Esercizi di Elettromagnetismo - Istituto Nazionale di Fisica Nucleare...

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  • Esercizi di Elettromagnetismo svolti durante lo stesso corso per il C.d.L in Fisica nell’ a.a. 2015-’16

    M. Bauce

    1 Elettrostatica

    Esercizio 1

    Due palline (m = 1 g) cariche della stessa carica q sono appese allo stesso punto O tramite un filo lungo L= 10 cm. All’equilibrio il filo di ciascuna forma un angolo θ = 30° con la verticale. Calcolare il valore della carica q.

    Soluzione 1

    Bilanciando le forze lungo l’asse y (verticale):

    T cos θ = Fg ⇒ T = Fg

    cos θ

    e combinandolo nel bilanciamento delle forze lungo l’asse x (orizzontale):

    T sin θ = Fe ⇒ Fg sin θ

    cos θ = Fe .

    Utilizzanndo l’equazione di Coulomb per la forze elettrostatica si ha

    mg tan θ = q2

    4π�0(2d)2 =

    q2

    16π�0d2 =

    q2

    16π�0(L sin θ)2

    da cui si può ricavare la carica

    q2 = mg tan θ16π�0L 2 sin2 θ = 6.3 · 10−15 C2 ⇒ q = 7.9 · 10−8 C

    Esercizio 2

    Si considerino due cariche q1 e q2 (stesso segno di carica) di cui la prima ferma e la seconda, ad una distanza infinita dalla prima, che si muove in direzione di quella con una velocità iniziale v∞. Si calcoli la distanza di arresto della seconda carica in funzione delle altre quantità.

    Soluzione 2

    Ricordando la seconda legge della dinamica, sappiamo che in questo caso

    m d2r

    dt2 = q1 q2 4π�0r2

    ⇒ mdv dt

    = q1 q2

    4π�0r2 ⇒ mdv

    dr

    dr

    dt = mv(r)

    dv

    dr =

    q1 q2 4π�0r2

    1

  • 1 ELETTROSTATICA

    che si può riscrivere come

    v(r)dv = q2 q1 π�0m

    dr

    r2 ⇒ v(r)

    2

    2 = − q1 q2

    4π�0m

    1

    r + C

    e fissando C all’infinito quale

    r →∞ ⇒ C = v 2 ∞ 2

    si ha che v(r)2

    2 = − q1 q2

    4π�0m

    1

    r + v2∞ 2

    .

    Imponiamo che si fermi quando v(r) = 0 ottenendo la distanza di arresto

    0 = v2∞ 2 − q1 q2

    4π�0m

    1

    r ⇒ 1

    r = v2∞ 2

    4π�0m

    q1 q2 ⇒ r = q1 q2

    v2∞2π�0m

    Esercizio 3

    Calcolare il campo elettrico lungo l’asse passante per il centro di un anello carico (spira) di raggio R. Basandosi sul risultato ottenuto, considerare un anello di raggio a carico con Q = 6 ·10−8 C posto in verticale ed una carica q = 1.5 · 10−8 C e massa m = 10−15 kg posta lungo l’asse dell’anello ad una distanza a

    √ 3, inizialmente in quiete. Trascurando la forza peso e considerando solo il moto

    lungo l’asse dell’anello, calcolare il modulo della velocità della carica al suo passaggio al centro del cerchio. Soluzione 3

    Per questioni di simmetria l’unica componente non nulla del campo elettrico potrà essere quella lungo l’asse dell’anello, che chiameremo x. Definendo come θ l’angolo tra la congiungente il generico punto ed il segmento di anello considerato (ricordando che x = r · cos θ), vediamo che lungo l’asse il contributo di campo elettrico generato da un segmento con carica lineare λ sarà dato da

    dEx = dq

    4π�0r2 cos θ =

    λR dφ

    4π�0

    x

    r3 .

    Applicando il principio di sovrapposizione ed integrando lungo tutto l’anello avremo

    |Ex| = ∫ 2π

    0

    λR dφ

    4π�0

    x

    r3 = λR dφ

    4π�0

    2πx

    (R2 + x2)3/2 = λx

    2�0

    R

    (R2 + x2)3/2 .

    Nel caso specifico considerato l’anello avrà raggio a, e la carica partirà ferma ad una distanza pari a a

    √ 3. L’equazione differenziale del moto sarà quindi

    m dv

    dt = m

    dv

    dx

    dx

    dt = mv(x)

    dv

    dx = − qQ

    4π�0

    x

    (a2 + x2)3/2

    che diventa

    v(x)dv = − qQ 4π�0m

    x

    (a2 + x2)3/2 dx

    2

  • 1 ELETTROSTATICA

    v2

    2 =

    qQ

    4π�0m

    ∫ −x

    (a2 + x2)3/2 dx =

    qQ

    4π�0m

    1

    (a2 + x2)3/2 + C

    in cui, imponendo che v(a √

    3)= 0

    C = − qQ 4π�0m

    1

    2a ⇒ v(x)2 = qQ

    2π�0m

    [ 1√

    a2 + x2 − 1

    2a

    ] .

    Il valore della velocità quando la carica passa per il centro dell’anello, ovvero per x=0, vale

    v2(0) = qQ

    2π�0m

    1

    2a ⇒ v(0) =

    √ qQ

    2π�0m

    1

    2a = 2.84 m/s

    Esercizio 4

    Considerare 4 cariche identiche (positive) disposte sul piano (x,y), nei vertici di un quadrato di lato L = 10 cm. Calcolare il campo elettrico generato in un punto dell’asse y, nel caso in cui |y| > L/2 oppure |y| < L/2 e in un punto dell’asse z, ortogonale al piano in cui si trova il quadrilatero di cariche e passante per il centro di esso.

