Post on 19-Feb-2019
Fisica B
Prof. Piccinini
Esercitazioni
Dott. Gianluca Pagnoni
E-mail: gianluca.pagnoni3@unibo.it
http://ishtar.df.unibo.it/
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 2
Operatore differenziale Nabla
zk
yj
xi
∂∂+
∂∂+
∂∂≡∇ ˆˆˆ
r
Consideriamo un campo vettoriale generico:
zyx vkvjviv ˆˆˆ ++=r
zz
∂∂+
∂∂+
∂∂≡∇ ˆ
1ˆˆφρ
φρ
ρr
φθφ
θθ
∂∂+
∂∂+
∂∂≡∇
sin
1ˆ1ˆˆrrr
rr
coordinate cartesiane
coordinate cilindriche
coordinate sferiche
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 3
Può essere applicato come divergenza e restituisce un numero reale:
zyx vz
vy
vx
v∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇ rr
Può essere applicato come rotore e restituisce un’ altro campo vettoriale
( ) ( ) ( )xyyxxzzxyzzy
zyx
zyx vvkvvjvvi
vvv
kji
v ∂−∂+∂−∂−∂−∂=∂∂∂=∧∇ ˆˆˆ
ˆˆˆrr
dove:
z
y
x
z
y
x
∂=∂∂
∂=∂∂
∂=∂∂
Data una funzione ),,( zyxf
Il gradiente è: kfz
jfy
ifx
f ˆˆˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
r
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 4
Calcolare la divergenza del campo vettoriale ( )zxyxyxv ,,2=r
( )=⋅
∂∂
∂∂
∂∂=⋅∇ zxyxyx
zyxv ,,,, 2r
Calcolare il rotore del campo vettoriale ( )zxyxyxv ,,2=r
( ) ( ) ( ) =∂−∂+∂−∂−∂−∂=×∇ kvvjvvivvv xyyxxzzxyzzyˆˆˆr
22 zxyxx −+
( ) ( ) ( ) kyjzyizxkyjzyizx ˆˆˆˆ0ˆ0ˆ0 +−=−+−−−=
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 5
Siano dati il vettore costante e il campo vettoriale
. Calcolare il gradiente della grandezza .( )zxyxyxv ,,2=r vcrr ⋅
( )321 ,, cccc =r
( ) ( )( )=
∂∂
∂∂
∂∂=⋅∇ zxyxyxccc
zyxvc ,,,,,, 2
321
r
( )=++
∂∂
∂∂
∂∂= zxycxycxc
zyx 322
1,,
( )2332321 ,,2 zxyczxcxczycycxc −+++=
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 6
1 - metodo: calcolo diretto
( )∫∫∫∫ΣΣ
⋅=Σ⋅11
),0,0(,,3
yxzyxa
v δδδrr
( )zyxa
v
yx
,,3
),0,0(
=
=Σr
rδδδ
=== ∫∫∫∫ΣΣ 11
233yx
Layxz
a δδδδ
66
32 aL
LaL ==
x
y
z
L
L
δΣ v
L/2
Dato il campo vettoriale calcolarne il
flusso attraverso una superficie cubica di lato L centrata
nell’origine
),,(3
1zyxav =r
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 7
∫∫∫ ∫∫Σ Σ
Σ⋅=⋅∇V
vVvrrr δδ
Calcoliamo allora vr⋅∇
aaaaa
zyxzyx
v =++=⋅
∂∂
∂∂
∂∂=⋅∇
3333),,(,,
r
∫∫∫∫∫∫∫∫ΣΣ
===Σ⋅Σ VV
aLVaVav 3δδδrr
2 - metodo: utilizziamo il teorema della divergenza
Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una
superficie cubica di lato L centrata nell’origine
),,(3
1zyxav =r
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 8
Il campo elettrico si annulla ne punto P se: 9=Q
q
rr
QE ˆ
4
12
0πε=
r
Due cariche sono disposte come in figura. Calcolare il rapporto delle
cariche affinchè il campo elettrico nel punto P sia nullo.
