Τεχνοτροπίες Παλαίωση Τοίχου La Casa Dei Sogni Κατάλογος 2007
Tor Grandezze sinusoidali - uniroma2.it · Nella analisi dei circuiti elettrici (e in gran parte...
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Tor Vergata M. Salerno 1 Fasori Grandezze sinusoidali Funzioni di tipo sinusoidale f(t) = F cos ( f(t) = F cos ( ω ω t + t + ϕ ϕ ) ) p.es. tensioni, correnti, potenze f(t) t F Ampiezza l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.) F -F variazione di ampiezza
Transcript of Tor Grandezze sinusoidali - uniroma2.it · Nella analisi dei circuiti elettrici (e in gran parte...
Tor Vergata
M. Salerno 1Fasori
Grandezze sinusoidali
Funzioni di tipo sinusoidale
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))p.es. tensioni,
correnti, potenze
f(t)
t
FAmpiezza
l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.)
F
- F
variazione di ampiezza
Tor Vergata
M. Salerno 1Fasori
Grandezze sinusoidali
Funzioni di tipo sinusoidale
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))p.es. tensioni,
correnti, potenze
f(t)
t
FAmpiezza
l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.)
F
- F
variazione di ampiezzaf(t)
t
ω t + ϕFase (o argomento)
fase in radianti (più raramente in gradi)
Tor Vergata
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Grandezze sinusoidali
Funzioni di tipo sinusoidale
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))p.es. tensioni,
correnti, potenze
f(t)
t
FAmpiezza
l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.)
F
- F
variazione di ampiezzaf(t)
t
ω t + ϕFase (o argomento)
fase in radianti (più raramente in gradi)
ωPulsazione
pulsazione in radianti al secondo (rad/s)
ω t = 2 π f t = 2 π t / Tω = 2 π f = 2 π / T
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Grandezze sinusoidali
Funzioni di tipo sinusoidale
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))p.es. tensioni,
correnti, potenze
f(t)
t
FAmpiezza
l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.)
F
- F
variazione di ampiezzaf(t)
t
ω t + ϕFase (o argomento)
fase in radianti (più raramente in gradi)
ωPulsazione
pulsazione in radianti al secondo (rad/s)
ω t = 2 π f t = 2 π t / Tω = 2 π f = 2 π / T
f : frequenzaHertz (Hz)
KHz, MHz, GHz
T : periodo
variazione di frequenza
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Grandezze sinusoidali
Funzioni di tipo sinusoidale
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))p.es. tensioni,
correnti, potenze
f(t)
t
FAmpiezza
l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.)
F
- F
variazione di ampiezzaf(t)
t
ω t + ϕFase (o argomento)
fase in radianti (più raramente in gradi)
ωPulsazione
pulsazione in radianti al secondo (rad/s)
ω t = 2 π f t = 2 π t / Tω = 2 π f = 2 π / T
f : frequenzaHertz (Hz)
KHz, MHz, GHz
T : periodo
variazione di frequenzaf(t)
t
ϕFase (iniziale)
ϕ in radianti (rad); raramente in gradi è la fase ω t + ϕ per t = 0
variazione di fase
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Numeri Complessi (introduzione)
Nella analisi dei circuiti elettrici Nella analisi dei circuiti elettrici (e in gran parte dell’ingegneria) le grandezze sinusoidali(e in gran parte dell’ingegneria) le grandezze sinusoidalisono trattate con l’algebra dei numeri complessi sono trattate con l’algebra dei numeri complessi
Nozioni necessarie:Nozioni necessarie:rappresentazione di numeri complessi come vettorirappresentazione di numeri complessi come vettorirappresentazione cartesianarappresentazione cartesianaalgebra elementare (quattro operazioni)algebra elementare (quattro operazioni)rappresentazione polarerappresentazione polareformula di Euleroformula di Eulero
Nell’analisi dei circuiti, il termine vettore è usato spesso come sinonimo di numero complesso. Ciò non è vero in altri campi della scienza e della tecnica
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Numeri Complessi (piano complesso)
Unità immaginaria j = Unità immaginaria j = --1 ; j1 ; j22 = = -- 1 1
Numero complesso (forma cartesiana) Numero complesso (forma cartesiana) ZZ = a + j b = a + j b
Notazione : Notazione : a = Re[ a = Re[ ZZ ] ; Re[ . ] parte reale] ; Re[ . ] parte realeb = Im[ b = Im[ ZZ ] ; Im[ . ] parte immaginaria ] ; Im[ . ] parte immaginaria
Im
Re
piano complessoZ = a+jbZ
ab
modulo di Z(lunghezza del vettore)
| Z | = a2+b2
Notazione : Z (senza sottolineatura) = | Z |
Tor Vergata
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Numeri Complessi (piano complesso)
Unità immaginaria j = Unità immaginaria j = --1 ; j1 ; j22 = = -- 1 1
Numero complesso (forma cartesiana) Numero complesso (forma cartesiana) ZZ = a + j b = a + j b
Notazione : Notazione : a = Re[ a = Re[ ZZ ] ; Re[ . ] parte reale] ; Re[ . ] parte realeb = Im[ b = Im[ ZZ ] ; Im[ . ] parte immaginaria ] ; Im[ . ] parte immaginaria
Im
Re
piano complessoZ = a+jbZ
ab
modulo di Z(lunghezza del vettore)
| Z | = a2+b2
Notazione : Z (senza sottolineatura) = | Z |
Numero coniugato : Z* = a - jb
Z*-b
Risulta : Z + Z* = a+jb + a-jb = 2a = 2 Re[ Z ]
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Numeri Complessi (algebra)
Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d)
Sottrazione : (a + j b) Sottrazione : (a + j b) -- (c + j d) = (a(c + j d) = (a--c) + j (bc) + j (b--d) d) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac -- bd) + j (ad + bc) bd) + j (ad + bc) Norma : Norma : ZZ ZZ* = (a + jb) (a * = (a + jb) (a -- jb) = ajb) = a22 + b+ b22 = | = | ZZ ||22 = Z= Z22
Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(cDivisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c--jd)/(cjd)/(c22+d+d22) )
Im
Re
Somma Z1 = -1 + jZ1Z2 = 1 -2 j
Z2
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Numeri Complessi (algebra)
Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d)
Sottrazione : (a + j b) Sottrazione : (a + j b) -- (c + j d) = (a(c + j d) = (a--c) + j (bc) + j (b--d) d) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac -- bd) + j (ad + bc) bd) + j (ad + bc) Norma : Norma : ZZ ZZ* = (a + jb) (a * = (a + jb) (a -- jb) = ajb) = a22 + b+ b22 = | = | ZZ ||22 = Z= Z22
Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(cDivisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c--jd)/(cjd)/(c22+d+d22) )
Im
Re
Somma Z1 = -1 + jZ1Z2 = 1 -2 j
Z2
Im
Re
Z1
Z2 Zs
Zs = Z1 + Z2 = - j
Per sommare due o più vettori si disegnano in successione. Il vettore somma è il vettore congiungente l’origine del primo con il vertice dell’ultimo
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Numeri Complessi (algebra)
Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d)
Sottrazione : (a + j b) Sottrazione : (a + j b) -- (c + j d) = (a(c + j d) = (a--c) + j (bc) + j (b--d) d) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac -- bd) + j (ad + bc) bd) + j (ad + bc) Norma : Norma : ZZ ZZ* = (a + jb) (a * = (a + jb) (a -- jb) = ajb) = a22 + b+ b22 = | = | ZZ ||22 = Z= Z22
Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(cDivisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c--jd)/(cjd)/(c22+d+d22) )
Im
Re
Somma Z1 = -1 + jZ1Z2 = 1 -2 j
Z2
Im
Re
Z1
Z2 Zs
Zs = Z1 + Z2 = - j
Per sommare due o più vettori si disegnano in successione. Il vettore somma è il vettore congiungente l’origine del primo con il vertice dell’ultimo
Im
Re
Somma algebricaIm
Re
Z1
Z2
Z3
Z1 – Z2 + Z3
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Numeri Complessi (algebra)
Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d)
Sottrazione : (a + j b) Sottrazione : (a + j b) -- (c + j d) = (a(c + j d) = (a--c) + j (bc) + j (b--d) d) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac -- bd) + j (ad + bc) bd) + j (ad + bc) Norma : Norma : ZZ ZZ* = (a + jb) (a * = (a + jb) (a -- jb) = ajb) = a22 + b+ b22 = | = | ZZ ||22 = Z= Z22
Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(cDivisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c--jd)/(cjd)/(c22+d+d22) )
Im
Re
Somma Z1 = -1 + jZ1Z2 = 1 -2 j
Z2
Im
Re
Z1
Z2 Zs
Zs = Z1 + Z2 = - j
Per sommare due o più vettori si disegnano in successione. Il vettore somma è il vettore congiungente l’origine del primo con il vertice dell’ultimo
Im
Re
Somma algebricaIm
Re
Z1
Z2
Z3
Z1 – Z2 + Z3
Zs
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Numeri Complessi (forma polare)
Numero complesso (forma polare) Numero complesso (forma polare) ZZ = = ρρ ( cos ( cos ϕϕ + j sin + j sin ϕϕ ) )
ρρ modulomoduloϕϕ fase (argomento) fase (argomento)
CartesianaCartesianaZZ = a + j b = a + j b
Cartesiana Polare Cartesiana Polare
a = a = ρρ cos cos ϕϕ
b = b = ρρ sin sin ϕϕ
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Numeri Complessi (forma polare)
