Filtri analogiciFiltri analogici

GeneralitàGeneralità

I filtri lineari analogici sono esprimibili con la seguente espressione (con M ≤ N)

Le specifiche sono fornite solitamente in termini di banda passante Ωp (e relativo ripple δ1)

banda interdetta Ωs (e relativo ripple δ2)

e conseguente banda di transizione (Ωp - Ωs)

Spesso ripple ed attenuazione sono definiti come:

N

k

kk

M

m

mm

csd

scsH

0

0)(

A

1 e

1

11 221

GeneralitàGeneralità

Dove Ωp ed Ωs le specifiche da rispettare

Ωc ed Ωt sono le reali pulsazioni di banda passante e di banda attenuata

c t

1

21

1

A/1

p s

GeneralitàGeneralità

Filtri di tipo “passa-alto”, “passa-banda”, “elimina-banda” vengono ottenuti dal “passa-basso” tramite opportune trasformazioni

Filtri di Butterworth (1)Filtri di Butterworth (1)

Sono filtri a massima piattezza nell’origine ed all’infinito ossia le prime (2N-1) derivate di si annullano per

Ω=0 e per Ω=inf.

Sebbene la scelta di Ωp , Ωs , δ1 , δ2 può essere arbitraria, di solito si definisce come Ωp la frequenza alla quale il guadagno è diminuito di 3 dB (Ωp = Ω-3dB)

ossia

Per garantire le specifiche

2)( jH c

1 ovvero 2

1 1 1

N

dB

jH 2

3

2

1

1)(

Filtri di Butterworth (2)Filtri di Butterworth (2)

s

An

log2

)1log( 2

In base all’attenuazione A desiderata ad una certa frequenza Ωs si puo’ calcolare l’ordine minimo del filtro:

Nel caso del filtro prototipo con ε=1 (Ω-3dB = 1)

Nel caso generale si puo’ dimostrare:

p

s

A

n

log2

log )1( 2

Filtri di Butterworth (3)Filtri di Butterworth (3)

Se le specifiche sono del tutto generiche Ci sono 2 gradi di liberta’:

Ordine n Frequenza di taglio a -3dB

Ordine: si usa il minimo consentito Ω-3dB : Esiste tutta una famiglia di

filtri che possono soddisfare le specifiche:

n

dB

jH 2

3

2

1

1)(

nn As

dBp

211

)1( 23

0 500 1000 1500 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Posizione di poli e zeriPosizione di poli e zeri

Nota la risposta in frequenza desiderata | |2

Generalizzando jΩ s

Si trovino zeri e poli di g(s) e si assegnino opportunamente a H(s) ed H(-s)

)()()()()( *2 jHjHjHjHjH

)()(2 fjH

)()()( sgj

sfsHsH

Posizione di poli e zeri (Butterworth)Posizione di poli e zeri (Butterworth)

Nel filtro di Butterworth

I poli complessivi si trovano risolvendo: per N pari

per N dispari

nn s

js

sHsH)(1

1

1

1)()( 22

1)( 2 ns

ns 2/1)1(

ns 2/1)1(

Es: n=2

Es: n=3

Posizione di poli e zeri (Butterworth)Posizione di poli e zeri (Butterworth)

Successivamente si assume, per garantire la stabilità, che i poli a parte reale negativa appartengano ad H(s), mentre gli altri (simmetrici) ad H(-s) !

H(s) H(-s) H(s) H(-s)

Filtri di Chebyshev del 1o tipo (1)Filtri di Chebyshev del 1o tipo (1)

Prototipo normalizzato:

)()(2)( 11 xTxxTxT nnn

)(1

1)( 22

2

nTjH

1 xif )coshcosh(

1 xif )coscos()(

1

1

xn

xnxTn

Ove:

Formula ricorsiva:

...