d d/2
P-Q+q
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 9
In questo punto il campo elettrico
complessivo è nullo
q
Q
dx
+=
1
rr
QE ˆ
4
12
0πε=
r
Due cariche elettriche sono disposte come in figura. Calcolare il
potenziale elettrostatico in un generico punto dell’asse x. Determinare
in quale punto dell’asse si annulla la derivata del potenziale elettrostatico
rispetto alla variabile x.
d
+Q+q
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 10
I vettori del campo elettrico generati in P dalle diverse cariche sono
tutti collineari per cui possono essere sommati come numeri dotati
di segno
20
20
2220 243
1
2
11
49
3
4
2
4
1
L
q
L
q
L
q
L
q
L
q
πεπεπε=
−−=
−−
rr
QE ˆ
4
12
0πε=
r
Principio di sovrapposizione
Calcolare nel punto P ,modulo
direzione e verso del campo
elettrico generato dalle cariche
elettriche indicate in figura
L L L
Pq-2q-3q
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 11
A) Q Q2 d rr
Qr
r
QQFA ˆ
2ˆ
22
2
2=⋅=
r
B)2
3Q
2
3Qd r
r
Qr
r
QQFB ˆ
1
4
9ˆ
1
2
3
2
32
2
2=⋅=
r
AB Frr
QF
rr
8
9ˆ
2
8
92
2
==
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 12
=−=⋅∫ BA
B
A
VVlErr
δ =
−2
11
4 0 LL
Q
πε
L
Q
2
12
4 0
−=πε
rr
QE ˆ
1
4 20πε
=r
( ) ∞+= Vr
QrV
04
1
πεr
L
Q 22
4 0
−=πε
Calcolare l’integrale di linea del campo elettrostatico generato dalla carica elettrica q lungo il percorso tratteggiato che congiunge A e B
B
L
q A
L
Campo elettrostatico è conservativo
gradVE −=r
16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 13
( )204
1
xdL
xEx −
=λλδ
πεδ
( )∫ −+=
L
xxdL
xE
02
04
δπελ
( )
+−=
−+=
LddxdLE
L
x
11
4
1
4 000 πελ
πελ
( )Ldd
L
+=
04πελ
Calcolare modulo direzione e verso del campo elettrostatico generato nel punto P dalla distribuzione lineare finita ed uniforme di carica elettrica indicata in figura
Er P
dL
λ
( )∫ −+−+−=
L
xxdL
xdLE
02
0
)(
4
δπελ
23/10/2012 G. Pagnoni
∫∞
∞ ⋅=P
estP lFLrr
δ
RP
λ
∞q
EqFest
rr−=
( ) PP
P
P qVVVqlEqL =−−=⋅−= ∞∞
∞ ∫rr
δ 0=∞V
000 22
44
1
ελπ
πελλδ
πε=== ∫ R
RR
lV
anello
P
02ελq
L P =∞
dove è il campo elettrico generato dall’anello carico
Er
( ) ∞+= Vr
QrV
04
1
πεr
Data una distribuzione lineare di carica elettrica in forma circolare di raggio R, ed
avente densità lineare λ uniforme, calcolare il lavoro necessario per trasportare una
carica puntiforme q dall’infinito al centro della distribuzione stessa
23/10/2012 G. Pagnoni
La superficie laterale di un cono e di una semisfera sono unite in modo da formare una superficie chiusa S. Internamente ad S, nel centro del cerchio che costituisce il bordo comune delle superfici di cui sopra, è posizionato un elettrone (q=-1.60x10-18
C). Calcolare il flusso del campo elettrostatico Φ(E) attraverso la superficie laterale del cono nell’ipotesi che il raggio della semisfera valga R=10 cm (ε0=8.85x10-12C2/Nm2
Rq
SCq 191060.1 −×−=
22120 1085.8 NmC−×=ε
cmR 10=
( ) ?=Φ Er
23/10/2012 G. Pagnoni
Considerando ora una superficie sferica centrata in q, la legge di Gauss ci dice
da cui0
2 εδδδδ qSESESESESemisferaSemisferaSemisferaS
=⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫rrrrrrrr
02εδ qSESemisfera
=⋅∫∫rr
sostituendo
612
19
000..