Numero complesso (forma polare) Numero complesso (forma polare) ZZ = = ρρ ( cos ( cos ϕϕ + j sin + j sin ϕϕ ) )
ρρ modulomoduloϕϕ fase (argomento) fase (argomento)
CartesianaCartesianaZZ = a + j b = a + j b
Cartesiana Polare Cartesiana Polare
a = a = ρρ cos cos ϕϕ
b = b = ρρ sin sin ϕϕ
Cartesiana Polare Cartesiana Polare ρρ = | = | ZZ | = a| = a22 + b+ b22
ϕϕ = = atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) + atg ( b / a ) + ππ per a < 0 per a < 0
Im
Re
Im
Re
Z1 = 1 + j
1
1ρ = 2ϕ = atg (1) = π/4
π/4 2
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Numeri Complessi (forma polare)
Numero complesso (forma polare) Numero complesso (forma polare) ZZ = = ρρ ( cos ( cos ϕϕ + j sin + j sin ϕϕ ) )
ρρ modulomoduloϕϕ fase (argomento) fase (argomento)
CartesianaCartesianaZZ = a + j b = a + j b
Cartesiana Polare Cartesiana Polare
a = a = ρρ cos cos ϕϕ
b = b = ρρ sin sin ϕϕ
Cartesiana Polare Cartesiana Polare ρρ = | = | ZZ | = a| = a22 + b+ b22
ϕϕ = = atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) + atg ( b / a ) + ππ per a < 0 per a < 0
Im
Re
Im
Re
Z1 = 1 + j
1
1ρ = 2ϕ = atg (1) = π/4
π/4 2
Im
Re
Im
Re
Z1 = - 1 - j
-1
-1
2
5π/4 ρ = 2
ϕ = atg (1) + π = = π/4 + π
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
n
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
Tor Vergata
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
Tor Vergata
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
k = 2
( 1 + j ϕ / 10 ) 2
Im
Re1
modulod ≅ 1,005 2 ≅ 1,01
d
δ
argomento
δ = 2 atg (ϕ / 10)≅ 2 ϕ / 10 rad
Tor Vergata
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
k = 2
( 1 + j ϕ / 10 ) 2
Im
Re1
modulod ≅ 1,005 2 ≅ 1,01
d
δ
argomento
δ = 2 atg (ϕ / 10)≅ 2 ϕ / 10 rad
k = 3 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 3
modulod ≅ 1,005 3 ≅ 1,015
d
δ
argomento
δ = 3 atg (ϕ / 10)≅ 3 ϕ / 10 rad
Tor Vergata
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
k = 2
( 1 + j ϕ / 10 ) 2
Im
Re1
modulod ≅ 1,005 2 ≅ 1,01
d
δ
argomento
δ = 2 atg (ϕ / 10)≅ 2 ϕ / 10 rad
k = 3 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 3
modulod ≅ 1,005 3 ≅ 1,015
d
δ
argomento
δ = 3 atg (ϕ / 10)≅ 3 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 9
( 1 + j ϕ / 10 ) 9
modulod ≅ 1,005 9 ≅ 1,045
d
δ
argomento
δ = 9 atg (ϕ / 10)≅ 9 ϕ / 10 rad
Tor Vergata
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
k = 2
( 1 + j ϕ / 10 ) 2
Im
Re1
modulod ≅ 1,005 2 ≅ 1,01
d
δ
argomento
δ = 2 atg (ϕ / 10)≅ 2 ϕ / 10 rad
k = 3 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 3
modulod ≅ 1,005 3 ≅ 1,015
d
δ
argomento
δ = 3 atg (ϕ / 10)≅ 3 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 9
( 1 + j ϕ / 10 ) 9
modulod ≅ 1,005 9 ≅ 1,045
d
δ
argomento
δ = 9 atg (ϕ / 10)≅ 9 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 10 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 10
d ≅ 1modulod ≅ 1,005 10 ≅ 1,05
δ ≅ ϕ rad
argomento
δ = 10 atg (ϕ / 10)≅ ϕ rad
Tor Vergata
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Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
k = 2
( 1 + j ϕ / 10 ) 2
Im
Re1
modulod ≅ 1,005 2 ≅ 1,01
d
δ
argomento
δ = 2 atg (ϕ / 10)≅ 2 ϕ / 10 rad
k = 3 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 3
modulod ≅ 1,005 3 ≅ 1,015
d
δ
argomento
δ = 3 atg (ϕ / 10)≅ 3 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 9
( 1 + j ϕ / 10 ) 9
modulod ≅ 1,005 9 ≅ 1,045
d
δ
argomento
δ = 9 atg (ϕ / 10)≅ 9 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 10 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 10
d ≅ 1modulod ≅ 1,005 10 ≅ 1,05
δ ≅ ϕ rad
argomento
δ = 10 atg (ϕ / 10)≅ ϕ rad
I punti sono disposti con grande approssimazione su un cerchio di raggio
unitario
Per n → ∞il modulo risulta
pari a uno
| | = 1lim (1+ )n → ∞
j ϕn
n || ee jj ϕϕ | | = 1= 1
Quindi si ha
|| ee jj ϕϕ | | = 1= 1
Tor Vergata
M. Salerno 6Fasori
Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
k = 2
( 1 + j ϕ / 10 ) 2
Im
Re1
modulod ≅ 1,005 2 ≅ 1,01
d
δ
argomento
δ = 2 atg (ϕ / 10)≅ 2 ϕ / 10 rad
k = 3 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 3
modulod ≅ 1,005 3 ≅ 1,015
d
δ
argomento
δ = 3 atg (ϕ / 10)≅ 3 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 9
( 1 + j ϕ / 10 ) 9
modulod ≅ 1,005 9 ≅ 1,045
d
δ
argomento
δ = 9 atg (ϕ / 10)≅ 9 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 10 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 10
d ≅ 1modulod ≅ 1,005 10 ≅ 1,05
δ ≅ ϕ rad
argomento
δ = 10 atg (ϕ / 10)≅ ϕ rad
I punti sono disposti con grande approssimazione su un cerchio di raggio
unitario
Per n → ∞il modulo risulta
pari a uno
| | = 1lim (1+ )n → ∞
j ϕn
n || ee jj ϕϕ | | = 1= 1
Quindi si ha
|| ee jj ϕϕ | | = 1= 1
L’argomento δ è molto prossimo
a ϕ rad
Arg[ ]=ϕlim (1+ )n → ∞
j ϕn
n
Per n → ∞l’argomento risulta
uguale a ϕ
Arg Arg [[ee jj ϕϕ ]] = = ϕϕ
Quindi si ha
Arg Arg [[ee jj ϕϕ ]] = = ϕϕ
Im
Re
e jϕ1
ϕ
Tor Vergata
M. Salerno 6Fasori
Numeri Complessi (formula di Eulero)
Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jjϕϕ
Base dei Logaritmi Naturali : e = lim (1 + )m → ∞
1m
m
Potenza di e nel campo reale ( b reale) : e b = lim (1 + )m → ∞
1m
m b
Ponendo n = m b e quindi 1m
bn= eb = lim (1 + )
n → ∞bn
nEspressione dell’esponenziale e b
nel campo dei numeri reali
Espressione dell’esponenziale e jϕ
nel campo dei numeri complessi( definizione )
e jϕ = lim (1 + )n → ∞
jϕn
n
e e jjϕ ϕ = = limlim ((1 + 1 + ))nn →→ ∞∞
jj ϕϕnn
nn
lim (1 + )n → ∞
j ϕn
nProprietà dell’espressione
n = 10Esempio :
(1 + )j ϕ10
kSi calcoli
k = 1 , 2, … , 10con
k = 1
1 + j ϕ / 10
Im
Re1
d
modulod ≅ 1,005
δ
argomento
δ = atg (ϕ / 10)≅ ϕ / 10 rad
k = 2
( 1 + j ϕ / 10 ) 2
Im
Re1
modulod ≅ 1,005 2 ≅ 1,01
d
δ
argomento
δ = 2 atg (ϕ / 10)≅ 2 ϕ / 10 rad
k = 3 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 3
modulod ≅ 1,005 3 ≅ 1,015
d
δ
argomento
δ = 3 atg (ϕ / 10)≅ 3 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 9
( 1 + j ϕ / 10 ) 9
modulod ≅ 1,005 9 ≅ 1,045
d
δ
argomento
δ = 9 atg (ϕ / 10)≅ 9 ϕ / 10 rad
Im
Re1
k = 10 Im
Re1
( 1 + j ϕ / 10 ) 10
d ≅ 1modulod ≅ 1,005 10 ≅ 1,05
δ ≅ ϕ rad
argomento
δ = 10 atg (ϕ / 10)≅ ϕ rad
I punti sono disposti con grande approssimazione su un cerchio di raggio
unitario
Per n → ∞il modulo risulta
pari a uno
| | = 1lim (1+ )n → ∞
j ϕn
n || ee jj ϕϕ | | = 1= 1
Quindi si ha
|| ee jj ϕϕ | | = 1= 1
L’argomento δ è molto prossimo
a ϕ rad
Arg[ ]=ϕlim (1+ )n → ∞
j ϕn
n
Per n → ∞l’argomento risulta
uguale a ϕ
Arg Arg [[ee jj ϕϕ ]] = = ϕϕ
Quindi si ha
Arg Arg [[ee jj ϕϕ ]] = = ϕϕ
Im
Re
e jϕ1
ϕ
In forma polare
e e j j ϕϕ = = cos cos ϕϕ + j sin + j sin ϕϕ
Formula di EuleroFormula di Eulero
e e j j ϕϕ = = cos cos ϕϕ + j sin + j sin ϕϕ
Numero complesso (forma polare)Numero complesso (forma polare)
ZZ = = ρρ ( cos ( cos ϕϕ + j sin + j sin ϕϕ ))espressione trigonometrica
= = ρρ e e j j ϕϕ
espr. esponenziale
Tor Vergata
M. Salerno 7Fasori
FasoriDalla formula di Eulero Dalla formula di Eulero
e e jjββ = cos = cos ββ + j sin + j sin ββe e --jjββ = cos = cos ββ -- j sin j sin ββ
Espressione del coseno Espressione del coseno cos cos ββ = = Re [ Re [ e e jjβ β ]]
sp ess o e de cosep
cos cos ββ = (e = (e jjβ β + e + e --jjββ)/2)/2ββ [ ]
I numeri ejβ e e-jβ sono complessi coniugati
Le due espressioni di cos β sono assolutamente equivalenti
La seconda espressione di cos β si può ottenere dalla prima (la semisomma di due numeri complessi coniugati è sempre pari alla parte reale di uno dei due)oppure sommando membro a membro le espressioni di e jβ e di e - jβ
Tor Vergata
M. Salerno 7Fasori
FasoriDalla formula di Eulero Dalla formula di Eulero
e e jjββ = cos = cos ββ + j sin + j sin ββe e --jjββ = cos = cos ββ -- j sin j sin ββ
Espressione del coseno Espressione del coseno cos cos ββ = = Re [ Re [ e e jjβ β ]]
sp ess o e de cosep
cos cos ββ = (e = (e jjβ β + e + e --jjββ)/2)/2ββ [ ]
I numeri ejβ e e-jβ sono complessi coniugati
Le due espressioni di cos β sono assolutamente equivalenti
La seconda espressione di cos β si può ottenere dalla prima (la semisomma di due numeri complessi coniugati è sempre pari alla parte reale di uno dei due)oppure sommando membro a membro le espressioni di e jβ e di e - jβ
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ )) = F = F Re [Re [e e j(j(ωω t + t + ϕϕ ))]] ==tenendo conto che F è reale = = Re [Re [ F e F e jjϕϕ e e jjωω tt ]] ==
FF = F e = F e jjϕϕfasore
= = Re [Re [ FF e e jjωω tt ]] ==
F* = F e -jϕ = [ = [ FF e e jjωω tt + + FF** e e --jjωω tt ]]1122
Tor Vergata
M. Salerno 8Fasori
FasoriRappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))funzione
FF = F e = F e jjϕϕfasore
L’ampiezza L’ampiezza FF della funzione corrisponde della funzione corrisponde all’ampiezza all’ampiezza FF (modulo) del fasore(modulo) del fasore
