Post on 04-Jul-2020
Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία
Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες
Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας
Παρουσίαση 9η: Εισαγωγή στη μετάδοση και επεξεργασία σήματος
Περιεχόμενα του μαθήματος (1)
• ΕΝΟΤΗΤΑ 3η Μετάδοση και επεξεργασία σήματος (ΕΡΓΑΣΙΑ 3η)
• Διαμόρφωση, συνέλιξη, συσχέτιση (Συναρτήσεις συσχέτισης, συνέλιξης,
συναρτήσεις φασματικής πυκνότητας, ιδιότητες, τρόποι υπολογισμού)
• Εισαγωγή στη μετάδοση και επεξεργασία σήματος (Εκπομπή και λήψη,
μετάδοση, διαμόρφωση, αποδιαμόρφωση, πολυπλεξία, μίξη, ετεροδύνωση,
παραδείγματα)
Βιβλιογραφία
• ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
• Δερμάνης, Α. (1999): Διαστημική Γεωδαισία και Γεωδυναμική, Εκδόσεις Ζήτη.
• Papoulis A. (1977): Signal Analysis, McGraw-Hill eds.
• Oppenheim, A.V. and R.W. Schafer (1989): Discrete-time signal processing.
Prentice Hall eds.
• Marple, S.L. Jr. (1987): Digital spectral analysis with applications. Signal processing
Series. Prentice Hall eds.
• Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice
Hall eds.
• Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill
eds.
Περιεχόμενα παρουσίασης • Συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος – συναρτήσεις συμμεταβλητότητας
• Γραμμικά συστήματα και κατηγορίες φίλτρων
• Εκπομπή και λήψη σήματος
• Διαμόρφωση – Αποδιαμόρφωση
• Μίξη σημάτων – πολυπλεξία
• Ετεροδύνωση
• Ψηφιακά σήματα
Συσχέτιση και σήματα ισχύος • Η συνάρτηση συσχέτισης (correlation function) σε σήματα ισχύος x(t),
y(t)
• Στη σύγκριση (αυτό-συσχέτιση) σημάτων χρησιμοποιείται συνήθως και ο
συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient)
( ) ( ) ( )∫−
∞→ττ+τ=
2/
2/
1limT
TTxy dtyx
TtR
( ) ( ) ( )∫−
∞→ττ+τ=
2/
2/
limT
TTxx dtxxtR
Δια- ή ετερο-συσχέτιση (cross-correlation)
Αυτό-συσχέτιση (auto-correlation)
( )( ) ( )
( )
( )P
tR
dx
dtxxt xx
T
TT
T
TT
=ττ
ττ+τ=γ
∫
∫
−∞→
−∞→
2/
2/
2
2/
2/
lim
lim( ) 10 =γ
Στιγμή ή θέση πλήρους ταύτισης σημάτων
Φασματική πυκνότητα ισχύος • Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης σε σήματα ισχύος
φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density – PSD)
• Για σήμα ισχύος f(t) ισχύουν
• Για t = 0 η ισχύς του σήματος δίνεται από τη σχέση
( ) ( ){ } ( )∫−
ω−
∞→==ω
2/
2/
limT
T
tj
TdtetRtRS F
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ){ } ( )∫−
ω
∞→
− ωωπ
=ω=
ω=ω
ω↔
2/
2/
2
2
lim21 T
T
tj
TdeFStR
FS
Ftf
1F
( ) ( )∫−
∞→ωω
π==
2/
2/
lim,210
T
TT
dSRP
Σημασία των συναρτήσεων πυκνότητας φάσματος • Οι συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος, τόσο σε σήματα ενέργειας, όσο και
σε σήματα ισχύος αποτελούν σημαντικό εργαλείο στην ανάλυση σήματος
• Επιτρέπουν την ανεύρεση των κυρίαρχων συχνοτήτων (dominant
frequencies) συχνότητες στις οποίες τα συγκεκριμένα δεδομένα
συνεισφέρουν περισσότερο
Σημασία των συναρτήσεων πυκνότητας φάσματος • Ο ρόλος τους είναι σημαντικός στη θεωρία της πρόγνωσης και του
φιλτραρίσματος
• Επιτρέπουν τον ταχύ υπολογισμό των συναρτήσεων συσχέτισης και
συμμεταβλητότητας των δεδομένων
Πυκνότητα φάσματος και διακριτά δεδομένα • Διακριτά δεδομένα δύο διαστάσεων συνάρτηση συσχέτισης έχει τη μορφή
• Συνάρτηση συσχέτισης εξάρτηση των δεδομένων σε μία απόσταση (ή
