Esercizio 2 - HOEPLI.it · 2 Analisi delle reti Esercitazioni aggiuntive Esercizio 2.1 Calcolare la...

2

Analisi delle reti

Esercitazioni aggiuntive

Esercizio 2.1

Calcolare la tensione ai capi A e B del seguente circuito, applicando il teorema di Millman:

R1

I R2

+E

I1

A

BE = 10 [v]I = 1 [A]I1 = 1 [A]R1 = 10 [Ω]R2 = 20 [Ω]

Esaminando il circuito si osserva, da sinistra verso destra, che:– il primo ramo, tra i punti A e B, è costituito soltanto da un generatore di corrente;– il secondo contiene un generatore di tensione ideale con una resistenza in serie;– il terzo consiste soltanto di una resistenza;– il quarto è costituito da un generatore di corrente.Per determinare la tensione VAB occorre quindi adoperare la seguente formula:

V

IER

I

R R

AB =+ +

+=

+ +

+=1

1

1 2

1 1

11010

1

110

120

20

[v]

Si osservi come, nota VAB

, sia necessario usare altre relazioni per risolvere la rete.Si osservi ancora che per determinare rapidamente la tensione V

AB sarebbe bastato trasformare la

serie E – R1 in un generatore reale di corrente e poi calcolare il parallelo sia dei generatori di corrente

sia delle resistenze, ottenendo quindi una rete a una sola maglia.

AnAlISI dEllE REtI2

Esercizio 2.2

determinare le tensioni e le correnti in tutti i rami della seguente rete:

R4I R2

+E

R1

R3

I = 1 [A]E = 5 [v]R

1 = 10 [Ω]

R2 = 10 [Ω]

R3 = 8 [Ω]

R4 = 2 [Ω]

Si valuti, per prima cosa, la serie R3 – R

4.

R R Rs = + =3 4 10 [Ω]

Si effettui poi la trasformazione thevenin-norton per il generatore ideale E con in serie la resistenza Rs :

Rs

+E

I Rs

in cui IE

Rs

' .= = 0 5 [A].

Si ottiene così il seguente circuito:

I R2R1 Rs I’

IR1 IR2 IRsI1

ESERCItAzIonI 3

che si trasforma in:

RpIp

con I I Ip = + =' .1 5 [A] ed 1 1 1 1

0 31 2R R R Rp s

= + + = . [S]; Rp ≅ 3 3. [Ω].

la tensione su Rp è:

V I RR p pp

= = 4 9. [v]

Inoltre V V V V VI R R R Rs p= = = =

1 2, quindi:

I

V

RR

R

1

1

1

0 49= = . [A]

poichè R R2 1= è:

I IR R2 10 49= = . [A]

Riferendosi, ora, al circuito iniziale si osserva che:

I I I IR R E3 4 1= = =

I I I IR R1 1 20+ + − =

I I I IR R1 1 20 02= − − = . [A]

Quindi:

V I RR3 1 3 0 16= = . [v]

V I RR4 1 4 0 04= = . [v]

V E V VR R Rp3 45 2 4 9+ + = ≠ =. .

Questo non è accettabile perchè la differenza di potenziale tra due punti deve risultare la stessa qualunque siano il percorso e il modo con cui venga calcolata. Questa discrepanza deriva dall’ap-prossimazione alla prima cifra decimale su Rp.

Si rifacciano i calcoli calcolando Rp con 3 cifre decimali.

AnAlISI dEllE REtI4

Esercizio 2.3

Applicare il teorema di thevenin alla rete lineare rispetto ai morsetti A e B.

R2

+E

R4R1

R3

I

A

B

E = 20 [v]I = 3 [A]R

1 = 5 [Ω]

R2 = 4 [Ω]

R3 = 8 [Ω]

R4 = 16 [Ω]

Calcolo della resistenza della rete equivalente di thevenin, che è quella vista dai morsetti A e B cortocircuitando il generatore di tensione indipendente E e aprendo il generatore di corrente indi-pendente I.

definendo R’eq

come il parallelo di R2, R

3 ed R

4 si ha:

1 1 1 1

0 43752 3 4R R R R

eq'

.= + + = [S],

e quindi:

Req

' .= 2 2857 [Ω]

la resistenza della rete equivalente di thevenin vale quindi:

R R Req eq= + =1 7 2857' .

[Ω]

Calcolo della tensione del generatore Veq

della rete equivalente di thevenin.definendo RP come il parallelo tra R

3 ed R

4 si ha:

R

R R

R RP =+

=3 4

3 4

5 3333. [Ω]

la rete, con la sostituzione di RP al parallelo tra R

3 ed R

4, diventa:

ESERCItAzIonI 5

R2

+E

RpR1

I

A

B

Effettuando la trasformazione norton-thevenin del generatore di corrente I:

I R2

R2

+

E¢

definendo

E IR' = =2 12

[v]

si ottiene la rete:

+E

RpR1A

B

R2

+E’

I1VRpVR2

A’

VA’B

Si può scrivere:

E V V ER RP

' − − − =2

0

Poichè:

V I RR2 1 2=

V I RR PP

= 1

si ottiene:

E I R I R Ep' − − − =1 2 1 0

AnAlISI dEllE REtI6

da quest’ultima si calcola allora:

IE E

R Rp1

2

0 8571=−+

= −'

. [A]

Si osservi che è anche:

V V EA B R'

'+ − =2

0

Quindi:

V E V E I RA B R'' ' .= − = − =

2 1 2 15 4284 [v]

Allora:

V V Veq AB A B= = =' .15 4284 [v]

Esercizio 2.4

data la rete riportata in figura si determini la tensione ai capi del generatore di corrente I.

