Esercizi di Elettromagnetismo svolti durante lo stesso corso per il C.d.L in Fisica nell’ a.a. 2015-’16

M. Bauce

1 Elettrostatica

Esercizio 1

Due palline (m = 1 g) cariche della stessa carica q sono appese allo stesso punto O tramite un filo lungo L= 10 cm. All’equilibrio il filo di ciascuna forma un angolo θ = 30° con la verticale. Calcolare il valore della carica q.

Soluzione 1

Bilanciando le forze lungo l’asse y (verticale):

T cos θ = Fg ⇒ T = Fg

cos θ

e combinandolo nel bilanciamento delle forze lungo l’asse x (orizzontale):

T sin θ = Fe ⇒ Fg sin θ

cos θ = Fe .

Utilizzanndo l’equazione di Coulomb per la forze elettrostatica si ha

mg tan θ = q2

4π�0(2d)2 =

q2

16π�0d2 =

q2

16π�0(L sin θ)2

da cui si può ricavare la carica

q2 = mg tan θ16π�0L 2 sin2 θ = 6.3 · 10−15 C2 ⇒ q = 7.9 · 10−8 C

Esercizio 2

Si considerino due cariche q1 e q2 (stesso segno di carica) di cui la prima ferma e la seconda, ad una distanza infinita dalla prima, che si muove in direzione di quella con una velocità iniziale v∞. Si calcoli la distanza di arresto della seconda carica in funzione delle altre quantità.

Soluzione 2

Ricordando la seconda legge della dinamica, sappiamo che in questo caso

m d2r

dt2 = q1 q2 4π�0r2

⇒ mdv dt

= q1 q2

4π�0r2 ⇒ mdv

dr

dr

dt = mv(r)

dv

dr =

q1 q2 4π�0r2

1

1 ELETTROSTATICA

che si può riscrivere come

v(r)dv = q2 q1 π�0m

dr

r2 ⇒ v(r)

2

2 = − q1 q2

4π�0m

1

r + C

e fissando C all’infinito quale

r →∞ ⇒ C = v 2 ∞ 2

si ha che v(r)2

2 = − q1 q2

4π�0m

1

r + v2∞ 2

.

Imponiamo che si fermi quando v(r) = 0 ottenendo la distanza di arresto

0 = v2∞ 2 − q1 q2

4π�0m

1

r ⇒ 1

r = v2∞ 2

4π�0m

q1 q2 ⇒ r = q1 q2

v2∞2π�0m

Esercizio 3

Calcolare il campo elettrico lungo l’asse passante per il centro di un anello carico (spira) di raggio R. Basandosi sul risultato ottenuto, considerare un anello di raggio a carico con Q = 6 ·10−8 C posto in verticale ed una carica q = 1.5 · 10−8 C e massa m = 10−15 kg posta lungo l’asse dell’anello ad una distanza a

√ 3, inizialmente in quiete. Trascurando la forza peso e considerando solo il moto

lungo l’asse dell’anello, calcolare il modulo della velocità della carica al suo passaggio al centro del cerchio. Soluzione 3

Per questioni di simmetria l’unica componente non nulla del campo elettrico potrà essere quella lungo l’asse dell’anello, che chiameremo x. Definendo come θ l’angolo tra la congiungente il generico punto ed il segmento di anello considerato (ricordando che x = r · cos θ), vediamo che lungo l’asse il contributo di campo elettrico generato da un segmento con carica lineare λ sarà dato da

dEx = dq

4π�0r2 cos θ =

λR dφ

4π�0

x

r3 .

Applicando il principio di sovrapposizione ed integrando lungo tutto l’anello avremo

|Ex| = ∫ 2π

0

λR dφ

4π�0

x

r3 = λR dφ

4π�0

2πx

(R2 + x2)3/2 = λx

2�0

R

(R2 + x2)3/2 .

Nel caso specifico considerato l’anello avrà raggio a, e la carica partirà ferma ad una distanza pari a a

√ 3. L’equazione differenziale del moto sarà quindi

m dv

dt = m

dv

dx

dx

dt = mv(x)

dv

dx = − qQ

4π�0

x

(a2 + x2)3/2

che diventa

v(x)dv = − qQ 4π�0m

x

(a2 + x2)3/2 dx

2

1 ELETTROSTATICA

v2

2 =

qQ

4π�0m

∫ −x

(a2 + x2)3/2 dx =

qQ

4π�0m

1

(a2 + x2)3/2 + C

in cui, imponendo che v(a √

3)= 0

C = − qQ 4π�0m

1

2a ⇒ v(x)2 = qQ

2π�0m

[ 1√

a2 + x2 − 1

2a

] .

Il valore della velocità quando la carica passa per il centro dell’anello, ovvero per x=0, vale

v2(0) = qQ

2π�0m

1

2a ⇒ v(0) =

√ qQ

2π�0m

1

2a = 2.84 m/s

Esercizio 4

Considerare 4 cariche identiche (positive) disposte sul piano (x,y), nei vertici di un quadrato di lato L = 10 cm. Calcolare il campo elettrico generato in un punto dell’asse y, nel caso in cui |y| > L/2 oppure |y| < L/2 e in un punto dell’asse z, ortogonale al piano in cui si trova il quadrilatero di cariche e passante per il centro di esso.