χρονική στιγμή) από τις τιμές σε άλλη απόσταση (ή χρονική στιγμή)
• Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας (covariance function) δύο συναρτήσεων
• Για συναρτήσεις ανηγμένες στη μέση τιμή των δεδομένων τους
συνάρτηση συμμεταβλητότητας και συνάρτηση συσχέτισης ταυτίζονται
[ ] [ ] [ ]∑∑−
=
−
=∞→
++=1
0
1
0,
,,11lim,M
i
N
jNMhg jlikgjih
NMlkR
[ ] [ ]( ) [ ]( )∑∑−
=
−
=∞→
µ−++µ−=1
0
1
0,
,,11lim,M
i
N
jghNMhg jlikgjih
NMlkC
[ ] [ ] ghhghg lkRlkC µµ−= ,,
Συναρτήσεις συμμεταβλητότητας • Περιγράφουν τη στατιστική συμπεριφορά σημάτων ως προς την
ανεξάρτητη μεταβλητή τους (χρόνος – απόσταση)
• Ο συντελεστής συσχέτισης σε όρους συναρτήσεων συμμεταβλητότητας
• Μετράει το βαθμό εξάρτησης ανάμεσα στις τιμές δύο συναρτήσεων για
διαφορετικές μεταβολές της μίας συνάρτησης σε σχέση με την άλλη
[ ][ ][ ] 0,
0,0
0,02
=∞∞=
=
hh
hhh
hghg
CC
C
σ
σ Σύμμεταβλητότητα h και g Μεταβλητότητα h
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ]gh
hg
gghh
hghg
lkCCC
lkClkr
σσ,
0,00,0,
, ==
Τρόποι υπολογισμού PSD • Δύο κυρίως μέθοδοι υπολογισμού στις πρακτικές εφαρμογές του PSD
• Κλασικές ή μη-παραμετρικές μέθοδοι εφαρμογές αλγορίθμων FFT
μειονέκτημα ο περιοδικός χαρακτήρας που αποδίδεται σε περιορισμένα
διακριτά δεδομένα
• Μοντέρνες ή παραμετρικές μέθοδοι Ανάλυση δεδομένων δίχως
παραδοχές, περιγράφουν τα στατιστικά χαρακτηριστικά των δεδομένων και
ενσωματώνουν εκ των προτέρων πληροφορίες για το σήμα και το θόρυβο
Μη-παραμετρικές μέθοδοι υπολογισμού PSD • Άμεση (periodogram) απευθείας μετασχηματισμοί Fourier στα δεδομένα
• Έμμεση (correlogram) Από τον αντίστροφο μετασχηματισμό της
συνάρτησης συσχέτισης
• Σε στοχαστικά δεδομένα μηδενικής μέσης τιμής χρησιμοποιείται η
συνάρτηση συμμεταβλητότητας
[ ] [ ] [ ]{ }vuXvuXMT
NTvuS vu
xx ,,, *=
Ευθύς FFT
Συζυγής μιγαδικός του Χ
[ ] [ ]{ }vuCvuS xxxx ,, F=
Παράδειγμα υπολογισμού PSD • Υπολογισμός από τα δεδομένα (periodogram approach)
>> fs=1000; >> t=0:1/fs:1; >> xsig=20*cos(2*pi*100*t); >> x=20*cos(2*pi*100*t)+randn(size(t)); >> figure(1); >> subplot(211), plot(t,xsig); >> subplot(212), plot(t,x);
Διάνυσμα τυχαίου θορύβου κανονικής κατανομής
Παράδειγμα υπολογισμού PSD • Υπολογισμός από τα δεδομένα (periodogram approach)
>> X=fft(x); >> n=length(t)-1; >> psdx=(1/(fs*n))*X.*conj(X); >> psdshift=fftshift(psdx); >>k=0:length(t)-1; >> f=k-(length(t)-1)/2; >> figure(2); >> subplot(211), plot(f,abs(2*psdshift)); >> subplot(212), plot(f,10*log10(abs(2*psdshift))); >> xlabel('Frequency (Hz)'); >> ylabel('Power/Frequency (dB/Hz)');
Παραμετρικές μέθοδοι υπολογισμού PSD • Χρησιμοποιούνται παραμετρικά μοντέλα περιγραφής του PSD
• Το PSD εξαρτάται από την επιλογή του μοντέλου, το βαθμό ανάπτυξής
του και το είδος των δεδομένων που χρησιμοποιούνται
• Διακρίνονται σε παραμετρικά μοντέλα αυτο-παλινδρόμησης (AR models)
και παραμετρικά μοντέλα αυτο-παλινδρόμησης κινητού μέσου όρου
(ARMA models)
• Διαδικασία προσδιορισμού 1. Επιλογή μοντέλου
2. Προσδιορισμός βέλτιστου βαθμού ανάπτυξης
3. Εκτίμηση συντελεστών Αρχές εκτίμησης παραμέτρων
4. Στατιστική αξιολόγηση μοντέλου
Γραμμικά συστήματα και φίλτρα
• Ο τελεστής Τ ενός γραμμικού συστήματος σε συνεχή σήματα δίνεται
• Όταν το σύστημα είναι χρονικά (χωρικά) αμετάβλητο τότε η συνάρτηση h των
δύο μεταβλητών μετατρέπεται σε συνάρτηση μίας μεταβλητής. Ισχύει
