Introduzione Alla Teoria Analitica Dei Numeri - Alessandro Zaccagnini

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Universit` a degli Studi di ParmaFacolt` a di Scienze Matematiche, Fisiche e NaturaliCorso di Laurea in MatematicaIntroduzionealla Teoria Analitica dei NumeriAlessandro Zaccagnini(versione preliminare 11 marzo 2008)Anno Accademico 20062007Il testo ` e stato composto per mezzo di un pacchetto di macro creato dallAutoree basato su LATEX2, c _ American Mathematical Society. La gure sono statecreate con MetaPost. Lultima versione di questo testo ` e disponibile allindirizzohttp://www.math.unipr.it/zaccagni/psfiles/lezioni/tdn2005.pdfLa data di questa versione ` e 11 marzo 2008.Questa versione su Internet ` e a disposizione di chiunque, gratuita-mente, per un qualsiasi valido scopo di istruzione, a patto che nonse ne faccia commercio, che non venga posta in condivisione susiti web senza lautorizzazione scritta dellAutore e che non vengamodicata in alcun modo.Si prega di inviare suggerimenti e critiche, e di segnalare eventuali errori di stampaallindirizzo qui sotto.Prof. Alessandro ZaccagniniDipartimento di MatematicaUniversit` a degli Studi di ParmaParco Area delle Scienze, 53/a Campus Universitario43100 Parma, ITALIATel. 0521 906902 Telefax 0521 906950e-mail: [email protected]: http://www.math.unipr.it/zaccagni/home.htmlIndiceSimboli e notazioni 51 Risultati Elementari 111.1 Lalgoritmo di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 I Teoremi di Fermat, Eulero, Wilson e Gauss . . . . . . . . . . . . 131.3 Terne pitagoriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Somme di due quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Il Teorema dei quattro quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 La legge di reciprocit` a quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Formule per i numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Funzioni Aritmetiche 372.1 Denizioni e prime propriet` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Alcune funzioni aritmetiche importanti . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Il prodotto di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Serie di Dirichlet formali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 Distribuzione dei Numeri Primi 573.1 Risultati elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 I Teoremi di Eulero e di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Le formule di Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4 Le formule di Selberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi . . . . . . . . . . . 723.6 Altri risultati su alcune funzioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . 793.7 Grandi intervalli fra numeri primi consecutivi . . . . . . . . . . . 833.8 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8534 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)4 Primi nelle progressioni aritmetiche 874.1 Caratteri di un gruppo abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2 Caratteri e funzioni L di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3 Preliminari per il Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 944.4 Il Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5 La disuguaglianza di P olyaVinogradov . . . . . . . . . . . . . . 984.6 Il Teorema di GaussJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.7 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025 Metodi di Crivello 1035.1 Il principio di inclusioneesclusione e la formula di Legendre . . . 1045.2 Il crivello di Brun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3 Applicazioni del crivello di Brun. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.1 Primi e polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.2 Maggiorazione del numero di primi in un intervallo. . . . 1135.3.3 Polinomi di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.4 Polinomi di secondo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3.5 Rappresentazioni come somma di quadrati . . . . . . . . 1155.4 Il crivello grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5 Applicazioni del crivello grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.6 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri 1296.1 Il programma di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2 Lequazione funzionale della funzione zeta . . . . . . . . . . . . . 1306.3 Distribuzione degli zeri della funzione zeta . . . . . . . . . . . . 1366.4 La regione libera da zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.5 La formula esplicita: legame fra psi e zeta . . . . . . . . . . . . . 1446.6 Dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi . . . . . . . . . . . 1466.7 La congettura di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.8 Una famosa affermazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.9 Considerazioni nali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.9.1 Ancora sul Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 1526.9.2 Distribuzione degli zeri e termine derrore . . . . . . . . . 1526.10 The Zeta Function Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.11 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567 Il problema di Goldbach 1577.1 Problemi additivi: il metodo del cerchio . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Il problema di Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.3 Dove sono le difcolt` a?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Indice 57.3.1 Approssimazione della funzione theta di Chebyshev . . . 1687.3.2 Il contributo degli archi secondari . . . . . . . . . . . . . 1697.4 Risultati per quasi tutti gli interi pari . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5 Varianti: il Teorema dei tre primi ed i primi gemelli . . . . . . . . 171A Appendice 173A.1 Formule di sommazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173A.2 Le funzioni Gamma e Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176A.3 La formula di Wallis e la formula di Stirling . . . . . . . . . . . . 177A.4 Lemmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179B Distribuzione dei Numeri Primi 183C Funzioni Aritmetiche Elementari 185D Generatori e Ordini modulo p 187Bibliograa 1896 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Simboli e notazioniScriveremof := g per indicare luguaglianza per denizione. Dato un qualunqueinsieme nito A, indicheremo con [A[ la sua cardinalit` a. Le lettere d, i, j, k,m, n, q indicano di solito numeri interi (non necessariamente positivi), mentre lalettera p denota sempre un numero primo. Le lettere x, y, t indicano numeri reali.Per convenzione N indica linsieme degli interi non negativi, e quindi 0 N.Z, Q, R e C hanno il signicato consueto, mentre Fq indica il campo nito conq elementi (se q ` e una potenza di un primo). Indicheremo con Zn linsieme delleclassi di resto modulo n, che ricordiamo costituire un anello commutativo conidentit` a, e con Znlinsieme delle unit` a di Zn, cio` e linsieme dei suoi elementiinvertibili.Scriveremo d [ n quando d ed n sono interi ed esiste un altro intero q tale chedq = n. Osserviamo che con questa convenzione d [ 0 per ogni d Z, mentre 0 [ nimplica n = 0. Scriveremo dn per negare questa relazione. Scriveremo anchep| n (ma solo per numeri primi p) se ` e la pi u grande potenza di p che dividen, cio` e se p[ n ma p+1 n. Quando n, m sono numeri interi non entrambi nulli,indicheremo con (n, m) e con [n, m] rispettivamente il massimo comun divisore edil minimo comune multiplo di n ed m. Supporremo sempre (n, m) >0 e [n, m] >0,anche se n o m sono numeri negativi.Quasisemprepnindicaln-esimonumeroprimo, elognxliteratan-esimadella funzione logaritmo: log2x := loglogx e logn+1x := loglognx per n 2.Scriveremod[na mod qa mod qrispettivamenteperindicareunasommaestesaatuttiidivisoripositividdin(anche quando n ` e un numero negativo), per indicare una somma su tutte le classidi resto modulo q o su tutte le classi a mod q con (a, q) =1 (quando queste sommesono ben denite). Le somme e i prodotti indicati connxoppurenxsono estesi a tutti i numeri naturali nellintervallo [1, x]. Quando la variabile ` e p ` esottinteso che queste somme o prodotti sono estesi solo ai primi che soddisfano le78 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)condizioni richieste. Per convenzione, assegneremo il valore 0 alla somma vuota,ed il valore 1 al prodotto vuoto.Con [x] := maxn Z: n x indichiamo la parte intera del numero realex, e con x := x [x] [0, 1) la sua parte frazionaria. (z), (z) e z denotanorispettivamente parte reale, parte immaginaria e coniugato del numero comples-so z. Indicheremo con i lunit` a immaginaria, con e(x) la funzione esponenzialecomplessa e2ix(di solito quando x` e un numero reale) e con eq(x) la funzionee_x/q_.Useremo i simboli di BachmannLandau (o, O), di Vinogradov (, ) e diHardy-Littlewood () con il seguente signicato: sianof , g funzioni denite inun intorno di x0, ma non necessariamente in x0 (che pu` o essere +). Se g ` e nonnegativa in un intorno di x0 scriviamof (x) =O(g(x)) oppuref (x) g(x) selimsupxx0[ f (x)[g(x)0.Scriveremof (x) = _g(x)_ oppuref (x) = +_g(x)_ per indicare, rispettiva-mente,liminfxx0f (x)g(x)0.Conf (x) =_g(x)_indichiamo che le due relazioni precedenti valgono simul-taneamente. Scriveremo inoltref g selimxx0f (x)g(x) = 1,edf g per indicare che g(x) f (x) g(x) quando x x0.Indice 9Quando c R, useremo labbreviazioneZ(c)f (s)ds perZc+icif (s)ds,cio` e per lintegrale sulla retta verticale dei numeri complessi di parte reale c.La denizione e le propriet` a elementari di alcune funzioni speciali sono da-te nel testo: pi u precisamente, la funzione di Riemann` e denita nel 2.4, lafunzioni e B di Eulero nellAppendice A.2.StrutturaPer quanto possibile queste dispense sono autocontenute. Solo qualche risultato` e stato citato ed utilizzato senza dimostrazione. Il simbolo nel margine rimanda E1.2.3allEsercizio 3 del 1.2. I numeri fra parentesi quadrate si riferiscono ai testi citatinella Bibliograa.Ogni paragrafo contiene un elenco di esercizi e riferimenti bibliograci perapprofondimenti. Altri esercizi si possono trovare nei libri di Apostol [5], di Hua[69] e di Landau [85]. Nel paragrafo nale di ogni capitolo presentiamo infor-malmente e rapidamente alcuni dei pi u importanti problemi aperti pertinenti. Lascelta naturalmente ` e arbitraria e discutibile: per una panoramica ben pi u vasta, sivedano i libri di Guy [49], di Ribenboim [127] e di Shanks [134].Unintroduzione molto semplice e discorsiva agli argomenti trattati si trova nellibro di Beiler [8]. La storia della Teoria dei Numeri ` e trattata in enorme dettaglionei volumi di Dickson [27], e pi u in generale in Ore [113].Altre letture consigliate sono i libri di Gauss [40], Knopfmacher [77], Landau[83], Narkiewicz [110], Nathanson [111], Prachar [125], Tur an [138], Lang [86].Il libro di Montgomery & Vaughan [105] contiene gli sviluppi della teoria svoltaqui ed ` e un ottimo libro per approfondire seriamente il contenuti di questo corso;inoltre, contiene anche diverse centinaia di esercizi. Si veda anche lEnciclope-dia on-line delle successioni di interi allindirizzo http://www.research.att.com/njas/sequences/RingraziamentiDesideroringraziarequanti mi hannosegnalatoerrori, imprecisioni, migliora-menti e nuovi riferimenti bibliograci. Fra questi, in particolare A. Languasco,G. Molteni, A. Perelli, G. Rossi e C. Viola.10 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Capitolo 1Risultati ElementariIn questo Capitolo iniziale parleremo di divisibilit` a, congruenze e della strutturadei gruppi Zn e Zn. Affronteremo anche qualche problema classico o elementa-re come la determinazione di tutte le terne pitagoriche e dellinsieme degli interiche si possono rappresentare come somma di due o di quattro quadrati di numeriinteri. Concluderemo con un importante Teorema di Gauss (la Legge di Recipro-cit` a Quadratica) e con una discussione sulla possibilit` a di trovare formule perottenere numeri primi.1.1 Lalgoritmo di EuclideTeorema 1.1.1 (Euclide) Datin, m Znonentrambinulli, siano A(n, m) :=an +bm: a, b Z e d := (n, m). Allora A(n, m) = dZ, linsieme dei multipliinteri di d, e dunque esistono , Z tali che d =n+m.Dim.