1018.01085.81.0
1060.122
−−
−
×−=×⋅
×−==−=⋅∫∫ εεεδ qqqSEConoLatSup
rr
Dalla legge di Gauss si ha che0εδ qSE
S
=⋅∫∫rr
e quindi anche
0..εδδδ qSESESE
ConoLatSupsemisferaS
=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫rrrrrr
23/10/2012 G. Pagnoni
23/10/2012 G. Pagnoni
Esame 24/09/2008
kQFkEVE ==−∇= ,,
23/10/2012 G. Pagnoni
La differenza di potenziale elettrostatico tra due punti A e B è definita come il lavoro cambiato di segno per portare la carica unitaria da A a B.
Esame 24/09/2008
23/10/2012 G. Pagnoni
23/10/2012 G. Pagnoni
Esame 14/06/2010
G. Pagnoni 22
Esame 14/06/2010
23/10/2012 G. Pagnoni
Esame 13/07/2010
23/10/2012 G. Pagnoni
Esame 13/07/2010
23/10/2012 G. Pagnoni
Esame 13/07/2010
23/10/2012 G. Pagnoni
Esame 01/02/2008
06/11/2012 G. Pagnoni 27
Esame 13/07/2010
06/11/2012 G. Pagnoni 28
Esame 13/07/2010
06/11/2012 G. Pagnoni 29
12 2dd =
S
dQ
C
QCVU
0
222
222
1
ε===
Q costante
La densità di energia non varia
2
2
1CVU =
dA
U
Volume
Uu EE
E ⋅==
volumedi unitàper ticaelettrosta energia :energia di densità
V
Uu E
E =1
11 V
Uu =
1
12 2
2
V
Uu =
V
QC
∆=
d
SC 0ε=
06/11/2012 G. Pagnoni 30
Due particelle di carica uguale ma di segno opposto partono contemporaneamente da due punti diversi, con velocità v1 e v2, nello stesso verso e su traiettorie parallele. Le particelle sono immerse in un campo magnetico uniforme e perpendicolare alla loro direzione. Le due cariche s’incontrano quando la direzione della prima è ruotata di 90° e quella della seconda di 150°. Qual è il rapporto tra le masse de lle due particelle?
Esame 23/07/2012
20/11/2012 G. Pagnoni 31
Calcolare il diametro di un filo di rame (ρ =168 × 10-8 Wm) in cui circola una corrente di 40 A, affinché dissipi una potenza di 1.6 W per ogni metro di lunghezza
20/11/2012 G. Pagnoni 32
Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt. Determinare la resistenza interna r della pila.
r=24.2 ohm
20/11/2012 G. Pagnoni 33
Una resistenza filiforme di sezione S=1 mm2 è costituita dall'unione di un filo di lunghezza l1=10 mm e resistività ρ1=5×10-5 Wm con un filo di lunghezza l2=5 mm e resistività ρ 2=3ρ 1. Quando la resistenza è attraversata da una corrente uniforme I = 5 A calcolare:
a) i campi elettrici nei due materiali
b) la differenza di potenziale ai capi della resistenza
c) la carica presente sulla superficie di separazione dei due materiali.
20/11/2012 G. Pagnoni 34
20/11/2012 G. Pagnoni 35
Un filo metallico di massa m scivola senza attrito su due rotaieposte a distanza d. Il binario è posto in un campo di induzione magnetica B diretto perpendicolarmente al piano del binario. Una corrente costante i circola dal generatore G lungo una rotaia, attraversa il filo e torna al generatore attraverso l'altra rotaia. Trovare la velocità (modulo, direzione e verso) del filo in funzione del tempo nell'ipotesi che esso sia fermo per t=0.