    Soluzione 4

    Chiamiamo li la distanza di ciascuna carica dal punto considerato nel calcolo del campo elettrico.

    CASO A) |y| > L 2

    Geometricamente si vede che

    l1 = l2 =

    √( L

    2

    )2 +

    ( y − L

    2

    )2 l3 = l4 =

    √( L

    2

    )2 +

    ( y +

    L

    2

    )2 da cui consegue che

    |E1| = |E2| = 1

    4π�0

    q

    l21 |E3| = |E4| =

    1

    4π�0

    q

    l23

    e per quel che riguarda le componenti, le uniche non nulle, per ragioni di simmetria, saranno in questo caso quelle lungo y

    |E1y| = |E1| cos θ1 = |E1| ∣∣|y| − L

    2

    ∣∣ l1

    = |E2y|

    |E3y| = |E3| cos θ3 = |E3| ∣∣|y|+ L

    2

    ∣∣ l3

    = |E4y| .

    Il modulo del campo elettrico totale lungo y sarà, per il principio di sovrapposizione

    |E| = |E1y|+ |E2y|+ |E3y|+ |E4y| = 2|E1y|+ 2|E3y| =

    = 2

    4π�0

    [ q

    l21

    ∣∣|y| − L 2

    ∣∣ l1

    + q

    l23

    ∣∣|y|+ L 2

    ∣∣ l3

    ] =

    q

    2π�0

     ∣∣|y| − L2 ∣∣(( L 2

    )2 + ( y − L

    2

    )2)3/2 + ∣∣|y|+ L

    2

    ∣∣(( L 2

    )2 + ( y + L

    2

    )2)3/2 

    CASO B) |y| < L 2

    3

  • 1 ELETTROSTATICA

    Geometricamente si vede che

    l1 = l2 =

    √( L

    2

    )2 +

    ( L

    2 − y )2

    l3 = l4 =

    √( L

    2

    )2 +

    ( L

    2 + y

    )2 e rispetto al caso precedente cambiano i versi, reciproci a due a due, delle componenti dei campi generati dalle 4 cariche quindi il modulo del campo elettrico totale lungo y sarà

    |E| = ||E1y|+ |E2y| − |E3y| − |E4y|| = 2 ||E1y| − |E3y|| =

    = q

    2π�0

     ∣∣|y| − L2 ∣∣(( L 2

    )2 + ( L 2 − y )2)3/2 −

    ∣∣|y|+ L 2

    ∣∣(( L 2

    )2 + ( L 2

    + y )2)3/2

     CASO C) lungo zIn questo caso

    l =

    √ z2 +

    ( L√ 2

    )2 ed il campo totale sarà pari a 4 volte le componenti dei singoli campi lungo l’asse z, ovvero

    |E| = 4 · q 4π�0

    1

    l2 |z| l

    = q

    π�0

    |z| l3

    = q

    π�0

    |z|( z2 + L

    2

    2

    )3/2 che per z � L diventa

    |E| = 4q 4π�0z2

    come ci si poteva aspettare.

    Esercizio 5 (ME.SI 1.2)

    Considerare 3 cariche identiche, q = 1 µC, disposte sui vertici di un triangolo equilatero di lato d = 10 cm. Calcolare la forza elettrostatica che agisce su ciascuna di esse. Se una delle tre cariche viene lasciata libera di muoversi, calcolare l’energia che acquista tale carica quando raggiunge una distanza r = +∞. Soluzione 5

    Per la simmetria del sistema la forza agente sulla carica posta su ciascun vertice del triangolo sarà diretta come la secante il lato opposto. Ad esempio, considerando le cariche 1 e 2 sull’asse x e l’asse y ortogonale a questo e passante per il punto mediano tra le due cariche, avremo che la forza sulla terza carica sarà diretta lungo l’asse y.

    E1y = q

    4π�0d2 cos

    ( θ

    2

    ) =

    q

    4π�0d2 cos 30° =

    q

    4π�0d2

    √ 3

    2 E2y = E1y .

    Ricordando la relazione tra forza elettrostatica e campo elettrico si ha dunque che

    F = qEtot = q2E1y = q2

    4π�0d2

    √ 3 = 1.55 N .

    4

  • 1 ELETTROSTATICA

    Se la terza carica viene liberata essa si muoverà lungo l’asse y sino a raggiungere l’infinito sotto il lavoro della forza elettrostatica esercitata dalle altre due cariche

    F = 2q2

    4π�0

    y( d2

    4 + y2

    )3/2 ∆EK = L = ∫ ∞ y0

    F · ds

    ∆EK =

    ∫ ∞ y0

    2q2

    4π�0

    y( d2

    4 + y2

    )3/2 dy = − 2q24π�0 [

    y( d2

    4 + y2

    )3/2 ]∞

    √ 3d 2

    = 2q2

    4π�0

    1

    d = 0.18 J .

    Esercizio 6

    Calcolare il campo elettrico prodotto da una sfera di raggio R con densità di carica non costante, ma data da ρ(r) = α/r2. (Notare le eventuali differenze rispetto ad una sfera con densità di carica omogenea ρ0 = 3α/R

    2.)

    Soluzione 6

    Come prima cosa si può ricavare la carica totale della sfera

    Q =

    ∫ R 0

    ρ(r) dV = 4π

    ∫ R 0

    ρ(r)r2 dr = 4πα

    ∫ R 0

    r2

    r2 dr = 4παR

    da cui vediamo che α = Q/(4πR). Applicando