`E evidente che ddivide ogni elemento di A. Sia = n +m il minimo E1-3elementopositivodi A(cheesisteperch ealmenounofranemnon` enullo).Poich e d [ , resta da dimostrare che [ d. Consideriamo il resto r della divisioneeuclidea di n per (cio` e lintero r tale che 0 r < ed inoltre esiste q Z taleche n = q+r).`E chiaro che r A, poich e r = (1q)nqm, e dunque r = 0(poich e altrimenti esisterebbe un elemento positivo di Astrettamente minore di), cio` e [ n. Analogamente [ m, e quindi [ d. Denizione 1.1.2Un intero n 2 si dice primo se d [ n implica [d[ = 1 oppure[d[ = n.Corollario 1.1.3 (Euclide) Se p ` e un numero primo e p [ ab, allora p [ a oppurep [ b.1112 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Dim. Se pa allora (a, p) = 1 e per il Teorema 1.1.1 esistono interi e tali chep+a = 1. Moltiplichiamo questa uguaglianza per b ed otteniamo pb+ab =b. Poich e p ne divide il primo membro, deve dividere anche il secondo. Denizione 1.1.4Dato n Nchiamiamo fattorizzazione canonica di n la de-composizionen =ki=1pii, dove pi < pj se i < j, i N per i = 1, . . . , k,ed i pi sono numeri primi. Se n = 1 allora k = 0 e il prodotto ` e vuoto.Teorema 1.1.5 (Fattorizzazione Unica) Ogni n N ha ununica fattorizzazio-ne canonica.Dim. Sia n 2 il pi u piccolo numero naturale con due fattorizzazioni canonichediversen =ki=1pii=lj=1qjj,con le convenzioni della Denizione 1.1.4. Per il Corollario 1.1.3, se p1[ n allorap1` e uno dei primi qj, ed analogamente q1` e uno dei primipi e dunquep1 = q1(poich e entrambi sono uguali al pi u piccolo fattore primo di n). Quindi ancheil numero n/p1 = n/q1< n ha due fattorizzazioni canoniche distinte, contro laminimalit` a di n. Corollario 1.1.6Se n = ki=1 piiconpied icome nella Denizione 1.1.4, e E5d [ n, allora esistono interi i con 0 ii tali che d =ki=1 pii.Teorema 1.1.7 (Euclide) Esistono inniti numeri primi.Dim. Sia P=p1, . . . , pn un insieme nito non vuoto di numeri primi. Il numeroN := p1 pn+1 >1 non ` e divisibile per alcuno dei primi p P. Corollario 1.1.8Sia pn ln-esimo numero primo. Si ha pn22n1. E6Esercizi.E 1. Dimostrare che, ssato un intero m Z, per ogni intero a esistono uniciq Z ed r N tali che a = mq+r, e 0 r 0.Riferimenti. Hardy & Wright [57], Capitoli 1, 2, 5, 6 e 7, Landau [85], Dirichlet [28].1.2 I Teoremi di Fermat, Eulero, Wilson e GaussDenizione 1.2.1Fissato mZ, se m[ ab diciamo che a ` e congruo a b modulom e scriviamo a b mod m. Se m N ed x Z, si dice minimo residuo positivodi x modulo m lunico intero a tale che a 0, . . . , m1 ed x a mod m, e losi indica con x mod m.Osservazione 1.2.2La relazione di congruenza ` e una relazione di equivalenza.Linsieme quoziente si indica con Zm. Inoltre, per ogni c Z si haa b mod m = a+c b+c mod m e ac bc mod m,ac bc mod m = a b modm(m, c),lultima delle quali segue dal Teorema 1.1.1, poich e questo implica che se (, ) =1 allora esiste 1mod . Dunque, Zm ` e un anello commutativo con identit` a, che` e un campo se e solo se m ` e primo. Zm ` e linsieme degli elementi invertibili di Zm. E1Lemma 1.2.3Datoa Zq, lapplicazione fa: Zq Zqdenitada fa(x) :=ax mod q ` e una biiezione.Teorema 1.2.4 (Teorema Cinese del Resto) Se n1, n2 Z ed inoltre (n1, n2) =1, il sistema seguente ha ununica soluzione modulo n1n2:_x a1mod n1,x a2mod n2.Dim. Sia A :=a1+bn1: b = 0, . . . , n21.`E evidente che tutti gli elementi diAsoddisfano la prima congruenza, e vogliamo dimostrare che sono tutti distintimodulo n2. Supponiamo che a1+b1n1a1+b2n1 mod n2 per due valori distintib1, b2 0, . . . , n21. Per lOsservazione 1.2.2 abbiamo b1n1b2n1 mod n2,da cui b1 b2 mod n2, poich e (n1, n2) = 1. Ma questo` e assurdo, perch e 0 0 per ogni n sufcientemente grande, mentrerG(k)1,k(n) = 0 ha innite soluzioni. Il valore di G ` e noto solo per k = 2 e perk = 4 (G(2) = 4 e G(4) = 16) e Wooley ha recentemente dimostrato che G(k) k_logk +loglogk +O(1)_ per k +.`E relativamente facile dimostrare cheG(k) k +1.Riferimenti. Titchmarsh [136] Cap. 13 e relative note, oppure Ivi c [74] 13.2, 13.8 eNote. Problema di Waring: Vaughan [140], Ellison [33], Wooley [147].Capitolo 3Distribuzione dei Numeri PrimiQuesto Capitolo` e dedicato principalmente alla dimostrazione del Teorema deiNumeri Primi 3.1.3 facendo uso esclusivamente di tecniche elementari, e cio` esenza lanalisi complessa: questo signica che i risultati che saremo in grado di ot-tenere sono pi u deboli di quelli che dimostreremo nel Capitolo 6, ma ` e comunqueinteressante dare una dimostrazione relativamente semplice di fatti importanti.La prima parte del Capitolo ` e dedicata ai risultati di Chebyshev e di Mertens,che sono conseguenze quasi immediate del Teorema dei Numeri Primi: evidente-mente ` e importante notare che possono essere dimostrate anche direttamente. Poipasseremo alla dimostrazione elementare del Teorema dei Numeri Primi dovutaa Selberg [133] ed Erd os [35] (1949):la dimostrazione originale di Hadamard ede la Vall ee Poussin (che hanno lavorato indipendentemente su una traccia lascia-ta da Riemann nel 1859 [128]) ` e del 1896 e nel mezzo secolo fra i due risultatimolti matematici si sono sbilanciati nellaffermare che una dimostrazione elemen-tare era impossibile. La recensione di Ingham [72] dei lavori di Selberg ed Erd osspiega dettagliatamente le somiglianze formali fra le due dimostrazioni, quellaelementare da un lato e quella analitica dallaltro.3.1 Risultati elementariDenizione 3.1.1 (Funzioni di Chebyshev) Per x 1 poniamo(x)def= px1 =[p x[, (x)def= pxlog p, (x)def= nx(n).Vedremo subito nel 3.2 che la funzione (x)` e dellordine di grandezza dix/logx (e quindi che ln-esimo numero primo pn ` e dellordine di nlogn), mentrele funzioni e differiscono fra loro di poco (Lemma 3.2.4). Il peso log p concui contiamo i numeri primi in (ed il peso (n) con cui contiamo le potenze dei5758 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 3741 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 8997 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997Figura 3.1: I numeri primi no a 1000.primi in ) bilancia esattamente la rarefazione dei primi, come dimostra il Teore-ma di Chebyshev 3.2.2. In denitiva, le tre funzioni (x)logx, (x) e (x) sonoequivalenti, almeno in prima approssimazione. Nel Capitolo 6 spiegheremo per-ch e la funzione , anche se apparentemente articiale, ` e in realt` a la pi u naturaledelle tre: per il momento ci limitiamo ad osservare che (x)` e il logaritmo delminimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 ed x. E1OsserviamocheilCorollario1.1.8implicachetuttequestefunzionidiver-gono per x +, ed anche che limsup(x)(loglogx)1> 0, ma, per esempio,(1000) =168, mentre loglog1000 0 taleche per x + si ha(x) = li(x) +O_xexp_c(logx)3/5(loglogx)1/5__.In questo Capitolo ci limiteremo a dimostrare che (x) li(x) x/logx quan-do x +.Nel Capitolo 6 daremo i punti essenziali della dimostrazione di unaversione con termine derrore O_xexp_c(logx)1/2__, che ` e leggermente pi u de-bole di quello in 3.1.3. Si vedano i Capitoli 718 del libro di Davenport [22]. Perpoter confrontare il risultato (x) x/logx con il Teorema 3.1.3, osserviamo chemediante integrazioni per parti ripetute ` e facile mostrare che per ogni n Nssatosi ha E5li(x) =xlogxnk=0k!(logx)k +On_x(logx)n+2_. (3.1.2)Quindi in questo Capitolo dimostreremo che li(x) x(logx)1(x). Nelle ap-plicazioni, per` o, ` e estremamente importante avere informazioni pi u precise sullaquantit` a (x) li(x). Si vedano i commenti nel Capitolo 6.60 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Legendre fu il primo a fare congetture sulla distribuzione dei numeri primi, edin particolare sullandamento della funzione : formulata in termini moderni, lasua congettura prende la forma(x) =xlogx A+o(1), dove A = 1.08366. . . (3.1.3)Questa congettura pu` o essere scritta in unaltra forma equivalente, e cio` e(x) =xlogx +(A+o(1))x(logx)2.Se il termine con k = 1 nello sviluppo (3.1.2)` e rilevante, allora A vale 1, e lacongettura di Legendre ` e falsa. In realt` a possiamo dimostrare la falsit` a della con-getturadiLegendresenzausareneppureilTeoremadeiNumeriPrimi: ceneoccuperemo alla ne del 3.3.Gauss invece congettur` o la validit` a del Teorema dei Numeri Primi con termineprincipale li(x), ma senza dare indicazioni precise sul termine derrore.Il termine derrore nel Teorema dei Numeri Primi probabilmente non ` e ottima-le: in effetti si congettura che sia, sostanzialmente, dellordine di grandezza dellaradice quadrata del termine principale. Si tratta della Congettura di Riemann.Congettura 3.1.4 (Riemann) Per x + si ha(x) = li(x) +O_x1/2logx_.Nei prossimi paragra otterremo dei risultati approssimati sempre pi u precisi:per la maggior parte sono conseguenze immediate del Teorema dei Numeri Primi,ma noi le useremo come base per la dimostrazione elementare.Esercizi.E 1. Dimostrare che (x) = log_1, 2, . . . , [x].E 2. Dimostrare che se p ` e primo e p| n!, allora = r1_ npr_np1.E 3. Con quante cifre 0 termina la rappresentazione decimale di 1000! ?E 4. Senza usare il Teorema dei Numeri Primi 3.1.3 dimostrare che dato n N ` epossibile trovare n interi consecutivi non primi.E 5. Dimostrare per induzione la formula (3.1.2).Capitolo 3. Distribuzione dei Numeri Primi 613.2 I Teoremi di Eulero e di ChebyshevTeorema 3.2.1 (Eulero) La serie e il prodotto seguenti sono divergenti:p1p,p_11p_1.Dim. Sia f Mconf (p) := p1sep x, f (p) := 0 sep > x. In sostanzaponiamof (n) := n1se n non ha fattori primi > x, e poniamof (n) := 0 in casocontrario. Poich ef ` e completamente moltiplicativa, per il Teorema 2.3.1 si haP(x)def= px_11p_1= n1f (n) =nA(x)1n,doveA(x)def=n N: p [ n p x.Quindi n A(x) per ogni n x, e, per il Teorema A.4.1 nel caso k =1, si haP(x) nx1n = logx + +O_x1_.Inoltre per 0 y 12 si ha log(1y) = y +O_y2_, e quindipx1p =pxlog_11p_+O_px1p2_= logP(x) +O(1)loglogx +O(1),che implica la tesi in una forma quantitativa piuttosto forte. Questa dimostrazione ` e importante perch e lega un fatto analitico (la divergen-za della serie armonica) ad una propriet` a dei numeri primi. I Teoremi 3.3.4 e 3.3.6mostrano che le minorazioni ottenute sono dellordine di grandezza corretto.