+R3

+E

R2

R1

I

V1

J 1

J 2 J 3

VI

I1

E = 10 [v]V

1 = hI1 [v]

I = 1 [A]R

1 = 60 [Ω]

R2 = 30 [Ω]

R3 = 20 [Ω]

h = 2 [Ω]

la rete è costituita da 3 maglie indipendenti e contiene 3 nodi indipendenti; pertanto ai fini della sua risoluzione risulta indifferente utilizzare o il metodo delle correnti di maglia o quello dei potenziali di nodo. Si consideri, anche, che il potenziale del nodo a cui sono collegati sia il generatore di corrente I che il generatore pilotato di tensione V

1 non è noto, dato che quest’ultimo dipende dalla corrente

su R1.

Si scelga, inizialmente, di determinare la grandezza cercata usando il metodo delle correnti di maglia.

Si scelgano arbitrariamente le correnti di maglia J1, J

2, J

3; si scriva, poi, il sistema risolvente,

ricordando di esprimere tramite le correnti di maglia la grandezza pilotante I1 che circola su R

1.

ESERCItAzIonI 7

Coerentemente con le assegnazioni in figura si ottiene il seguente sistema risolvente:

J R R J R V

J R R J R J R E

J R

I1 1 2 2 2

2 2 3 1 2 3 3

3 3

( )+ − =+( ) − − =

− JJ R V V

J J I

V hJ

I2 3 1

1 3

1 1

= − −

− =

=

Risolvendo il sistema letteralmente si ottiene:

JJ R R IR E

R R12 2 3 3

2 3

=+( ) + −

+

JIR E R R R h

R R R h

IR

R23 3 1 2

2 3 1

3

1

= −−( ) + + +( )

+( ) +( ) −+ hh

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

J2 0 039= − .

J1 0 161= .

J3 0 839= − .

Quindi dall’equazione alla maglia in cui circola J3 si ha:

VI = 15 66.

Si determini VI mediante il metodo dei potenziali di nodo e si confrontino i due procedimenti.

Esercizio 2.5

Per la rete riportata in figura si determini il circuito equivalente di thevenin alla porta A – B.

R2

+

R1 R3

R4

R5E2

hi2E1

A B

I2

E1 = 20 [v]

E2 = 5 [v]

R1 = 10 [Ω]

R2 = 50 [Ω]

R3 = 10 [Ω]

R4 = 20 [Ω]

R5 = 20 [Ω]

h = 2

AnAlISI dEllE REtI8

Si determini il generatore E0 della rete equivalente di thevenin.

la rete da considerare è la seguente:

R2

+

+

R1 R3

R4

E2

hi2E1

A B

I2

J1 J2V

VAB

Si osservi come la maglia contenente il generatore E2 risulti aperta; pertanto si può pensare di

risolvere il circuito con il metodo delle correnti di maglia, in quanto il sistema risolvente risulta co-stituito da 2 equazioni in due incognite.

Si assegnino le due correnti di maglia J1 e J2

; con i versi di figura si ottiene il seguente sistema:

( )R R J R J E

R R R J R J V

J hI

I

1 2 1 2 2 1

2 3 4 2 2 1

2 2

+ − =+ +( ) − =

=

22 1 2= −

J J

dalle 3a e 4

a si ha:

J

h

hJ2 11

=+

Sostituendo nelle prime due equazioni del sistema, semplificando e sostituendo i dati si ottiene:

Jh E

h R R hR11

1 2 2

1

10 75=

+( )+( ) +( ) − = .

[A]

J2 0 5= .

[A]

l’equazione di Kirchhoff alle tensioni per la maglia aperta includente la porta A-B si scrive come:

V E VAB R+ + =2 40

Poichè V J RR4 2 4= , sostituendo si ricava:

E0 = VAB = –E2 – J2R4 = –15 [v]

la tensione ai capi del generatore pilotato di corrente vale:

V R R R J R J= + +( ) − =2 3 4 2 2 1 2 5. [v]

ESERCItAzIonI 9

Calcolo di R0.

Per calcolare la resistenza della rete equivalente di thevenin si consideri il seguente circuito:

R2

R1 R3

R4

A B

I2

I0

J 1 J 2

J 3

hi2

Si osservi che a causa della presenza del generatore pilotato per valutare R0 occorre inserire tra i capi

A e B un generatore di “test”.Applicando il metodo delle correnti di maglia e definendo J

1, J

2 e J

3 come in figura si ottiene il

seguente sistema:

J R R J R

J R R R J R V

J R J R

1 1 2 2 2

2 2 3 4 1 2

3 4 2

0( )+ − =+ +( ) − =

− 44

2 1 2

3 0

=

= −( )=

V

J h J J

J I

'

dalla penultima equazione si ottiene:

J

h

hJ2 11

=+

e sostituendo:

J R Rh

hJ R

h

hJ R R R J R V

1 1 2 1 2

1 2 3 4 1 2

10

1

( )+ −+

=

++ +( ) − =

II Rh

hJ R V0 4 1 41

−+

=

'

Usando i valori numerici e semplificando si determina facilmente il valore di J1, che sostituito nella 3a equazione permette di ricavare:

RV

IR0

04 20= = =

'

[Ω]

Spiegare fisicamente perchè R R0 4= .

AnAlISI dEllE REtI10

la rete equivalente di thevenin è schematizzabile come nella seguente figura:

R5

+

R0

VAB

A

B

Esercizio 2.6

Risolvere la seguente rete con i metodi delle correnti di maglia e dei potenziali di nodo:

R2

+

+

R1 R3

R4

R5E2

hi2E1

I2

R1 = 10 [Ω] R5 = 20 [Ω]

R2 = 50 [Ω] E1 = 20 [v]R3 = 10 [Ω] E2 = 5 [v]R4 = 20 [Ω] h = 2

Risoluzione con il metodo delle correnti di maglia.