• Το ολοκλήρωμα αυτής της μορφής ονομάζεται συνελικτικό (convolution
integral)
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
== dssxsthtxty ,T
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sthsthsssthsthsth −′=−=−−⇒=++ 0,,,, ττ
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−′== dssxsthtxty T
Γραμμικά συστήματα και φίλτρα
• Στο χώρο των συχνοτήτων το συνελικτικό ολοκλήρωμα έχει τη μορφή
• Το ζεύγος του μετασχηματισμού ονομάζεται συνάρτηση
απόκρισης σε ώθηση (impulse response function) του συστήματος ή
φίλτρο (filter)
• Ειδικότερα η Η(ω) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα ή
συνάρτηση μετάδοσης του φίλτρου
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωω XHYtxthty =↔= *
( ) ( )ωHth ↔
)(tx )(tyHσήμα εισόδου σήμα εξόδου
Γραμμικά συστήματα και φίλτρα
• Φίλτρο γραμμικό σύστημα για το οποίο η συνάρτηση Η(ω) μηδενίζεται σε
ένα τμήμα του πεδίου
• Για
• Συχνότητες φιλτράρονται (απομακρύνονται ή απομονώνονται) και δεν
υπάρχουν στην έξοδο του γραμμικού συστήματος
• Φίλτρα χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα γραμμικά συστήματα με H(ω) = 0 σε
τμήματα συχνοτήτων ω (=αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)
( ) ( ) ( ) ( ) 00 ==⇒= ωωωω XHYH
Απλά φίλτρα στις γεωεπιστήμες
Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) :
Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) :
Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) :
Διέλευσης εκτός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) :
Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω0
Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω1 < ω2 ή ω1 < ω2 < |ω|
Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω0
Η(ω) = 0 όταν ω1 < |ω| < ω2
)(tx L ∫∞+
∞−−= dssxsthty )()()(
|)(| ωX |)(| ωH
L)(ωX )()()( ωω=ω XHY
| ( ) |Y ω
Φίλτρα διακριτών δεδομένων δύο διαστάσεων
• Γεωεπιστήμες διδιάστατα διακριτά δεδομένα συστήματα και φίλτρα δύο
διαστάσεων
• Διδιάστατα φίλτρα παρουσιάζουν μία κυκλική συμμετρία και είναι
γραμμικά και ομοιογενή
[ ] [ ] [ ]vuXvuHvuY ,,, =
Διδιάστατη συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα
Φίλτρα διακριτών δεδομένων δύο διαστάσεων
• Παραδείγματα διδιάστατων φίλτρων
Διδιάστατο φίλτρο χαμηλής διέλευσης
Διδιάστατο φίλτρο διέλευσης εντός ζώνης
Διδιάστατο φίλτρο υψηλής διέλευσης
Ιδανικά Φίλτρα
• Ιδανικά φίλτρα Μία ειδική κατηγορία φίλτρων για την οποία ισχύει:
• Οι συχνότητες που δε φιλτράρονται διατηρούν το εύρος τους
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, =ωω−=ωϕ⇒=ω=ω ω−ωϕ HteeHH dHtjj dH
ω−ωϕ=ωϕωω=ω⇒ dXY tXHY )()(&|)(||)(||)(|
Συνάρτηση απόκρισης ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης :
)]([)(
)(sin21)(
21)( 0
00d
d
dtjtjtiLPF ttsinc
ttttdeedeHth d −ω
πω
=−π−ω
=ωπ
=ωωπ
= ∫∫+∞
∞−
ωω−+∞
∞−
ω
Όταν Η(ω) = 0 :
Όταν Η(ω) ≠ 0 :
0)( =ωY)(])([)( |)(||)(||)(|)()()( ωϕω−ωϕωϕω− ω=ω=ω=ωω=ω YdXXd eYeXeXeXHY tjjtj
Ιδανικά Φίλτρα Χαμηλής διέλευσης :
0ω=BW
0ω− 0ω
BW
LPF
Διέλευσης εντός ζώνης :
12 ω−ω=BW
2ω− 1ω− 1ω 2ω
BW
BPF
Χαμηλής διέλευσης μη ιδανικό :
0ω=BW
|)0(||)(|2
10 HH =ω
0ω− 0ω
BW
|)0(|2
1 H |)0(| H
1ω 0ω 2ω
BW
|)(| 021 ωH|)(| 0ωH
12 ω−ω=BW
|)(||)(||)(| 021
21 ω=ω=ω HHH|)(|max|)(| 0 ω=ω HH
Διέλευσης εντός ζώνης μη ιδανικό :
Εκπομπή και λήψη σήματος
Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t)