`E importante notare che questo risultato di Eulero non solo dimostra che esi-stono inniti numeri primi, ma d` a anche delle indicazioni numeriche sulla lorodensit` a: infatti notiamo che le serie dei reciproci delle potenze di 2, o la sommadei reciproci dei quadrati perfetti sono entrambe convergenti. Quindi, in un sensonon molto preciso, possiamo dire che i numeri primi sono pi u numerosi dei qua-drati perfetti. Notiamo anche che, per il criterio integrale per la convergenza delleserie (vedi Lemma A.1.3) la minorazione ottenuta nel corso della dimostrazionesuggerisce che pnnlogn: infattin2nlognx1nlogn x/logxn=21nlogn loglogx.62 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Teorema 3.2.2 (Chebyshev) Posto1def= liminfx+(x)logxx, 2def= liminfx+(x)x, 3def= liminfx+(x)x,1def= limsupx+(x)logxx, 2def= limsupx+(x)x, 3def= limsupx+(x)x,si ha 1 =2 =3 e 1 =2 =3.Dim. Si ha banalmente (x) (x) ed inoltre per x 1(x) = nx(n) =pmxlog p = px[m N: pmx[ log p= px_logxlog p_log p logxpx1 =(x)logx.Questo dimostra che 231 e che 231. Inoltre si ha(x) y,e studiamo il comportamento di Vnellintervallo [, +], per grande, conlobiettivo di dimostrare che la media di Vnellintervallo [, +] ` e pi u piccoladi quello che dovrebbe essere. La funzione V` e decrescente tranne che nei suoipunti di discontinuit` a, dove cresce. Quindi nel nostro intervallo o esiste 0 taleche V(0) = 0, oppure V cambia segno al pi u una volta. Infatti, V passa da valoripositivi a negativi con continuit` a, decrescendo, ma pu` o passare da valori negativia positivi solo saltando. Si veda la Figura 3.3: lintervallo [31, 34]` e del primotipo, mentre lintervallo [28, 31.5] ` e del secondo tipo.Primo caso Per sufcientemente grande, per il Lemma 3.5.6 si pu` o scrivereZ+V()d =_Z0+Z0+0+Z+0+_V()d(0) + 122+(+0) +o(1)=_12_+o(1) =1+o(1),dove1def=_12_1 ssato si ha (cx) (x) (c 1)x/logx.Riferimenti. Dimostrazione elementare del Teorema dei Numeri Primi 3.1.3: Hardy& Wright [57], Cap. 22. Altre dimostrazioni elementari: Diamond [26], Levinson [93],Daboussi [21] (questa ` e basata su unidea totalmente diversa) e Bombieri [9] (questa d` aanche stime per il termine derrore).Capitolo 3. Distribuzione dei Numeri Primi 793.6 Altri risultati su alcune funzioni aritmeticheIn questo paragrafo poniamoP(x)def= pxp = exp(x).Teorema 3.6.1Si haliminfn+(n)loglognn= e.Dim. Disponiamo i numeri primi p1, p2, . . . , in ordine crescente, poniamo n0 :=1e per k N deniamo nk := P(pk) = exp_(pk)_. Qualunque sia n N, esistek = k(n) N tale che n [nk, nk+1), poich e la successione (nk)kN ` e strettamentecrescente e diverge a +. Vogliamo dimostrare la disuguaglianza(n)n (nk)nk,cio` e che gli nksono punti di minimo locale per questo rapporto. Siano q1, q2,. . . , qr, i fattori primi di n, contati ciascuno una volta sola, e disposti in ordinecrescente. La disuguaglianza di sopra ` e equivalente arj=1_11qj_kj=1_11pj_.Osserviamo che r k (poich e nk+1 ` e il pi u piccolo numero naturale mche soddisfa(m) k +1), e che si ha qj pj perj = 1, . . . , r. Quindirj=1_11qj_rj=1_11pj_kj=1_11pj_,come si voleva. Osserviamo che per il Teorema di Mertens 3.3.6,(nk)nk=kj=1_11pj_= ppk_11p_=elog pk_1+o(1)_,e cio` e n1k(nk)log pk = e_1+o(1)_. Resta da dimostrare chelimk+log pkloglognk= 1.Per denizione di nk abbiamo lognk = (pk), e per le disuguaglianze di Cheby-shev 3.2.3 si ha c1pk (pk) c2pkper opportune costanti positive c1e c2e80 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)k 1, da cui loglognk = log(pk) = log pk +O(1). Mettendo insieme questedisuguaglianze, si conclude che quando n + si ha(n)loglognne_1+o(1)_e inoltre limk+(nk)loglognknk= e,che insieme danno la tesi. Teorema 3.6.2Si ha 1 (n) (n) per ogni n 2 ed inoltreliminfn+ (n) = liminfn+ (n) = 1,limsupn+(n)loglognlogn= 1, limsupn+(n)logn=1log2.Dim. Le prime affermazioni seguono immediatamente dalle denizioni. Per quan-to riguarda lultima, poich e 2k` e il pi u piccolo intero positivo per cui (n) k, siha_2k_log2k=1log2ed inoltre(n)logn klogn _2k_log2k=1log2per tutti gli n _2k, 2k+1_. Per dimostrare la penultima disuguaglianza useremoil Teorema dei Numeri Primi 3.1.3.`E chiaro che il pi u piccolo intero positivo nkper cui (nk) = k ` e n = p1 pk, dove pi indica li-esimo numero primo. Dunqueabbiamo_P(x)_=(x) xlogx,per il Teorema dei Numeri Primi 3.1.3. Ma logP(x) = (x) x, sempre per lostesso risultato, e quindi loglogP(x) logx. Sostituendo nella (3.6) si ha_P(x)_logP(x)loglogP(x).Inoltre la funzione (logn)/loglogn ` e crescente per n grande, e la disuguaglianzavoluta segue, come sopra. Teorema 3.6.3Esistono costanti A, B R tali che per x + si hanx(n) = xloglogx +Ax +o(x),nx(n) = xloglogx +Bx +o(x).Capitolo 3. Distribuzione dei Numeri Primi 81Dim. Per la formula di Mertens per i primi (3.3.4) si hanx(n) = pxnxp[n1 = px_xp_= px_xp +O(1)_= x_loglogx +A+o(1)_+O((x))= xloglogx +Ax +o(x).La seconda relazione si dimostra considerando nx_(n) (n)_. Teorema 3.6.4Per N + si haQ(N)def= nN2(n) =62N+O_N1/2_.Dim. Per quanto visto sopra, abbiamonN2(n) = nNd2[n(d) =dN1/2(d) nNd2[n1=dN1/2(d)_Nd2_= NdN1/2(d)d2+O_N1/2_.Lerrore introdotto completando la somma a tutti i d 1 ` e a sua volta O_N1/2_, ela somma innita risultante vale (2)1. Il risultato segue immediatamente. Si vedano il Teorema 6.2.2 e gli Esercizi. Abbiamo visto nel Teorema 3.6.1 E1che ogni tanto la funzione di Eulero ` e lontana dal suo valore massimo possibile(che` eassuntosuinumeriprimi). Ilprossimorisultatomostrache, inmedia,1/(n) si comporta come un multiplo di 1/n: questo signica che, pur esistendovalori eccezionali di n per cui (n) ` e piccolo, questi valori di n non sono cosnumerosi da inuenzare in modo signicativo la media di 1/.Teorema 3.6.5Per N + si hanN1(n) = (2)(3)(6)logN+O(1).Dim. Si verica immediatamente che N1/ =(2/)N0. Il Metodo dellIperbole2.1.13 con y = x d` anNn(n) = N nN2(n)n(n) +O_nN2(n)(n)_82 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)= Nn12(n)n(n) +O_N n>N2(n)n(n) + nN2(n)(n)_.Peril Teorema3.6.1i termini derroresonoentrambi O_(logN)2_. Il Teore-ma2.3.1mostrachelaserievale p_1 +(p2 p)1_econunbrevecalcolosi trova che questo` e (2)(3)(6)1. Il risultato cercato segue con la formulasommazione parziale (A.1.3). In queste note non parliamo di algoritmi per la fattorizzazione di interi, n edi criteri di primalit` a: per questo rimandiamo a trattazioni specialistiche comeCrandall & Pomerance [20] e Languasco & Zaccagnini [88]. In alcuni di que-sti algoritmi vi sono delle parti in cui` e necessario determinare opportuni intericon speciche caratteristiche moltiplicative,come, ad esempio, lessere prividi fattori primi grandi o piccoli,e ci si chiede, per fare lanalisi della lorocomplessit` a, quanto sia difcile trovare numeri con queste propriet` a. Rivolgiamodunque la nostra attenzione allaspetto teorico di questo problema:come sonodistribuiti gli interi privi di fattori primi grandi.Senza alcuna pretesa di completezza, parliamo brevemente della pi u impor-tante fra le funzioni enumeratrici degli interi suddetti. Poniamo(x, y)def=[n x: p [ n p y[.Lobiettivo` e il conteggio degli interin xche non hanno fattori primi relati-vamente grandi, dove la grandezza dei fattori primi` e misurata dal parametro y.Cominciamo con una semplice osservazione: per ogni >0 si ha(x, y) =nxp[npy1 nxp[npy_xn_n1p[npy_xn_= xpy_1p_1.(3.6.1)`E evidente che questa relazione` e interessante solo per < 1, poich e per 1ilsecondomembro` e x: vogliamodunquescegliere inmodopressoch eottimale per ottenere una buona maggiorazione. Osserviamo che per y limitato ` epossibile stimare direttamente (x, y) con il metodo illustrato nella dimostrazionedel Teorema di Schur 1.7.2, con il risultato che(x, y) _(y)!pylog p_1(logx)(y). (3.6.2)`E possibile dimostrare un risultato simile quando y ` e piccolo rispetto ad x: inparticolare, se 2 y logx, prendiamo = c(logx)1dove c > 0 verr` a sceltapi u avanti. Quindi p= exp_log p_= 1+log p+O_2log2p_e la (3.6.1) d` alog(x, y) c +pylogpp1Capitolo 3. Distribuzione dei Numeri Primi 83= c +(y) pylog_log p_1+O(log p)__= c +(y) (y)logpyloglog p+O((y))= c (y)logc +(y)loglogx pyloglog p+O(y).Si osservi ora che la funzione g(t) := t Alogt ha un minimo per t = A: sceltodunque c =(y) si ottiene(x, y) _e(y)_(y) _pylog p_1(logx)(y)_1+O_y2logxlogy__. (3.6.3)Per la formula di Stirling n! 2n_n/e_ne quindi la stima (3.6.3) non ` e moltopi udeboledellaformulaasintotica(3.6.2).`Eimportantecercarediestenderequesto tipo di stime anche al caso in cui y ` e pi u grande: per esempio, dimostriamola seguente maggiorazione universale.Lemma 3.6.6Fissato arbitrariamente A >0, per x 1 ed y eAsi ha (x, y) =OA_xeAulogy_, dove u = (logx)/logy.Dim. La dimostrazione si ottiene immediatamente prendendo = 1A(logy)1in (3.6.1), usando la stimap1= 1 +O((1)log p) e le formule di Mertens(3.3.2) e (3.3.4). Esercizi.E 1. Dimostrare chedy(d)d2=O_y1_e ched1(d)d2=1(2) =_d11d2_1.Riferimenti. La dimostrazione del Teorema 3.6.1 ` e adattata da Hardy & Wright [57]Teorema 328. Per i Teoremi 3.6.2 e 3.6.3 si veda il 22.10 ed il Teorema 430 di Har-dy & Wright [57]. Per la funzione (x, y) si vedano Hildebrand & Tenenbaum [68] eTenenbaum & Mend` es France [135].3.7 Grandi intervalli fra numeri primi consecutiviUsiamo i risultati del paragrafo precedente per dimostrare che, talvolta, due nume-ri primi consecutivi possono essere pi u distanti della media prevista dal Teore-ma dei Numeri Primi. Non daremo per ovvi motivi il risultato pi u forte oggi noto,ma vedremo un risultato non banale e, tutto sommato, relativamente elementare.Adattiamo, semplicandola, una costruzione di Erd os e Rankin.84 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Teorema 3.7.1Sia pn ln-esimo numero primo; si halimsupnpn+1pnlog pn

(logloglog pn)2loglog pn= +.Dim. Per x 1 poniamo P(x) := exp((x)) e consideriamo altri tre parametri conle limitazioni y li(xj) +x1/2+j, dove >0 ` e una quantit` a ssata. Usando i numeri primi in [1, xj]si potrebbe costruire un intero njcon un valore (nj) pi u grande della norma etale da falsicare, seppur di poco, la (3.8.1). Per i dettagli si veda Lagarias [81].Il Teorema dei Numeri Primi 3.1.3 suggerisce che(x) (x y) Zxxydtlogt, (3.8.2)86 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)almeno quando y non ` e troppo piccolo rispetto ad x. Heath-Brown [61] ha dimo-strato che questo` e vero uniformemente per x7/12(x) y x, dove (x)` e unaqualsiasi funzione positiva ed innitesima.`E altres noto che questa relazionecessa di valere se y = (logx)A, per ogni A > 0 ssato (Maier [98]), ed anche perfunzioni di x che crescono pi u rapidamente: i migliori risultati noti (Hildebrand &Maier [67], Friedlander, Granville, Hildebrand & Maier [37]), sono complicati daenunciare. In ogni caso, per x >0 ed y >1 vale la maggiorazione universale dettadisuguaglianza di BrunTitchmarsh (Montgomery & Vaughan [103])(x +y) (x) 2ylogy.Si confronti con la versione nel Teorema 5.5.2.In vista del Teorema dei Numeri Primi si deve necessariamente averelimsupn+pn+1pnlog pn1.In un certo senso, il valor medio di pn+1pn` e log pn. Cram er [19] (vedi ancheGranville [46]) ha congetturato chelimsupn+pn+1pn(log pn)2= 1,ma al momento attuale il miglior risultato noto ` e quello di Pintz [116]limsupn+pn+1pnlog pn(log3 pn)2log2 pnlog4 pn2e.Questo si ottiene usando una stima pi u forte per la funzione al posto del Lem-ma 3.6.6 nella dimostrazione del Teorema 3.7.1, ed una complicata argomentazio-ne combinatoria. Inoltre Baker, Harman & Pintz [6] hanno dimostrato chepn+1pn =O_p0.525n_.Nellaltra direzione ci si chiede se esistano inniti primi gemelli (cfr i Ca-pitoli 5 e 7), che implicherebbe la relazioneliminfn+pn+1pnlog pn= 0.Recentemente Goldston, Pintz e Yldrm hanno annunciato una dimostrazione diquestultimo risultato e ne hanno pubblicato su web con Y. Motohashi [43] unaversione semplicata. Per alcuni risultati elementari in questa direzione, vedi Lan-guasco & Zaccagnini [90], che contiene anche la dimostrazione di alcuni risultatipi u deboli del Teorema 3.7.1, che mostrano levoluzione delle idee necessarie.Capitolo 4Primi nelle progressioni aritmeticheNel Capitolo 3 abbiamo dimostrato che esistono inniti numeri primi: analizzandole tavole numeriche (si veda ad esempio la Figura 3.1) si notano facilmente alcuneregolarit` a. Per esempio, si nota che circa14 dei numeri primi sono 1 mod 10, elo stesso vale per i primi congrui rispettivamente a 3, 7 o 9 mod 10. In effetti, aparte i numeri primi 2 e 5, gli altri 166 primi della Figura 3.1 sono cos ripartitinelle 4 classi: 40 sono 1 mod 10, 42 sono 3 mod 10, 46 sono 7 mod 10ed inne 38 sono 9 mod 10.