Tor Vergata
M. Salerno 8Fasori
FasoriRappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))funzione
FF = F e = F e jjϕϕfasore
L’ampiezza L’ampiezza FF della funzione corrisponde della funzione corrisponde all’ampiezza all’ampiezza FF (modulo) del fasore(modulo) del fasore
La fase (iniziale) La fase (iniziale) ϕϕ della funzione corrisponde della funzione corrisponde alla fase alla fase ϕϕ del fasoredel fasore
Tor Vergata
M. Salerno 8Fasori
FasoriRappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))funzione
FF = F e = F e jjϕϕfasore
L’ampiezza L’ampiezza FF della funzione corrisponde della funzione corrisponde all’ampiezza all’ampiezza FF (modulo) del fasore(modulo) del fasore
La fase (iniziale) La fase (iniziale) ϕϕ della funzione corrisponde della funzione corrisponde alla fase alla fase ϕϕ del fasoredel fasore
La pulsazione La pulsazione ωω della funzione non è rappresentata dal fasoredella funzione non è rappresentata dal fasoreSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna conSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)
Tor Vergata
M. Salerno 8Fasori
FasoriRappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))funzione
FF = F e = F e jjϕϕfasore
L’ampiezza L’ampiezza FF della funzione corrisponde della funzione corrisponde all’ampiezza all’ampiezza FF (modulo) del fasore(modulo) del fasore
La fase (iniziale) La fase (iniziale) ϕϕ della funzione corrisponde della funzione corrisponde alla fase alla fase ϕϕ del fasoredel fasore
La pulsazione La pulsazione ωω della funzione non è rappresentata dal fasoredella funzione non è rappresentata dal fasoreSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna conSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)
ωω = 2 = 2 ππ ff assegnata Vi è una corrispondenza biunivoca fra funzioni e fasori
Analisi dei circuiti con il metodo dei fasori
Ipotesi Tutte le funzioni relative a tensioni e correnti del circuito sono sinusoidali (con ampiezze e fasi diverse)
Tutte le pulsazioni (frequenze) sono uguali
Tor Vergata
M. Salerno 8Fasori
FasoriRappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))funzione
FF = F e = F e jjϕϕfasore
L’ampiezza L’ampiezza FF della funzione corrisponde della funzione corrisponde all’ampiezza all’ampiezza FF (modulo) del fasore(modulo) del fasore
La fase (iniziale) La fase (iniziale) ϕϕ della funzione corrisponde della funzione corrisponde alla fase alla fase ϕϕ del fasoredel fasore
La pulsazione La pulsazione ωω della funzione non è rappresentata dal fasoredella funzione non è rappresentata dal fasoreSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna conSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)
ωω = 2 = 2 ππ ff assegnata Vi è una corrispondenza biunivoca fra funzioni e fasori
Analisi dei circuiti con il metodo dei fasori
Ipotesi Tutte le funzioni relative a tensioni e correnti del circuito sono sinusoidali (con ampiezze e fasi diverse)
Tutte le pulsazioni (frequenze) sono uguali
Metodo Trasformare tutte le funzioni note in fasori
Risolvere il circuito considerando solo fasori(il calcolo è più semplice di quello effettuato direttamente nel tempo)
Trasformare i fasori d’interesse nelle funzioni corrispondenti
Tor Vergata
M. Salerno 8Fasori
FasoriRappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))funzione
FF = F e = F e jjϕϕfasore
L’ampiezza L’ampiezza FF della funzione corrisponde della funzione corrisponde all’ampiezza all’ampiezza FF (modulo) del fasore(modulo) del fasore
La fase (iniziale) La fase (iniziale) ϕϕ della funzione corrisponde della funzione corrisponde alla fase alla fase ϕϕ del fasoredel fasore
La pulsazione La pulsazione ωω della funzione non è rappresentata dal fasoredella funzione non è rappresentata dal fasoreSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna conSi possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)
ωω = 2 = 2 ππ ff assegnata Vi è una corrispondenza biunivoca fra funzioni e fasori
Analisi dei circuiti con il metodo dei fasori
Ipotesi Tutte le funzioni relative a tensioni e correnti del circuito sono sinusoidali (con ampiezze e fasi diverse)
Tutte le pulsazioni (frequenze) sono uguali
Metodo Trasformare tutte le funzioni note in fasori
Risolvere il circuito considerando solo fasori(il calcolo è più semplice di quello effettuato direttamente nel tempo)
Trasformare i fasori d’interesse nelle funzioni corrispondenti
Notazione La lettera “F” ha vari significati:f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t)F (maiuscolo) è l’ampiezza (modulo)F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore
( ovviamente risulta F = | F | )
Tor Vergata
M. Salerno 9Fasori
Trasformazione:
Fasori (trasformazioni)funzione sinusoidale in fasore funzione sinusoidale in fasore
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))1. Esprimere la funzione in forma standardFF = F e = F e jjϕϕ2. Identificare il fasore con ampiezza e fase
Esempiof(t) = 4 cos (3 t + π / 4 )F = 4 e jπ / 4
F = 4 (cos π / 4 + j sin π / 4 )
F = 2 2 + j 2 2
Im
Re
4π / 4
Tor Vergata
M. Salerno 9Fasori
Trasformazione:
Fasori (trasformazioni)funzione sinusoidale in fasore funzione sinusoidale in fasore
f(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))1. Esprimere la funzione in forma standardFF = F e = F e jjϕϕ2. Identificare il fasore con ampiezza e fase
Esempiof(t) = 4 cos (3 t + π / 4 )F = 4 e jπ / 4
F = 4 (cos π / 4 + j sin π / 4 )
F = 2 2 + j 2 2
Im
Re
4π / 4
Esempio Im
Re
f(t) = 3 sin 5 t= 3 cos ( 5 t – π / 2 )
F = 3 e - jπ / 23
= - 3 j
Tor Vergata
M. Salerno 10Fasori
Fasori (trasformazioni)
Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale fasore in funzione sinusoidale FF = F e = F e jjϕϕ1. Esprimere il fasore in forma polaref(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))2. Identificare la funzione sinusoidale
Esempio Im
Re
F = -1 + j
-1
j2 3 π / 4
2= e j 3 π / 4
f (t) = cos ( ω t + 3 π / 4 )2
Poiché ω non è stato assegnato, non può essergli attribuito alcun valore
Tor Vergata
M. Salerno 10Fasori
Fasori (trasformazioni)
Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale fasore in funzione sinusoidale FF = F e = F e jjϕϕ1. Esprimere il fasore in forma polaref(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))2. Identificare la funzione sinusoidale
Esempio Im
Re
F = -1 + j
-1
j2 3 π / 4
2= e j 3 π / 4
f (t) = cos ( ω t + 3 π / 4 )2
Poiché ω non è stato assegnato, non può essergli attribuito alcun valore
Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale fasore in funzione sinusoidale Metodo alternativo
f (t) = f (t) = Re [Re [FF e e jjωω tt ]]Applicare l’espressione diretta
Esempio Im
Re
j
-1
F = -1 + jf (t) = Re [ (-1 + j ) e j ω t ] = = Re [ (-1 + j ) (cos ω t + j sin ω t ) ] =
basta calcolare i termini della parte reale del prodotto
= - cos ω t - sin ω t
Tor Vergata
M. Salerno 10Fasori
Fasori (trasformazioni)
Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale fasore in funzione sinusoidale FF = F e = F e jjϕϕ1. Esprimere il fasore in forma polaref(t) = F cos (f(t) = F cos (ωω t + t + ϕϕ ))2. Identificare la funzione sinusoidale
Esempio Im
Re
F = -1 + j
-1
j2 3 π / 4
2= e j 3 π / 4
f (t) = cos ( ω t + 3 π / 4 )2
Poiché ω non è stato assegnato, non può essergli attribuito alcun valore
Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale fasore in funzione sinusoidale Metodo alternativo
f (t) = f (t) = Re [Re [FF e e jjωω tt ]]Applicare l’espressione diretta
Esempio Im
Re
j
-1
F = -1 + jf (t) = Re [ (-1 + j ) e j ω t ] = = Re [ (-1 + j ) (cos ω t + j sin ω t ) ] =
basta calcolare i termini della parte reale del prodotto
= - cos ω t - sin ω t
Esempio Im
Re
j
-1
da F = -1 + j si è ottenutof (t) = cos ( ω t + 3 π / 4 ) 1° metodo2f (t) = - cos ω t - sin ω t 2° metodo
le due espressioni sono equivalentie si possono ricavare l’una dall’altracon il calcolo trigonometrico
Tor Vergata
M. Salerno 11Fasori
Fasori (metodo grafico)Trasformazione grafica di fasori in funzioni Trasformazione grafica di fasori in funzioni
f (t) = f (t) = Re [Re [FF e e jjωω tt ]] 1. RR = = FF e e jjωω tt
2. f (t) = f (t) = Re [ Re [ RR ]]vettore rotante
Im
Re
Si consideri un fasore F
F
Il vettore rotante R = F e jω t
ha le seguenti proprietà :a) | R | =| F | ( poiché |e jω t | =1 )b) è funzione del tempo ( F non lo è)c) il suo argomento cresce con il tempo
) p ( )
R descrive un cerchio con velocitàangolare ω = 2 π f ( f giri al secondo)
ω
Tor Vergata
M. Salerno 11Fasori
Fasori (metodo grafico)Trasformazione grafica di fasori in funzioni Trasformazione grafica di fasori in funzioni
f (t) = f (t) = Re [Re [FF e e jjωω tt ]] 1. RR = = FF e e jjωω tt
