Esercizi Fisica B 2012-2013 - ISHTAR - Innovative Software for...

Fisica B

Prof. Piccinini

Esercitazioni

Dott. Gianluca Pagnoni

E-mail: [email protected]

http://ishtar.df.unibo.it/

16/10/2012 Fisica B – G. Pagnoni 2

Operatore differenziale Nabla

zk

yj

xi

∂∂+

∂∂+

∂∂≡∇ ˆˆˆ

r

Consideriamo un campo vettoriale generico:

zyx vkvjviv ˆˆˆ ++=r

zz

∂∂+

∂∂+

∂∂≡∇ ˆ

1ˆˆφρ

φρ

ρr

φθφ

θθ

∂∂+

∂∂+

∂∂≡∇

sin

1ˆ1ˆˆrrr

rr

coordinate cartesiane

coordinate cilindriche

coordinate sferiche


Può essere applicato come divergenza e restituisce un numero reale:

zyx vz

vy

vx

v∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇ rr

Può essere applicato come rotore e restituisce un’ altro campo vettoriale

( ) ( ) ( )xyyxxzzxyzzy

zyx

zyx vvkvvjvvi

vvv

kji

v ∂−∂+∂−∂−∂−∂=∂∂∂=∧∇ ˆˆˆ

ˆˆˆrr

dove:

z

y

x

z

y

x

∂=∂∂

∂=∂∂

∂=∂∂

Data una funzione ),,( zyxf

Il gradiente è: kfz

jfy

ifx

f ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

r


Calcolare la divergenza del campo vettoriale ( )zxyxyxv ,,2=r

( )=⋅

∂∂

∂∂

∂∂=⋅∇ zxyxyx

zyxv ,,,, 2r

Calcolare il rotore del campo vettoriale ( )zxyxyxv ,,2=r

( ) ( ) ( ) =∂−∂+∂−∂−∂−∂=×∇ kvvjvvivvv xyyxxzzxyzzyˆˆˆr

22 zxyxx −+

( ) ( ) ( ) kyjzyizxkyjzyizx ˆˆˆˆ0ˆ0ˆ0 +−=−+−−−=


Siano dati il vettore costante e il campo vettoriale

. Calcolare il gradiente della grandezza .( )zxyxyxv ,,2=r vcrr ⋅

( )321 ,, cccc =r

( ) ( )( )=

∂∂

∂∂

∂∂=⋅∇ zxyxyxccc

zyxvc ,,,,,, 2

321

r

( )=++

∂∂

∂∂

∂∂= zxycxycxc

zyx 322

1,,

( )2332321 ,,2 zxyczxcxczycycxc −+++=


1 - metodo: calcolo diretto

( )∫∫∫∫ΣΣ

⋅=Σ⋅11

),0,0(,,3

yxzyxa

v δδδrr

( )zyxa

v

yx

,,3

),0,0(

=

=Σr

rδδδ

=== ∫∫∫∫ΣΣ 11

233yx

Layxz

a δδδδ

66

32 aL

LaL ==

x

y

z

L

L

δΣ v

L/2

Dato il campo vettoriale calcolarne il

flusso attraverso una superficie cubica di lato L centrata

nell’origine

),,(3

1zyxav =r


∫∫∫ ∫∫Σ Σ

Σ⋅=⋅∇V

vVvrrr δδ

Calcoliamo allora vr⋅∇

aaaaa

zyxzyx

v =++=⋅

∂∂

∂∂

∂∂=⋅∇

3333),,(,,

r

∫∫∫∫∫∫∫∫ΣΣ

===Σ⋅Σ VV

aLVaVav 3δδδrr

2 - metodo: utilizziamo il teorema della divergenza

Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una

superficie cubica di lato L centrata nell’origine

),,(3

1zyxav =r


Il campo elettrico si annulla ne punto P se: 9=Q

q

rr

QE ˆ

4

12

0πε=

r

Due cariche sono disposte come in figura. Calcolare il rapporto delle

cariche affinchè il campo elettrico nel punto P sia nullo.