`E del tutto evidente che vi pu` o essere al massimoun numero primo in ciascuna delle classi di congruenza 0, 2, 4, 5, 6, 8 mod 10,ma non ` e affatto ovvio che debbano esistere inniti numeri primi in ciascuna dellealtre classi di congruenza, o che debbano essere approssimativamente equiripartitifra le classi stesse.In generale, dato il polinomio di primo gradof (x) = qx+a, se d := (a, q) >1allora tutti i valori del polinomio sono divisibili per de quindi al massimo unodi questi pu` o essere primo. Viceversa, sed = 1, ` e naturale chiedersi se f as-sumavaloreprimoperinniti valori interi dellavariabilex. Abbiamodimo-strato sopra (Teorema 1.7.5) i casi particolari q = 4,a = 1 e q = 4,a = 3 conunargomentazione ad hoc che non pu` o essere estesa in generale.Vedremo che effettivamente il polinomiof (x) = qx +a assume valori primiper inniti valori di x, in una forma piuttosto forte dal punto di vista quantitativo,analoga al Teorema di Eulero 3.2.1, o meglio alla seconda formula di Mertens(3.3.2)(sivedailTeoremadiDirichlet4.4.1); indenitiva, inuncertosensopreciso, i numeri primi sono, almeno in prima approssimazione, equiripartiti frale (q) classi di congruenza ammissibili modulo q.In realt` a, il problema ` e pi u generale, e la domanda che ci si pone ` e la seguente:datof Z[x], non costante, irriducibile su Q e senza divisori primi ssi (cio` e taleche per ogni numero primo p esiste almeno un intero m tale chef (m) ,0 mod p;ad esempio il polinomio irriducibilef (x) = x2+x +2 assume solo valori pari, ed` e primo solo per x = 0) ` e vero chef (x) ` e primo per inniti valori della variabile8788 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)x?Al momento attuale, purtroppo, non ` e noto neppure un polinomio di grado 2o pi u per cui questa congettura sia stata dimostrata, anche se levidenza teorica equella numerica sono decisamente a favore della sua verit` a. Torneremo su questoproblema nel Capitolo 5, dove daremo alcuni risultati parziali.4.1 Caratteri di un gruppo abelianoSvilupperemo la teoria dei caratteri solo per la parte che ci interessa direttamente.Denizione 4.1.1SiaGungruppoabeliano. Diciamoche:G C` euncarattere di G se ` e un omomorsmo.Lemma 4.1.2Sia G un gruppo ciclico nito di ordine n, generato da un suo ele-mento g. G ha esattamente n caratteri, e per ogni carattere di G esiste un interok 0, . . . , n1 tale che (g) = e2ik/n.Dim. Basta osservare che _gn_=(g)n= 1 dato che gn= 1. Lemma 4.1.3Se G = G1G2 ` e un gruppo abeliano, e G1 ha n1 caratteri, G2 han2 caratteri, allora G ha n1n2 caratteri.Corollario 4.1.4Se G ` e un gruppo abeliano nito, allora G ha [G[ caratteri.Nel seguito denoteremo con G linsieme dei caratteri : GC. Osserviamoche G risulta essere un gruppo abeliano se poniamo per denizione12(g)def=1(g)2(g)1(g)def=(g)1Se G ` e nito, allora 1(g) =(g).Lemma 4.1.5Se G ` e un gruppo ciclico di ordine n, allora G G.Dim. Se G ` e generato da g e ` e una radice n-esima primitiva dellunit` a (cio` e se C soddisfa n= 1, ed inoltre d,= 1 per ogni d 1, . . . , n1), basta porrej(g) =j. Corollario 4.1.6Se G ` e un gruppo abeliano nito allora G G.Dim. G ` e prodotto diretto di sottogruppi ciclici. Capitolo 4. Primi nelle progressioni aritmetiche 89Denizione 4.1.7Il carattere 0: G C tale che 0(g) = 1 per ogni g G sidice carattere principale.Teorema 4.1.8 (Relazioni di ortogonalit` a) Se G ` e un gruppo abeliano nito diordine n e 0 ` e il carattere principale, si hagG(g) =_n se =0,0 se ,=0;G(g) =_n se g = 1,0 se g ,= 1.Dim. Sia S :=gG(g). Se ,=0, esiste g1 G tale che (g1) ,= 1. Quindi(g1)S =(g1)gG(g) = gG(gg1) = hG(h) = S,e la tesi segue. Sia S := G(g). Se g ,= 1, esiste 1 G tale che 1(g) ,= 1.Quindi1(g)S =1(g)G(g) = G1(g) = G(g) = S,ed anche la seconda relazione segue immediatamente. 4.2 Caratteri e funzioni L di DirichletDenizione 4.2.1Dato q N, e dato Zq, chiamiamo carattere di Dirichletmodulo q la funzionef : Z C denita daf (n)def=_0 se (n, q) >1,(n) se (n, q) = 1.Con questa denizione, i caratteri di Dirichlet risultano essere funzioni com-pletamentemoltiplicative. Conabusodi linguaggio, useremolaletteraperindicare sia il carattere del gruppo Zq, sia la sua estensione a Z. E1-2Denizione 4.2.2Si dice carattere principale modulo q il carattere di Dirichlet0 denito da0(n)def=_1 se (n, q) = 1,0 se (n, q) >1.90 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)011 1 12 1 101231 1 1 1 12 1 i 1 i3 1 i 1 i4 1 1 1 101231 1 1 1 13 1 11 15 1 1 1 17 1 1 11Tabella 4.1: I caratteri di Dirichlet modulo 3, 5, 8.Osservazione 4.2.3Le relazioni di ortogonalit` a 4.1.8 permettono di scegliere laprogressione aritmetica n a mod q, purch e (a, q) = 1: infatti, per ogni succes-sione (n) si hanxna mod qn =1(q) nxn mod q(a)(n) =1(q) mod q(a)nx(n)n,dove la prima somma interna ` e su tutti i caratteri modulo q, poich e ciascun adden-do della somma interna vale (na1) e la somma vale dunque (q) se n a mod qe 0 altrimenti.Per q =2 c` e solo il carattere principale 0, mentre per q =3, oltre al carattereprincipale 0 mod 3, c` e anche un altro carattere 1 mod 3, detto carattere qua-dratico, poich e 21 = 0. La Tabella 4.1 d` a i caratteri per q = 3, q = 5 e q = 8.Ricordiamo che i gruppi Zq per q = 3, q = 4 e q = 6 sono isomor a Z2, e quindihanno gruppi dei caratteri isomor, mentre Z5Z10Z4 e Z8Z12Z2Z2.Nelle Tabelle 4.14.4 daremo soltanto i valori dei caratteri sugli elementi diZn; pertantoicaratteridevonoesserepensaticomeestesia Zperperiodicit` a,ponendoli uguali a zero sulle classi di resto non indicate.In generale, sep ,= 2 ed x ` e un generatore di Zp, ssato k 0, . . . , p 2,sihauncarattere kponendo k_xr_ := e2irk/(p1), doveevidentemente 0` eilcarattereprincipale. Siosserviinoltrecheicaratteri 1 mod 3, 2 mod 5e3 mod 7 sono precisamente_ [ p_per p = 3, 5 e 7. Per ogni primo p, il simbolodi Legendre ` e un carattere che assume solo valori reali.Lemma 4.2.4Sia mod q un carattere non principale, () > 0,32 x y.Sihax 1 e non nel semi-piano pi u grande > 0 dove converge la serie che denisce L se ,= 0, poich ein 0 0ssato(perilLemma4.2.4)edanchelaserieperL(s, )convergetotalmentenellostessoinsieme, ed ` e per questo motivo che si pu` o derivare termine a termine. Ad ognimodo, la serie risulta convergente per >0 se ,=0 per lo stesso Lemma.Esercizi.E 1. Dato q N, si chiami A la matrice quadrata di ordine (q) dei caratterimodulo q. In altre parole, se 1 = a1< a2 1 (cio` e` e periodica di periodo q, e non ` e periodica per nessun intero pi u piccolo),allora X(n) = 0 se (n, q) > 1. Suggerimento: sep [ q e X(p) ,= 0,si haX(p)X(n +q/p) = X(pn +q) = X(pn) = X(p)X(n) ed X ha periodo q/p.Quindi, se (n, q) >1 allora X(n) = 0.Riferimenti. Davenport [22] Capp. 1, 46, Apostol [5] Cap. 6.94 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)4.3 Preliminari per il Teorema di DirichletIn questo paragrafo vogliamo dimostrare che esistono inniti primi in ogni pro-gressione aritmetica a +nq con (a, q) = 1. I Lemmi 4.3.1 e 4.3.4 implicano cheL(1, ) ,= 0 se mod q` e un carattere non principale. La pi u importante conse-guenza di questo fatto ` e che unopportuna somma contenente (si veda lenun-ciatodelLemma4.3.3) ` elimitata, edaquestoseguequasiimmediatamenteilTeorema di Dirichlet 4.4.1. Per una motivazione differente, si legga il 6.9.1.Lemma 4.3.1Se ` e un carattere reale non principalemod q, allora L(1, ) ,= 0.Dim. ConsideriamolafunzionearitmeticaF:= N0. PerilTeorema2.1.4,anche F` e una funzione moltiplicativa e si vede molto facilmente cheF_pk_=___k +1 se (p) = 1,1 se (p) =1 e k ` e pari,0 se (p) =1 e k ` e dispari,1 se p [ q (cio` e se (p) = 0).Dunque, in ogni casoF(n) _1 se n = m2,0 altrimenti.Perci ` oG(x)def= nxF(n)n1/2 m2xF_m2_mmx1/21m +quando x +. Ma abbiamo ancheG(x) = nx1n1/2d[n(d) = hkx(h)_hk_1/2=hx1/2(h)h1/2kx/hk1/2+k 0, esisteunacostante C = C(A) > 0talecheperx + ed uniformemente per q (logx)Ae per (a, q) = 1 si ha(x; q, a)def=pxpa mod q1 =1(q) li(x) +OA_xexp_C_logx__.Riferimenti. Teorema di Dirichlet 4.4.1: Hua [69], Teorema 8.2 oppure Apostol [5]Cap. 7. Dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi nelle Progressioni 4.4.2: Daven-port [22] Capp. 822. Dimostrazione elementare del Teorema dei Numeri Primi nelleProgressioni Aritmetiche 4.4.2:per le relazioni fra la formula di Selberg generalizzata ela distribuzione dei numeri primi nelle progressioni, si veda Granville [45].4.5 La disuguaglianza di P olyaVinogradovDenizione 4.5.1Sia un carattere modulo q, sia q1 un multiplo di q e sia 0 ilcarattere principale modulo q1. Il carattere modulo q1 denito da := 0si dice indotto da . Un carattere modulo q che non ` e indotto da altri caratterimodulo qualche divisore proprio di q si dice carattere primitivo.Con queste denizioni, i caratteri modulo q si suddividono in tre categorie: ilcarattere principale, i caratteri primitivi e quelli indotti da altri caratteri.`E inte-ressante notare che tutti i caratteri diversi dal carattere principale modulo numeriprimi sono primitivi. Con riferimento alle Tabelle 4.14.4, si pu` o notare che ilcarattere 2 mod 8 ` e indotto da 1 mod 4, e che 6 mod 15 ` e indotto da 1 mod 3mentre 2,5e 7 mod 15 sono indotti rispettivamente da 2,1e 3 mod 5.Inne 1 mod 24 ` e indotto da 1 mod 3, 2 mod 24 ` e indotto da 1 mod 4, 5 e7sono indotti rispettivamente da 1e 3 mod 8 e 4` e indotto da un caratteremod 12. Si noti che se mod q induce mod q1 allora la funzione L(s, ) diffe-risce dalla funzione L(s, ) solo per un prodotto nito (eventualmente vuoto) suifattori primi di q1/q, come si vede dallOsservazione 4.2.7. Vediamo subito unrisultato che vale solo per i caratteri primitivi.Lemma 4.5.2Sia () la somma di Gauss()def=h mod q(h)eq(h).Se ` e un carattere primitivo si ha [()[ = q1/2.Capitolo 4. Primi nelle progressioni aritmetiche 99Dim. Scegliamontaleche(n, q) = 1, moltiplichiamolasommadiGaussper(n) e ricordiamo la propriet` a delle somme sui residui modulo q gi` a usata nelladimostrazione della Legge di Reciprocit` a Quadratica 1.6.4:(n)() =h mod q_hn1_eq(h) =h1 mod q(h1)eq(nh1). (4.5.1)Si pu` odimostrare, manoi nonlofaremo, chequestarelazionevaleanchese E1(n, q) >1, perch e ` e primitivo. Quindi[(n)[2[()[2=h1, h2 mod q(h1)(h2)eq_n(h1h2)_.Sommiamo questultima relazione su tutti gli n modulo q, ed usiamo il fatto checonosciamo la somma dei primi termini di una progressione geometrica:(q)[()[2=h1, h2 mod q(h1)(h2)n mod qeq_n(h1h2)_=h1, h2 mod q(h1)(h2)_q se h1h2 mod q,0 altrimenti,= q(q).Il Lemma segue immediatamente. Se mod q ` e un qualsiasi carattere non principale, la sommanx(n)` e limitata, poich e ` e una funzione periodica e la somma su q interi consecutivivale 0 (cfr le relazioni di ortogonalit` a 4.1.8). Talvolta ` e utile avere informazionipi u precise, e queste ci sono fornite dal seguenteTeorema 4.5.3 (Disuguaglianza di P olyaVinogradov) Sia un carattere nonprincipale modulo q. Si hanx(n) q1/2logq.Dim. Ci limitiamo al caso di primitivo. Per la (4.5.1) si hanx(n) = nx1__h mod q(h)eq(nh) =1__h mod q(h)nxeq(nh)=1__h mod q(h,q)=1(h)eq(h) eq_h([x] +1)_1eq(h).100 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Osserviamo che a causa della presenza del fattore (h) possiamo aggiungere allasomma su h mod q la condizione (h, q) = 1, la quale implica che non c` e lad-dendo corrispondente ad h = q che farebbe annullare il denominatore. PassandoalmoduloedutilizzandoilLemmaprecedenteedilfattocheseu Rallora[1e(u)[ = 2[ sin(u)[ otteniamonx(n) q1/2q1h=11[ sin(h/q_[.Usando il Lemma A.4.5 conf (t) :=_[ sin(t)[_1e := q1otteniamoq1h=11[ sin_h/q_[ qZ11/(2q)1/(2q)dt[ sint[ = 2qZ1/21/(2q)dt[ sint[.Ma sullintervallo di integrazione si ha sin(t) 2t e dunquenx(n) q1/2Z1/21/(2q)dttq1/2logq,che ` e la tesi. `E possibile estendere questa dimostrazione al caso in cui non` e primitivo:per fare questo, si deve trovare una relazione che lega il valore di () a quello delcarattere che lo induce. Si veda il Capitolo 23 del libro di Davenport [22].Esercizi.E 1. Dimostrare che se ` e un carattere modulo q ed n ` e un intero tale che (n) =0 allora h mod q(h)eq(nh) = 0.Riferimenti. Disuguaglianza di P olyaVinogradov 4.5.3: Davenport [22], Capitolo 23;Apostol [5] Teorema 8.21. Per il valore della costante e per altri problemi legati si vedaHildebrand [66], [65].4.6 Il Teorema di GaussJacobiTorniamo brevemente