2. f (t) = f (t) = Re [ Re [ RR ]]vettore rotante
Im
Re
Si consideri un fasore F
F
Il vettore rotante R = F e jω t
ha le seguenti proprietà :a) | R | =| F | ( poiché |e jω t | =1 )b) è funzione del tempo ( F non lo è)c) il suo argomento cresce con il tempo
) p ( )
R descrive un cerchio con velocitàangolare ω = 2 π f ( f giri al secondo)
ω
In un insieme di grandezze isofrequenziali tutti i vettori rotanti girano alla stessa velocità mantenendo le reciproche differenze di fase
Il fasore F è pari alvettore rotante R per t = 0
La funzione sinusoidale è data dalla parte reale di R(la proiezione di R sull’asse reale)
Tor Vergata
M. Salerno 11Fasori
Fasori (metodo grafico)Trasformazione grafica di fasori in funzioni Trasformazione grafica di fasori in funzioni
f (t) = f (t) = Re [Re [FF e e jjωω tt ]] 1. RR = = FF e e jjωω tt
2. f (t) = f (t) = Re [ Re [ RR ]]vettore rotante
Im
Re
Si consideri un fasore F
F
Il vettore rotante R = F e jω t
ha le seguenti proprietà :a) | R | =| F | ( poiché |e jω t | =1 )b) è funzione del tempo ( F non lo è)c) il suo argomento cresce con il tempo
) p ( )
R descrive un cerchio con velocitàangolare ω = 2 π f ( f giri al secondo)
ω
In un insieme di grandezze isofrequenziali tutti i vettori rotanti girano alla stessa velocità mantenendo le reciproche differenze di fase
Il fasore F è pari alvettore rotante R per t = 0
La funzione sinusoidale è data dalla parte reale di R(la proiezione di R sull’asse reale)
f(t)
t
Im
Re
F
ω
F
-F
Re [F ]
per t = 0, f(t) è decrescente
Tor Vergata
M. Salerno 12Fasori
Bipoli in regime permanente
+
v(t)
i(t)IpotesiIpotesi v(t), i(t) sinusoidaliv(t), i(t) sinusoidaliv(t) = V cos (v(t) = V cos (ωω t + t + ϕϕ ))i(t) = I cos (i(t) = I cos (ωω t + t + ψψ))Fasori di tensione e corrente:
VV = V e = V e jjϕϕ II = I e = I e jjψψ
= = Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]]= = Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
Si dice che il bipolo è in regime permanente
Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo
bipolo nel dominio del tempo
Indicando i fasori invece delle grandezze nel tempo si ottiene
Tor Vergata
M. Salerno 12Fasori
Bipoli in regime permanente
+
v(t)
i(t)IpotesiIpotesi v(t), i(t) sinusoidaliv(t), i(t) sinusoidaliv(t) = V cos (v(t) = V cos (ωω t + t + ϕϕ ))i(t) = I cos (i(t) = I cos (ωω t + t + ψψ))Fasori di tensione e corrente:
VV = V e = V e jjϕϕ II = I e = I e jjψψ
= = Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]]= = Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
Si dice che il bipolo è in regime permanente
Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo
bipolo nel dominio del tempo
Indicando i fasori invece delle grandezze nel tempo si ottieneIl bipolo nel dominio dei fasori
+
V
I
bipolo nel dominio dei fasori
Tor Vergata
M. Salerno 12Fasori
Bipoli in regime permanente
+
v(t)
i(t)IpotesiIpotesi v(t), i(t) sinusoidaliv(t), i(t) sinusoidaliv(t) = V cos (v(t) = V cos (ωω t + t + ϕϕ ))i(t) = I cos (i(t) = I cos (ωω t + t + ψψ))Fasori di tensione e corrente:
VV = V e = V e jjϕϕ II = I e = I e jjψψ
= = Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]]= = Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
Si dice che il bipolo è in regime permanente
Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo
bipolo nel dominio del tempo
Indicando i fasori invece delle grandezze nel tempo si ottieneIl bipolo nel dominio dei fasori
+
V
I
bipolo nel dominio dei fasori
Il bipolo nel dominio dei fasori è utilizzato solo a scopi di calcolo
Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni reali del tempo
Tor Vergata
M. Salerno 13Fasori
Potenza in regime permanente
+
V
I
bipolo nel dominio dei fasori
Potenza (entrante)Potenza (entrante) p(t) = v(t) i(t)p(t) = v(t) i(t)In regime permanente
p(t) =p(t) = Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] Re[ ] Re[ II e e jjωω t t ] =] =((VV e e jjωω t t + + VV* e * e --jjωω t t ) ( ) ( II e e jjωω t t + + II* e * e ––jjωω t t ) =) =11
44
((VV II e e j2j2ωω t t + + VV* * II* e * e ––j2j2ωω t t + + VV II** + + VV** II ) =) =1144
1122= Re [ = Re [ VV II e e j2j2ωω t t ]] + Re [ + Re [ VV II** ]]11
22
L’andamento nel tempo della potenza in regime permanente consta di duetermini: il primo dipende dal tempo ed è di tipo sinusoidale con pulsazione 2ω,il secondo è un termine costante
Tor Vergata
M. Salerno 14Fasori
Potenza attiva + VI
1122p(t)p(t) = Re [ = Re [ VV II e e j2j2ωω t t ]] + Re [ + Re [ VV II** ]]11
22
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122Si definisce potenza attiva
In contrapposizione p(t) è detta potenza istantanea
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122 = Re [= Re [V e V e jjϕϕ I e I e --jjψψ ]]11
22 = = V I cos (V I cos (ϕϕ –– ψψ))1122
Definiti i valori efficaci VVeffeff = V = V 1122
IIeffeff = I = I 1122
detto φφ == ϕϕ –– ψψ si ha PPaa = = VVeffeff IIeffeff cos cos φφ
Tor Vergata
M. Salerno 14Fasori
Potenza attiva + VI
1122p(t)p(t) = Re [ = Re [ VV II e e j2j2ωω t t ]] + Re [ + Re [ VV II** ]]11
22
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122Si definisce potenza attiva
In contrapposizione p(t) è detta potenza istantanea
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122 = Re [= Re [V e V e jjϕϕ I e I e --jjψψ ]]11
22 = = V I cos (V I cos (ϕϕ –– ψψ))1122
Definiti i valori efficaci VVeffeff = V = V 1122
IIeffeff = I = I 1122
detto φφ == ϕϕ –– ψψ si ha PPaa = = VVeffeff IIeffeff cos cos φφ
I valori efficaci sono molto usati in campo tecnico. Essi permettono di eliminareil fattore 1 / 2 in tutte le espressioni della potenza in regime permanente.P. es., i valori di tensione di 127 V e 220 V , utilizzati nella distribuzione di energia elettrica, sono valori efficaci .
Con i valori efficaci si hav(t) = Veff cos (ω t + ϕ )2i(t) = Ieff cos (ω t + ψ )2
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M. Salerno 15Fasori
Potenza attiva + VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = V= Veffeff IIeffeff cos cos φφ1122
Im
ReV
Iϕ ψ
φPa
φ
π /2−π /2−π πPotenza attiva in funzione di φ
Pa(φ) = Pa(- φ) funzione pari
potenza attiva in Watt (W)
t
p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2ω t ] + PaPa
L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t)
T/2 L’ampiezza dell’oscillazione è pari a½VI = veff ieff > | Pa |
Tor Vergata
M. Salerno 15Fasori
Potenza attiva + VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = V= Veffeff IIeffeff cos cos φφ1122
Im
ReV
Iϕ ψ
φPa
φ
π /2−π /2−π πPotenza attiva in funzione di φ
Pa(φ) = Pa(- φ) funzione pari
potenza attiva in Watt (W)
t
p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2ω t ] + PaPa
L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t)
T/2 L’ampiezza dell’oscillazione è pari a½VI = veff ieff > | Pa |
Andamento potenza istantanea p(t)
La potenza attiva Pa è pari al valore medio di p(t)
La media deve essere fatta su unintervallo pari a k T/2 (k intero)
Tor Vergata
M. Salerno 15Fasori
Potenza attiva + VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = V= Veffeff IIeffeff cos cos φφ1122
Im
ReV
Iϕ ψ
φPa
φ
π /2−π /2−π πPotenza attiva in funzione di φ
Pa(φ) = Pa(- φ) funzione pari
potenza attiva in Watt (W)
t
p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2ω t ] + PaPa
L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t)
T/2 L’ampiezza dell’oscillazione è pari a½VI = veff ieff > | Pa |
Andamento potenza istantanea p(t)
La potenza attiva Pa è pari al valore medio di p(t)
La media deve essere fatta su unintervallo pari a k T/2 (k intero)
oppure
Tor Vergata
M. Salerno 15Fasori
Potenza attiva + VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = V= Veffeff IIeffeff cos cos φφ1122
Im
ReV
Iϕ ψ
φPa
φ
π /2−π /2−π πPotenza attiva in funzione di φ
Pa(φ) = Pa(- φ) funzione pari
potenza attiva in Watt (W)
t
p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2ω t ] + PaPa
L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t)
T/2 L’ampiezza dell’oscillazione è pari a½VI = veff ieff > | Pa |
Andamento potenza istantanea p(t)
La potenza attiva Pa è pari al valore medio di p(t)
La media deve essere fatta su unintervallo pari a k T/2 (k intero)
oppureLa media deve essere fatta su unintervallo molto maggiore di T
La misura della potenza attiva, come valore medio della potenza istantanea, richiede particolari cautele per valori di frequenza f molto bassi. In questi casi il periodo T = 1/f risulta elevato, rendendo difficile la misura (o la determinazione) del valore medio. P. es., per f = 0.1 Hz , risulta T = 10 s . In questo caso la media deve essere effettuata su un intervallo pari a un multiplo esatto di 5 s , oppure su un intervallo molto maggiore di 10 s.