Soluzione 4

Chiamiamo li la distanza di ciascuna carica dal punto considerato nel calcolo del campo elettrico.

CASO A) |y| > L 2

Geometricamente si vede che

l1 = l2 =

√( L

2

)2 +

( y − L

2

)2 l3 = l4 =

√( L

2

)2 +

( y +

L

2

)2 da cui consegue che

|E1| = |E2| = 1

4π�0

q

l21 |E3| = |E4| =

1

4π�0

q

l23

e per quel che riguarda le componenti, le uniche non nulle, per ragioni di simmetria, saranno in questo caso quelle lungo y

|E1y| = |E1| cos θ1 = |E1| ∣∣|y| − L

2

∣∣ l1

= |E2y|

|E3y| = |E3| cos θ3 = |E3| ∣∣|y|+ L

2

∣∣ l3

= |E4y| .

Il modulo del campo elettrico totale lungo y sarà, per il principio di sovrapposizione

|E| = |E1y|+ |E2y|+ |E3y|+ |E4y| = 2|E1y|+ 2|E3y| =

= 2

4π�0

[ q

l21

∣∣|y| − L 2

∣∣ l1

+ q

l23

∣∣|y|+ L 2

∣∣ l3

] =

q

2π�0

 ∣∣|y| − L2 ∣∣(( L 2

)2 + ( y − L

2

)2)3/2 + ∣∣|y|+ L

2

∣∣(( L 2

)2 + ( y + L

2

)2)3/2 

CASO B) |y| < L 2

3

1 ELETTROSTATICA

Geometricamente si vede che

l1 = l2 =

√( L

2

)2 +

( L

2 − y )2

l3 = l4 =

√( L

2

)2 +

( L

2 + y

)2 e rispetto al caso precedente cambiano i versi, reciproci a due a due, delle componenti dei campi generati dalle 4 cariche quindi il modulo del campo elettrico totale lungo y sarà

|E| = ||E1y|+ |E2y| − |E3y| − |E4y|| = 2 ||E1y| − |E3y|| =

= q

2π�0

 ∣∣|y| − L2 ∣∣(( L 2

)2 + ( L 2 − y )2)3/2 −

∣∣|y|+ L 2

∣∣(( L 2

)2 + ( L 2

+ y )2)3/2

 CASO C) lungo zIn questo caso

l =

√ z2 +

( L√ 2

)2 ed il campo totale sarà pari a 4 volte le componenti dei singoli campi lungo l’asse z, ovvero

|E| = 4 · q 4π�0

1

l2 |z| l

= q

π�0

|z| l3

= q

π�0

|z|( z2 + L

2

2

)3/2 che per z � L diventa

|E| = 4q 4π�0z2

come ci si poteva aspettare.

Esercizio 5 (ME.SI 1.2)

Considerare 3 cariche identiche, q = 1 µC, disposte sui vertici di un triangolo equilatero di lato d = 10 cm. Calcolare la forza elettrostatica che agisce su ciascuna di esse. Se una delle tre cariche viene lasciata libera di muoversi, calcolare l’energia che acquista tale carica quando raggiunge una distanza r = +∞. Soluzione 5

Per la simmetria del sistema la forza agente sulla carica posta su ciascun vertice del triangolo sarà diretta come la secante il lato opposto. Ad esempio, considerando le cariche 1 e 2 sull’asse x e l’asse y ortogonale a questo e passante per il punto mediano tra le due cariche, avremo che la forza sulla terza carica sarà diretta lungo l’asse y.

E1y = q

4π�0d2 cos

( θ

2

) =

q

4π�0d2 cos 30° =

q

4π�0d2

√ 3

2 E2y = E1y .

Ricordando la relazione tra forza elettrostatica e campo elettrico si ha dunque che

F = qEtot = q2E1y = q2

4π�0d2

√ 3 = 1.55 N .

4

1 ELETTROSTATICA

Se la terza carica viene liberata essa si muoverà lungo l’asse y sino a raggiungere l’infinito sotto il lavoro della forza elettrostatica esercitata dalle altre due cariche

F = 2q2

4π�0

y( d2

4 + y2

)3/2 ∆EK = L = ∫ ∞ y0

F · ds

∆EK =

∫ ∞ y0

2q2

4π�0

y( d2

4 + y2

)3/2 dy = − 2q24π�0 [

y( d2

4 + y2

)3/2 ]∞

√ 3d 2

= 2q2

4π�0

1

d = 0.18 J .

Esercizio 6

Calcolare il campo elettrico prodotto da una sfera di raggio R con densità di carica non costante, ma data da ρ(r) = α/r2. (Notare le eventuali differenze rispetto ad una sfera con densità di carica omogenea ρ0 = 3α/R

2.)

Soluzione 6

Come prima cosa si può ricavare la carica totale della sfera

Q =

∫ R 0

ρ(r) dV = 4π

∫ R 0

ρ(r)r2 dr = 4πα

∫ R 0

r2

r2 dr = 4παR

da cui vediamo che α = Q/(4πR). Applicando