sul problema di rappresentare n N come somma di duequadrati.Teorema 4.6.1 (Gauss, Jacobi) Detto il carattere non principale modulo 4, pern 1 si ha r2 = 4N0, o, in altre parole,r2(n) = 4d[n(d).Capitolo 4. Primi nelle progressioni aritmetiche 101Dim. La dimostrazione dipende in modo essenziale dal fatto che Z[i] ` e un anelloa fattorizzazione unica. Per prima cosa dimostriamo che se n N ` e dispari allorar2(n) = r2_2n_ per ogni N. Infatti, r2(m) = r2(4m) qualunque sia m N,dato che se 4n = a2+b2allora a b 0 mod 2. Inoltre, se n = a2+b2` e di-spari allora 2n = (a +b)2+(a b)2e viceversa, con corrispondenza biunivocafra le rappresentazioni.Inne, osserviamo che i due membri delluguaglianza dadimostrare non cambiano se al posto di n poniamo 2n, dal momento che (2) =0.Un discorso analogo vale se al posto di n si scrive qn per ogni N, doveq ` e un primo 3 mod 4. In questultimo caso i due membri valgono entrambi 0se ` e dispari, ed r2(n) se ` e pari, per il Lemma 1.4.9, dato che (q) =1.Quindi ` e sufciente dimostrare che luguaglianza desiderata vale quando n ` eprodotto di potenze di primi distinti, tutti 1 mod 4, diciamo n := kj=1 pjj. Siosservi che in questo caso occorre dimostrare che r2(n) =4d(n), poich e (pj) =1per ciascuno dei fattori primi di n. Per j = 1, . . . , k, per lOsservazione 1.4.6,esistono aj, bj N tali che pj = a2j +b2j; ricordiamo anche che in Z[i] i numeriajibjsono tutti primi poich e N(aj +ibj) = pj` e un numero primo in Z. Sen =A2+B2, in Z[i] vale la fattorizzazione n =(A+iB)(AiB). Quindi, ssato undivisore d :=kj=1 pjjdi n, per r 0, 1, 2, 3 deniamo A=A(d, r) e B=B(d, r)per mezzo delle relazioniA+iBdef=C(d, r)def= irkj=1(aj+ibj)j (ajibj)jjAiBdef= D(d, r)def= irkj=1(ajibj)j (aj+ibj)jjEvidentemente ci sono esattamente 4 scelte per r e d(n) scelte per d: resta quindida dimostrare che scelte diverse di (r, d) danno origine a valori diversi per A e B.Sfruttando il fatto che Z[i] ` e un anello a fattorizzazione unica e che le unit` a sonodella forma itcon t 0, 1, 2, 3, si vede subito che C(d, r) = itC(d/, r/) implicache d = d/ e t = 0. Questo conclude la dimostrazione. Combinando questo risultato con il Teorema di Gauss 2.2.2, ed utilizzando ilmetodo delliperbole di Dirichlet 2.1.13 con y = x1/2ed il Lemma 4.2.4, si trovanxr2(n) = 4xL(1, ) +O_x1/2_,da cui L(1, ) =14, risultato daltra parte ovvio poich eL(1, ) = n1(1)n2n+1.Riferimenti. La dimostrazione del Teorema di Gauss-Jacobi 4.6.1 ` e adattata da Hardy& Wright [57] Teorema 278.102 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)4.7 Problemi apertiLe domande pi u interessanti sono le analoghe di quelle esposte sopra a propositodei numeri primi. Per esempio,si congettura che per q ssato ed (a, q) = 1 siabbia(x; q, a)def=nxna mod q(n) =x(q) +O_x1/2log2x_,(Congettura di Riemann Generalizzata). Inoltre, ci si chiede quale sia la vera uni-formit` a che si pu` o avere nel Teorema dei Numeri Primi nelle Progressioni 4.4.2.La situazione` e complicata dal fatto che non si` e riusciti ancora ad escludere lapossibilit` a che una funzione L associata ad un carattere reale abbia uno zero realesul segmento [0, 1].Linnik [96] ha dimostrato che, detto P(q, a) il pi u piccolo numero primo a mod q, esiste una costante assoluta L 1 tale che P(q, a) qLper ogni (a, q) =1. Heath-Brown [62] e Pomerance [118] hanno dimostrato rispettivamente cheL 5.5 e chelimsupq+_max(a,q)=1P(q, a)__qlogqlog2qlog4q(log3q)2_1>0e se vale la Congettura Generalizzata di Riemann alloramax(a,q)=1P(q, a) =O_q2+_.Riferimenti. Davenport [22] Capp. 922.Capitolo 5Metodi di CrivelloQuesto Capitolo ` e dedicato ai moderni metodi di crivello: il primo e pi u noto cri-vello ` e senza dubbio quello di Eratostene (II sec. a. C.); si tratta di una procedurache permette di determinare tutti i numeri primi in un certo intervallo [1, N], comeillustrato nella Figura 5.1. Questa procedura ispir` o Legendre,che scopr comeottenere una formula per determinare iterativamente (N) a partire dalla cono-scenza esplicita di tutti i numeri primi nellintervallo _1, N1/2: descriveremo laformula di Legendre nel 5.1, e vedremo che, a parte per lindubbio interesse sto-rico, questa formula non si presta al calcolo numerico quando N ` e grande, a causadel numero troppo grande di termini che contiene. In effetti, il calcolo di (N)viene effettuato mediante varianti di questa formula, come brevemente descrittonellAppendice B.Per tutto il XIX secolo non vi sono state ulteriori ricerche sui crivelli, ma al-linizio del XX secolo Brun scopr come rendere il procedimento di Legendre pi ugenerale e pi u essibile.Pi u generale perch e non ` e affatto necessario, per il con-teggio, dover eliminare gli interi nella classe 0 mod p, ma qualunque classe dicongruenza` e ugualmente ammissibile. Pi u essibile perch e mostr` o che, riordi-nando opportunamente i termini presenti nella sua forma generale della formuladi Legendre e trascurando alcuni addendi, si ottengono minorazioni e maggiora-zioni per la quantit` a cercata, sempre pi u precise e che coinvolgono un numero ditermini decisamente inferiore a quelli necessari nella formula di Legendre. Diamouna descrizione delle idee principali alla base del crivello di Brun nel 5.2.Si tratta della prima istanza del crivello piccolo, in cui si prende un insiemenito A di interi, un insieme nito di numeri primi P e per ciascuno di questi unnumero (p) di classi di resto modulop,in modo che (p) < c dove c` e unacostante assoluta. Lobiettivo ` e determinare (o eventualmente stimare dallalto edal basso) il numero di elementi di A che non giacciono in nessuna delle classi diresto scelte modulo i primi in P.I risultati concreti che otterremo nel 5.3 come applicazione della teoria gene-103104 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)rale riguardano i valori primi assunti dai polinomi, maggiorazioni per il numerodi numeri primi in un intervallo, per il numero di coppie di primi gemelli in unintervallo, per il numero degli interi n per cui r2(n) >0.Nel 5.4 vedremo anche le basi della teoria del crivello grande, per il qualevieneamancarelarichiestadiunamaggiorazioneuniformeper (p). Comeapplicazione, nel 5.5 vedremo una fondamentale disuguaglianza per il numerodi primi in un intervallo (Teorema di BrunTitchmarsh 5.5.2), una maggiorazionepi u precisa per il numero degli interi n per cui r2(n) >0 e per il numero di primigemelli.Il crivello piccolo (almeno nella sua forma elementare descritta qui) ` e sostan-zialmente combinatorio, mentre il crivello grande ha una base analitica e per moltiversi ` e pi u potente del crivello piccolo. Per discussioni complete sui crivelli si ve-dano le monograe di Greaves [48], Halberstam & Richert [50], Halberstam &Roth [51], Harman [59].5.1 Il principio di inclusioneesclusione e la formuladi LegendreDenizione 5.1.1Dati A N, B N, x 1, d ed M N poniamoS(A; x; M)def=a A [1, x] : (a, M) = 1B(x)def=B [1, x]Addef=a A: d [ a P(x)def= pxp = exp(x).In sostanza, vogliamo contare il numero di elementi di A che sono primi conM, cio` e quanti elementi di A sopravvivono ad un crivello fatto con i fattori primidi M. Il prossimo Teorema ci permette di trasformare S(A; x; M) in una sommasu tutti i divisori di M: dato che le formule dipendono solo dai fattori primi di Me non dalla loro molteplicit` a, nel seguito potremo supporre sempre che (M) ,= 0.Teorema 5.1.2 (Principio di InclusioneEsclusione) Dato un insieme di numerinaturali A N, un numero reale x 1 ed un numero naturale M N si haS(A; x; M) = d[M(d)Ad(x).Dim. Per il Teorema 2.1.9S(A; x; M) =aA(x)(a,M)=11 =aA(x)d[(a,M)(d)Capitolo 5. Metodi di Crivello 105= d[M(d)aA(x)d[a1 = d[M(d)Ad(x).Si osservi che il risultato dipende solo dai fattori primi distinti di M.E1Per esempio, prendendo A = [1, M] =N(M) ed x = M si haS(A; M; M) =(M) = d[M(d)Md= (N1)(M),che ` e una parte del Teorema 2.2.8.Utilizzando le idee di Eratostene, Legendre scopr una formula che permettedi calcolare (x) iterativamente: E2(x) _x1/2_+1 =d[P_x1/2_(d)_xd_. (5.1.1)La dimostrazione ` e molto semplice: ci sono esattamente [x] interi x (il termined = 1).Ogni primo p x1/2divide _x/p di questi interi; ma ora abbiamo inde-bitamente sottratto due volte tutti i numeri che sono divisibili per 2 o pi u primidistinti, e cos via. Per esempiod[210(d)_100d_=_1001___1002_+_1003_+_1005_+_1007__+__1006_+_10010_+_10014_+_10015_+_10021_+_10035____10030_+_10042_+_10070_+_100105__+_100210_= 100(50+33+20+14) +(16+10+7+6+4+2)(3+2+1+0) +0= 100117+456 = 22, (5.1.2)ed infatti (100) (10) +1 = 25 4 +1 = 22. Una dimostrazione altrettantosemplice si pu` o dare utilizzando il Principio di InclusioneEsclusione 5.1.2 conA =N, M =P_x1/2_, poich e la condizione (M, a) =1 con a N(x) vuol dire chea =1 oppure a ` e un numero primo p _x1/2, x. Il difetto principale della formuladi Legendre ` e che contiene troppi termini per essere utilizzabile come strumentopratico per il calcolo. Per esempio, consideriamo un parametro reale z _2, x1/2.`E evidente che a N(x): _a, P(z)_= 1 p (z, x]. Applicando la formuladi Legendre otteniamo(x) (z) S_N; x; P(z)_=d[P(z)(d)_xd_106 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99100 101 102 103 104 105 106 107 108109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144Figura 5.1: Il crivello di Eratostene.=d[P(z)(d)xd +O_ d[P(z)dx1_= xpz_11p_+O_2(z)_= exlogz_1+o(1)_+O_22z/logz_.per il Teorema di Mertens 3.3.6 ed il Lemma 2.1.5. Se non vogliamo dimostrarebanalit` a tipo (x) = O(x) (o peggio), siamo costretti a prendere z molto piccolo:inaltreparole, nonsiriesceasceglierez = x1/2comevorremmo. Prendendoz = logx si ottiene(x) =O_xloglogx_.In generale, senza adeguate informazioni sul resto non ` e possibile ottenere infor-mazioni molto precise: questo vale anche per i risultati dei prossimi paragra,che sono pi u deboli di quelli che si possono dimostrare con i moderni metodi dicrivello.Esercizi.E 1. Dimostrare il Principio di Inclusione-Esclusione 5.1.2 utilizzando la formu-la \iIBi = JIJ,=(1)1+[J[[jJBjCapitolo 5. Metodi di Crivello 107valida qualunque sia linsieme nito I e qualunque siano gli insiemi nitiBi,i I. Suggerimento: Porre I := p: p [ M,Bd := N[1, x] Adedutilizzare il Teorema 2.1.9.E 2. Dimostrare la formula di Legendre (5.1.1) utilizzando lEsercizio 2.1.5 edosservando che(x) =_x1/2_+x1/2 0, mentre lintero positivo Mtale che(M) ,= 0elinteropositivodisparimsarannosceltiinmodoopportunonelleapplicazioni.Lemma 5.2.3Poniamo (d) := [n mod d : f (n) 0 mod d[. La funzione ` e E1-2moltiplicativa ed inoltre (p) min(p, g) per ogni numero primo p.Dim. La prima parte segue dal Teorema Cinese del Resto 1.2.4; inoltre in un cam-po come Zp ogni equazione polinomiale ha un numero di radici che non supera ilgrado. Lemma 5.2.4Per ogni x 1 si ha[n N(x): f (n) 0 mod d[ =(d)_xd +O(1)_.Capitolo 5. Metodi di Crivello 109Dim. Poich e f (n) f (m) mod d se n m mod d, lequazione f (n) 0 mod d haesattamente (d) soluzioni in ogni intervallo di d interi consecutivi. Suddividiamo[1, x] in_x/dintervalli del tipo [(k1)d +1, kd], pi u eventualmente un intervallodi lunghezza d. In totale (d)_x/d+O((d)) =(d)_x/d +O(1)_soluzioni,come si voleva. Lemma 5.2.5Sia M un intero positivo tale che (M) ,= 0. Allorad[M(d) 0, m un intero positivo dispari ed M un intero positivo tale che (M) ,= 0.Sia inoltre A := f (N) N. Per x + si haS_A; f (x); M_xp[M_1(p)p_+O_x(M)r=m_eg(M)r_r_+O__g(M)_m1_.Se m ` e pari la disuguaglianza vale con il segno al posto di .Capitolo 5. Metodi di Crivello 111Dim. Si osservi cheperxsufcientementegrandelacondizione f (n) f (x)` eequivalenteadn x. PerilLemma5.2.4abbiamo Ad[1, f (x)] = n x: f (n) 0 mod d = (d)xd1+O((d)). Quindi, perilTeoremadiBrun5.2.2 ed il Lemma 2.1.5, si haS_A; f (x); M_xd[M(d)zxpz_1(p)p_+Og_x(logz)2g_.Dim. Basta prendere Plinsieme di tutti i numeri primi e =1 nel Teorema 5.2.9.