x(t)
t
c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό
Η συνάρτηση g(t) = f(t – τ) παίρνει τη χρονική στιγμή t την τιμή που είχε η συνάρτηση f την στιγμή t – τ, πριν από χρονικό διάστημα τ = καθυστέρηση κατά τ = μετάθεση γραφήματος προς τα δεξιά (= μέλλον) κατά τ
k = σταθερά, n(t) = θόρυβος
ρ = απόσταση πομπού - δέκτη
τ
t
x(t - τ)
Χρόνος μετάδοσης: τ = ρ / c
Εκπομπή και λήψη σήματος
Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t)
k x(t)
t t
c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό
k = σταθερά, n(t) = θόρυβος
ρ = απόσταση πομπού - δέκτη
x(t - τ)
Χρόνος μετάδοσης: τ = ρ / c
Εκπομπή και λήψη σήματος
Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t)
Χρόνος μετάδοσης: τ
k x(t - τ) x(t)
t t
c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό
k = σταθερά, n(t) = θόρυβος
ρ = cτ = απόσταση πομπού - δέκτη
Θόρυβος n(t) = παράσιτα που οφείλονται στη μετάδοση (ατμόσφαιρα, ηλεκτρονικά τμήματα πομπού και δέκτη)
+ n(t)
Εκπομπή και λήψη σήματος
Φάση σήματος κατά μία χρονική στιγμή t :
= φάση κατά τη στιγμή t T
tt ∆=Φ )(
Tt <∆≤0 10 <Φ≤
= γωνία φάσης T
ttt ∆π=Φπ=ϕ 2)(2)(
π<ϕ≤ 20
)(tx
ttt ∆−
t∆
(φάση = τρέχον κλάσμα της περιόδου)
(κλάσμα της περιόδου εκφρασμένο ως γωνία)
Φ = 0 Φ = 1/4 Φ = 1/2 Φ = 3/4 Φ = 0
φ = 0 φ = π/4 φ = π/2 φ = 3π/4 φ = 0
Διαμόρφωση
• Εντοπισμός ακτινοβολίας από δέκτες
• Δύο είδη δεκτών Δέκτες λήψης σημάτων διαφορετικών συχνοτήτων
Δέκτες λήψης σημάτων συγκεκριμένης συχνότητας
Διαμόρφωση
• Κλασικό συνεχές περιοδικό σήμα ημιτόνου
• Η μοναδική συχνότητα δεν περιέχει σχεδόν καμία πληροφορία
• Η πληροφορία «τοποθετείται» στην ακτινοβολία σταθερής συχνότητας
• Τεχνική Διαμόρφωση (modulation) της σταθερής συχνότητας, η οποία
ονομάζεται φέρουσα συχνότητα (carrier frequency)
• Τρεις διαφορετικοί τύποι διαμόρφωσης 1. Κατά εύρος (amplitude modulation – AM)
2. Κατά φάση (phase modulation – PM)
3. Κατά συχνότητα (frequency modulation – FM)
( )T
tatx π=
2sin
Κατά γωνία (angle modulation)
Παράδειγμα διαμόρφωσης
υπό διαμόρφωση σήμα
φέρουσα συχνότητα
διαμόρφωση κατά εύρος
διαμόρφωση κατά φάση
διαμόρφωση κατά συχνότητα
Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος m(t) = cosωt
)cos()]([)( ttmkAtx Ca ω+=
( ) cos[ ( ) ]C px t t k m tω= +
ω=ϕ
dtd
⇒ 0
( ) cos[ ( ) ]t
C ft
x t t k m t dtω= + ∫∫ω=φ dt
)(tm
)cos( tCω
AM
PM
FM
Διαμόρφωση κατά εύρος – ΑΜ
• Το διαμορφωμένο κατά εύρος κύμα έχει τη μορφή
• Η διαμόρφωση κατά εύρος στηρίζεται στη γραμμική σχέση
( ) ( ) ( )ttatx CoC ω+ϕ= cos
Διαμόρφωση εύρους Φάση Συχνότητα
( ) ( )tkmAta +=
Στιγμιαίο εύρος
Σταθερός παράγοντας διαμόρφωσης
Κύμα προς διαμόρφωση πληροφορία
Κλίμακα διαμόρφωσης
( ) ( )[ ] ( )ttkmAtx Cω+= cosΔιαμορφωμένο σήμα ( )0=ϕoC
Για λόγους απλότητας
Διαμόρφωση κατά εύρος – ΑΜ
• Παράδειγμα διαμόρφωσης κατά εύρος
>> fs=1000 fs = 1000 >> t=0:1/fs:1; >> x=cos(2*pi*50*t); >> figure(1); >> subplot(311), plot(t,x); >> m=cos(2*pi*5*t); >> subplot(312), plot(t,m); >> y=(5+2*m).*cos(2*pi*50*t); >> subplot(313), plot(t,y);
( ) ( )ttx 502cos π=
( ) ( )ttm 52cos π=
Φέρον κύμα
Σήμα πληροφορίας
Διαμόρφωση κατά φάση – PΜ
• Το διαμορφωμένο κατά γωνία κύμα έχει τη γενική μορφή
• Η διαμόρφωση κατά φάση στηρίζεται στη σχέση
• Το διαμορφωμένο κατά φάση σήμα έχει τη μορφή
( ) ( )( )ttatx CoC ϕ+ω+ϕ= cos
Γενικός παράγοντας διαμόρφωσης κατά γωνία