20/11/2012 G. Pagnoni 36
Un filo rettilineo conduttore di sezione circolare costituito da un materiale di densità pari a 2.5 g/cm3 è posto in un campo magnetico uniforme in modo che l'asse del filo sia perpendicolare alla direzione del campo. Nel filo si stabilisce una densità di corrente di 2.4x106 A/m2 e si fa aumentare il campo magnetico fino a quando la forza magnetica agente sul filo bilancia esattamente quella gravitazionale. Calcolare il valore di B al raggiungimento di questa condizione.
27/11/2012 G. Pagnoni 37
Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt. Determinare la resistenza interna r della pila.
r=24.2 ohm
27/11/2012 G. Pagnoni 38
S
QE
00 εεσ ==
0=−+ BA VVRi RC
t
eQQQRC
QQC
QR−
=−==+ 0;1
;01 &&
RC
t
eS
Q
S
QE
−==
0
0
0 εε
27/11/2012 G. Pagnoni 39
27/11/2012 G. Pagnoni 40
27/11/2012 G. Pagnoni 41
Un circuito costituito da un condensatore a facce piane parallele di forma circolare avente una carica Q (sia S la superficie delle armature e d la loro distanza) e da una resistenza R, è inizialmente aperto.
1) Calcolare il campo elettrico tra le armature.
Al tempo t=0 il circuito viene chiuso ed il condensatore comincia a scaricarsi:
2) Determinare la carica sulle armature in funzione del tempo.
Questo fatto determina una variazione temporale anche del campo elettrico tra le armature.
3)Determinare la corrente di spostamento attraverso una superficie circolare posta tra le armature.
S
QE
00 εεσ ==
0=−+ BA VVRi RC
t
eQQQRC
QQC
QR−
=−==+ 0;1
;01 &&
RC
t
eS
Q
S
QE
−==
0
0
0 εε
27/11/2012 G. Pagnoni 42
RC
t
eS
Q
S
QE
−==
0
0
0 εε
==Σ=Σ=Σ⋅= ∫∫ ∫∫∫∫ΣΣ
20000 rE
dt
ddE
dt
dEd
dt
ddE
dt
di
SS
πεεεεrr
RC
t
RC
t
eSRC
Qre
RCS
Qr
dt
dEr
−−−=−== 02
0
020
20
1 πε
πεπε
04/12/2012 G. Pagnoni 43
2d
i1 i2
d
i3
Iniziamo calcolando il campo magnetico generato dalle correnti i1 e i2:
( )
( )2
2022
1
1011
2
2
r
irB
r
irB
πµπ
µ
=
=
r
rEntrante nel foglio fra i due conduttori
Entrante nel foglio fra i due conduttori
Sia 1rr = allora rdrdr −=−= 22 12
quindi possiamo riscrivere il campo magnetico totale come:
( ) ( )( )rdr
riird
rd
i
r
irB
−+−=
−+=
2
2
22222102010
πµ
πµ
πµr
04/12/2012 G. Pagnoni 44
Sui lati ortogonali (2-4) ai fili agiscono forze uguali ed opposte che si cancellano fra di loro
Sui lati paralleli agiscono forze uguali ed opposte ma diverse in modulo