Si osservi cheil signicativomiglioramentosulleconseguenzedirettedelPrincipio di InclusioneEsclusione 5.1.2 (si vedano i risultati nel prossimo pa-ragrafo) dipende essenzialmente dal fatto che prendiamo m relativamente piccolorispetto ad (M).Esercizi.E 1. Dimostrare che la funzione denita nel Lemma 5.2.3 ` e moltiplicativa.E 2. Datof Z[x]poniamo f(n) := [m N[1, n] : _n, f (m)_ = 1[. Di-mostrarechef Mechesef(p) := [n mod p: f (n) 0 mod p[,alloraf(n) = np[n_1f(p)p_.E 3. Dimostrare che se ni0 per i = 1, . . . , k, allora il numero N := (n1+ +nk)!/(n1! n2!nk!) ` e un intero.E 4. Dimostrare che sef ` e sviluppabile in serie di Taylor in un intorno del puntox = (x1, . . . , xn) Rn, allora nella notazione del Lemma 5.2.6 si haf_x +_= r01r!A(r)c()[[fx11 xnn(x).Riferimenti. Questo paragrafo ` e ispirato a Landau [85], Parte II, Cap. II. Per la molti-plicativit` a di , Hardy & Wright [57] Teorema 122. Altri tipi di crivello sono descritti inHalberstam & Richert [50], Halberstam & Roth [51], 4.19, James [75], [76].5.3 Applicazioni del crivello di Brun5.3.1 Primi e polinomiIl Corollario 5.2.10 implica un risultato negativo che esprime in forma quantitativaci ` o che abbiamo visto qualitativamente nel Teorema 1.7.1. Si noti che ` e possibileCapitolo 5. Metodi di Crivello 113ottenere informazioni pi u esplicite a patto di conoscere il comportamento in mediadella funzione . In particolare ` e nota lanaloga della seconda formula di Mertens(3.3.2):px(p)log pp=logx +Of(1), (5.3.1)dove ` e il numero di componenti irriducibili di f su Z. Mediante trasformazionianaloghe a quelle gi` a viste, lenunciato pu` o esser messo nella forma:[n x: p [ f (n) p >z[ xlogzp_1(p) 1p1__11p_1dove la costante implicita non dipende daf ed il prodotto innito ` e convergente.Si noti inne che sef ` e riducibile su Z pu` o assumere solo un numero nito divalori primi: se f = f1 f, con fjZ[x], allora f (n) = p implica che [ fj(n)[ =1per tutti ij, tranne uno.5.3.2 Maggiorazione del numero di primi in un intervalloScegliamof (n) = n, per cui (d) = 1 per ogni d N e(x) z +n x: p [ n p >zxpz_11p_+O_x(logz)2_ xloglogxlogxper il Teorema di Mertens 3.3.6. Anche se questo risultato` e inferiore a quelloottenuto in modo elementare nel Teorema 3.2.3, ` e pur sempre nettamente superio-re al risultato ottenuto direttamente dal Principio di InclusioneEsclusione, poi-ch e possiamo prendere z molto grande, quasi quanto una potenza di x ed inoltreprendiamo m cloglogz invece di m = (M) z(logz)1. Inne, a differen-za di quanto accade nella nostra applicazione della formula di Legendre, qui nonstimiamo i resti con O(1), ma con O_(d)d1_, che` e molto pi u piccolo per dgrande.5.3.3 Polinomi di primo gradoConsideriamo il generico polinomiof Z[x] irriducibile di grado 1, cio` ef (x) =qx +a con (a, q) = 1, e supponiamo che q 1 e che 1 a q. Si ha(p) =_1 se pq,0 se p [ q.114 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Se x ` e sufcientemente grande rispetto a q, dal Corollario 5.2.10 ricaviamo[n x: qn+a ` e primo[ xpzpq_11p_+O_x(logz)2_q(q)xloglogxlogx.Non deve stupire la presenza del fattore q a numeratore, in apparente contrastocon il Teorema dei Numeri Primi nelle Progressioni 4.4.2. Infatti[n x: qn+a ` e primo[ =[qn+a qx +a: qn+a ` e primo[=[m qx +a: m a mod q ed m ` e primo[.5.3.4 Polinomi di secondo gradoPossiamo utilizzare i risultati precedenti nel caso di polinomi di secondo grado,poich e siamo in grado di determinare esattamente (p) per ogni p primo e quindidi dimostrare direttamente che vale la (5.3.1).Nel caso generale di polinomi di secondo gradof (n) = an2+bn+c, bisognadistinguere fra i fattori primi del discriminante di f , che ` e a(4ac b2), e tutti glialtri numeri primi. Illustriamo questo caso per mezzo di due esempi. Prendiamof (n) = n23. In questo caso il discriminante di f ` e 12 e quindi perp ,= 2, 3si ha (p) = 1 +_3 [ p_. Per la legge di reciprocit` a quadratica 1.6.4 e per p > 3si ha _3 [ p_=_p [ 3_(1)(p1)/2, ed ` e anche immediato vericare che questo ` eun carattere di Dirichlet modulo 12, che indichiamo con 1 (1(1) =1(11) = 1,1(5) =1(7) =1). Quindi (p) = 1+1(p) (per ogni p) e la (5.3.1) segue inquesto caso dai Teoremi 3.3.2 e 4.3.3.Consideriamo poi il polinomio (riducibile)f (n) = n(n+h) (dove h N): se2h si vede direttamente che [n x: p [ n(n+h) p >2[ =Oh(1). Se invece2 [ h il Corollario 5.2.10 ci d` a immediatamente[n x: p [ n(n+h) p >z[ xpz_1(p)p_+O_x(logx)4_. (5.3.2)In questo caso il discriminante ` e h2ed abbiamo(p) =_2 se ph,1 se p [ h.Per h pari, h ,= 0, poniamoS(h)def= 2C0 p[hp>2p1p2dove C0def= p>2_11(p1)2_. (5.3.3)Capitolo 5. Metodi di Crivello 115Se z ` e sufcientemente grande, si hapz_1(p)p_=p[h_11p_pzph_12p_= 12p[hp>2__11p__12p_1_3pz_12p_= 12p[hp>2_p1p2_3pzp(p2)(p1)23pz_11p_2=S(h)_1+O_z1__pz_11p_2.In denitiva, prendendo z come nel Corollario 5.2.10, qualunque sia h N, si ha[n x: p [ n(n+h) p >z[ C/S(h)x(loglogx)2(logx)2, (5.3.4)dove C/ ` e una costante che non dipende da h. Questo risultato d` a qualche informa-zione sul numero dei cosiddetti primi gemelli (quelli come 11 e 13, la cui diffe-renza ` e 2). Posto h(x) :=[n x: n ed n+h sono primi, si ha S(6) = 2S(2) e2(100) = 8, mentre 6(100) = 16. Questo dipende, essenzialmente, dal fatto chese 3n allora 3n+6, mentre se 3n non possiamo concludere che 3n+2. Uti-lizzando la formula di sommazione parziale (A.1.3) ` e facile vedere che la (5.3.4)implica il famoso Teorema di Brun (che in ultima analisi ha introdotto il crivelloproprio per questo motivo) per il quale la somma dei reciproci dei primi gemelliconverge, a differenza della somma dei reciproci di tutti i numeri primi. E15.3.5 Rappresentazioni come somma di quadratiIlTeorema5.2.9implicaunaformadeboledelTeoremadiLandau2.2.3: pi uprecisamente, utilizzando il Teorema 5.5.3, non ` e difcile dimostrare che[n x: r2(n) >0[ x_loglogxlogx_1/2.Infatti, per il Teorema 1.4.10, se r/2(n) >0 allora n non ha fattori primi 3 mod 4e 4n,e si pu` o utilizzare il Teorema 5.2.9 conP := 2 p: p 3 mod 4poich e la stima richiesta dal Teorema vale con =12 per sommazione parziale dalTeorema 4.4.1. Pi u avanti otterremo una stima dellordine di grandezza corretto.Esercizi.116 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)E 1. (Brun) Dimostrare che p1, dove la somma ` e estesa a tutti i numeri primip tali che p+h ` e primo ed h N ` e ssato, ` e convergente.Riferimenti. Il Teorema 2.6 in Halberstam & Richert [50], citato anche nel 5.6, d` a ri-sultati uniformi e del corretto ordine di grandezza. Per la (5.3.1) in generale si veda Nagel[107]. Il prodotto innito converge per il Teorema degli Ideali Primi. Per la denizionegenerale di discriminante di un polinomio, Childs [15] Parte III, Cap. 15. Per la possibilit` adi esprimere il simbolo di Legendre tramite opportuni caratteri, Davenport [22] Cap. 5.5.4 Il crivello grandeVogliamo illustrare brevemente un approccio radicalmente diverso ai crivelli: nel-lesempioprecedentedelcrivellocombinatorio, sieliminalaclassediresto0modulotuttiifattoriprimidiuncertoparametroM. Oravogliamoeliminarepi u classi di resto simultaneamente. Per fare questo, sviluppiamo la teoria deipolinomi trigonometrici.Denizione 5.4.1Dati due interi M Z, N N chiamiamo polinomio trigono-metrico di coefcienti aM+1,. . . ,aM+N C la funzione della variabile reale xdenita daS(x)def=M+Nn=M+1ane(nx) =M+Nn=M+1ane2inx.Denizione 5.4.2Dato un numero reale x poniamo|x|def= minnZ[x n[ = min_x, 1x_.Dati R numeri reali x1, . . . xR, diciamo che essi sono -ben spaziati semini,=j|xixj| >0.Teorema 5.4.3Se i numeri reali x1, . . . xR sono -ben spaziati, alloraRj=1[S(xj)[2_N+21_M+Nn=M+1[an[2.Per la dimostrazione useremo la seguente generalizzazione della disuguaglian-za di Bessel, che si ottiene come caso particolare quando gli i formano un insiemeortonormale.Capitolo 5. Metodi di Crivello 117Lemma 5.4.4 (Selberg) Sia Xuno spazio vettoriale su C con prodotto scalare(, ), siano 1, 2, . . . , R, X 0 e sia ||X:= (, )1/2. Postobjdef=Rk=1[(k, j)[, si haRj=1[(, j)[2bj||2X.Dim. Qualunque siano i numeri complessi a1, . . . , aR si ha0 ___Rj=1ajj___2X=||2X2_Rj=1aj(, j)_+Ri=1Rj=1aiaj(i, j)||2X2_Rj=1aj(, j)_+ 12Ri=1Rj=1([ai[2+[aj[2)[(i, j)[=||2X2_Rj=1aj(, j)_+Ri=1Rj=1[aj[2[(i, j)[,dove abbiamo utilizzato la disuguaglianza [uv[ 12_[u[2+[v[2_valida per ogni u,v C. La scelta aj := (, j)b1jd` a il risultato voluto. Dim. del Teorema 5.4.3. Sia X :=2(Z), lo spazio (di Hilbert) delle successioniin Z di quadrato sommabile, munito del prodotto scalare(, )def= nZnn, dove def= (n)nZ, def= (n)nZ.Il nostro primo obiettivo ` e la disuguaglianzaRj=1[S(xj)[2_2N+1+21_Nn=N[an[2, (5.4.1)doveS(x)def=Nn=Nane(nx).Nel Lemma di Selberg 5.4.4 prendiamo := (n)nZ, j := (( j)n)nZ, dovendef=_anse [n[ N,0 altrimenti;118 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)e( j)ndef=___e_nxj_se [n[ N,e_nxj__(N+L[n[)/L_1/2se N logQ.122 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Dim.`E sufciente dimostrare chek(k)qQ(q,k)=12(q)(q) nQ1n>ZQ1dtt= logQ.Per il Teorema 2.2.8 si hak(k)qQ(q,k)=12(q)(q)=qQ(q,k)=12(q)qp[q_1+ 1p +1p2 +. . ._