( ) ( )tmkt p=ϕ
Στιγμιαία φάση Υπό διαμόρφωση σήμα - πληροφορία
( ) ( )( )tmktatx pC +ω= cos( )0=ϕoC
Για λόγους απλότητας
Διαμόρφωση κατά φάση – PΜ
• Παράδειγμα διαμόρφωσης κατά φάση
>> fs=1000 fs = 1000 >> t=0:1/fs:1; >> x=cos(2*pi*50*t); >> figure(2); >> subplot(311), plot(t,x); >> m=cos(2*pi*5*t); >> subplot(312), plot(t,m); >> yp=cos(2*pi*50*t+5.*m); >> subplot(313), plot(t,yp);
( ) ( )ttx 502cos π=
( ) ( )ttm 52cos π=
Φέρον κύμα
Σήμα πληροφορίας
5=pk
Διαμόρφωση κατά συχνότητα – FΜ
• Το διαμορφωμένο κατά γωνία κύμα έχει τη γενική μορφή
• Η διαμόρφωση κατά συχνότητα στηρίζεται στις σχέσεις
• Το διαμορφωμένο κατά συχνότητα σήμα έχει τη μορφή
( ) ( )( )ttatx CoC ϕ+ω+ϕ= cos
Γενικός παράγοντας διαμόρφωσης κατά γωνία
( ) ( ) ( )∫+ϕ=ϕt
t
fo
o
dttmktt
Στιγμιαία (γωνιακή συχνότητα Υπό διαμόρφωση σήμα - πληροφορία
( ) ( ) ( )
+ϕ+ω= ∫
t
t
foC
o
dttmkttatx cos( )0=ϕoC
Για λόγους απλότητας
( ) ( ) ( )tmkdt
tdt f=ϕ
=ω
Διαμόρφωση κατά συχνότητα – FΜ
• Παράδειγμα διαμόρφωσης κατά συχνότητα
>> fs=1000; >> t=0:1/fs:1; >> x=cos(2*pi*50*t); >> figure(2); >> subplot(311), plot(t,x); >> m=30*cos(2*pi*5*t); >> subplot(312), plot(t,m); >> yf=cos(2*pi*50*t+0+5*(30*sin(2*pi*5*t)/(2*pi*5))); >> subplot(313), plot(t,yf);
5=fk
( ) ( )ttx 502cos π=
( ) ( )ttm 52cos30 π=
Φέρον κύμα
Σήμα πληροφορίας
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ π+ϕ=+ϕ1
0
52cos3050 dttdttmktt
t
fo
o
Διαμόρφωση επιγραμματικά Διαμόρφωση = μεταφορά σήματος m(t) πάνω σε μονοχρωματικό σήμα xC(t) = aC cos(φ0C+ωCt) με φέρουσα συχνότητα ωC
Α. Διαμόρφωση κατά εύρος (γενική μορφή) :
Β. Διαμόρφωση κατά γωνία (γενική μορφή) :
)cos()()( 0 ttatx CC ω+φ=
)](cos[)( 0 ttatx CCC φ+ω+φ=
Α. Διαμόρφωση κατά εύρος (AM = Amplitude Modulation) :
)()( tmkAta a+= )cos()]([)( 0 ttmkAtx CCa ω+φ+=
Β. Διαμόρφωση κατά γωνία
Β1. Διαμόρφωση κατά φάση (PM = Phase Modulation) :
Β2. Διαμόρφωση κατά συχνότητα (FM = Frequency Modulation) :
)()( tmkt p=φ )](cos[)( 0 tmktatx pCCCC +ω+φ=
)()()( tmktdtdt f=φ
=ω ])()(cos[)(0
0 ∫+ω+φ=t
tfC dttmktttx
)(tφ
m(t)
Διαμόρφωση – επιγραμματικά
Διαμόρφωση ΑΜ
Πλεονεκτήματα
Μικρή απαίτηση εύρους
συχνοτήτων
Ευκολία υλοποίησης
Μειονεκτήματα
Μεγάλη απαίτηση ισχύος
εκπομπής
Ισχυρές εξωτερικές παρεμβολές
Διαμόρφωση FM
Πλεονεκτήματα
Σχεδόν ανεπηρέαστη από
εξωτερικές παρεμβολές
Σήματα σταθερού εύρους
Μειονεκτήματα
Μεγάλη απαίτηση εύρους
συχνοτήτων
Σύνθετα και ακριβά κυκλώματα
υλοποίησης
Αποδιαμόρφωση - Demodulation
• Η διαδικασία διαχωρισμού του σήματος πληροφορίας από το σήμα της
φέρουσας συχνότητας ονομάζεται αποδιαμόρφωση (demodulation)
• Η αποδιαμόρφωση πραγματοποιείται στο δέκτη και λαμβάνεται η
πληροφορία του σήματος
• Πραγματοποιείται στο χώρο των συχνοτήτων με το διαχωρισμό των
χαρακτηριστικών των σημάτων
• Το σήμα ενισχύεται στο δέκτη (λόγω της εξασθένισης κατά τη μετάδοση)
αυξάνεται το εύρος του και διαχωρίζεται
Αποδιαμόρφωση κατά εύρος
• Το διαμορφωμένο κατά εύρος σήμα έχει τη μορφή (έστω k = 1)
• Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος (φάσμα)
• Το σήμα μεταβάλλεται μεταξύ ελαχίστων και μεγίστων τιμών καμπύλη
περιβάλλει το σήμα περίβλημα (envelope)
• Αποδιαμόρφωση ανιχνευτής περιβλήματος (envelope detector)