R2

+

+

R1 R3

R4

R5E2

E1

I2

J a

J b J c Vhi2

dopo aver assegnato le correnti di maglia si scriva il sistema risolvente. Con le scelte riportate in figura si ottiene:

( )R R J R J E

R R R J R J V

R R

b c

c b

1 2 2 1

2 3 4 2

4 5

+ − =

+ +( ) − =

+( )JJ R J E

J hI

I J J

a c

c

b c

− =

=

= −

4 2

2

2

ESERCItAzIonI 11

dalle ultime due equazioni si ha:

J

h

hJb c=

+1

Sostituendo nella 1a equazione e usando i valori numerici si ricava:

Jc = 0 5. [A]

Quindi:

Jb = 0 75. [A]

V = 2 5. [V]

Ja = 0 375. [A]

E I R5 5 5= [A]

I JE b10 75= = .

[A]

I JR b10 75= = .

[A]

V R IR R1 11 7 5= = . [v]

V R IR2 2 2 12 5= = . [v]

I JR c30 5= = .

[A]

V R IR R3 33 5= = [v]

I J JR c a40 125= − = .

[A]

V R IR R4 44 2 5= = . [v]

I JE a20 375= = .

[A]

I JR a50 375= = . [A]

V R IR R5 55 7 5= = . [v]

Risoluzione con il metodo dei potenziali di nodo. In questo caso conviene trasformare il generatore di tensione reale E

1, con in serie la resistenza

R1, i n un generatore di corrente reale I

1 (con in parallelo la resistenza R

1), e il generatore di tensione

reale E2 nel generatore di corrente reale I’

2.

I1 e I’

2 valgono rispettivamente:

I

E

R11

1

2= = [A]

I

E

R22

5

0 25' .= = [A]


Assegnando i potenziali ai nodi come in figura si ottiene:

R2R1

R3

R4

R5

hi2I1

I21

V1

3V3

V2

2

V

0V0

I’2

1 1 1 1 1 1

1 2 31

32

1 23R R R

VR

VR R

V I+ +

− − +

= 11

32

31 2

1 2 4 53

1 1

1 1 1 1 1

RV

RV hI

R R R RV

− = −

+ + +

−

RR RV I I

IR

V V

1 21 2 1

22

1 3

1

1

+

= −

= −( )

'

Sostituendo la 4a equazione, utilizzando i valori numerici e semplificando si ha:

0 22 0 1 0 12 2

0 06 0 1 0 04 01 2 3

1 2 3

. . .

. . .

V V V

V V V

− − =

− + − =

−− + = −

0 12 0 22 1 751 3. . .V V

da cui si ottiene:

V V1 31 833 14 583= +. .

Sostituendo si ha quindi:

V3 2 504= − . [v]

V2 4 994= . [v]

V1 9 993= . [v]

dai valori dei potenziali di nodo si calcolano

I2 0 25= . [A]

hI2 0 5= .

e gli altri valori, uguali a quelli calcolati con il metodo delle correnti di maglia.

ESERCItAzIonI 13

Esercizio 2.7

Per la rete di figura si determinino le tensioni e le correnti in ogni ramo. Si effettui infine il bilancio delle potenze.

R3

+

E

R2

R1

I +V’1

I1

R1 = 60 [Ω] E = 10 [v]

R2 = 30 [Ω] I = 1 [A]

R3 = 20 [Ω] V’

1 = hI

1h = 2 [Ω]

Si analizzi preliminarmente la struttura della rete.

mi = 3; n = 4; n

i = 3; l = 6

Si ha che mi = n

i.

Per la risoluzione di questa rete si utilizza il metodo dei potenziali di nodo.Si faccia riferimento alla figura, in cui sono indicati anche i potenziali assegnati ai diversi nodi;

il sistema risolvente è:

R3

+

E

R2

R1

I +V’

I1

V1

1

V2V3

V0

IE IV1

1 1 1 1

1 1

1 21

22

13

2 3

R RV

RV

RV I

R R

E+

− − =

+

VV

RV I

RV

RV I I

V E

V V

V

22

1

13

11

1

3 1

1

1 11

− =

− = −

=

=

'

'


Inoltre

I

V V

R

E hI

R11 3

1

1

1

=−

=−

, poiché V1 10= [v]

da quest’ultima si ottiene:

I1 0 161= . [A]

Quindi:

V V hI3 1 1 0 322= = =' . [v] e V2 16 060= . [v]

Si ricava allora:

I3 0 803= . [A]

I2 0 202= . [A]

dall’equazione di Kirchhoff al nodo con potenziale V1:

IE = −0 041. [A], e analogamente

IV1

0 839' .= [A]; con una semplice differenza si ha:

VI = 15 738. [v].

le tensioni ai capi delle resistenze R1, R

2, R

3 sono immediatamente calcolabili.

Bilancio delle potenze.

P Pg R=∑ ∑

EI V I V I V I V I V IE I V R R R+ + = + +1 1 2 3

1 1 2 3

''

che diventa:

EI V I V I V V I V V I V IE I V

+ + = −( ) + −( ) +1 1 3 1 2 1 2 2 31

''

e, quindi,

15.598 ≅ 15.678 [W] = [W].

Esercizio 2.8

Per la rete di figura determinare il circuito equivalente di thevenin ai morsetti A-B.