12

1

22

1

xT

xT

To

1)1( nTNOTA:

Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)

Caso Generale

ove Ωc (frequenza di transizione) è la frequenza estrema della banda passante (NOTA :non e’ la frequenza a -3dB)

Il filtro di Chebyshev del 1o tipo è un filtro ottimo tra il filtri “all-poles”, ovvero, a parità di ordine, non esiste alcun filtro composto da soli poli che possa avere caratteristiche superiori al filtro CHEBY1 tanto in banda passante che in banda attenuata

)/(1

1)( 22

2

cnTjH

Filtri di Chebyshev del 1o tipo (3)Filtri di Chebyshev del 1o tipo (3)

Calcolo dell’ordine minimo del filtro (in base all’attenazione desiderata in Ωs

Gradi di libertà nella scelta di Ωc

n

As

cp

1

coshcosh

21

c

s

A

n1

21

cosh

1cosh

0 500 1000 1500 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Filtri di Chebyshev del 1o tipo (4)Filtri di Chebyshev del 1o tipo (4)

Si può sfruttare il grado di libertà anche per modificare ε

)(

12

c

s

nT

A

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Posizione di poli e zeri (Cheby1)Posizione di poli e zeri (Cheby1)

Nel filtro di Chebyshev 1

Si trovino le soluzioni del polinomio a denominatore (in x) e sucessivamente si moltiplichino per Ωc

si ruotino di 90o

Si assegnino ad H(s) le soluzioni a parte reale negativa

)/(1

1)( 22

2

cnTjH

)(1

1)( 22

2

xTjH

n

'' xjs c

Filtri di Chebyshev del 2o tipo (1)Filtri di Chebyshev del 2o tipo (1)

Prototipo normalizzato (rispetto Ωt):

Caso generale:

Imponendo che per Ω=Ωt |H|=1/A

Il lfiltro CHEBY2 presenta le stesse caratteristiche di CHEBY1

)/(

)/(1

1)(

2

22

2

tn

ctn

T

TjH

)/1(

)/1(1

1)(

2

22

2

n

cn

T

TjH

)/(

11

1)(

2

2

2

tnT

AjH

Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)

Calcolo dell’ordine minimo del filtro (in base all’ε desiderato in Ωc)

Gradi di libertà nella scelta di Ωt

stp n

A

1

coshcosh

21

c

t

A

n1

21

cosh

1cosh

0 500 1000 1500 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Posizione di poli e zeri (Cheby2)Posizione di poli e zeri (Cheby2)

Nel filtro di Chebyshev 2

Si trovino soluzioni di numeratore e denominatore (x’)

queste soluzioni in x vanno: invertite (reciproco) moltiplicate per Ωt

ruotate di -90o

Le soluzioni del numeratore sono a 2 a 2 coincidenti

)/(

)/(1

1)(

2

22

2

tn

ctn

T

TjH

1)(

)()(

22

22

AxT

xTjH

n

n

''jx

s t

Analogie tra Cheby1 e Cheby2Analogie tra Cheby1 e Cheby2

Una volta definito l’ordine del filtro dei 4 parametri Ωt, Ωc, ε, A, solamente due sono indipendenti. Es. in Cheby1 si scelgono solitamente ‘Ωc’ ed ‘ε’ e ne consegue

‘A=f(Ωt)’.

Si potrebbe pero’ anche operare all’inverso: scelti A e Ωt si puo’ trovare una famiglia di filtri che al variare di ε modificano Ωc (o viceversa)

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Analogie tra Cheby1 e Cheby2Analogie tra Cheby1 e Cheby2

In modo del tutto analogo anche per Cheby2 i 4 parametri Ωt, Ωc, ε, A, risultano tra loro legati e non indipendenti. Si potrebbe scegliere scelti ε e Ωc ma ci si ritrova con una

famiglia di filtri che al variare di A modificano Ωt (o viceversa).

Solitamente per questi filtri I parametri indipendenti da usare sono Ωt ed A

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Filtri di Cauer (elittici)Filtri di Cauer (elittici)

),(1

1)( 22

2

LRjH

n

Dove Rn(Ω,L) e’ detta “funzione razionale di Chebyschev”Sono Filtri-equiripple in banda passante ed in banda interdetta

Trasformazioni in frequenza (1)Trasformazioni in frequenza (1)

Si può modificare un filtro LP prototipo in qualunque altro modello applicando opportune trasformate

LP LP

LP HP

LP BP

LP SP

c

ss

ss c

)(

2

lu

ul

s

ss

ul

lu

s

ss

2

)(

Trasformazioni in frequenza (2)Trasformazioni in frequenza (2)

Metodologia di progetto date le specifiche del filtro si convertano le specifiche in quelle di un prototipo LP

(applicando l’opportuna trasformata) in caso di specifiche ridondanti si usino quelle piu’ stringenti

si progetti il prototipo LP si applichi la trasformata opportuna alla f.d.t del prototipo