p[k_1+ 1p +1p2 +. . ._.Dato n Nindicheremo con ker(n) il pi u grande q [ n con (q) ,= 0; in altreparole, ker(n)` eilprodottodituttiifattoriprimidistintidin. Sviluppandoiprodotti (con il Teorema 2.3.1) si vede che questultima quantit` a ` eqQ(q,k)=12(q)qm1p[mp[qk1m nQ1n,poich e` epossibilescrivereogni n Qnellaforman = n1n2, con(n1, n2) =(n1, k) = 1; quindi n compare nella prima somma qui sopra quando q = ker(n1) Q ed m = nq1. Teorema 5.5.2 (Brun-Titchmarsh) Per ogni q N, a Zcon (a, q) =1, M>1,N >3q si ha(M+N; q, a) (M; q, a) =p(M,M+N]pa mod q12N(q)log(N/q)_1+O_loglog(N/q)log(N/q)__,dove la costante in O() ` e assoluta.Dim. Possiamo evidentemente supporre che 1 a q. PrendiamoAdef=_M+1aq,M+Naq_N,Pdef=p Q: pq,Capitolo 5. Metodi di Crivello 123pdef=_aq1mod p_per p P,da cui [A[ 1 +N/q. Dunque B n Q: (n, q) = 1 e (p) = 1 per ognip P. Se r a mod q ` e un numero primo >Q allora pr per ogni primo p P;in altre parole n := (r a)/q/ p per ogni primo p P e quindi n S0(A, P),da cui(M+N; q, a) (M; q, a) S(A, P) +Q. (5.5.1)Dal Teorema 5.4.8 deduciamoS(A, P) N/q+1+2Q2LdoveLdef=nB[1,Q]2(n)p[n1p1 =nQ(n,q)=12(n)(n) .Per il Lemma 5.5.1 si haq(q)L >logQ e la (5.5.1) d` a(M+N; q, a) (M; q, a) N+q+2qQ2(q)logQ+Q,ed il risultato cercato segue prendendo Q := (N/q)1/2_log(N/q)_1. Teorema 5.5.3Poniamo P(x; q, a) :=p x: p a mod q. Per ogni a, q Ncon (a, q) = 1 esiste una costante C =C(q, a) >0 tale che per x + si hapP(x;q,a)_11p_=C(q, a)(logx)1/(q)_1+Oq,a_1logx__.Dim. Procediamo come nella dimostrazione del Teorema di Mertens 3.3.6, omet-tendo qualche dettaglio: per sommazione parziale dal Teorema 4.4.1 otteniamopxpa mod q1p =1(q) loglogx +C1(q, a) +O_(logx)1_.Inoltrepxpa mod qlog_11p_=pxpa mod q1p+pa mod q_log_11p_+ 1p_+O_1x_.Il risultato desiderato segue ora passando allesponenziale. 124 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Teorema 5.5.4Si ha[n N: r2(n) >0[ N(logN_1/2.Dim. Poniamo r/2(n) := [(a, b) Z2:a2+b2= n e (a, b) = 1[, e cio` e r/2(n)` e il numero delle rappresentazioni primitive di n come somma di due quadrati.Per il Teorema 1.4.10, r/2(n) > 0 se e solo se n non ha fattori primi 3 mod 4 e4n. Utilizziamo il Teorema 5.4.8 con A := [1, N] N, P:=2P(Q; 4, 3), edp :=0 per ogni p P. Si ha quindi[n N: (n, 2) = 1, r/2(n) >0[ N+2Q2LdoveLdef=qB(P)[1,Q]2(q)(q) .Se poniamo k = k(Q) := p, dove il prodotto ` e esteso allinsieme P(Q; 4, 1), lacondizione q B(P) [1, Q] ` e equivalente a (q, k) = 1, q Q. Dal Lemma 5.5.1otteniamoL =qQ(q,k)=12(q)(q)> (k)klogQ = logQpQp1 mod 4_11p_.Per il Lemma 5.5.3 si ha L _C(4, 1) +o(1)__logQ_1/2e la scelta Q := N1/2cid` a quindi[n N: (n, 2) = 1, r/2(n) >0[ N(logN)1/2. (5.5.2)Inne osserviamo chen N: r2(n) >02mN1/2_n Nm2: (n, 2) = 1, r/2(n) >0_.Se m _N1/3, N1/2 maggioriamo il corrispondente addendo a secondo membroin modo banale, e per gli altri usiamo la (5.5.2). In denitivan N: r2(n) >0mN1/3Nm2_log_Nm2__1/2 +N1/31 e che (h) ,=0(cio` e che h =ker(h)). Poniamo B =B(h) :=n N: ker(n) [ h, e deniamo lafunzione aritmetica dh come segue: dh(n) = d(n) se n B, e 0 altrimenti. Poich eogni q 1 pu` o essere scritto in modo unico come rq/, con r B, (h, q/) = 1, si haevidentementeD(Q)def= D1(Q) = rBd(r)Dh_Qr_= r1dh(r)Dh_Qr_,e quindi per la seconda formula di inversione di M obius 2.1.12 ed il Teorema 2.2.5si haDh(Q) = r1d1h(r)D_Qr_= rB(r)_Qrlog Qr+cQr+O_Q1/2r1/2__,dove abbiamo scritto per brevit` a c := 2 1; inoltre d1= (N0 N0)1= .Poich e _p_=0 per ogni p, se 3, gli unici addendi non nulli nelle sommeche seguono sono quelli per cui r [ h2. Dunque per il Teorema 2.1.5 abbiamorB(r)1r=p[h_1+(p)1p +_p2_ 1p2_=_(h)h_2.Inoltre si dimostra facilmente per induzione sul numero di fattori primi di h cher[h2(r)logrr=2_(h)h_2p[hlog pp1.Inne, sempre per il Teorema 2.1.5r[h2(r)r1/2=p[h_1+1p1/2_28d(h),che conclude la dimostrazione. 126 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Teorema 5.5.6Sia h N un numero pari. Per x + si ha[p x: p+h ` e primo[ hx(logx)2.Dim. Prendiamo A := [1, x] N,e perp Q poniamo p := 0, h mod p.Evidentemente (p) = 2 se ph, (p) = 1 se p [ h. Quindi abbiamoLdef= qQ(q)2p[q(p)p(p) = qQ(q)2p[q_(p)p+ (p)2p2+_=q1ker(q)Q1q p|q(p)qQ(q,h)=12(q)qqQ(q,h)=1d(q)q,dove (q)` eil numerototaledei fattori primi di q, poich ed_p_ = +1 2e2 M. Persommazioneparzialedal Lemma5.5.5si hainneL 122(h)h2(logQ)2+Oh(logQ), ed il Teorema segue prendendo Q := x1/2. Con tecniche pi u rafnate (quelle accennate nel Capitolo 6) ` e possibile dareuna stima che fornisce la giusta dipendenza da h come nella (5.3.4).Capitolo 5. Metodi di Crivello 127Esercizi.E 1. Posto 2 := , p :=n mod p: _n [ p_=1 per p >2, dimostrare che[n x: n = m2[ =O_x1/2_per mezzo del Teorema 5.4.8.E 2. * Fissato h N e posto p :=0 se p [ h, p := altrimenti, dimostrareche [n x: (n, h) = 1[ (h)x/h +2h(h). Se (h) ,= 0, posto invecep := Zp 0 sep [ h, p := altrimenti, dimostrare che [n x: h [n[ x/h +2h. Suggerimento: per stimare L scegliere Q = h ed usare ilLemma 2.1.5.Riferimenti. La dimostrazione del Teorema di BrunTitchmarsh 5.5.2 ` e adattata dal 3di Bombieri [10].5.6 Problemi apertiIl Teorema di Dirichlet 4.4.1 implica che tutti i polinomi del tipof (n) = qn +acon (q, a) = 1 assumono valori primi per inniti valori della variabile n. In altreparole, tutti i polinomi di primo grado irriducibili su Q assumono inniti valoriprimi, e questo pu` o essere anche espresso in forma quantitativa (cfr il Teoremadei Numeri Primi nelle Progressioni 4.4.2). Ci si chiede dunque se sia vero chetutti i polinomi f Z[x] irriducibili su Qche non siano costanti debbano assumerevalori primi per inniti n N, purch e (p) < p per ogni primop. Per esempio,ci si chiede se il polinomiof (n) = n2+1 assuma innite volte valori primi, o, inaltre parole, se esistono inniti numeri primi della forma n2+1. La forma ottimaledel Teorema 5.2.10 asserisce che[n x: _f (n), P(z)_= 1[ = xpz_1(p)p_

_1+O_exp_u_logulog23ulogdeg( f ) 2___+Odeg( f )_exp(logx)1/2__purch e (p) < p per ogni primo p (questo signica che f non ha divisori primi s-si; si noti che per il Lemma 5.2.3 (p) deg( f ) e quindi questa ` e una condizioneche pu` o essere vericata in un numero nito di passi) ed u := logx(logz)1 1.Recentemente Friedlander & Iwaniec [38] hanno dimostrato che a2+b4assumevaloreprimoilnumeroattesodivolte. Heath-Brown[63]hadimostratounrisultato analogo per a3+2b3.`E noto cheh(x)def=[n x: n ed n+h sono primi[ 4S(h)x(logx)2_1+o(1)_128 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)uniformementeinh N. Questoseguedaunageneralizzazionedelrisultatocitato sopra. Hardy & Littlewood [54] hanno congetturato cheh(x) S(h)x(logx)2. (5.6.1)Non sono per` o noti valori di h N per cui si abbia h(x) + quando x +.In una lettera ad Eulero del 1742, Christian Goldbach ha congetturato che perogni intero pari n 6 dovessero esistere due numeri primi dispari p1 e p2 tali chen = p1 + p2. Detto r(n) il numero delle soluzioni (contandop1 + p2 ep2 + p1come soluzioni distinte se p1,= p2), Hardy & Littlewood [54] hanno congetturatocher(n) S(n)n(logn)2. (5.6.2)Vinogradov [141] ha dimostrato nel 1937 che per n dispari sufcientemente gran-de lequazione n = p1 + p2 + p3 ha soluzione. Ramar e [126] ha dimostrato chelequazione n = p1+ p2+ + pr ha soluzione per ogni n >1 con r 7. Mont-gomery & Vaughan [104] hanno dimostrato che esiste >0 tale che[n x: n ` e pari ed r(n) = 0[ x1.11FIXME: Semplicare la dimostrazione del Teorema 5.4.8. Ottenere la costante giusta nelTeorema 5.5.6.Capitolo 6Introduzione alla Teoria Analiticadei NumeriLa Teoria Analitica dei Numeri nasce con la dimostrazione di Eulero del fattoche esistono inniti numeri primi, che abbiamo riprodotto nel Teorema 3.2.1. Quidaremo solo qualche breve cenno ai risultati principali, senza alcuna pretesa dicompletezza anche nelle dimostrazioni. Supporremo qualche conoscenza dellateoria delle funzioni olomorfe: si veda anche lAppendice A.2. Da qui in pois :=+it ` e una variabile complessa con parte reale =(s) e parte immaginariat =(s). Useremo le notazioni non standard S() per indicare il semipiano s C: (s) > , S() per il semipiano s C: (s) < , e D(R) per il discochiuso di centro lorigine e raggio R >0.6.1 Il programma di RiemannRiemann ha lasciato un solo, breve lavoro in Teoria dei Numeri [128] nel quale hadimostrato, fra le altre cose, lequazione funzionale per la funzione che ne forni-sce il prolungamento analitico a tutto il piano complesso privato del punto s = 1,e fatto molte affermazioni solo parzialmente giusticate: queste sono state tuttedimostrate nei successivi 40 anni circa. Quella che ` e nota come Congettura di Rie-mann 3.1.4 ` e stata enunciata semplicemente come molto probabile, e questo faritenere che Riemann avesse dimostrazioni rigorose di tutte le altre affermazioni,e che non le abbia incluse nellarticolo citato sopra per brevit` a.Lobiettivoindicatoalliniziodelsuoarticoloeraquellodidimostrareunaformula esplicita che leghi la funzione agli zeri della funzione zeta: daremoquesta formula (6.7.3), senza dimostrazione, pi u avanti. Oggi si preferisce ottene-re una formula esplicita per la funzione di Chebyshev, perch e questa risulta pi usemplice da utilizzare: ` e quello che faremo anche qui.129130 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Vediamo ora gli ingredienti fondamentali della dimostrazione classica del Teo-rema dei Numeri Primi. Possiamo rissumerne i punti fondamentali come segue:1. Dimostrazione dellidentit` a fondamentale, valida per s S(1),(s)def= n11ns =p_11ps_1dove il prodotto ` e esteso a tutti e soli i numeri primi.2. Equazione funzionale e prolungamento analitico della funzione .3. Espressione di come prodotto di Weierstrass sugli zeri, e stima del numerodegli zeri di nella striscia critica 0 1, perlaformuladisommazione parziale (A.1.3), nel semipiano S(1) si hanx1ns = [x]xs+sZx1[t]ts+1 dt = [x]xs+ss 1_1x1s_sZx1tts+1 dt.Dunque,(s) =limx+nx1ns =ss 1sZ+1tts+1 dt. (6.2.1)Questultima formula fornisce il prolungamento analitico di al semipiano S(0),privato del punto s = 1, in quanto lintegrale` e totalmente convergente in ognicompatto contenuto in S(0), ed` e anche chiaro che ha un polo semplice conresiduo 1 in s = 1. 