R3

R1

R2

I

EA

+

B

R1 = 20 [Ω]

R2 = 30 [Ω]

R3 = 100 [Ω]

E = 10 [v]I = 1 [A]

ESERCItAzIonI 15

Calcolo del generatore E0 della rete equivalente di thevenin.

Si faccia riferimento allo schema di figura.

E V E IR ER0 33

90= − = − = [V]

Calcolo della resistenza R0.

Si deve, preliminarmente, modificare la rete data cortocircuitando i generatori indipendenti di tensione e aprendo i generatori di corrente; si ottiene così:

R3

R1

R2 A

B

R0

Si deduce subito che:

R0 = R

3 = 100 [Ω]

la rete equivalente è allora:

R0

+E0

A

B

Esercizio 2.9

Scrivere in forma letterale le equazioni risolventi la rete di figura col metodo delle correnti di maglia e col metodo dei potenziali di nodo.

R2

R1

R3

+

+

E1

R5 I5R6

E2

+

R4

E4

Risoluzione col metodo delle correnti di maglia.


Si trasforma il generatore di corrente reale nel generatore di tensione equivalente:

R2

R1

R3

+

+

E1

E2

R4

E4R6

R5

+E5J a J b

Jd

J c +

in cui E I R5 5 5= .

lo studio preliminare della rete permette di dedurre che essa è composta da l = 10 rami, da n = 7 nodi, e contiene m

i = 4 maglie indipendenti.

Il sistema risolvente sarà costituito allora da 4 equazioni in altrettante incognite, e, con riferi-mento alla figura, si scriverà:

J R J R E

J R R J R J R

J R R R

a b

b a c

c

1 6 1

6 2 6 2

2 3 5

0

− =

+ − − =

+ +

( )

(( ) − − = +

+ − = −

J R J R E E

J R R J R E E

b d

d c

2 5 2 5

4 5 5 4 5( )

Risoluzione con il metodo dei potenziali di nodo.Si trasformano i generatori di tensione in generatori di corrente e si ottiene:

I1 R1 R2 R6

R3

I2

I4 I5R4 R5

V2V1

con

I

E

R22

3

= ; IE

R11

1

= ; IE

R55

5

=

Il sistema risolvente è:

VR R R R

VR

I I

VR R

11 2 3 6

23

1 2

24

1 1 1 1 1

1 1

+ + +

− = −

+55 3

13

4 5 2

1 1+

− = − +

R

VR

I I I

ESERCItAzIonI 17

Esercizio 2.10

dato il circuito di figura calcolare quale tensione deve produrre il generatore E1 affinchè chiudendo

il contatto t non si abbia passaggio di corrente nell’interruttore stesso.

R2

R1

R3

R4

R5

+E2

R6

+E3

+

E1

t

R1 = 50 [Ω]

R2 = 5 [Ω]

R3 = 40 [Ω]

R4 = 20 [Ω]

R5 = 20 [Ω]

R6 = 5 [Ω]

E2 = 30 [v]

E3 = 40 [v]

R2

R1

R3

R4

R5

+E2

R6

+E3

+

E1

t A

B

I

V’A V’’A

Si osservi lo schema; si indichi con I la corrente sull’interruttore; con V’AB la tensione ai capi della

resistenza R3, pari a quella del contatto t a interruttore aperto; e con V’’

AB la tensione alla sezione A –

B dello schema, cioè quella tra il terminale della R4 non connesso all’interruttore e il nodo B.

Se chiudendo l’interruttore t non si deve avere passaggio di corrente nell’interruttore stesso si deve avere:

V’AB

(I = 0) = V’’AB

(I = 0)

Se la corrente che circola sull’interruttore chiuso è nulla tutta la corrente che attraversa la R1 passerà

sulla R3; quindi:

V

E R

R RAB' ( )0 1 3

1 3

=+

Si osservi poi che se I = 0 la caduta di tensione su R4 è nulla e che si ha:

V EAB'' ( )0 403= = [v]

Perciò: E

1 = 90 [v]


Esercizio 2.11

determinare l’energia immagazzinata in ciascuno dei condensatori della rete in regime stazionario.

5 mA 5 k Ω

3 k Ω

3 mF

6 k Ω

2 mF5 k Ω

In regime stazionario si può sostituire ciascun condensatore con un circuito aperto. l’energia imma-gazzinata vale:

W CV=

1

22

dove C è la capacità del condensatore e V è la tensione ai suoi capi.Si ottiene il seguente schema:

5 mA 5 k Ω

3 k Ω6 k Ω

5 k ΩV2

V1

I1

la corrente I1 si può calcolare con il metodo del partitore di corrente:

I1

3

3 3 33 35 10

3 10 5 10 5 105 10 1 923 10=

⋅⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ = ⋅− −. [A]

I1 1 923= . [mA]

le tensioni V1 e V2 sui condensatori si calcolano facilmente e valgono, rispettivamente:

V1 5 769= . [v] e V2 9 615= . [v]

Per cui le energie immagazzinate nei due condensatori sono:

W1 50= [mJ] e W2 92= [mJ]

ESERCItAzIonI 19

Esercizio 2.12

Ricavare il circuito equivalente di thevenin ai morsetti A-B del circuito di figura.