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )ttmtAttmAtx CCC ω+ω=ω+= coscoscos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CCCC AAMMXtx ω+ωδπ+ω−ωδπ+ω+ω+ω−ω=ω↔21
21
( ) ( )[ ]tmAtz +±=
Αποδιαμόρφωση κατά εύρος
• Παράδειγμα περιβλήματος στη διαμόρφωση κατά εύρος
( ) ( )[ ]tmAtz +±=
>> x=10*cos(2*pi*50*t); >> m=5*cos(2*pi*5*t); >> y=(10+m).*cos(2*pi*50*t); >> z=10+m; >> zm=-(10+m); >> subplot(511), plot(t,x); >> subplot(512), plot(t,m); >> subplot(514), plot(t,z); >> subplot(513), plot(t,y); >> subplot(514), plot(t,z); >> axis([0 1 -15 15]) >> subplot(515), plot(t,zm); >> axis([0 1 -15 15])
Περίβλημα – envelope ( )[ ]1
min≤=µ
Atm Δείκτης διαμόρφωσης –
modulation index 5.0=µ
Αποδιαμόρφωση κατά εύρος
• Μορφή των φασμάτων του παραδείγματος
>> X=fft(x); >> M=fft(m); >> Y=fft(y); >> subplot(311), plot(f,fftshift(abs(X)/((length(t)-1)/2))) >> axis([0 100]) >> subplot(312), plot(f,fftshift(abs(M)/((length(t)-1)/2))) >> axis([0 100]) >> subplot(313), plot(f,fftshift(abs(Y)/((length(t)-1)/2))) >> axis([0 100])
( ) ( )ω↔π= Xttx 502cos10)(
( ) ( )ω↔π= Mttm 52cos5)(
( )[ ] ( ) ( )ω↔π+= Yttmty 502cos10)(
Hzfm 45550 =−= Hzfm 55550 =+=
2M
Ορθογωνικό φίλτρο για την απομόνωση της πληροφορίας - BPF
Διαμόρφωση διπλής ζώνης κατά εύρος DSB – Double-Side Band
)(21)(
21)()cos()()( CCC MMXttmtx ω+ω+ω−ω=ω↔ω=
Αποδιαμόρφωση = πολλαπλασιασμός εκ νέου με φέρουσα cosωC t + φίλτρο χαμηλής διέλευσης
Διαμόρφωση = πολλαπλασιασμός σήματος m(t) με φέρουσα cosωC t
)(cos)()cos()()( 2 ttmttxtd CC ωω == )(21)(
21)( CC XXD ω+ω+ω−ω=ω↔
)(21)(
21)( CC MMX ω+ω+ω−ω=ω
)(21)2(
21)(
21)(
21)( ω+ω−ω=ω−ω+ω+ω−ω−ω=ω−ω MMMMX CCCCCC
)2(21)(
21)(
21)(
21)( CCCCCC MMMMX ω+ω+ω=ω+ω+ω+ω+ω−ω=ω+ω
ω+ω+ω+
ω+ω−ω=ω )2(
21)(
21
21)(
21)2(
21
21)( CC MMMMD
)2(41)(
21)2(
41)( CC MMMD ω+ω+ω+ω−ω=ω
Μετά από φίλτρο χαμηλής διέλευσης απομένει : )(21)(
21 tmM ↔ω
ω → ω+ωC
ω → ω−ωC
0=A
LPF
Διαμόρφωση διπλής ζώνης κατά εύρος DSB – Double-Side Band
• Παράδειγμα διαμόρφωσης διπλής ζώνης και αποδιαμόρφωσης
>> x=cos(2*pi*50*t); >> m=cos(2*pi*5*t); >> y=m.*cos(2*pi*50*t); >> d=y.*cos(2*pi*50*t); >> subplot(411), plot(t,x); >> subplot(412), plot(t,m); >> subplot(413), plot(t,y); >> subplot(414), plot(t,d);
• Παράδειγμα διαμόρφωσης διπλής ζώνης και αποδιαμόρφωσης
• Ο τετραγωνισμός του διαμορφωμένου σήματος οδηγεί σε ευκολότερη
απομόνωση και ανάκτηση του σήματος πληροφορίας
Διαμόρφωση διπλής ζώνης κατά εύρος DSB – Double-Side Band
>> X=fft(x); >> M=fft(m); >> Y=fft(y); >> D=fft(d); >> subplot(411), plot(f,fftshift(abs(X)/((length(t)-1)/2))); >> axis([-100 100]) >> subplot(412), plot(f,fftshift(abs(M)/((length(t)-1)/2))); >> axis([-100 100]) >> subplot(413), plot(f,fftshift(abs(Y)/((length(t)-1)/2))); >> axis([-100 100]) >> subplot(414), plot(f,fftshift(abs(D)/((length(t)-1)/2))); >> axis([-100 100])
Εξάρτηση από το φέρον σήμα
)(21)(
21 tmM ↔ω
)2(41)(
21)2(
41)( CC MMMD ω+ω+ω+ω−ω=ω
Διαμόρφωση στενής ζώνης κατά γωνία NB – Narrow Band
• Η διαμόρφωση βασίζεται στην παραδοχή
• Το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα γίνεται προσεγγιστικά
• Διαμόρφωση στενής ζώνης κατά φάση
• Διαμόρφωση στενής ζώνης κατά συχνότητα
( ) 90max
<<ϕ t ( ) ( ) ( )ttt ϕ≈ϕ≈ϕ sin1cos⇒
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ttata
ttattattatx
CC
CCC
ωϕ−ω≈≈ϕω−ϕω=ϕ+ω=
sincossinsincoscoscos
( ) ( ) ( ) ( )ttmaktatx CpC ω−ω≈ sincos
( ) ( ) ( ) ( )tdttmaktatx C