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M. Salerno 15Fasori
Potenza attiva + VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = V= Veffeff IIeffeff cos cos φφ1122
Im
ReV
Iϕ ψ
φPa
φ
π /2−π /2−π πPotenza attiva in funzione di φ
Pa(φ) = Pa(- φ) funzione pari
potenza attiva in Watt (W)
t
p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2ω t ] + PaPa
L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t)
T/2 L’ampiezza dell’oscillazione è pari a½VI = veff ieff > | Pa |
Andamento potenza istantanea p(t)
La potenza attiva Pa è pari al valore medio di p(t)
La media deve essere fatta su unintervallo pari a k T/2 (k intero)
oppureLa media deve essere fatta su unintervallo molto maggiore di T
La misura della potenza attiva, come valore medio della potenza istantanea, richiede particolari cautele per valori di frequenza f molto bassi. In questi casi il periodo T = 1/f risulta elevato, rendendo difficile la misura (o la determinazione) del valore medio. P. es., per f = 0.1 Hz , risulta T = 10 s . In questo caso la media deve essere effettuata su un intervallo pari a un multiplo esatto di 5 s , oppure su un intervallo molto maggiore di 10 s.
Per f = 0 , le grandezze elettriche tensione e corrente, sono costanti. In questo caso si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua(c.c.) ed è erroneo considerare la potenza attiva.
Infatti, in questo caso si ha
ω = 0 , V = V (reale) , I = I (reale)
p(t) = Re [ V I e j2ω t ] + Re [ V I* ]12
12 = Re [ V I ] + Re [ V I ]1
212 = V I
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M. Salerno 16Fasori
Potenza complessae reattiva
+ VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122 = Re [ = Re [ PP cc ]]
potenza complessaPPcc = = VV II**1122ove si è posto
La potenza complessa è una grandezza vettoriale PPcc = = PPaa + j Q+ j Q
QQ = Im [ = Im [ PPcc ]] Q = Im [ Q = Im [ VV II** ]]1122 potenza reattiva
Q = Im [ V I* ]12 = Im [ V e jϕ I e - jψ ]1
2 = V I sin (ϕ – ψ )12
Q = V I sin φ12 = Veff Ieff sin φ
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M. Salerno 16Fasori
Potenza complessae reattiva
+ VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122 = Re [ = Re [ PP cc ]]
potenza complessaPPcc = = VV II**1122ove si è posto
La potenza complessa è una grandezza vettoriale PPcc = = PPaa + j Q+ j Q
QQ = Im [ = Im [ PPcc ]] Q = Im [ Q = Im [ VV II** ]]1122 potenza reattiva
Q = Im [ V I* ]12 = Im [ V e jϕ I e - jψ ]1
2 = V I sin (ϕ – ψ )12
Q = V I sin φ12 = Veff Ieff sin φ
Q Q = Im [ = Im [ VV II** ] ] = V= Veffeff IIeffeff sin sin φφ1122
Potenza reattiva in funzione di φ
ω t = 2 π f t = 2 π t / T
Q
φπ /2−π /2−π
πQ(φ ) = - Q(- φ ) funzione dispari
potenza reattiva volt-ampère reattivi (VAR)
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M. Salerno 16Fasori
Potenza complessae reattiva
+ VI
PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122 = Re [ = Re [ PP cc ]]
potenza complessaPPcc = = VV II**1122ove si è posto
La potenza complessa è una grandezza vettoriale PPcc = = PPaa + j Q+ j Q
QQ = Im [ = Im [ PPcc ]] Q = Im [ Q = Im [ VV II** ]]1122 potenza reattiva
Q = Im [ V I* ]12 = Im [ V e jϕ I e - jψ ]1
2 = V I sin (ϕ – ψ )12
Q = V I sin φ12 = Veff Ieff sin φ
Q Q = Im [ = Im [ VV II** ] ] = V= Veffeff IIeffeff sin sin φφ1122
Potenza reattiva in funzione di φ
ω t = 2 π f t = 2 π t / T
Q
φπ /2−π /2−π
πQ(φ ) = - Q(- φ ) funzione dispari
potenza reattiva volt-ampère reattivi (VAR)
Potenza apparente PPappapp = = V IV I1122 = = VVeffeff IIeffeff
La potenza apparente è utilizzata per caratterizzare quei dispositivi in cui interessano i moduli di tensione e corrente, ma non la loro differenza di fase potenza apparente volt-ampère (VA)
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M. Salerno 17Fasori
Resistore + R
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)In regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]] = R= R Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
= Re[ = Re[ R R II e e jjωω t t ]]essendo R reale
Nel dominio dei fasori VV = R = R II
Tor Vergata
M. Salerno 17Fasori
Resistore + R
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)In regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]] = R= R Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
= Re[ = Re[ R R II e e jjωω t t ]]essendo R reale
Nel dominio dei fasori VV = R = R II
V = R I
VV =R =R IIV e V e jjϕ ϕ = R I e = R I e jjψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
Tor Vergata
M. Salerno 17Fasori
Resistore + R
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)In regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]] = R= R Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
= Re[ = Re[ R R II e e jjωω t t ]]essendo R reale
Nel dominio dei fasori VV = R = R II
V = R I
VV =R =R IIV e V e jjϕ ϕ = R I e = R I e jjψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
In un resistore, il modulo della tensione è pari al modulo della corrente moltiplicato per R
In un resistore, la fase della tensione è uguale alla fase della corrente
Im
Re
V
I
Tor Vergata
M. Salerno 17Fasori
Resistore + R
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)In regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]] = R= R Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
= Re[ = Re[ R R II e e jjωω t t ]]essendo R reale
Nel dominio dei fasori VV = R = R II
V = R I
VV =R =R IIV e V e jjϕ ϕ = R I e = R I e jjψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
In un resistore, il modulo della tensione è pari al modulo della corrente moltiplicato per R
In un resistore, la fase della tensione è uguale alla fase della corrente
Im
Re
V
IIl vettore della tensione V e il vettore della corrente I sono in fase
Se si considerano i vettori rotanti associati a V e I , anche questi rimangono in fase per ogni t , essendo la frequenza la stessa
Tor Vergata
M. Salerno 17Fasori
Resistore + R
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)In regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ]] = R= R Re[ Re[ II e e jjωω t t ]]
= Re[ = Re[ R R II e e jjωω t t ]]essendo R reale
Nel dominio dei fasori VV = R = R II
V = R I
VV =R =R IIV e V e jjϕ ϕ = R I e = R I e jjψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
V = R I V = R I ϕ ϕ = = ψψ
In un resistore, il modulo della tensione è pari al modulo della corrente moltiplicato per R
In un resistore, la fase della tensione è uguale alla fase della corrente
Im
Re
V
IIl vettore della tensione V e il vettore della corrente I sono in fase
Se si considerano i vettori rotanti associati a V e I , anche questi rimangono in fase per ogni t , essendo la frequenza la stessa
t
v(t), i(t)
Tor Vergata
M. Salerno 18Fasori
Resistore (potenza) + R
V = R I
Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [ Re [ RR II II** ] =] =11
22
Si ricordi che I I* = | I |2 = I 2
= = RR I I 2 2 = R I= R Ieffeff2211
22 = = GG VVeffeff22
Si ricordi che ϕ = ψ e quindi φ = ϕ – ψ = 0
φ φ = 0 = 0 cos cos φ φ = 1= 1
potenza attiva in Watt (W)
Potenza reattiva 1122QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [ Im [ RR II II** ] = 0] = 011
22
Si ricordi che I I* è reale
Si ricordi che ϕ = ψ e quindi φ = ϕ – ψ = 0
Tor Vergata
M. Salerno 18Fasori
Resistore (potenza) + R
V = R I
Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [ Re [ RR II II** ] =] =11
22
Si ricordi che I I* = | I |2 = I 2
= = RR I I 2 2 = R I= R Ieffeff2211
22 = = GG VVeffeff22
Si ricordi che ϕ = ψ e quindi φ = ϕ – ψ = 0
φ φ = 0 = 0 cos cos φ φ = 1= 1
potenza attiva in Watt (W)
Potenza reattiva 1122QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [ Im [ RR II II** ] = 0] = 011
22
Si ricordi che I I* è reale
Si ricordi che ϕ = ψ e quindi φ = ϕ – ψ = 0
t
p(t)Andamento della
potenza istantanea p(t) su un resistore
PaPa
Tor Vergata
M. Salerno 19Fasori
Induttore +v(t) = L d i(t) / d t
L
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] = ] = LL Re[ Re[ II e e jjωω t t ] =] =d d d td t
= Re[= Re[LL II e e jjωω t t ]]d d d td t
L è reale e I è costante
= Re[ = Re[ j j ωω LL II e e jjωω t t ]]
VV = j = j ωω L L II
Tor Vergata
M. Salerno 19Fasori
Induttore +v(t) = L d i(t) / d t
L
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] = ] = LL Re[ Re[ II e e jjωω t t ] =] =d d d td t
= Re[= Re[LL II e e jjωω t t ]]d d d td t
L è reale e I è costante
= Re[ = Re[ j j ωω LL II e e jjωω t t ]]
VV = j = j ωω L L II
Nel dominio dei fasori
VV = j = j ωω L L II
V = j ω L I
j ω L impedenza
VV = j = j ωω L L IIV e V e jjϕϕ = j = j ωω L I e L I e jjψψ
j = e jπ / 2
V e V e jjϕϕ = = ωω L I e L I e j (j (ψψ ++π π /2)/2)
V = V = ωω L I ;L I ; ϕϕ = = ψψ + + ππ / 2/ 2
V = V = ωω L I L I ϕ ϕ = = ψ + π/2ψ + π/2 ω L
reattanza
Tor Vergata
M. Salerno 19Fasori
Induttore +v(t) = L d i(t) / d t
L
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] = ] = LL Re[ Re[ II e e jjωω t t ] =] =d d d td t