R

A

R

R

R

R

E+

B

Calcolo del generatore E0 della rete equivalente.

da considerazioni sulla simmetria della rete rispetto il ramo contenente il generatore E si ricava:

E0 0=

si dimostri tale risultato usando l’analisi circuitale.Calcolo della resistenza Req della rete equivalente.Si cortocircuita il generatore E, ottenendo la rete seguente:

R

A

R

R

R

R

B

Considerando le due resistenze con un terminale al nodo A e quella connessa tra i restanti terminali delle stesse si ottiene un triangolo, costituito da tre resistori di uguale valore R; pertanto la stella a esso equivalente sarà pure costituita da tre resistenze uguali e di valore:

R R R

R R

R

R1 2 3 3 3= = =

⋅=


Sostituendo la stella i cui componenti sono stati ora calcolati al triangolo si ottiene il seguente schema:

R/3

R

R/3

R

R/3

A

B

Semplici calcoli di resistenze in serie e in parallelo consentono ora di derivare la resistenza Req

:

RR

RR

RR

RR

Req = +

+

+

+

= +3

3 3

23

3

2RRR

3=

la rete equivalente di thevenin è perciò:

Req

A

B

Esercizio 2.13

Calcolare la tensione dei punti A, B, e C del circuito in figura con i dati riportati:

+

+R1

R2

R3

R4A1

E1

E2

ESERCItAzIonI 21

E1 = 5 [v]

E2 = 3 [v]

R1 = 1 [kΩ]

R2 = 2 [kΩ]

R3 = 3 [kΩ]

R4 = 4 [kΩ]

A1 = 10 [mA]

Si sceglie di adoperare il metodo dei potenziali di nodo, osservando che è possibile eliminare un nodo (improprio) applicando la trasformazione di thevenin-norton al generatore di tensione E

2.

Si ottiene così il seguente schema:

+

R1

R2

R4A1

E1

R3 A2

IE A

B C

con AE

R22

3

1= = [mA].

Il sistema risolvente è il seguente:

1 1

1 1 1

1

4 41

1 2 21

RV

RV A I

R RV

RV A

A C E

B C

− = +

+

− = −

RR R RV

RV

RV A

V E

C B A

A

2 3 4 2 42

1

1 1 1 1+ +

− − =

=

Sostituendo la 4a equazione e usando i valori numerici si ottiene:

1 25 10 2 5 10 1 10

1 5 10 5

3 4 2

3

. .

.

⋅ − ⋅ = ⋅ +

⋅ − ⋅

− − −

−

V I

V

C E

B 110 1 10

1 083 10 5 10 1 25 1

4 2

3 4

− −

− −

= − ⋅

⋅ − ⋅ − ⋅

V

V V

C

C B. . 00 1 103 3− −= ⋅


dalla 2a si ricava:

V VC B= +3 20

Si ottiene, poi:

VB = −7 184. [v]

VC = −1 552. [v]

Esercizio 2.14

determinare il circuito equivalente di norton ai morsetti A – B della rete elettrica riportata in figura.

R2

R1

+E

R4

A

B

R3

I

R1 = 4 [Ω]

R2 = 8 [Ω]

R3 = 8 [Ω]

R4 = 5 [Ω]

E = 12 [v]I = 2 [A]

Per determinare il circuito equivalente di norton ai morsetti A – B della rete occorre calcolare i valori del generatore di corrente I

0 e della resistenza R

0.

Calcolo di I0.

Si faccia riferimento alla seguente rete:

R2

R1

+E

R4

A

B

R3

I I0

dopo le opportune semplificazioni, e definendo:

R R Rs = + =2 3 16 [Ω]

ESERCItAzIonI 23

I

E

R11

3= = [A] e

I I Ip = + =1 5 [A]

si ottiene:

I

R

R RI

sp0

1

1

1=+

= [A]

Calcolo di R0.

la rete da analizzare è la seguente:

R2

R1 R4

A

B

R3

R0

Si osserva che:

RR R R R

R R R R01 2 3 4

1 2 3 4

4=+ +( )+ +( ) + = [Ω]

Pertanto la rete equivalente di norton è la seguente:

A

B

R0I0

Esercizio 2.15

Per il circuito riportato in figura determinare la corrente in tutti i resistori.

2 A

1 Ω

2 Ω 2 Ω

1 Ω 2 Ω 1 Ω


Si osservi come tra i punti A, B e C vi sia un triangolo di resistenze, trasformabile in una stella a esso equivalente:

2 A

1 Ω

2 Ω 2 Ω

1 Ω 2 Ω 1 Ω

AB

C

A

B C

1 Ω2 Ω

2 Ω CB

A

R3

R1

R2

Per calcolare i valori delle resistenze R1, R

2 ed R

3 si applicano le formule di trasformazione, e si ha:

R1

1 2

2 1 20 4=

⋅+ +

= . [Ω]

R2

2 2

2 1 20 8=

⋅+ +

= . [Ω]

R3

2 1

2 1 20 4=

⋅+ +

= . [Ω]

Con questa trasformazione si ha:

2 A1 Ω 2 Ω 1 Ω

AB

C

I1 I2 I3

I4

R1 R2 R3

D

E

ESERCItAzIonI 25

trasformando il generatore di corrente in un generatore di tensione equivalente si ha:

1 Ω2 Ω

1 Ω

AB

C

I1

I2I3

R1R2

R3

D

E

+Eeq

con Eeq = ⋅ =2 2 4 [v].

Infine, calcolando le resistenze equivalenti alle diverse serie, e cioè:

R Rs1 1 1 1 4= + = . [Ω]

R Rs2 2 2 2 8= + = . [Ω]

R Rs3 3 1 1 4= + = . [Ω]

allora:

V

E

R

R R R

DE

eq

s

s s s

=+ +

=2

1 2 3

1 1 10 8. [v]

I

V

RDE

s1

1

0 571= = . [A]

Siccome:

E I R Veq s DE+ − =2 2

0

I2 1 143= − . [A]

IV

R

V

RIDE

s

DE

s3 1

3 1

0 571= = = = . [A]

I I4 22 0 857= + = . [A]

Inoltre:

V I IAB − ⋅ + ⋅ =1 41 2 0


da cui:

VAB = −1 143. [v]

I

Vb

AB= − =2

0 571. [A]

I Id = =1 0 571. [A]

I I Ia b d= − = 0 [A]

I If = =3 0 571. [A]

I Ic f= = 0 571. [A]

I Ie = =4 0 857. [A]

Esercizio 2.16

Per il circuito di figura determinare:1) il circuito equivalente di norton ai morsetti a – b;2) la resistenza R

L da inserire ai morsetti a – b in modo che essa assorba la massima potenza.