d d/2

P-Q+q


In questo punto il campo elettrico

complessivo è nullo

q

Q

dx

+=

1

rr

QE ˆ

4

12

0πε=

r

Due cariche elettriche sono disposte come in figura. Calcolare il

potenziale elettrostatico in un generico punto dell’asse x. Determinare

in quale punto dell’asse si annulla la derivata del potenziale elettrostatico

rispetto alla variabile x.

d

+Q+q


I vettori del campo elettrico generati in P dalle diverse cariche sono

tutti collineari per cui possono essere sommati come numeri dotati

di segno

20

20

2220 243

1

2

11

49

3

4

2

4

1

L

q

L

q

L

q

L

q

L

q

πεπεπε=

−−=

−−

rr

QE ˆ

4

12

0πε=

r

Principio di sovrapposizione

Calcolare nel punto P ,modulo

direzione e verso del campo

elettrico generato dalle cariche

elettriche indicate in figura

L L L

Pq-2q-3q


A) Q Q2 d rr

Qr

r

QQFA ˆ

2ˆ

22

2

2=⋅=

r

B)2

3Q

2

3Qd r

r

Qr

r

QQFB ˆ

1

4

9ˆ

1

2

3

2

32

2

2=⋅=

r

AB Frr

QF

rr

8

9ˆ

2

8

92

2

==


=−=⋅∫ BA

B

A

VVlErr

δ =

−2

11

4 0 LL

Q

πε

L

Q

2

12

4 0

−=πε

rr

QE ˆ

1

4 20πε

=r

( ) ∞+= Vr

QrV

04

1

πεr

L

Q 22

4 0

−=πε

Calcolare l’integrale di linea del campo elettrostatico generato dalla carica elettrica q lungo il percorso tratteggiato che congiunge A e B

B

L

q A

L

Campo elettrostatico è conservativo

gradVE −=r


( )204

1

xdL

xEx −

=λλδ

πεδ

( )∫ −+=

L

xxdL

xE

02

04

δπελ

( )

+−=

−+=

LddxdLE

L

x

11

4

1

4 000 πελ

πελ

( )Ldd

L

+=

04πελ

Calcolare modulo direzione e verso del campo elettrostatico generato nel punto P dalla distribuzione lineare finita ed uniforme di carica elettrica indicata in figura

Er P

dL

λ

( )∫ −+−+−=

L

xxdL

xdLE

02

0

)(

4

δπελ

23/10/2012 G. Pagnoni

∫∞

∞ ⋅=P

estP lFLrr

δ

RP

λ

∞q

EqFest

rr−=

( ) PP

P

P qVVVqlEqL =−−=⋅−= ∞∞

∞ ∫rr

δ 0=∞V

000 22

44

1

ελπ

πελλδ

πε=== ∫ R

RR

lV

anello

P

02ελq

L P =∞

dove è il campo elettrico generato dall’anello carico

Er

( ) ∞+= Vr

QrV

04

1

πεr

Data una distribuzione lineare di carica elettrica in forma circolare di raggio R, ed

avente densità lineare λ uniforme, calcolare il lavoro necessario per trasportare una

carica puntiforme q dall’infinito al centro della distribuzione stessa

23/10/2012 G. Pagnoni

La superficie laterale di un cono e di una semisfera sono unite in modo da formare una superficie chiusa S. Internamente ad S, nel centro del cerchio che costituisce il bordo comune delle superfici di cui sopra, è posizionato un elettrone (q=-1.60x10-18

C). Calcolare il flusso del campo elettrostatico Φ(E) attraverso la superficie laterale del cono nell’ipotesi che il raggio della semisfera valga R=10 cm (ε0=8.85x10-12C2/Nm2

Rq

SCq 191060.1 −×−=

22120 1085.8 NmC−×=ε

cmR 10=

( ) ?=Φ Er

23/10/2012 G. Pagnoni

Considerando ora una superficie sferica centrata in q, la legge di Gauss ci dice

da cui0

2 εδδδδ qSESESESESemisferaSemisferaSemisferaS

=⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫rrrrrrrr

02εδ qSESemisfera

=⋅∫∫rr

sostituendo

612

19

000..