= Re[= Re[LL II e e jjωω t t ]]d d d td t
L è reale e I è costante
= Re[ = Re[ j j ωω LL II e e jjωω t t ]]
VV = j = j ωω L L II
Nel dominio dei fasori
VV = j = j ωω L L II
V = j ω L I
j ω L impedenza
VV = j = j ωω L L IIV e V e jjϕϕ = j = j ωω L I e L I e jjψψ
j = e jπ / 2
V e V e jjϕϕ = = ωω L I e L I e j (j (ψψ ++π π /2)/2)
V = V = ωω L I ;L I ; ϕϕ = = ψψ + + ππ / 2/ 2
V = V = ωω L I L I ϕ ϕ = = ψ + π/2ψ + π/2 ω L
reattanza
In un induttore, il fasore della tensione V è pari al fasore della corrente I moltiplicato per l’impedenza dell’induttore j ω L
In un induttore, il modulo della tensione V è pari al modulo della corrente I moltiplicato per la reattanza dell’induttore ω L
In un induttore, la fase ϕ della tensione è pari alla fase ψ della corrente più π / 2
Im
Re
V Iπ/2
Tor Vergata
M. Salerno 19Fasori
Induttore +v(t) = L d i(t) / d t
L
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] = ] = LL Re[ Re[ II e e jjωω t t ] =] =d d d td t
= Re[= Re[LL II e e jjωω t t ]]d d d td t
L è reale e I è costante
= Re[ = Re[ j j ωω LL II e e jjωω t t ]]
VV = j = j ωω L L II
Nel dominio dei fasori
VV = j = j ωω L L II
V = j ω L I
j ω L impedenza
VV = j = j ωω L L IIV e V e jjϕϕ = j = j ωω L I e L I e jjψψ
j = e jπ / 2
V e V e jjϕϕ = = ωω L I e L I e j (j (ψψ ++π π /2)/2)
V = V = ωω L I ;L I ; ϕϕ = = ψψ + + ππ / 2/ 2
V = V = ωω L I L I ϕ ϕ = = ψ + π/2ψ + π/2 ω L
reattanza
In un induttore, il fasore della tensione V è pari al fasore della corrente I moltiplicato per l’impedenza dell’induttore j ω L
In un induttore, il modulo della tensione V è pari al modulo della corrente I moltiplicato per la reattanza dell’induttore ω L
In un induttore, la fase ϕ della tensione è pari alla fase ψ della corrente più π / 2
Im
Re
V Iπ/2
In un induttore, il fasore della corrente I è in ritardo di fase di π/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V
Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo
In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di V e dopo 90° quello di I
Tor Vergata
M. Salerno 19Fasori
Induttore +v(t) = L d i(t) / d t
L
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] = ] = LL Re[ Re[ II e e jjωω t t ] =] =d d d td t
= Re[= Re[LL II e e jjωω t t ]]d d d td t
L è reale e I è costante
= Re[ = Re[ j j ωω LL II e e jjωω t t ]]
VV = j = j ωω L L II
Nel dominio dei fasori
VV = j = j ωω L L II
V = j ω L I
j ω L impedenza
VV = j = j ωω L L IIV e V e jjϕϕ = j = j ωω L I e L I e jjψψ
j = e jπ / 2
V e V e jjϕϕ = = ωω L I e L I e j (j (ψψ ++π π /2)/2)
V = V = ωω L I ;L I ; ϕϕ = = ψψ + + ππ / 2/ 2
V = V = ωω L I L I ϕ ϕ = = ψ + π/2ψ + π/2 ω L
reattanza
In un induttore, il fasore della tensione V è pari al fasore della corrente I moltiplicato per l’impedenza dell’induttore j ω L
In un induttore, il modulo della tensione V è pari al modulo della corrente I moltiplicato per la reattanza dell’induttore ω L
In un induttore, la fase ϕ della tensione è pari alla fase ψ della corrente più π / 2
Im
Re
V Iπ/2
In un induttore, il fasore della corrente I è in ritardo di fase di π/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V
Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo
In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di V e dopo 90° quello di I
t
v(t), i(t)vv i
Tor Vergata
M. Salerno 20Fasori
Induttore (potenza) + L
V = j ω L I
Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [ Re [ jjωωLL II II** ] = 0] = 011
22
Potenza reattiva 1122QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [ Im [ jjωωLL II II** ] =] =11
22
= = ω ω LL I I 2 2 = = ω ω L IL Ieffeff2211
22 >> 00
La potenza reattiva assorbita da un induttore non è mai negativa
φ φ = = π π /2 /2 cos cos φ φ = 0= 0potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR)
Tor Vergata
M. Salerno 20Fasori
Induttore (potenza) + L
V = j ω L I
Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [ Re [ jjωωLL II II** ] = 0] = 011
22
Potenza reattiva 1122QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [ Im [ jjωωLL II II** ] =] =11
22
= = ω ω LL I I 2 2 = = ω ω L IL Ieffeff2211
22 >> 00
La potenza reattiva assorbita da un induttore non è mai negativa
φ φ = = π π /2 /2 cos cos φ φ = 0= 0potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR)
Andamento della potenza istantanea p(t) su un induttore t
p(t)
Pa = 0
Tor Vergata
M. Salerno 21Fasori
Condensatorei(t) = C d v(t) / d t
C+i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo
i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ II e e jjωω t t ] = ] = CC Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] =] =d d d td t
C è reale e V è costante
= Re[= Re[CC VV e e jjωω t t ]]d d d td t = Re[ = Re[ jjωω CC VV e e jjωω t t ]]
II = j = j ωω C C VV
Tor Vergata
M. Salerno 21Fasori
Condensatorei(t) = C d v(t) / d t
C+i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo
i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ II e e jjωω t t ] = ] = CC Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] =] =d d d td t
C è reale e V è costante
= Re[= Re[CC VV e e jjωω t t ]]d d d td t = Re[ = Re[ jjωω CC VV e e jjωω t t ]]
II = j = j ωω C C VV
Nel dominio dei fasori
II = j = j ωω C C VV
I = j ω C V
j ω C ammettenza
II = j = j ωω C C VVI e I e jjψψ = j = j ωω C V e C V e jjϕϕ
I e I e jjψψ = = ωω C V e C V e j (j (ϕϕ ++π π /2)/2)j = e jπ / 2
I = I = ωω C V ;C V ; ψψ = = ϕϕ + + ππ / 2/ 2
I = I = ωω C V C V ψ ψ = = ϕ + π/2ϕ + π/2 ω C
suscettanza
Tor Vergata
M. Salerno 21Fasori
Condensatorei(t) = C d v(t) / d t
C+i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo
i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ II e e jjωω t t ] = ] = CC Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] =] =d d d td t
C è reale e V è costante
= Re[= Re[CC VV e e jjωω t t ]]d d d td t = Re[ = Re[ jjωω CC VV e e jjωω t t ]]
II = j = j ωω C C VV
Nel dominio dei fasori
II = j = j ωω C C VV
I = j ω C V
j ω C ammettenza
II = j = j ωω C C VVI e I e jjψψ = j = j ωω C V e C V e jjϕϕ
I e I e jjψψ = = ωω C V e C V e j (j (ϕϕ ++π π /2)/2)j = e jπ / 2
I = I = ωω C V ;C V ; ψψ = = ϕϕ + + ππ / 2/ 2
I = I = ωω C V C V ψ ψ = = ϕ + π/2ϕ + π/2 ω C
suscettanza
In un condensatore, il fasore della corrente I è pari al fasore della tensione V moltiplicato per l’ammettenza del condensatore j ω C
In un condensatore, il modulo della corrente I è pari al modulo della tensione V moltiplicato per la suscettanza del condensatore ω C
Im
ReIn un condensatore, la fase ψ della corrente è pari alla fase ϕ della tensione più π / 2
V
Iπ/2
Tor Vergata
M. Salerno 21Fasori
Condensatorei(t) = C d v(t) / d t
C+i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo
i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ II e e jjωω t t ] = ] = CC Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] =] =d d d td t
C è reale e V è costante
= Re[= Re[CC VV e e jjωω t t ]]d d d td t = Re[ = Re[ jjωω CC VV e e jjωω t t ]]
II = j = j ωω C C VV
Nel dominio dei fasori
II = j = j ωω C C VV
I = j ω C V
j ω C ammettenza
II = j = j ωω C C VVI e I e jjψψ = j = j ωω C V e C V e jjϕϕ
I e I e jjψψ = = ωω C V e C V e j (j (ϕϕ ++π π /2)/2)j = e jπ / 2
I = I = ωω C V ;C V ; ψψ = = ϕϕ + + ππ / 2/ 2
I = I = ωω C V C V ψ ψ = = ϕ + π/2ϕ + π/2 ω C
suscettanza
In un condensatore, il fasore della corrente I è pari al fasore della tensione V moltiplicato per l’ammettenza del condensatore j ω C
In un condensatore, il modulo della corrente I è pari al modulo della tensione V moltiplicato per la suscettanza del condensatore ω C
Im
ReIn un condensatore, la fase ψ della corrente è pari alla fase ϕ della tensione più π / 2
V
Iπ/2
In un condensatore, il fasore della corrente I è in anticipo di fase di π/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V
Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo
In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di I e dopo 90° quello di V
Tor Vergata
M. Salerno 21Fasori
Condensatorei(t) = C d v(t) / d t
C+i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo
i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tIn regime permanente
Re[ Re[ II e e jjωω t t ] = ] = CC Re[ Re[ VV e e jjωω t t ] =] =d d d td t
C è reale e V è costante
= Re[= Re[CC VV e e jjωω t t ]]d d d td t = Re[ = Re[ jjωω CC VV e e jjωω t t ]]
II = j = j ωω C C VV
Nel dominio dei fasori
II = j = j ωω C C VV
I = j ω C V
j ω C ammettenza
II = j = j ωω C C VVI e I e jjψψ = j = j ωω C V e C V e jjϕϕ
I e I e jjψψ = = ωω C V e C V e j (j (ϕϕ ++π π /2)/2)j = e jπ / 2
I = I = ωω C V ;C V ; ψψ = = ϕϕ + + ππ / 2/ 2
I = I = ωω C V C V ψ ψ = = ϕ + π/2ϕ + π/2 ω C
suscettanza
In un condensatore, il fasore della corrente I è pari al fasore della tensione V moltiplicato per l’ammettenza del condensatore j ω C
In un condensatore, il modulo della corrente I è pari al modulo della tensione V moltiplicato per la suscettanza del condensatore ω C