+ +E

R1

Vab βI R2 Vab

a

b

I

Calcolo della corrente di cortocircuito I0.

Per il calcolo della corrente di cortocircuito I0 si faccia riferimento al seguente schema:

+ +E

R1

Vab βI R2

a

b

II0

Si ha:

I I0 = β

E IR Vab− − =1 0

In questo caso Vab = 0 , quindi:

IE

R=

1

IE

R01

=β

ESERCItAzIonI 27

Calcolo della resistenza R0 della rete equivalente di norton.

Per il calcolo della resistenza R0 della rete equivalente di norton ci si riferisca alla seguente

rete:

+

Vab βI R2

a

b

I

I1

R1

IR2 +E1

R0

Poiché la rete presenta generatori pilotati, che non devono essere modificati, per il calcolo di R0 oc-

corre sollecitare il circuito con un generatore di “test” noto E1.

Si ha:

R

E

I01

1

=

dall’esame del circuito si deduce:

V Eab = 1

I

E

R= − 1

1

I I I E

R R

R RR1 11 2

1 22

= − =+

ββ

Quindi:

R

R R

R R01 2

1 2

=+ β

Il circuito equivalente di norton ai morsetti a – b è quindi:

R0I0

a

b


Esercizio 2.17

Per il seguente circuito determinare la rete equivalente di thevenin ai capi del resistore R3.

R4

R3

R5J

R2

E+

E = 24 [v]J = 1 [mA]R

2 = 10 [kΩ]

R3 = 4 [kΩ]

R4 = 40 [kΩ]

R5 = 20 [kΩ]

Calcolo del generatore Eeq

.Per questo scopo ci si riferisca alla seguente rete:

R4 R5J

R2

E+

Eeq

IR4

A B

IR5

Si deduce:

E V Veq A B= −

V V

ER

R RA R= − = −+

= −4

4

4 2

19 2. [v]

V R JB = =5 20 [v]

Quindi:

Eeq = −39 2. [v]

Calcolo della resistenza Req

.Per il calcolo della resistenza R

eq occorre cortocircuitare i generatori indipendenti di tensione e

aprire i generatori indipendenti di corrente; pertanto la rete diventa:

ESERCItAzIonI 29

R4 R5

R2 A B

Req

R

R R

R RReq = +

+ =2 4

2 45 28 [kΩ]

Quindi, considerando collegato il carico R3, si ha:

R3

Req

+Eeq

A

B

Esercizio 2.18

determinare il circuito equivalente di thevenin della rete di figura:

ix

a

b

4i x 10 Ω 8 Ω

Calcolo di Eeq

.Poiché il circuito è privo di generatori indipendenti Eeq = 0 .Calcolo di R

eq.

Per calcolare Req

si applica un generatore di test del valore I0 = 1 [A] come descritto dal seguente

schema:

ix

a

b

4i x 10 Ω 8 Ω V0 I0


Applicando l’analisi nodale:

I i iV

iV

x x

x

00

0

410

8

+ = +

= −

Si ottiene:

I i

V V V VVx0

0 0 0 003

10

3

8 10

11

400 275= + = − + = − = − .

e quindi:

R

V

Ieq = = −0

0

3 636. [Ω]

Il valore negativo ottenuto per la resistenza dice che, secondo la convenzione degli utilizzatori, il circuito proposto eroga potenza.

naturalmente i resistori non possono erogare potenza, e quindi a erogare potenza è il generatore dipendente.

Questo è un esempio di come la combinazione di un generatore dipendente e di resistori possa essere usata per simulare una resistenza di valore negativo.

Esercizio 2.19

Calcolare la tensione ai capi A – B del seguente circuito applicando il teorema di Millman:

I1+I R1

E

R2

A

B

E = 6 [v]I = 1 [A]I

1 = 2 [A]

R1 = 1 [kΩ]

R2 = 2 [kΩ]

Utilizzando direttamente la formula del teorema di Millman si ha:

V

IER

I

R R

AB =+ +

+=2

1

1 2

1 12002 [v]

ESERCItAzIonI 31

Esercizio 2.20

determinare le tensioni e le correnti in tutti i rami della rete di figura.

+IR1

E

R4R2

R3

I = 2.5 [A]E = 3 [v]R

1 = 6 [Ω]

R2 = 8 [Ω]

R3 = 20 [Ω]

R4 = 12 [Ω]

Considerando la presenza di un parallelo tra due resistenze e di una serie tra altre due si perviene alla seguente semplificazione della rete data:

+IReq E

Req1

VI

in cui:

R

R R

R Req = +=1 2

1 2

3 428. [Ω]

R R Req1 3 4 32= + = [Ω]

trasformando il generatore di corrente in uno equivalente di tensione si ottiene la seguente rete:

+E

Req1Req

+Eeq

Ia

in cui:

E IReq eq= = 8 57. [v]


dall’equazione alla maglia si ottiene:

IE E

R Raeq

eq eq

=−+

=1

0 157. [A]

Quindi si ha:

V V E I RR I a eqeq

= = + =1

8 024. [v]

I I I IR R E a3 4

0 157= = = = . [A]

V I RR R3 3 3 3 14= = . [v]

V I RR R4 4 4 1 884= = . [v]

V V VR R Req1 2

8 024= = = . [v]

I

V

RR

R

1

1

1

1 337= = . [A]

I

V

RR

R

2

2

2

1 003= = . [A]

Esercizio 2.21

determinare la resistenza del resistore R affinchè sia massima la potenza dissipata in esso.

