Sviluppi di Fourier di alcune forme d'onda

Lorenzo Roi (7 gennaio 2011)

Onda a dente di segaLa funzione d'onda a dente di sega è definita come

y HtL = aT

t -T

2£ t <

T

2, Ha = costante assegnataL,

è periodica con periodo T e il suo sviluppo di Fourier è dato dalla serie

y HtL = a âi=1

¥ H-1Li+1i Π

sin2 Π i

Tt

Il suo grafico (a = 1 e T = 1) risulta

-2 -1 1 2

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6Onda a dente di sega

mentre le prime cinque armoniche sono

: Sin@2 Π tDΠ

, -Sin@4 Π tD

2 Π,

Sin@6 Π tD3 Π

, -Sin@8 Π tD

4 Π,

Sin@10 Π tD5 Π

>Supposta l'ampiezza dell'armonica fondamentale pari ad 1 così come la sua frequenza, l'ampiezza delle successive armonichein funzione della frequenza è rappresentata dall’istogramma

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10frequenza HHzL

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ampiezzaAmpiezza relativa delle armoniche

mentre la rappresentazione grafica che si ottiene al variare del numero di armoniche secondarie (per un massimo di 20) che laapprossimano nella somma è data dal grafico seguente.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6Somma di armoniche

Onda triangolareLa funzione per un'onda triangolare è definita come

y HtL = a 1 + 4T

t -T

2£ t < 0

y HtL = a 1 - 4T

t 0 £ t <T

2Ha = costante assegnataL

è periodica con periodo T e lo sviluppo di Fourier è

y HtL = a âi=0

¥ 8

H2 i + 1L2 Π2 cos2 Π H2 i + 1L

Tt

Il suo grafico (a = 1 e T = 1) è

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Onda triangolare

mentre le sue prime cinque armoniche sono le funzioni

: 8 Cos@2 Π tDΠ2

,8 Cos@6 Π tD

9 Π2,

8 Cos@10 Π tD25 Π2

,8 Cos@14 Π tD

49 Π2,

8 Cos@18 Π tD81 Π2

>Supposta pari ad 1 l'ampiezza dell'armonica fondamentale così come la sua frequenza, l'ampiezza delle successive armonichein funzione della frequenza è rappresentata dall'istogramma

2 sviluppoFourierStmp.nb

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19frequenza HHzL

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ampiezzaAmpiezza relativa delle armoniche di onda triangolare

che mostra come l'ampiezza decresca rapidamente all'aumentare della frequenza. La rappresentazione grafica che si ottiene alvariare del numero di armoniche secondarie (per un massimo di 10) è

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Somma di armoniche di onda triangolare

Onda quadraL'importante funzione onda quadra è definita come

y HtL = -a - T2

£ t < 0

y HtL = +a 0 £ t < T2

e possiede, come le precedenti, periodo T . Il suo sviluppo di Fourier è

y HtL = a âi=0

¥ 4

H2 i + 1L Π sin2 Π H2 i + 1L

Tt

mentre il suo grafico risulta (a = 1 e T = 1)

sviluppoFourierStmp.nb 3

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0Onda quadra

Le sue prime cinque armoniche sono le funzioni

: 4 Sin@2 Π tDΠ

,4 Sin@6 Π tD

3 Π,

4 Sin@10 Π tD5 Π

,4 Sin@14 Π tD

7 Π,

4 Sin@18 Π tD9 Π

>e la loro ampiezza in rapporto all'armonica fondamentale decresce all'aumentare della frequenza come mostratodall'istrogramma

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19frequenza HHzL

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ampiezzaAmpiezza relativa delle armoniche di onda quadra

Infine, la somma delle armoniche fino ad un ordine massimo di 20 fornisce la rappresentazione grafica seguente

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5Somma di armoniche di onda quadra

4 sviluppoFourierStmp.nb