Im
ReIn un condensatore, la fase ψ della corrente è pari alla fase ϕ della tensione più π / 2
V
Iπ/2
In un condensatore, il fasore della corrente I è in anticipo di fase di π/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V
Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo
In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di I e dopo 90° quello di V
t
v(t), i(t)
vi
Tor Vergata
M. Salerno 22Fasori
Condensatore: potenza C
I = j ω C V
+
Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [Re [-- jjωωCC VV VV** ] = 0] = 011
22
Potenza reattiva 1122QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [Im [-- jjωωCC VV VV** ] =] =11
22
Si ricordi che I* = - j ω C V*
= = -- ω ω CC V V 2 2 = = -- ω ω C VC Veffeff2211
22 << 00
La potenza reattiva assorbita da un condensatore non è mai positiva
φ φ = = -- π π /2 /2 cos cos φ φ = 0= 0potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR)
Tor Vergata
M. Salerno 22Fasori
Condensatore: potenza C
I = j ω C V
+
Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [Re [-- jjωωCC VV VV** ] = 0] = 011
22
Potenza reattiva 1122QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [Im [-- jjωωCC VV VV** ] =] =11
22
Si ricordi che I* = - j ω C V*
= = -- ω ω CC V V 2 2 = = -- ω ω C VC Veffeff2211
22 << 00
La potenza reattiva assorbita da un condensatore non è mai positiva
φ φ = = -- π π /2 /2 cos cos φ φ = 0= 0potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR)
Andamento della potenza istantanea p(t)
su un condensatore t
p(t)
Pa = 0
Tor Vergata
M. Salerno 23Fasori
Dualità in regime permanenteLe formule in regime permanente degli induttori e dei
condensatori si possono ricavare in base al principio di dualità, eccetto quelle relative alla potenza reattiva ( Q = ½ Im [V I*] non è invariante rispetto allo scambio di V e I )
Esempio: V = j ω L I è duale rispetto a I = j ω C V
Impedenza
AmmettenzaReattanza
Suscettanza
Induttore Condensatore
Im [ I / V ]
Im [ V / I ]
Y = I / V
Z = V / I
definizione
j ω L
j ω Cω L
ω C
1 / j ω C
1 / j ω L- 1 / ω L
- 1 / ω C
Tor Vergata
M. Salerno 23Fasori
Dualità in regime permanenteLe formule in regime permanente degli induttori e dei
condensatori si possono ricavare in base al principio di dualità, eccetto quelle relative alla potenza reattiva ( Q = ½ Im [V I*] non è invariante rispetto allo scambio di V e I )
Esempio: V = j ω L I è duale rispetto a I = j ω C V
Impedenza
AmmettenzaReattanza
Suscettanza
Induttore Condensatore
Im [ I / V ]
Im [ V / I ]
Y = I / V
Z = V / I
definizione
j ω L
j ω Cω L
ω C
1 / j ω C
1 / j ω L- 1 / ω L
- 1 / ω C
A frequenza f = ω / 2 π = 0 , le tensioni e le correnti sono costanti e si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.).
In alcune applicazioni, si considera il caso di una frequenza molto elevata, che si può indicare come regime di frequenza infinita f = ω / 2 π = ∞∞
I regimi in corrente continua (c.c.) e di frequenza infinita sono duali.
Tor Vergata
M. Salerno 23Fasori
Dualità in regime permanenteLe formule in regime permanente degli induttori e dei
condensatori si possono ricavare in base al principio di dualità, eccetto quelle relative alla potenza reattiva ( Q = ½ Im [V I*] non è invariante rispetto allo scambio di V e I )
Esempio: V = j ω L I è duale rispetto a I = j ω C V
Impedenza
AmmettenzaReattanza
Suscettanza
Induttore Condensatore
Im [ I / V ]
Im [ V / I ]
Y = I / V
Z = V / I
definizione
j ω L
j ω Cω L
ω C
1 / j ω C
1 / j ω L- 1 / ω L
- 1 / ω C
A frequenza f = ω / 2 π = 0 , le tensioni e le correnti sono costanti e si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.).
In alcune applicazioni, si considera il caso di una frequenza molto elevata, che si può indicare come regime di frequenza infinita f = ω / 2 π = ∞∞
I regimi in corrente continua (c.c.) e di frequenza infinita sono duali.
Equivalenze corr. cont. ω = 0 freq. infinita ω = ∞∞
Z = j ω L corto circuito circuito aperto
Z = 1 / j ω C circuito aperto corto circuito
Tor Vergata
M. Salerno 24Fasori
Induttore reale
RS
L RP
Induttore idealeper RS
RP
0
∞
IL
Si assegni un valore arbitrario a IL
Im
ReIL
VL
+
VL = j ω L IL
VLIR
IR = VL / RP
IR
I
I = IL + IR
IV
+
V = VL + RS I
RS I
V
Si definisce fattore di merito dell’induttore
δ
QL = tg δ
VL = j ω L IL
∞ per l’induttore ideale
Tor Vergata
M. Salerno 24Fasori
Induttore reale
RS
L RP
Induttore idealeper RS
RP
0
∞
IL
Si assegni un valore arbitrario a IL
Im
ReIL
VL
+
VL = j ω L IL
VLIR
IR = VL / RP
IR
I
I = IL + IR
IV
+
V = VL + RS I
RS I
V
Si definisce fattore di merito dell’induttore
δ
QL = tg δ
VL = j ω L IL
∞ per l’induttore ideale
La scelta di un valore arbitrario per IL non è una limitazione.
Im
Re
ILVL
IV
IL
Il nuovo diagramma differisce dal precedente per un fattore di scala e una rotazione. I rapporti fra le ampiezze e le differenze delle fasi sono rimaste invariate (in particolare l’angolo δ )
δ
Tor Vergata
M. Salerno 25Fasori
Condensatore reale
C R
Condensatore idealeper R ∞
V+
Si assegni un valore arbitrario a V
Im
ReV
IC
IC = j ω C V
ICIR
IR = V / R
IR
I
I = IC + IR
I
Si definisce fattore di merito del condensatore
δ
QC = tg δ ∞ per il condensatore ideale
Tor Vergata
M. Salerno 26Fasori
Connessioni elementari
+V
IIn regime permanente si haV = Z I Z impedenza
I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z
impedenza in Ohm (Ω) ammettenza in Mho (Ω −1)
L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione
L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente
Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.
Tor Vergata
M. Salerno 26Fasori
Connessioni elementari
+V
IIn regime permanente si haV = Z I Z impedenza
I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z
impedenza in Ohm (Ω) ammettenza in Mho (Ω −1)
L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione
L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente
Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.
Connessioni elementari
Serie
Z1 Z2+
V1
+V2
I
V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I
V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I
Z = Z1 + Z2Z = Z1 + Z2
Parallelo Y1
Y2
Tor Vergata
M. Salerno 26Fasori
Connessioni elementari
+V
IIn regime permanente si haV = Z I Z impedenza
I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z
impedenza in Ohm (Ω) ammettenza in Mho (Ω −1)
L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione
L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente
Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.
Connessioni elementari
Serie
Z1 Z2+
V1
+V2
I
V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I
V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I
Z = Z1 + Z2Z = Z1 + Z2
Parallelo Y1
Y2+V
I1
I2I1 = Y1 V ; I2 = Y2 V
I1 + I2 = (Y1 + Y2 ) V
Y = Y1 + Y2Y = Y1 + Y2
Tor Vergata
M. Salerno 26Fasori
Connessioni elementari
+V
IIn regime permanente si haV = Z I Z impedenza
I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z
impedenza in Ohm (Ω) ammettenza in Mho (Ω −1)
L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione
L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente
Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.
Connessioni elementari
Serie
Z1 Z2+
V1
+V2
I
V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I
V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I
Z = Z1 + Z2Z = Z1 + Z2
Parallelo Y1
Y2+V
I1
I2I1 = Y1 V ; I2 = Y2 V
I1 + I2 = (Y1 + Y2 ) V
Y = Y1 + Y2Y = Y1 + Y2
Y = Y1 + Y2
1/Z = 1/ Z1 + 1/ Z2
Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )
Tor Vergata
M. Salerno 26Fasori
Connessioni elementari
+V
IIn regime permanente si haV = Z I Z impedenza
I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z
impedenza in Ohm (Ω) ammettenza in Mho (Ω −1)
L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione
L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente
Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.
Connessioni elementari
Serie
Z1 Z2+
V1
+V2
I
V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I
V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I
Z = Z1 + Z2Z = Z1 + Z2
Parallelo Y1
Y2+V
I1
I2I1 = Y1 V ; I2 = Y2 V
I1 + I2 = (Y1 + Y2 ) V
Y = Y1 + Y2Y = Y1 + Y2
Y = Y1 + Y2
1/Z = 1/ Z1 + 1/ Z2
Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )
Z = Z1 + Z2
1/Y = 1/ Y1 + 1/ Y2
Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 )Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 )
Tor Vergata
M. Salerno 26Fasori
Connessioni elementari
+V
IIn regime permanente si haV = Z I Z impedenza
I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z
impedenza in Ohm (Ω) ammettenza in Mho (Ω −1)
L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione
L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente
Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.