R4

I

R+E2

+

+

E1

R1 R2

R3 E3

H

K

Si applichi il teorema del massimo trasferimento di potenza dopo aver determinato la rete equivalente di thevenin ai morsetti H-K del circuito dato.

la condizione da imporre è: Req

= R.Calcolo della R

eq.

ESERCItAzIonI 33

Si cortocircuitano i generatori di tensione e si aprono quelli di corrente:

R4

R1 R2

R3

H

K

ovvero la rete diviene la seguente:

R4

R1 + R2 H

K

Si ottiene:

R

R R R

R R Req =+( )

+ +4 1 2

4 1 2

da cui, per ottenere il risultato cercato, basta porre:

R

R R R

R R R=

+( )+ +

4 1 2

4 1 2

Req

R+

E


Esercizio 2.22

determinare l’equivalente di thevenin ai morsetti a-b del circuito di figura:

8 AVI 6 ΩVx

+

+

-

10 Ω

6 V x

10 Ω

8 Ω a

b

Per calcolare il valore di Eeq

si valuta Vab

a circuito aperto nella rete di partenza.

8 AVI 6 ΩVx

+

+

-

10 Ω

6 V x

10 Ω

8 Ω a

b

J 1

J 2

J 3

Applicando il metodo delle correnti di maglia si ottiene:

6 6

6 10 10 6 10 0

10 10 6

1 2

2 1 3

3 2

J J V

J J J

J J

x− =

+ +( ) − − =

− = VV

Jx

1 8=

Usando la 4a equazione e applicando poi il metodo di sostituzione si ottiene:

26 10 48

26 10 2882 3

2 3

J J

J J

− =

+ =

che risolto dà:

J3 12= [A]

J2 6 461= . [A]

ESERCItAzIonI 35

Si ha quindi:

Vab = 64 61. [v]

Calcolo di Req

.Per il calcolo di R

eq si fa riferimento al seguente circuito:

6 ΩVx

10 Ω

6 V x

10 Ω

8 Ω a

b

J 1

J 2

+

+

V0

I0

J 3

Si può scrivere il seguente sistema:

6 10 10 10 10 0

10 10 6

10 8

1 2 3

2 1

+ +( ) − − =

− =

+( )

J J J

J J V

Jx

33 1 0

1

10

6

− = −

= −

J V

V Jx

Si può ricavare:

J J2 12 6= − .

e quindi:

16 08 3 0. J V= −

osservando che I1 1 923= . si ricava:

R

V

Ieq = =0

0

16 08. [Ω]

Esercizio 2.23

Usando il teorema di norton calcolare il circuito equivalente ai morsetti a-b della rete il cui schema è riportato in figura:


16 Ω

6 Ω

4 I x

b

+10 v

aIx

Calcolo della corrente di corto circuito Icc

.Per il calcolo di I

cc ci si riferisce alla seguente rete:

16 Ω

6 Ω

4 I x

b

+10 v

aIx

Icc

Ix = 1 667. [A]

I I Icc x x= + =4 8 335. [A]

Calcolo di Req

.data la presenza di un generatore pilotato per il calcolo di R

eq si inserisce un generatore di test V

0:

16 Ω

6 Ω

4 I x

b

+V0

aIx

I0

ESERCItAzIonI 37

I

Vx = − 0

6

I I I Vx x0 04 0 833= − − = .

R

V

Ieq = =0

0

1 2. [Ω]

Esercizio 2.24

Facendo uso dell’analisi alle maglie calcolare la corrente I0 nel circuito di figura:

R3

R2

+E

R1

+hI0

R4

I0

R1 = 1 [Ω]

R2 = 3 [Ω]

R3 = 6 [Ω]

R4 = 2 [Ω]

h = 2 [Ω]E = 20 [v]

dopo aver definito le correnti di maglia come in figura si può scrivere il seguente sistema risolvente:

R2

+E

R3

R1

+hI 0

R4

I0

J 1

J 2

J 3

R R J R J R J E

R R R J R J R J

1 2 1 1 2 2 3

1 4 3 2 1 1 3 3

+( ) − − =

+ +( ) − − ==

+( ) − − = −

= −

0

2 3 3 2 1 3 2 0

0 1 2

R R J R J R J hI

I J J


Usando la 4a equazione e riordinando i termini si ottiene:

4 3 20

9 6 0

9 8 0

1 2 3

2 1 3

3 1 2

J J J

J J J

J J J

− − =

− − =

− − =

da cui:

J1 10= [A]

J2 4 545= . [A]

J3 5 152= . [A]

Si ha quindi:

I0 5 455= . [A]

Esercizio 2.25

Per la rete illustrata in figura:1) si determinino tutte le correnti di lato;2) si verifichi il risultato ottenuto per la corrente nel resistore R6 determinando il generatore equi-

valente di norton ai capi del resistore stesso;3) si verifichi il principio di conservazione della potenza.