132 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)Osserviamo che, ricordando la denizione della costante di Eulero data nella(A.4.1), si verica immediatamente chelims1_(s) 1s 1_= 1Z+1tt2dt =. (6.2.2)Lesistenza di un prolungamento meromorfo al semipiano S(0) pu` o essere dimo-strata osservando che(121s)(s) =n11ns2n11(2n)s =n11ns2n12[n1ns =n1(1)n+1ns. (6.2.3)Questultima serie converge nel semipiano dato: si proceda come nella dimostra-zione del Teorema 4.2.6, osservando che la funzione periodicaf (n) = (1)n+1sicomporta essenzialmente come un carattere di Dirichlet non principale, nel sen-so che la somma dei suoi valori su un intervallo di interi consecutivi` e limitata.Quindi ` e prolungabile: il vantaggio della relazione (6.2.3) sulla (6.2.1) sta forsenel non avere una funzione integrale meno naturale della serie di Dirichlet, ma,viceversa, la formula (6.2.1) esibisce direttamente il polo semplice. Lesistenzadel polo semplice con residuo 1 pu` o essere dedotta anche dalla (6.2.3) osservan-do che vicino ad s = 1 si ha 1 21s= (s 1)log2 +o([s 1[) mentre la serieallestrema destra della (6.2.3), valutata in s = 1, vale log2.In entrambi i casi, ilprolungamento analitico dato ` e, parafrasando Riemann, una formula che vale perun insieme pi u grande di valori di s piuttosto che una serie di potenze con raggiodi convergenza pi u grande.Teorema 6.2.2Nel semipiano S(1) vale la rappresentazione1(s) = n1(n)ns=p_11ps_,dove ` e la funzione di M obius e sia la serie che il prodotto sono uniformementeconvergenti in ogni compatto contenuto nello stesso semipiano S.Dim. La convergenza uniforme di serie e prodotto nel semipiano S(1) si dimostra-no esattamente come sopra, dato che [(n)[ 1 per ogni n N. Inoltre ` e chiarodal Teorema 6.2.1 che il prodotto vale 1/(s). Corollario 6.2.3(s) ,= 0 per tutti gli s nel semipiano S(1).Dim. Laconvergenzaassolutadellaserieg(s) := n(n)nsedilProdottodiEulero implicano che g(s)(s) = 1 per ogni s con (s) >1, da cui evidentementeCapitolo 6. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri 133(s) ,= 0: in altre parole, un eventuale zero di in S(1) comporterebbe un polo di1/. Ci si pu` o anche basare sulla seconda dimostrazione del Teorema 2.3.1 conf (n) = ns: la (2.3.3) e la (2.3.4) con x = 1+_2/(1)_1/(1)implicano(s)px_11ps_1 n>x1n Z+x1dtt =11(x 1)1ATper qualche A >0.3. Si veda il Teorema 6.7.1.4. Per R si ponga () = inf R: [(+it)[ [t[per [t[ +. Lateoria generale delle serie di Dirichlet implica che ` e convessa, e la (6.2.1)implica che () = 0 per > 1. La Congettura di Riemann implica che() = 0 per 12.5. Questo ` e necessario nella dimostrazione del Teorema 6.5.3.6. Weil ha dimostrato lanaloga della Congettura di Riemann per certe curve.7. Selberg ha dimostrato che N0(T) >AN(T) per T + per qualche A >0.8. Levinson ha dimostrato che la costante A qui sopra vale almeno13.156 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)9. Chi dimostrer` a la Congettura di Riemann ricever` a certamente la MedagliaFields.6.11 Problemi apertiCongetturadiRiemannaparte, unmiglioramentodellaregioneliberadazeriporterebbe immediatamente ad un corrispondente miglioramento delle stime per(x) li(x). Al momento attuale non ` e noto se, con la notazione del 6.7, si abbia 2p1p2 = nS(n),dove 2C0` e la costante dei primi gemelli e S(n) ` e la cosiddetta serie singolaredenita nella (5.3.3). La serie singolare tiene conto delle irregolarit` a di R2(n)/nche sono, in effetti, di natura aritmetica. Questa ` e dunque la formula asintotica perR2(n) data dalleuristica basata sul Teorema dei Numeri Primi nelle progressioniaritmetiche.`E pi u grande di un fattore (logn)2della formula perr2(n) che siotterrebbe con il procedimento usato nel Teorema 5.5.6 (cfr la (5.6.2)) a causadeipesilog p1log p2cheabbiamodatoallerappresentazioni. Nelprossimoparagrafo indicheremo brevemente quali dei punti lasciati in sospeso qui soprarappresentano davvero un problema.Riferimenti. Posto E(N) :=2n N: r2(2n) =0, nel 3.2 di Vaughan [140] si dimo-stra che per ogni A >0 si ha [E(N)[ =OA_N(logN)A_. Unapplicazione del metodo delCapitolo 7. Il problema di Goldbach 1670.4 0.2 0 0.2 0.405101520[T()[Figura 7.2: Il graco della funzione [T20()[ nel quale si nota molto bene che que-sta funzione ha un grosso picco in prossimit` a dei valori interi di , ed ` e altrimentimolto piccola.cerchio a diversi problemi legati alla congettura di Goldbach si pu` o trovare in Languasco[87], mentre in Zaccagnini [148] si pu` o trovare anche una breve introduzione al metododel cerchio simile alla presente. Unaltra argomentazione euristica per il numero dei primigemelli si trova in Hardy & Wright [57] 22.20. Le congetture di cui si parla in questoCapitolo ed in Zaccagnini [149] sono inquadrate nel contesto generale della congettu-ra di Schinzel & Sierpi nski nellintroduzione di Halberstam & Richert [50]; si vedanole Note relative per la versione quantitativa di Bateman & Horn (vedi anche Zaccagnini[149], formule (6), (8) e (10) e la Coda per il caso delle costellazioni di primi).Unamaggiorazione per r2(n) del giusto ordine di grandezza ` e contenuta nel Teorema 3.11 diHalberstam & Richert [50]. Per altre strategie per la dimostrazione della congettura diGoldbach si veda Ribenboim [127] 4.VI, e per ulteriori riferimenti Guy [49] C.1.7.3 Dove sono le difcolt` a?Per brevit` a parleremo soltanto delle due pi u importanti questioni che rimangonodarisolvere. Infatti, lapprossimazionechefacciamonelpassaredalla(7.2.6)alla (7.2.7) pu` o essere giusticata ricordando che per la (7.1.8) si ha [T()[ min_N +1, ||1_: la Figura 7.2 mostra che T() decade molto rapidamenteallontanandosi dai valori interi di . Lerrore commesso nella (7.2.9) pu` o esseremesso in una forma quantitativa sfruttando il fatto che la serie` e assolutamenteconvergente e che la funzionefn` e moltiplicativa. Rivolgiamo dunque la nostraattenzione allapprossimazione di (N; q, a) ed al contributo degli archi secondari.168 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2007)7.3.1 Approssimazione della funzione theta di ChebyshevLapprossimazione di fornita dal Teorema dei Numeri Primi nelle progressioniaritmetiche 4.4.2 ` e piuttosto debole per due motivi: come abbiamo gi` a osservato,questa` e valida in un intervallo di valori di q ristretto e siamo quindi costretti aprendere il parametro P (che serve per distinguere gli archi principali da quellisecondari) piuttosto piccolo come funzione di N.In secondo luogo la maggiorazione oggi nota per lerrore ` e troppo grande: sicongettura che questo errore sia in realt` a molto pi u piccolo.`E noto che la dif-ferenza (N; q, a) N/(q) dipende essenzialmente da una somma i cui addendisono del tipo N/((q)), dove indica il generico zero complesso di opportu-ne funzioni L di Dirichlet. Nel caso pi u semplice, quando q = a = 1, la formulaesplicita 6.5.3 implica che per T N(N) = NC t. c. ()=0=+i,[[TN+O_NT (logN)2+NlogN_(7.3.1)dove = +i ` e il generico zero della funzione zeta di Riemann con (0, 1).QuestaformulamostrachealpostodellafunzioneT()denitadalla(7.1.7),conviene prendere come approssimazione di S_aq +_la funzioneK()def= nN_1 [[Tn1_e(n)dove il coefciente di e(n) ` e la derivata rispetto ad N dei primi due termini nella(7.3.1), calcolatainn(poich ese f ` eregolare f (n) Rf (t)dt). Lapprossi-mazione di S cos ottenuta ` e valida solo vicino a 0, ma introducendo le funzioniL di Dirichlet si possono trovare approssimazioni simili, valide su ciascun arcoprincipale.`E anche noto che il caso ottimale per la distribuzione dei numeri primi ` e quelloin cui tutte le parti reali di tutti gli zeri = +i della funzione con ,= 0sono uguali ad12(Congettura di Riemann 3.1.4): se cos ` e, allora si ha la buonaapprossimazione (N) = N+O_N1/2(logN)2_che ` e equivalente alla 3.1.4. Ana-logamente, se si riuscisse a dimostrare che tutti gli zeri di tutte le funzioni L diDirichlet hanno parte reale uguale ad12(Congettura di Riemann Generalizzata),per q x si avrebbe anche la stima(N; q, a) =N(q) +O_N1/2(logN)2_. (7.3.2)Si osservi che le stime 3.1.4 e (7.3.2) sono ottimali, e cio` e lesponente di N neltermine derrore non pu` o essere ulteriormente abbassato. Questo signica che nonCapitolo 7. Il problema di Goldbach 169si riuscirebbe a dimostrare la congettura di Goldbach neppure se si dimostrasse la(7.3.2). La situazione nel caso generale q >1 ` e pi u complicata di quella nel casoq = 1: infatti non` e ancora possibile escludere che qualcuna delle funzioni L diDirichlet abbia uno zero reale (0, 1), con molto prossimo ad 1, e questo ` eessenzialmente il motivo per cui siamo costretti ad imporre una severa limitazioneper q come detto a proposito del Teorema 4.4.2. Il contributo di questo even-tuale zero sarebbe N/((q)), e cio` e molto prossimo al termine principaleN/(q), cos da vanicare la possibilit` a di avere un errore sufcientemente pic-colo nella formula asintotica per (N; q, a) per questo particolare valore di q, e diconseguenza per R2(n).7.3.2 Il contributo degli archi secondariIl problema principale presentato dagli archi secondari` e costituito dal fatto chenon si riesce a dare una buona stima individuale del loro contributo: in altre parole,` e relativamente semplice dimostrare che in media su tutti gli interi n [1, N] gliarchisecondarinondannoungrandecontributoadR2(n), manon` epossibiletrovare una maggiorazione altrettanto buona per ogni singolo valore di n. Per laformula che d` a il coefciente di Fourier n-esimo, la disuguaglianza di Bessel ed ilTeorema dei Numeri Primi 3.1.3 si hanNZmS()2e(n)d2Zm[S()[4d supm[S()[2Z10[S()[2d=O_NlogN supm[S()[2_.Dalla (7.2.4) possiamo aspettarci (e questo pu` o essere dimostrato rigorosamentein una forma pi u debole) che lestremo superiore qui sopra valga essenzialmenteN2P2dato che se mallora ` e vicino ad un razionale con denominatore >P.Lemma 7.3.1Per 1 a q N, (a, q) = 1 ed [[ q2si haS_aq +_(logN)4_Nq1/2+N4/5+N1/2q1/2_.Per mezzo di questo Lemma, in effetti si riesce a dimostrare chenN[Rm(n)[2= nNZmS()2e(n)d2=O_N3(logN)9P1_(7.3.3)e questo dice che, per la maggioranza degli interi n [1, N] si ha [Rm(n)[ =O_NP1/3_, che ha or