1018.01085.81.0

1060.122

−−

−

×−=×⋅

×−==−=⋅∫∫ εεεδ qqqSEConoLatSup

rr

Dalla legge di Gauss si ha che0εδ qSE

S

=⋅∫∫rr

e quindi anche

0..εδδδ qSESESE

ConoLatSupsemisferaS

=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫rrrrrr

23/10/2012 G. Pagnoni

23/10/2012 G. Pagnoni

Esame 24/09/2008

kQFkEVE ==−∇= ,,

23/10/2012 G. Pagnoni

La differenza di potenziale elettrostatico tra due punti A e B è definita come il lavoro cambiato di segno per portare la carica unitaria da A a B.

Esame 24/09/2008

23/10/2012 G. Pagnoni

23/10/2012 G. Pagnoni

Esame 14/06/2010

G. Pagnoni 22

Esame 14/06/2010

23/10/2012 G. Pagnoni

Esame 13/07/2010

23/10/2012 G. Pagnoni

Esame 01/02/2008

06/11/2012 G. Pagnoni 27

Esame 13/07/2010

06/11/2012 G. Pagnoni 28

Esame 13/07/2010

06/11/2012 G. Pagnoni 29

12 2dd =

S

dQ

C

QCVU

0

222

222

1

ε===

Q costante

La densità di energia non varia

2

2

1CVU =

dA

U

Volume

Uu EE

E ⋅==

volumedi unitàper ticaelettrosta energia :energia di densità

V

Uu E

E =1

11 V

Uu =

1

12 2

2

V

Uu =

V

QC

∆=

d

SC 0ε=

06/11/2012 G. Pagnoni 30

Due particelle di carica uguale ma di segno opposto partono contemporaneamente da due punti diversi, con velocità v1 e v2, nello stesso verso e su traiettorie parallele. Le particelle sono immerse in un campo magnetico uniforme e perpendicolare alla loro direzione. Le due cariche s’incontrano quando la direzione della prima è ruotata di 90° e quella della seconda di 150°. Qual è il rapporto tra le masse de lle due particelle?

Esame 23/07/2012

20/11/2012 G. Pagnoni 31

Calcolare il diametro di un filo di rame (ρ =168 × 10-8 Wm) in cui circola una corrente di 40 A, affinché dissipi una potenza di 1.6 W per ogni metro di lunghezza

20/11/2012 G. Pagnoni 32

Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt. Determinare la resistenza interna r della pila.

r=24.2 ohm

20/11/2012 G. Pagnoni 33

Una resistenza filiforme di sezione S=1 mm2 è costituita dall'unione di un filo di lunghezza l1=10 mm e resistività ρ1=5×10-5 Wm con un filo di lunghezza l2=5 mm e resistività ρ 2=3ρ 1. Quando la resistenza è attraversata da una corrente uniforme I = 5 A calcolare:

a) i campi elettrici nei due materiali

b) la differenza di potenziale ai capi della resistenza

c) la carica presente sulla superficie di separazione dei due materiali.

20/11/2012 G. Pagnoni 34

20/11/2012 G. Pagnoni 35

Un filo metallico di massa m scivola senza attrito su due rotaieposte a distanza d. Il binario è posto in un campo di induzione magnetica B diretto perpendicolarmente al piano del binario. Una corrente costante i circola dal generatore G lungo una rotaia, attraversa il filo e torna al generatore attraverso l'altra rotaia. Trovare la velocità (modulo, direzione e verso) del filo in funzione del tempo nell'ipotesi che esso sia fermo per t=0.