t
t
fC
o
ω
−ω≈ ∫ sincos
( )0=ϕoC
Για λόγους απλότητας
Διαμόρφωση ευρείας ζώνης κατά γωνία WB – Wide Band
• Δημιουργία ενός ΝΒ διαμορφωμένου σήματος, το οποίο τροποποιείται με τη
βοήθεια πολλαπλασιαστών συχνοτήτων
• Τελικό διαμορφωμένο σήμα ευρείας ζώνης
• Η αποδιαμόρφωση σημάτων διαμορφωμένων κατά συχνότητα γίνεται μέσω
ηλεκτρονική διάταξης διακριτής συχνότητας (frequency discriminator)
( ) ( )[ ]tntnatx c ϕ+ω= cos
( ) ( )[ ]tntnatx c ϕ+ω= cos Frequency discriminator
( ) ( )dt
tdkty dd
ϕ=
Ευαισθησία διακριτή
Μίξη σημάτων – Πολυπλεξία (multiplexing)
• Παράλληλη μετάδοση πολλών σημάτων πληροφορίας σε ένα «σύνθετο»
σήμα
• Βασίζεται στην ιδιότητα των μηνυμάτων περιορισμένης ζώνης (band
limited signals) το φάσμα τους μηδενίζεται πέρα από μία χαρακτηριστική
συχνότητα
• Ισχύει
• Για τη δημιουργία «σύνθετου» πολυπλεκτικού σήματος μετά τη
διαμόρφωση μεταφέρεται σε μία αποκλειστική ζώνη συχνοτήτων
( )( ) mm
mm
MM
ωωωωωωωωω
≤≤−≠−<>=
0,0
Μίξη σημάτων – Πολυπλεξία (multiplexing)
Σήματα περιορισμένης ζώνης (band limited) :
ω>ω=ω<ω<ω−≠
ω↔m
mmMtm||0
0)()(
(φάσμα συγκεντρωμένο σε μία ζώνη εύρους 2ωm με κέντρο το μηδέν)
Διαμόρφωση : 0)()cos()()( ≠ω↔ω= Xttmtx C mCmC ω+ω<ω<ω−ω
mCmC ω+ω−<ω<ω−ω−
για και
(φάσμα συγκεντρωμένο σε δύο ζώνες εύρους 2ωm με κέντρα τα –ωC και ωC )
ωC −ωC
| Χ(ω) | | M(ω) |
ωm −ωm
ωC −ωm −ωC −ωm ωC +ωm −ωC +ωm
Μίξη σημάτων – Πολυπλεξία (multiplexing)
Σήματα περιορισμένης ζώνης (band limited) :
ω>ω=ω<ω<ω−≠
ω↔m
mmMtm||0
0)()(
(φάσμα συγκεντρωμένο σε μία ζώνη εύρους 2ωm με κέντρο το μηδέν)
Διαμόρφωση : 0)()cos()()( ≠ω↔ω= Xttmtx C mCmC ω+ω<ω<ω−ω
mCmC ω+ω−<ω<ω−ω−
για και
(φάσμα συγκεντρωμένο σε δύο ζώνες εύρους 2ωm με κέντρα τα –ωC και ωC )
ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Δυνατότητα ταυτόχρονης διαμόρφωσης περισσοτέρων σημάτων αρκεί να μην αλληλεπικαλύπτονται τα φάσματα τους! Διαχωρισμός με φίλτρα διέλευσης ζώνης + (συνήθης) αποδιαμόρφωση
Σήματα προς μετάδοση :
Αντίστοιχες φέρουσες συχνότητες :
Διαμορφωμένα σήματα :
Πολυπλεξία = άθροιση διαμορφωμένων σημάτων με μη επικαλυπτόμενα φάσματα
)cos()()cos()()cos()()( 2211 ttmttmttmtx nn ω++ω+ω=
)(,),(),( 21 tmtmtm n
nωωω ,,, 21
)cos()(,),cos()(),cos()( 2211 ttmttmttm nn ωωω
Μίξη σημάτων – Πολυπλεξία (multiplexing)
×
×
)(1 ωM
)(2 ωM
)(3 ωM
)(1 ωm
)(2 ωm
)(3 ωm
~ 1cosω
~ 2cosω
~ 3cosω
Σ )(tx
)(ωX
1ω− 1ω 2ω2ω− 3ω3ω−
×
BPF = Band Pass Filter (Διέλευσης εντός ζώνης)
Μίξη σημάτων – Πολυπλεξία (multiplexing)
×
~ 2cosω
↔ω++ω+ω= )cos()()cos()()cos()()( 2211 ttmttmttmtx nn
)(21)(
21)(
21)(
21)(
21)(
21)( 22221111 nnnn MMMMMMX ω+ω+ω−ω++ω+ω+ω−ω+ω+ω+ω−ω=ω↔
BPF
)(1 ωm
)(2 ωm
)(3 ωm×
~ 3cosω
~ 1cosω
× LPF
)(tx
BPF
BPF
LPF
LPF
BPF = φίλτρο διέλευσης εντός ζώνης
LPF = φίλτρο χαμηλής διέλευσης
Εφαρμογή φίλτρου διέλευσης εντός ζώνης (BPF) = = διατήρηση μόνο ενός όρου :
)cos()()()(21)(
21)( ttmtxMMX kkkkkkkk ω=↔ω+ω+ω−ω=ω
Συνήθης αποδιαμόρφωση = = [ × cosωi ] + [ LPF ] =
= απομόνωση σήματος mk(t)
Ετεροδύνωση - Heterodyning
Rfff −=∆ RRfff ω−ω=π−π=∆π=ω∆ 222
)sin()sin()2sin()2sin()( 0000 RRRRRR tatatfatfatx φ+ω+φ+ω=φ+π+φ+π=
:ω∆−ω=ωRΜε
σήμα συχνότητας f (γωνιακή ω) με εύρος που μεταβάλλεται περιοδικά με συχνότητα Δf (γωνιακή Δω)
Δf = f − fR (γωνιακή Δω = ω − ωR ) = συχνότητα κτύπων (beat frequency)
