8. Integrali tripli

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 2

Formule di riduzione

Cambio di variabili

Un dominio normale rispetto al piano xy è un insieme dellaforma

D= { (x,y,z) ∈R3 : (x,y) ∈ D, α(x,y) É z Éβ(x,y) } .

Si ha la formula di integrazione per filiÑD

f (x,y,z)dx dy dz =Ï

Ddx dy

∫ β(x,y)

α(x,y)f (x,y,z)dz

=Ï

D

(∫ β(x,y)

α(x,y)f (x,y,z)dz

)dx dy .

Analoghe formule valgono per domini normali rispetto ai pianixz o yz.

Dato un dominio D⊆R3 aperto e limitato, con quote tra a e b(z ∈ [a,b]), vale la formula di integrazione per stratiÑ

Df (x,y,z)dx dy dz =

∫ b

adz

ÏDz

f (x,y,z)dx dy

=∫ b

a

(ÏDz

f (x,y,z)dx dy

)dz ,

dove Dz è lo strato di D di quota z:

Dz = { (x,y) ∈R2 : (x,y,z) ∈D } .

Analoghe formule valgono rispetto alle coordinate x e y.

Esercizio 1Calcola I =

ÑP

(x−y−z)dx dy dz , dove

P = { (x,y,z) ∈R3 : −1 É x É 0, 0 É y É 1, 0 É z É 1} .

Esercizio 2Calcola I =

ÑP

x dx dy dz, dove P è il parallelepipedo

determinato dai piani x = 0,y = 0,z = 0,x = 2,y = 3,z = 1.

Esercizio 3Calcola I =

ÑV

x5y3z dx dy dz, dove

V = {(x,y,z) ∈R3 : 0 É x É 1, 0 É y É x, 0 É z É xy

}.

Esercizio 4Calcola I =

ÑE

xz dx dy dz, dove

E = {x Ê 0, z Ê 0, 0 É y É 2−x2 −z2} .

Esercizio 5Calcola I =

ÑT

(x+z)dx dy dz, dove

T = {(x,y,z) ∈R3 : x > 0, y > 0, z > 0, x+y+z < 1

}.

Esercizio 6Calcola I =

ÑT

x dx dy dz, dove T è il tetraedro di vertici

(0,0,0), A = (1,0,0), B = (0,1,0) e C = (0,0,1).

Esercizio 7Calcola il volume del solido

T := {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 É z É 4y−1} .

Esercizio 8Calcola il volume del solido

T = {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 +z2 É y}.

Formule di riduzione

Cambio di variabili

Consideriamo un cambio di coordinate Φ : A → B (A,B ⊆R3) diclasse C1:

(u,v,w) → (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)

).

Indichiamo con J(u,v,w) il determinante della matricejacobiana

J(u,v) = det

∂ux ∂vx ∂wx∂uy ∂vy ∂wy∂uz ∂vz ∂wz

.

Se Φ è biettivo e J(u,v,w) /= 0 (tranne al più su un insieme dimisura nulla), allora:Ñ

Bf (x,y,z)dx dy dz

=Ñ

Af(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)

)|J(u,v,w)|dudv dw .

Coordinate cilindriche:

x = r cosϑ , y = r sinϑ , z = z ,

(x2 +y2 = r2) , |J | = r .

Allora:

ÑB

f (x,y,z)dx dy dz =Ñ

Af (r cosϑ,r sinϑ,z)r dr dϑdz .

Esercizio 9Calcola

ÑT

(x3 +z)dx dy dz , dove

T ={

(x,y,z) : x2 +y2 + z2

4É 1, z Ê

√x2 +y2

}.

Esercizio 10Calcola I =

ÑT

(x2 +z)dx dy dz , dove

T = {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 É z É 4

}.

Esercizio 11Calcola il volume del solido T ottenuto dalla rotazione attornoall’asse z della figura piana

G ={

(y,z) ∈R2 : 1−z É y Ép1−z, z ∈ [0,1]

}.

Nota. In generale, ruotando la regione piana G nel semipiano(y,z) con y Ê 0 rispetto all’asse z, si ha la regionetridimensionale

T ={

(x,y,z) ∈R3 :

(√x2 +y2,z

)∈ G

},

per cui

Vol(T) = 2πÏ

Gr dr dz .

Coordinate polari sferiche:

x = r sinϕcosϑ , y = r sinϕsinϑ , z = r cosϕ ,

(x2 +y2 +z2 = r2) , |J | = r2 sinϕ .

Allora:

ÑB

f (x,y,z)dx dy dz

=Ñ

Af (r sinϕcosϑ,r sinϕsinϑ,r cosϕ)r2 sinϕdr dϑdϕ .

Esercizio 12Calcola I =

ÑT

(x2 + sinz)dx dy dz , dove

T = {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 +z2 É 1, x Ê 0, y Ê 0}.

Esercizio 13Calcola

ÑT

ln(x2 +y2 +z2)dx dy dz , dove

T = {1 É x2 +y2 +z2 É 4}∩ {z Ê√

x2 +y2} .

Coordinate polari ellissoidali:

x = ar sinϕcosϑ , y = br sinϕsinϑ , z = cr cosϕ ,(x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1

), |J | = abcr2 sinϕ .

Allora:

ÑB

f (x,y,z)dx dy dz

=Ñ

Af (ar sinϕcosϑ,br sinϕsinϑ,cr cosϕ)abcr2 sinϕdr dϑdϕ .

Esercizio 14Calcola I =

ÑV

z dx dy dz, dove

V ={

(x,y,z) ∈R3 :x2

a2+ y2

b2+ z2

c2É 1, x Ê 0, y Ê 0, z Ê 0

}.