costante su tutto il filo
2d
i1 i2
d
i3
12
34
Sia R la distanza fra il lato 1 ed il filo 1 per la legge di Lorentz:
BldiFdrrr
×= 3 Br
ldBrr
⊥
( ) ( )RBdidlRBiFd
⋅=⋅= ∫ 3
0
31
r
( )dRBdiF +⋅−= 32
r021 =+= FFR
rrr
( ) ( )[ ] 03 =+−⋅ dRBRBdi ( ) ( )[ ] 0=+− dRBRB
( )
−+=
rd
i
r
irB
22210
πµr
022
2121 =−−
−+
−−
+dRd
i
dR
i
Rd
i
R
i
04/12/2012 G. Pagnoni 45
JlI = JdxdI =
2
00
2
0 22d
ax
aaxdxJdxI
ddd
=
=== ∫∫
∫−×=⋅
===
mWbdlB
axxJ
mcmd
/109.1
)(
06.06
5r
04/12/2012 G. Pagnoni 46
∫−×=⋅
===
mWbdlB
axxJ
mcmd
/109.1
)(
06.06
5r
∫ =⋅ IdlB 0µr
=××=×= −
−−
mH
mWbmWbI
/
104
109.1/109.17
5
0
5
πµ
AH
Wb1515 ==
04/12/2012 G. Pagnoni 47
∫−×=⋅
===
mWbdlB
axxJ
mcmd
/109.1
)(
06.06
5r
Ada
I 152
2 ==
2332
104.8106.3
30152mAAA
da −
− ⋅=⋅
=⋅=
04/12/2012 G. Pagnoni 48
d
xII
δ=
Il campo magnetico può essere calcolato come la somma dei contributi delle strisce parallele di larghezza dx
xd
IxxJI δδ
2
2==
se I fosse costante
( ) ( ) xxxdrd
Ix
d
Ix
xrB
P
δπ
µδπµδ
−+==
20
20 2
2
xδPx P
R
( ) ( ) ( ) ( )
−
++=−+
=−+
= ∫∫ dr
ddr
d
I
xdr
xx
d
I
xdrd
xIxrB
d
o
d
o
1ln2
02
02
0
πµδ
πµ
πδµ
11/12/2012 G. Pagnoni 49
x
11/12/2012 G. Pagnoni 50
( )( )
( )
===
===→=
21222
21222
20 )()(
)cos()cos(
ˆ4
1
r
y
r
qksen
r
qksen
r
qkrE
r
x
r
qk
r
qk
r
qkrE
rr
QrE
y
x
δθδθδδ
δθδθδδ
πεδ
rr
rr
rr
( )( )
( )( ) x
r
qrE
rE
xr
qrE
ErE atot
ytot
axtot
tot2
30
,
23
0,
4
1
0
4
1
πεπεδ =→
=
== ∫
rr
rr
rr
rrr
11/12/2012 G. Pagnoni 51
11/12/2012 G. Pagnoni 52
BveFL
rrr×−=
r̂t̂
ωO
nvtvrvv ntr ˆˆˆ ++=r
è data dal solo trascinamento della sbarratv
?=tv ϑrddst =t
t vdt
dr
dt
ds == ϑ
ωrvt =
è data dall’effetto della Forza di Lorentz non annullata dalla reazione vincolare della sbarra
rv
11/12/2012 G. Pagnoni 53
BerevBF ω==
r̂t̂
ωO
Gli elettroni sono spinti verso il centro di rotazione, il modulo della forza che sente un elettrone e- a distanza r da O è:
Bre
FE ω==
la differenza di potenziale è:
22
2
1
2
1Bl
dt
dBlBdrrV
l
o
ϑωω ===∆ ∫
( )Tagliato
d
dt
Bd
dt
BdSB
dt
ld Φ=⋅== ϑϑ2
1
2
1 2
Area del cerchio: ∫∫ ∫ =⋅===ππ
ϑπϑπ2
0
222
0 0
2
2
1
2
12 drrrdrdrA
r
11/12/2012 G. Pagnoni 54
11/12/2012 G. Pagnoni 55
11/12/2012 G. Pagnoni 56
Esame 12/01/2010
11/12/2012 G. Pagnoni 57
Esame 18/06/2009
11/12/2012 G. Pagnoni 58
11/12/2012 G. Pagnoni 59
Esame 22/04/2009
FV
F
23/10/2012 G. Pagnoni 60
Esame 23/12/2009