Connessioni elementari
Serie
Z1 Z2+
V1
+V2
I
V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I
V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I
Z = Z1 + Z2Z = Z1 + Z2
Parallelo Y1
Y2+V
I1
I2I1 = Y1 V ; I2 = Y2 V
I1 + I2 = (Y1 + Y2 ) V
Y = Y1 + Y2Y = Y1 + Y2
Y = Y1 + Y2
1/Z = 1/ Z1 + 1/ Z2
Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )
Z = Z1 + Z2
1/Y = 1/ Y1 + 1/ Y2
Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 )Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 )
Esempio
RS
L RP
A
B
C ZCB = j ω L RP / (j ω L + RP )
Tor Vergata
M. Salerno 26Fasori
Connessioni elementari
+V
IIn regime permanente si haV = Z I Z impedenza
I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z
impedenza in Ohm (Ω) ammettenza in Mho (Ω −1)
L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione
L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente
Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.
Connessioni elementari
Serie
Z1 Z2+
V1
+V2
I
V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I
V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I
Z = Z1 + Z2Z = Z1 + Z2
Parallelo Y1
Y2+V
I1
I2I1 = Y1 V ; I2 = Y2 V
I1 + I2 = (Y1 + Y2 ) V
Y = Y1 + Y2Y = Y1 + Y2
Y = Y1 + Y2
1/Z = 1/ Z1 + 1/ Z2
Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )
Z = Z1 + Z2
1/Y = 1/ Y1 + 1/ Y2
Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 )Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 )
Esempio
RS
L RP
A
B
C ZCB = j ω L RP / (j ω L + RP )
ZAB = ZCB + RS = = j ω L RP / (j ω L + RP ) + RS
Tor Vergata
M. Salerno 27Fasori
Potenza (impedenza, ammettenza)
+Z
I
V
Potenza attiva in funzione di ZPPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]11
22VV = = ZZ II
PPaa = Re [ = Re [ ZZ II II** ] ] = = 11221122= = Re [ Re [ ZZ ]] II2 2 = = Re [ Re [ ZZ ]] IIeffeff
22
Potenza reattiva in funzione di ZQQ = Im [ = Im [ VV II** ]]11
22VV = = ZZ II
QQ = Im [ = Im [ ZZ II II** ] ] = = 11221122= = Im [ Im [ ZZ ]] II2 2 = = Im [ Im [ ZZ ]] IIeffeff
22
Tor Vergata
M. Salerno 27Fasori
Potenza (impedenza, ammettenza)
+Z
I
V
Potenza attiva in funzione di ZPPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]11
22VV = = ZZ II
PPaa = Re [ = Re [ ZZ II II** ] ] = = 11221122= = Re [ Re [ ZZ ]] II2 2 = = Re [ Re [ ZZ ]] IIeffeff
22
Potenza reattiva in funzione di ZQQ = Im [ = Im [ VV II** ]]11
22VV = = ZZ II
QQ = Im [ = Im [ ZZ II II** ] ] = = 11221122= = Im [ Im [ ZZ ]] II2 2 = = Im [ Im [ ZZ ]] IIeffeff
22
Y
Potenza attiva in funzione di YII = = YY VV PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]11
22
Si ricordi che
I* = Y* V*
PPaa = Re [ = Re [ YY* * VV VV** ] ] = = 1122
Re[Y*] = Re[Y ]
1122= = Re [ Re [ YY ]] V V 2 2 = = Re [ Re [ YY ]] VVeffeff
22
Potenza reattiva in funzione di YII = = YY VV QQ = Im [ = Im [ VV II** ]]11
22QQ = Im [= Im [YY* * VV VV** ] ] = = 11
22Im[Y*] = -Im[Y] 11
22= = -- Im [ Im [ YY ]] V V 2 2 = = -- Im [ Im [ YY ]] VVeffeff22
Tor Vergata
M. Salerno 28Fasori
RifasamentoImpianti di distribuzione dell’energia elettrica
Vg+ Rg
Rg tiene conto della resistenza interna del generatore reale e di quella della linea di alimentazione.
CaricoA
CaricoB
CaricoC
I carichi sono generalmente schematizzabili con un resistore in serie a un induttore parassita
CaricoLR
Im
Re
IV+
I VR
VLV
φ
Pa = Veff Ieff cos φ
Q = Veff Ieff sin φ
cos φ < 1
V AB
B
A I
La potenza utile erogata ai morsetti AB è la potenza attiva. Occorre fare in modo che VAB e I siano il più possibile in fase (cos φ = 1, al generatore). Ciò si ottiene con il rifasamento dei carichi.
Tor Vergata
M. Salerno 29Fasori
Rifasamento
Vg+ Rg L
R
C +V R
Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R
Im
Re
correnteIm
Re
tensione
V R
I
I = V R / R
I
V L+
V L = jωL I
V L
+V C
V C = V R + V L
V C
I C
I C = jωC V CI C
Ig
I g = I + I CI g
V Rg+
V Rg = Rg I g
V Rg
V g = V Rg + V C
V g
V g e I g non sono parallele
φ
cos φ < 1 : il circuito non è rifasato
Tor Vergata
M. Salerno 29Fasori
Rifasamento
Vg+ Rg L
R
C +V R
Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R
Im
Re
correnteIm
Re
tensione
V R
I
I = V R / R
I
V L+
V L = jωL I
V L
+V C
V C = V R + V L
V C
I C
I C = jωC V CI C
Ig
I g = I + I CI g
V Rg+
V Rg = Rg I g
V Rg
V g = V Rg + V C
V g
V g e I g non sono parallele
φ
cos φ < 1 : il circuito non è rifasato
Si determini la capacità C in modo da rifasare il circuito
Se V C // I g allora anche V g // I g
Im
Re
correnteIm
Re
tensione
V R
V LV C
I
Tor Vergata
M. Salerno 29Fasori
Rifasamento
Vg+ Rg L
R
C +V R
Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R
Im
Re
correnteIm
Re
tensione
V R
I
I = V R / R
I
V L+
V L = jωL I
V L
+V C
V C = V R + V L
V C
I C
I C = jωC V CI C
Ig
I g = I + I CI g
V Rg+
V Rg = Rg I g
V Rg
V g = V Rg + V C
V g
V g e I g non sono parallele
φ
cos φ < 1 : il circuito non è rifasato
Si determini la capacità C in modo da rifasare il circuito
Se V C // I g allora anche V g // I g
Im
Re
correnteIm
Re
tensione
V R
V LV C
I
Direzione di I g :
Direzione di I C :ortogonale a V C
direzione di I C
Direzione di I g :
Direzione di I C :direzione di V C
parallela a V C
I C
VI g
Risulta V C // I g
V RgV g
; V g // I g
Si è ottenuto cos φ = 1Il circuito è rifasato
Tor Vergata
M. Salerno 29Fasori
Rifasamento
Vg+ Rg L
R
C +V R
Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R
Im
Re
correnteIm
Re
tensione
V R
I
I = V R / R
I
V L+
V L = jωL I
V L
+V C
V C = V R + V L
V C
I C
I C = jωC V CI C
Ig
I g = I + I CI g
V Rg+
V Rg = Rg I g
V Rg
V g = V Rg + V C
V g
V g e I g non sono parallele
φ
cos φ < 1 : il circuito non è rifasato
Si determini la capacità C in modo da rifasare il circuito
Se V C // I g allora anche V g // I g
Im
Re
correnteIm
Re
tensione
V R
V LV C
I
Direzione di I g :
Direzione di I C :ortogonale a V C
direzione di I C
Direzione di I g :
Direzione di I C :direzione di V C
parallela a V C
I C
VI g
Risulta V C // I g
V RgV g
; V g // I g
Si è ottenuto cos φ = 1Il circuito è rifasato
Il rifasamento rende minimo il modulo Ig
I
Ig
minimo
Tor Vergata
M. Salerno 30Fasori
Rifasamento
Vg+ Rg
Ig
V Rg+L
R
CII C
+V C
+V R
V L+
Calcolo della capacità C Metodo grafico
Im
ReI V R
V L
V C
I C
Si considerino solo i moduli delle grandezze
I C = ω C V C C = I C / (ω V C )
VC = VR2 + VL
2 ; VL = ωL I VC = I R2 + ω2L2
I /IC = VC /VL = I R2 + ω2L2 / ωLI I = IC R2 + ω2L2 /ωL
Tor Vergata
M. Salerno 30Fasori
Rifasamento
Vg+ Rg
Ig
V Rg+L
R
CII C
+V C
+V R
V L+
Calcolo della capacità C Metodo grafico
Im
ReI V R
V L
V C
I C
Si considerino solo i moduli delle grandezze
I C = ω C V C C = I C / (ω V C )
VC = VR2 + VL
2 ; VL = ωL I VC = I R2 + ω2L2
I /IC = VC /VL = I R2 + ω2L2 / ωLI I = IC R2 + ω2L2 /ωL VC = IC (R2 +ω2L2) /ωL C = L / (R2 + ω2L2)
A
B
Per il calcolo di C sono state usate solo grandezze del bipolo a destra dei morsetti AB
Tor Vergata
M. Salerno 30Fasori
Rifasamento
Vg+ Rg
Ig
V Rg+L
R
CII C
+V C
+V R
V L+
Calcolo della capacità C Metodo grafico
Im
ReI V R
V L
V C
I C
Si considerino solo i moduli delle grandezze
I C = ω C V C C = I C / (ω V C )
VC = VR2 + VL
2 ; VL = ωL I VC = I R2 + ω2L2
I /IC = VC /VL = I R2 + ω2L2 / ωLI I = IC R2 + ω2L2 /ωL VC = IC (R2 +ω2L2) /ωL C = L / (R2 + ω2L2)
A
B
Per il calcolo di C sono state usate solo grandezze del bipolo a destra dei morsetti AB
Calcolo della capacità C Metodo analitico
Si consideri il bipolo visto dai morsetti AB
L
R
CA
B
ZAB Il bipolo è rifasato quando l’impedenza ZAB (o l’ammettenza YAB ) è puramente reale
: si calcoli YAB = 1 / ZAB
YAB = j ω C + 1 / (R + jωL) = j ω C + (R - jωL) / (R2 + ω2L2)
Im [YAB ] = ω C - ωL / (R2 + ω2L2) = 0 per C = L / (R2 + ω2L2)
In questo caso si ha YAB = R / (R2 + ω2L2) ; ZAB = (R2 + ω2L2) / R
Il bipolo rifasato è equivalente a un resistore Re = (R2 + ω2L2) / R