20/11/2012 G. Pagnoni 36

Un filo rettilineo conduttore di sezione circolare costituito da un materiale di densità pari a 2.5 g/cm3 è posto in un campo magnetico uniforme in modo che l'asse del filo sia perpendicolare alla direzione del campo. Nel filo si stabilisce una densità di corrente di 2.4x106 A/m2 e si fa aumentare il campo magnetico fino a quando la forza magnetica agente sul filo bilancia esattamente quella gravitazionale. Calcolare il valore di B al raggiungimento di questa condizione.

27/11/2012 G. Pagnoni 37

Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt. Determinare la resistenza interna r della pila.

r=24.2 ohm

27/11/2012 G. Pagnoni 38

S

QE

00 εεσ ==

0=−+ BA VVRi RC

t

eQQQRC

QQC

QR−

=−==+ 0;1

;01 &&

RC

t

eS

Q

S

QE

−==

0

0

0 εε

27/11/2012 G. Pagnoni 39

27/11/2012 G. Pagnoni 40

27/11/2012 G. Pagnoni 41

Un circuito costituito da un condensatore a facce piane parallele di forma circolare avente una carica Q (sia S la superficie delle armature e d la loro distanza) e da una resistenza R, è inizialmente aperto.

1) Calcolare il campo elettrico tra le armature.

Al tempo t=0 il circuito viene chiuso ed il condensatore comincia a scaricarsi:

2) Determinare la carica sulle armature in funzione del tempo.

Questo fatto determina una variazione temporale anche del campo elettrico tra le armature.

3)Determinare la corrente di spostamento attraverso una superficie circolare posta tra le armature.

S

QE

00 εεσ ==

0=−+ BA VVRi RC

t

eQQQRC

QQC

QR−

=−==+ 0;1

;01 &&

RC

t

eS

Q

S

QE

−==

0

0

0 εε

27/11/2012 G. Pagnoni 42

RC

t

eS

Q

S

QE

−==

0

0

0 εε

==Σ=Σ=Σ⋅= ∫∫ ∫∫∫∫ΣΣ

20000 rE

dt

ddE

dt

dEd

dt

ddE

dt

di

SS

πεεεεrr

RC

t

RC

t

eSRC

Qre

RCS

Qr

dt

dEr

−−−=−== 02

0

020

20

1 πε

πεπε

04/12/2012 G. Pagnoni 43

2d

i1 i2

d

i3

Iniziamo calcolando il campo magnetico generato dalle correnti i1 e i2:

( )

( )2

2022

1

1011

2

2

r

irB

r

irB

πµπ

µ

=

=

r

rEntrante nel foglio fra i due conduttori

Entrante nel foglio fra i due conduttori

Sia 1rr = allora rdrdr −=−= 22 12

quindi possiamo riscrivere il campo magnetico totale come:

( ) ( )( )rdr

riird

rd

i

r

irB

−+−=

−+=

2

2

22222102010

πµ

πµ

πµr

04/12/2012 G. Pagnoni 44

Sui lati ortogonali (2-4) ai fili agiscono forze uguali ed opposte che si cancellano fra di loro

Sui lati paralleli agiscono forze uguali ed opposte ma diverse in modulo

costante su tutto il filo

2d

i1 i2

d

i3

12

34

Sia R la distanza fra il lato 1 ed il filo 1 per la legge di Lorentz:

BldiFdrrr

×= 3 Br

ldBrr

⊥

( ) ( )RBdidlRBiFd

⋅=⋅= ∫ 3

0

31

r

( )dRBdiF +⋅−= 32

r021 =+= FFR

rrr

( ) ( )[ ] 03 =+−⋅ dRBRBdi ( ) ( )[ ] 0=+− dRBRB

( )

