√2

8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141

......

∞ π

Infinitesimale Methoden II

r=1/2M

s =1 2

s =4√𝍩

22

Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1mit TR iterativ sn und Un be-rechnen

s2n =

√12 −

12

√1− s2

n

Un = nsnn sn Un2 1 24

√2

2 2√2

8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141

......

∞ π

Infinitesimale Methoden III

Prinzip von Cavalieri - ZweidimensionalBeispiel Dreiecksfläche

F (∆) =12 · g · h

Geogebra: Dreiecksfläche

Infinitesimale Methoden IIIIPrinzip von Cavalieri:Körper, deren Schnitte mit jeder Ebene einer Schar aus parallelenEbenen flächengleich ist, haben dasselbe Volumen.

Schöne Internetseite:http://tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/DFU-Koerper/cavalieri.html

Bestimmung des Erdradius nach Eratosthenes

Alexandria

Syene

α

α

M

Ekliptik

Sommer

22.7.

Winter

22.12.

Herbst22.9.

Frühling22.3.

Berechnung der Erdneigung oder des Breitengrades I

Horizont

Äquator

M

Erde

Sonnenstrahlenα

εφ

Winter

Berechnung der Erdneigung oder des Breitengrades II

Horiz

ont

Äquator MErde

Sonnenstrahlen

α

εφ

Sommer

Ein altes Problem

Wo bin ich?

Ein altes Problem

Wo bin ich?

Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.

Ein altes Problem

Wo bin ich?

Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.

Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarken

Ein altes Problem

Wo bin ich?

Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.

Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen

Ein altes Problem

Wo bin ich?

Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.

Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen

Navigation

Ein altes Problem

Wo bin ich?

Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.

Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen

Navigation

lateinisch: navem agere

Ein altes Problem

Wo bin ich?

Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.

Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen

Navigation

lateinisch: navem agere ein Schiff lenken

Navigationsgeräte

Latitude HookKamalAstrolabiumJakobsstabQuadrant/SexantKompassChronometerSeekarte

Latitude Hook

(Polynesien)

Ermöglicht die Höhe eines Gestirns zu vergleichen

Kamal

(Arabien)

Ermöglicht die Höhe eines Gestirns zu vergleichen

Astrolabium

(Naher Osten und Europa)Im 15.-17.Jh. üblichErmöglicht, die Zenitdistanz einesGestirns zu messen.

Jakobsstab

W

N

O

S

Richtung Nordstern

Horizont

(ab 13. Jh.)Zum Winkel messen.

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

α0º120º

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

α

α0º120º

α/2

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

α

α0º120º

α/2

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

α

α0º120º

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel

2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

β

β

α

α0º120º

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel

3) α2 Wechselwinkel

4) δ = 180◦ − β − γ − α2

5) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

β

β

α

α0º120º

α/2

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel

4) δ = 180◦ − β − γ − α2

5) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

β

β

α

α0º120º

α/2

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

2

5) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

β

β

α

α0º120º

α/2

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

β

β

α

α0º120º

α/2

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ

4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

β

β

α

α0º120º

α/2

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel

60º

Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung

Alhidade

Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade

Fernrohr

β

β

α

α0º120º

α/2

α/2

δ

δ

γγ

Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!

1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α

2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α

25) β + 2γ = 180◦

6) α = 180◦ − β − 2δ4)= β+2γ−180◦+α

5)= α

Magnetkompass

(frühes 14. Jhd)Probleme: Missweisung , Ablenkung

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?

I terrestrische NavigationI AstronavigationI Funk-/Schallnavigation

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?I terrestrische Navigation

I AstronavigationI Funk-/Schallnavigation

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?I terrestrische NavigationI Astronavigation

I Funk-/Schallnavigation

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?I terrestrische NavigationI AstronavigationI Funk-/Schallnavigation