Forme Liniare Biliniare Patratice

Forme liniareForme biliniare

Forme patratice reale

1 Forme liniare

2 Forme biliniare

3 Forme patratice realeForma canonicaNatura unei forme patratice

Forme liniare, biliniare, patratice



Functionala liniara

Fie V un spatiu liniare peste Γ, unde Γ = R sau Γ = C.

Definitie

Se numeste functionala liniara o functie f : V → Γ caresatisface

1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ.

Notam V ′ = {f : V → Γ, f functionala liniara}. V ′ se numestedualul lui V .




Forma liniara

Definitie

Daca V este un spatiu liniar finit dimensional, atunci ofunctionala liniara se numeste forma liniara.

Fie B1 = {e1,e2, · · · ,en} o baza în V . Pentru orice u ∈ V are

loc u =n∑

i=1

xiei .

Daca f este o forma liniara atunci

f (u) = f (n∑

i=1

xiei) =n∑

i=1

xi f (ei).




Coeficientii formei liniare

Definitie

Scalariiai = f (ei) (1)

se numesc coeficientii formei liniare în baza B.

Matricea a =(

a1 a2 · · · an)∈M1,n se numeste matricea

formei liniare în baza B.Relatia f (u) = α, α ∈ Γ este echivalenta cu

(a1 a2 · · · an

)·

x1x2· · ·xn

= α.




Schimabrea matricei la o schimbare de baza

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} si B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} doua baze înV .

TeoremaDaca a′i sunt coeficientii lui f în baza B′, atunci are loc

a′ = a · C. (2)

Demonstratie. Are loc

e′i =n∑

j=1

cjiej .

Coeficientii a′i sunt

a′i = f (e′i ) =n∑

j=1

cji f (ej) =n∑

j=1

cjiaj .




Forme biliniare reale

Fie V spatiu liniar peste R.

Definitie

Functionala f : V × V → R se numeste functionala biliniaradaca satisface:1. f (αu + α′u′, v) = αf (u, v) + α′f (u′, v)2. f (u, βv + β′v ′) = βf (u, v) + β′f (u, v ′)∀α, α′, β, β′ ∈ R, u,u′, v , v ′ ∈ V.

Definitie

Daca V este finit dimensional, o functionala biliniara senumeste forma biliniara.

Definitie

f se numeste simetrica daca f (u, v) = f (v ,u), ∀u, v ∈ V.Forme liniare, biliniare, patratice



Expresia generala a unei forme biliniare

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} o baza în V si u, v ∈ V . Au loc

u =n∑

i=1

xiei , v =n∑

j=1

yjej .

Aplicam f peste vectorii bazei si obtinem

f (u, v) =n∑

i=1

n∑j=1

xiyj f (ei ,ej) (3)

Notamaij = f (ei ,ej). (4)




Matricea formei biliniare într-o baza

Definitie

Matricea A = (aij) se numeste matricea formei biliniare în bazaB.

Relatia (3) poate fi scrisa sub forma

f (u, v) =(

x1 x2 · · · xn)· A ·

y1y2· · ·yn

.




Schimbarea matricei unei forme bilinare

TeoremaFie B = {e1,e2, · · · ,en} si B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} doua baze înV . Fie f : V × V → R o forma biliniara, care are matricea A înbaza B si matricea A′ în baza B′. Fie C matricea de schimbarede baza. Are loc

A′ = Ct · A · C. (5)




Demonstratie

Vectorii din B′ se exprima prin

e′i =n∑

j=1

cjiej .

Atunci

a′ij = f (e′i ,e′j ) = f (

n∑k=1

ckiek ,

n∑l=1

cljel) =

n∑k=1

cki

n∑l=1

clj f (ek ,el) =n∑

k=1

cki

n∑l=1

cljakl =

=n∑

k=1

cki

n∑l=1

aklclj




Forma biliniara simetrica

TeoremaFie f : V × V → R o forma biliniara, care are matricea A înbaza B. Atunci f este simetrica daca si numai daca A = At .

Demonstratie. Fie u, v ∈ V . Au loc

u =n∑

i=1

xiei , v =n∑

j=1

yjej .

Afirmatia rezulta daca tinem cont de

f (u, v) =n∑

i=1

xi

n∑j=1

yjaij si f (v ,u) =n∑

j=1

yj

n∑i=1

xiaji .




Forma canonicaNatura unei forme patratice


Fie V un spatiu liniar peste R, cu dim(V ) = n.

Definitie

Functia h : V → R se numeste forma liniara daca exista oforma biliniara simetrica f : V × V → R astfel ca

h(u) = f (u,u). (6)

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} în V si u =n∑

i=1

xiei .

Are loc daca folosim (4)

h(u) = f (u,u) = f (n∑

i=1

xiei ,

n∑j=1

xjej) =n∑

i=1

xi

n∑j=1

xjaij .





Matricea formei patratice

DefinitieMatricea

A = (aij), i , j = 1, · · · ,n, (7)

se numeste matricea formei patratice în baza B.

Forma biliniara se scrie sub forma matriceala

h(x) =(

x1 x2 · · · xn)· A ·

x1x2· · ·xn

. (8)





Rangul unei forme patratice

Definitie

Daca h este o forma patratica, atunci forma biliniara asociata(polara) este prin definitie

f (u, v) =12

(h(u + v)− h(u)− h(v). (9)

Definitie

Numim rang al formei patratice rangul matricei A.Daca rang(A) = n, forma patratica se numeste nedegenerata.Daca rang(A) < n, forma patratica se numeste degenerata.





Forma canonica

Definitie

Spunem ca forma patratica are forma canonica daca exista obaza B′ = {e′1, · · · ,e′n} în care forma patratica are expresia

h(u) =n∑

i=1

ki(x ′i )2 unde u =n∑

i=1

x ′i e′i . (10)

Forma Lorentz

h(u) = x21 + x2

2 + x23 − c2x2

4 ,

unde c este viteza luminii.





Metoda Iacobi

Fie A o matrice patratica. Prin minor principal întelegem undeterminant, a carui diagonala contine numai elemente dindiagonala principala a matricei.

TeoremaFie h : V → R o forma patratica cu matricea A. Presupunem catoti minorii principali ∆i , i = 1, · · · ,n satisfac∆i 6= 0,∀i = 1, · · · ,n. Atunci exista o baza în care formacanonica este

h(u) =∆0

∆1(x ′1)2 +

∆1

∆2(x ′2)2 + · · ·+ ∆n−1

∆n(x ′n)2. (11)





Metoda Gauss

TeoremaFie h : V → R o forma patratica. Exista o baza în care h areforma canonica.

Metoda consta în transformarea matricei A a formei patratice,pâna când aceasta are numai 0 sub diagonala principala.





Legea inertiei

TeoremaFie h : V → R o forma patratica. Pentru orice baza în care hare forma canonica numarul coeficientilor pozitivi, negativi saunuli este acelasi.





Pozitiva definire

Definitie

Spunem ca forma patratica h : V → R este pozitiv definita dacapentru orice u 6= 0V are loc h(u) > 0.

TeoremaO forma patratica h : V → R este pozitiv definita daca si numaidaca ∆i > 0, ∀i = 1, · · · ,n.





Definitie

Spunem ca forma patratica h : V → R este pozitiv semi-definitadaca pentru orice u ∈ V are loc h(u) ≥ 0.

Definitie

Spunem ca forma patratica h : V → R este nedefinita dacaexista u,u′ ∈ V ,u 6= u′ astfel ca h(u) < 0 si h(u′) > 0


Forme Liniare Biliniare Patratice

Documents

Transcript of Forme Liniare Biliniare Patratice