Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

1 Forme liniare

2 Forme biliniare

3 Forme patratice realeForma canonicaNatura unei forme patratice

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Functionala liniara

Fie V un spatiu liniare peste Γ, unde Γ = R sau Γ = C.

Definitie

Se numeste functionala liniara o functie f : V → Γ caresatisface

1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ.

Notam V ′ = {f : V → Γ, f functionala liniara}. V ′ se numestedualul lui V .

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma liniara

Definitie

Daca V este un spatiu liniar finit dimensional, atunci ofunctionala liniara se numeste forma liniara.

Fie B1 = {e1,e2, · · · ,en} o baza în V . Pentru orice u ∈ V are

loc u =n∑

i=1

xiei .

Daca f este o forma liniara atunci

f (u) = f (n∑

i=1

xiei) =n∑

i=1

xi f (ei).

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Coeficientii formei liniare

Definitie

Scalariiai = f (ei) (1)

se numesc coeficientii formei liniare în baza B.

Matricea a =(

a1 a2 · · · an)∈M1,n se numeste matricea

formei liniare în baza B.Relatia f (u) = α, α ∈ Γ este echivalenta cu

(a1 a2 · · · an

)·

x1x2· · ·xn

= α.

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Schimabrea matricei la o schimbare de baza

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} si B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} doua baze înV .

TeoremaDaca a′i sunt coeficientii lui f în baza B′, atunci are loc

a′ = a · C. (2)

Demonstratie. Are loc

e′i =n∑

j=1

cjiej .

Coeficientii a′i sunt

a′i = f (e′i ) =n∑

j=1

cji f (ej) =n∑

j=1

cjiaj .

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forme biliniare reale

Fie V spatiu liniar peste R.

Definitie

Functionala f : V × V → R se numeste functionala biliniaradaca satisface:1. f (αu + α′u′, v) = αf (u, v) + α′f (u′, v)2. f (u, βv + β′v ′) = βf (u, v) + β′f (u, v ′)∀α, α′, β, β′ ∈ R, u,u′, v , v ′ ∈ V.

Definitie

Daca V este finit dimensional, o functionala biliniara senumeste forma biliniara.

Definitie

f se numeste simetrica daca f (u, v) = f (v ,u), ∀u, v ∈ V.Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Expresia generala a unei forme biliniare

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} o baza în V si u, v ∈ V . Au loc

u =n∑

i=1

xiei , v =n∑

j=1

yjej .

Aplicam f peste vectorii bazei si obtinem

f (u, v) =n∑

i=1

n∑j=1

xiyj f (ei ,ej) (3)

Notamaij = f (ei ,ej). (4)

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Matricea formei biliniare într-o baza

Definitie

Matricea A = (aij) se numeste matricea formei biliniare în bazaB.

Relatia (3) poate fi scrisa sub forma

f (u, v) =(

x1 x2 · · · xn)· A ·

y1y2· · ·yn

.

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Schimbarea matricei unei forme bilinare

TeoremaFie B = {e1,e2, · · · ,en} si B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} doua baze înV . Fie f : V × V → R o forma biliniara, care are matricea A înbaza B si matricea A′ în baza B′. Fie C matricea de schimbarede baza. Are loc

A′ = Ct · A · C. (5)

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Demonstratie

Vectorii din B′ se exprima prin

e′i =n∑

j=1

cjiej .

Atunci

a′ij = f (e′i ,e′j ) = f (

n∑k=1

ckiek ,

n∑l=1

cljel) =

n∑k=1

cki

n∑l=1

clj f (ek ,el) =n∑

k=1

cki

n∑l=1

cljakl =

=n∑

k=1

cki

n∑l=1

aklclj

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma biliniara simetrica

TeoremaFie f : V × V → R o forma biliniara, care are matricea A înbaza B. Atunci f este simetrica daca si numai daca A = At .

Demonstratie. Fie u, v ∈ V . Au loc

u =n∑

i=1

xiei , v =n∑

j=1

yjej .

Afirmatia rezulta daca tinem cont de

f (u, v) =n∑

i=1

xi

n∑j=1

yjaij si f (v ,u) =n∑

j=1

yj

n∑i=1

xiaji .

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Forme patratice reale

Fie V un spatiu liniar peste R, cu dim(V ) = n.

Definitie

Functia h : V → R se numeste forma liniara daca exista oforma biliniara simetrica f : V × V → R astfel ca

h(u) = f (u,u). (6)

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} în V si u =n∑

i=1

xiei .

Are loc daca folosim (4)

h(u) = f (u,u) = f (n∑

i=1

xiei ,

n∑j=1

xjej) =n∑

i=1

xi

n∑j=1

xjaij .

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Matricea formei patratice

DefinitieMatricea

A = (aij), i , j = 1, · · · ,n, (7)

se numeste matricea formei patratice în baza B.

Forma biliniara se scrie sub forma matriceala

h(x) =(

x1 x2 · · · xn)· A ·

x1x2· · ·xn

. (8)

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Rangul unei forme patratice

Definitie

Daca h este o forma patratica, atunci forma biliniara asociata(polara) este prin definitie

f (u, v) =12

(h(u + v)− h(u)− h(v). (9)

Definitie

Numim rang al formei patratice rangul matricei A.Daca rang(A) = n, forma patratica se numeste nedegenerata.Daca rang(A) < n, forma patratica se numeste degenerata.

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Forma canonica

Definitie

Spunem ca forma patratica are forma canonica daca exista obaza B′ = {e′1, · · · ,e′n} în care forma patratica are expresia

h(u) =n∑

i=1

ki(x ′i )2 unde u =n∑

i=1

x ′i e′i . (10)

Forma Lorentz

h(u) = x21 + x2

2 + x23 − c2x2

4 ,

unde c este viteza luminii.

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Metoda Iacobi

Fie A o matrice patratica. Prin minor principal întelegem undeterminant, a carui diagonala contine numai elemente dindiagonala principala a matricei.

TeoremaFie h : V → R o forma patratica cu matricea A. Presupunem catoti minorii principali ∆i , i = 1, · · · ,n satisfac∆i 6= 0,∀i = 1, · · · ,n. Atunci exista o baza în care formacanonica este

h(u) =∆0

∆1(x ′1)2 +

∆1

∆2(x ′2)2 + · · ·+ ∆n−1

∆n(x ′n)2. (11)

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Metoda Gauss

TeoremaFie h : V → R o forma patratica. Exista o baza în care h areforma canonica.

Metoda consta în transformarea matricei A a formei patratice,pâna când aceasta are numai 0 sub diagonala principala.

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Legea inertiei

TeoremaFie h : V → R o forma patratica. Pentru orice baza în care hare forma canonica numarul coeficientilor pozitivi, negativi saunuli este acelasi.

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Pozitiva definire

Definitie

Spunem ca forma patratica h : V → R este pozitiv definita dacapentru orice u 6= 0V are loc h(u) > 0.

TeoremaO forma patratica h : V → R este pozitiv definita daca si numaidaca ∆i > 0, ∀i = 1, · · · ,n.

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Definitie

Spunem ca forma patratica h : V → R este pozitiv semi-definitadaca pentru orice u ∈ V are loc h(u) ≥ 0.

Definitie

Spunem ca forma patratica h : V → R este nedefinita dacaexista u,u′ ∈ V ,u 6= u′ astfel ca h(u) < 0 si h(u′) > 0

Forme liniare, biliniare, patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

Forma canonicaNatura unei forme patratice

Forme liniare, biliniare, patratice