Εφαρμογή: μετρήσεις στη διαστημική γεωδαισία με βάση το φαινόμενο Doppler (αλλοίωση συχνότητας λόγω μεταβολής σχετικής θέσης πομπού – δέκτη)
( )
π
−φ+ω
π
−φ∆+ω∆+φ+ω
π
−φ∆+ω∆−=2
sin2
sinsin2
sin)( 00 ttattaatx RR
Eτεροδύνωση = ανάμιξη (άθροιση) λαμβανομένου σήματος με συχνότητα f, με σήμα παραπλήσιας συχνότητας fR που παράγεται στο δέκτη ( fR ≈ f )
Αναλύεται εύκολα όταν έχει μικρή τιμή όταν fR f
Ετεροδύνωση - Heterodyning
Συχνότητα κτύπων : Δf = f – fR = 1 – 5/6 = 1/6 (TΔf = 6)
T = 1 f = 1
TR = 6/5 fR = 5/6
Δf = f − fR = 1/6
TΔf = 6
Παράδειγμα :
Συχνότητα λήψης : f = 1 (T = 1)
Συχνότητα δέκτη : fR = 5/6 (T = 6/5)
8 6
4
2
-2
-4
-6
-8
2 4 8 6 10 12 14 16
2 4 8 6 10 12 14 16
2 4 8 6 10 12 14 16
4
2
-2
-4
4
2
-2
-4
0
0
0
Μετάδοση ψηφιακού σήματος
• Η μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό σήμα στις γεωδαιτικές εφαρμογές
γίνεται συνήθως μέσω της μεθόδου διαμόρφωσης κωδικοποιημένων
ωθήσεων (PCM – Pulse Code Modulation)
Μετάδοση ψηφιακού σήματος
• Η PCM διαμόρφωση αποτελείται από τρία βήματα
• Δειγματοληψία (sampling) από αναλογικό σε διακριτό
• Κβαντοποίηση (quantizing) από διακριτό σε προεπιλεγμένες τιμές
• Κωδικοποίηση (encoding) αντικατάσταση από δυαδικούς κωδικούς
Δειγματοληψία – Sampling
• Για την αποφυγή του φαινομένου της παραποίησης το διάστημα
διακριτοποίησης πρέπει να επιλέγεται ίσο με το μισό του αντιστρόφου
της υψηλότερης συχνότητας που εμφανίζεται uN ή ίσο με το μισό του
μικρότερου μήκους κύματος xN
• Η συχνότητα uN ονομάζεται αποκόπτουσα συχνότητα Nyquist και η
συχνότητα 2uN ονομάζεται βαθμίδα διακριτοποίησης Nyquist
• Σύμφωνα με το θεώρημα δειγματοληψίας η ανακατασκευή του συνεχούς
σήματος είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί βάσει της εξίσωσης:
( ) [ ] ( )[ ]ssn
s nTtfnTxtx −=∑∞
−∞=
sinc
NNN
ux
xu
x 21,21
21
=∆
==∆
Κβαντοποίηση – Quantizing
• Κάθε διακριτή τιμή αντικαθίσταται με την πλησιέστερη τιμή σε ένα σύνολο
συγκεκριμένων τιμών
Κωδικοποίηση – Encoding • Κάθε κβαντοποιημένη τιμή αντικαθίσταται με έναν κωδικό αριθμό και στη
συνέχεια εκφράζεται στο δυαδικό σύστημα (0, 1)
• Ο αριθμός των ψηφίων του δυαδικού συστήματος εκφράζει το μέγεθος των
bits της κωδικοποίησης (π.χ., μουσικά CD: encoding PCM 16 bits ( = 216
επίπεδα κβαντοποίησης) στα 44ΚHz (= δειγματοληψία)
Μορφές μετάδοσης ψηφιακών σημάτων • Ψηφιακό σήμα ακολουθία από 0 και 1
• Η μετάδοση πραγματοποιείται μέσω ενός νέου σήματος m(t) με τιμές 1, 0, -1
• Οι διαδικασίες μετατροπής ονομάζονται signaling formats
Non Return to Zero - NRZ
Non Return to Zero bipolar – NRZ-B
Split-Phase (Manchester)
Return to Zero - RZ
Alternate Mark Inversion - AMI
Μορφές μετάδοσης ψηφιακών σημάτων • Η τελική μετάδοση του ψηφιακού σήματος γίνεται με τη διαμόρφωση ενός φέροντος
σήματος μέσω των κωδίκων με τρεις τρόπους
• Διαμόρφωση με εναλλαγή εύρους (Amplitude Shift Keying – ASK)
• Διαμόρφωση με εναλλαγή συχνότητας (Frequency Shift Keying – FSK)
• Διαμόρφωση με εναλλαγή φάσης (Phase Shift Keying – PSK GPS)
( ) ( )
==ω
=0,01,cos 1
mmtA
tx
( ) ( )( )
=ω=ω
=0,cos1,cos
2
1
mtAmtA
tx
( ) ( )( )
=π+ω=ω
=0,cos1,cos
mtAmtA
txC
C
Μορφές μετάδοσης ψηφιακών σημάτων
Ανακεφαλαίωση
• Συναρτήσεις φασματικής πυκνότητας ισχύος
• Ιδανικά φίλτρα
• Εισαγωγή στην εκπομπή και μετάδοση σήματος
• Διαμόρφωση – Αποδιαμόρφωση
• Πολυπλεξία
• Ετεροδύνωση
• Διαμόρφωση ψηφιακού σήματος