−+=

rd

i

r

irB

22210

πµr

022

2121 =−−

−+

−−

+dRd

i

dR

i

Rd

i

R

i

04/12/2012 G. Pagnoni 45

JlI = JdxdI =

2

00

2

0 22d

ax

aaxdxJdxI

ddd

=

=== ∫∫

∫−×=⋅

===

mWbdlB

axxJ

mcmd

/109.1

)(

06.06

5r

04/12/2012 G. Pagnoni 46

∫−×=⋅

===

mWbdlB

axxJ

mcmd

/109.1

)(

06.06

5r

∫ =⋅ IdlB 0µr

=××=×= −

−−

mH

mWbmWbI

/

104

109.1/109.17

5

0

5

πµ

AH

Wb1515 ==

04/12/2012 G. Pagnoni 47

∫−×=⋅

===

mWbdlB

axxJ

mcmd

/109.1

)(

06.06

5r

Ada

I 152

2 ==

2332

104.8106.3

30152mAAA

da −

− ⋅=⋅

=⋅=

04/12/2012 G. Pagnoni 48

d

xII

δ=

Il campo magnetico può essere calcolato come la somma dei contributi delle strisce parallele di larghezza dx

xd

IxxJI δδ

2

2==

se I fosse costante

( ) ( ) xxxdrd

Ix

d

Ix

xrB

P

δπ

µδπµδ

−+==

20

20 2

2

xδPx P

R

( ) ( ) ( ) ( )

−

++=−+

=−+

= ∫∫ dr

ddr

d

I

xdr

xx

d

I

xdrd

xIxrB

d

o

d

o

1ln2

02

02

0

πµδ

πµ

πδµ

11/12/2012 G. Pagnoni 49

x

11/12/2012 G. Pagnoni 50

( )( )

( )

===

===→=

21222

21222

20 )()(

)cos()cos(

ˆ4

1

r

y

r

qksen

r

qksen

r

qkrE

r

x

r

qk

r

qk

r

qkrE

rr

QrE

y

x

δθδθδδ

δθδθδδ

πεδ

rr

rr

rr

( )( )

( )( ) x

r

qrE

rE

xr

qrE

ErE atot

ytot

axtot

tot2

30

,

23

0,

4

1

0

4

1

πεπεδ =→

=

== ∫

rr

rr

rr

rrr

11/12/2012 G. Pagnoni 51

11/12/2012 G. Pagnoni 52

BveFL

rrr×−=

r̂t̂

ωO

nvtvrvv ntr ˆˆˆ ++=r

è data dal solo trascinamento della sbarratv

?=tv ϑrddst =t

t vdt

dr

dt

ds == ϑ

ωrvt =

è data dall’effetto della Forza di Lorentz non annullata dalla reazione vincolare della sbarra

rv

11/12/2012 G. Pagnoni 53

BerevBF ω==

r̂t̂

ωO

Gli elettroni sono spinti verso il centro di rotazione, il modulo della forza che sente un elettrone e- a distanza r da O è:

Bre

FE ω==

la differenza di potenziale è:

22

2

1

2

1Bl

dt

dBlBdrrV

l

o

ϑωω ===∆ ∫

( )Tagliato

d

dt

Bd

dt

BdSB

dt

ld Φ=⋅== ϑϑ2

1

2

1 2

Area del cerchio: ∫∫ ∫ =⋅===ππ

ϑπϑπ2

0

222

0 0

2

2

1

2

12 drrrdrdrA

r

11/12/2012 G. Pagnoni 54

11/12/2012 G. Pagnoni 55

11/12/2012 G. Pagnoni 56

Esame 12/01/2010

11/12/2012 G. Pagnoni 57

Esame 18/06/2009

11/12/2012 G. Pagnoni 58

11/12/2012 G. Pagnoni 59

Esame 22/04/2009

FV

F

23/10/2012 G. Pagnoni 60

Esame 23/12/2009

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