R6+

+

E

E

2

R3

R4

R7

R5

1

J5

R2 +E7

R2 = 2 [kΩ]

R3 = 4 [kΩ]

R4 = 5 [kΩ]

R5 = 1 [kΩ]

R6 = 2 [kΩ]

R7 = 8 [kΩ]

E1 = 6 [v]

E7 = 8 [v]

E2 = 5 [v]

J5 = 1 [mA]

ESERCItAzIonI 39

Per semplificare la risoluzione del circuito si osservi che si può applicare il teorema di thevenin alla porta AB:

+

+

E

E

2

1

R2

IE1 IAB

IR2

A

B

I componenti dello schema equivalente di thevenin valgono:

VAB

= E1

RAB

= 0 [Ω]

la rete così trasformata è quindi riportata nella seguente figura:

R6

R3

R

R7

R5

VAB

J 5

+E7

VI5

IR3

IR5

IR4

IR6

IR7IAB

IE7

J4

J 5

J7

Per la determinazione delle correnti di lato si sceglie di adoperare il metodo delle correnti di maglia, e, definendo queste ultime come indicato nella suddetta figura, si scrive il seguente sistema risolvente:

R R R J R J R J V

R R J R J V

AB

I

3 6 4 4 3 5 6 7

3 5 5 3 4

+ +( ) − − =

+( ) − =55

6 7 7 6 4 7

531 10

R R J R J E

J

+( ) − = −

= ⋅

−

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

J J7 435 5 5 10= − ⋅ −.

J447 924 10= ⋅ −. [A]

J746 42 10= − ⋅ −. [A]


Considerando nuovamente il circuito equivalente di thevenin alla porta AB si può scrivere la seguen-te equazione:

E R I VR AB2 2 2

0− − =

da cui:

IR2

5 10 4= − ⋅ − [A]

Si ha inoltre:

I I IAB E R− − =

1 20

e si ha:

IE1

1 292 10 3= ⋅ −. [A]

Si calcolano, quindi:

IE2

5 10 4= − ⋅ − [A]

IR3

2 076 10 4= − ⋅ −. [A]

IR5

1 10 3= ⋅ − [A]

IR4

7 924 10 4= ⋅ −. [A]

IR6

1 434 10 3= ⋅ −. [A]

IR7

6 42 10 4= − ⋅ −. [A]

IE7

6 42 10 4= − ⋅ −. [A]

Calcolo del generatore equivalente di norton ai capi di R6.

Si comincia con il determinare la corrente Icc

riferendosi al seguente schema:

+

+

E2

R3 R7

R5

E1

J5

R2 +E7Icc

R

ESERCItAzIonI 41

Applicando di nuovo il teorema di thevenin alla porta AB si ottiene:

R3

R4

R7

R5

VAB

J 5

++E7IccJ4

J 7

VI5

J5

la risoluzione di questo circuito viene ancora effettuata con il metodo delle correnti di maglia:

R R J R J V

R R J R J V

R J E

AB

I

3 4 4 3 5

3 5 5 3 4

7 7

5

+( ) − =

+( ) − =

= − 77

531 10J = ⋅

−

da cui si ha:

J4 0 0011= . [A]

J731 10= − ⋅ − [A]

Icc = ⋅ −2 1 10 3. [A]

determinazione di Req

.Per la determinazione di R

eq ci si riferisce al seguente schema:

R3

R

R5

R2R7

Req


che equivale alla rete:

R3

R4

Req

R7

RR R R

R R Req =+( )

+ += ⋅7 3 4

7 3 4

34 235 10. [Ω]

la rete di norton connessa al carico R6 è quindi:

Req R6Icc

IReq IR6

da cui:

IR I

R RReq cc

eq6

6

31 426 10=+

= ⋅ −. [A]

la leggera differenza tra il valore ottenuto precedentemente e quest’ultimo dipende dalle approssi-mazioni effettuate durante il calcolo.

Bilancio delle potenze.Il bilancio delle potenze si esprime come:

E I E I V J E I

R I R I R

E E I E

R R

1 2 5 7

22

32

1 2 5 7

2 3

+ + + −( ) == + + 44

25

26

27

2

4 5 6 7I R I R I R IR R R R+ + +

Per la sua valutazione occorre determinare il valore di VI5:

VI5

1 83= . [v]

Sostituendo i valori numerici si ha:

0.012 = 0.012 [W] = [W]

ESERCItAzIonI 43

Esercizio 2.26

Per la rete riportata in figura si determinino tutti i coefficienti della matrice D assumendo che le uscite che interessano siano le seguenti grandezze: V

1, V

a, I

3, I

e.

R3

R2

R5

e

Va

IeI3

a

R

+

4R1V1

R1 = 3 [kΩ]

R2 = 9 [kΩ]

R3 = 1.8 [kΩ]

R4 = 2 [kΩ]

R5 = 4 [kΩ]

a = 10 [mA]e = 3 [v]

Si definiscano, per cominciare, i vettori d’ingresso e di uscita, rispettivamente:

s =

e

a

e

y =

V

V

I

I

a

e

1

3

Per il calcolo dei coefficienti D11

e D21

occorre supporre l’ingresso s2 = 0, quindi:

a = 0

DV

es

111

02

==

DV

ea

s

2102

==

In quest’ipotesi la rete di partenza diventa la seguente:

R3

R2

R5

e+

IeI3

R4R1V1


Si ricava immediatamente:

V1 0=

V Va = 3

dopo aver determinato i valori numerici dei due coefficienti si determinino anche tutti gli altri ter-mini della matrice D .

Esercizio 2.27

Si determini la matrice uscita-ingresso per la rete schematizzata in figura.

+

+

R1

R6

R2

R5

+

R3

R4

e 1

e 2

e 3

I1

I3

I6

e1 = 3 [v]

e2 = 6 [v]

e3 = 9 [v]

R1 = 30 [Ω]

R2 = 80 [Ω]

R3 = 60 [Ω]

R4 = 30 [Ω]

R5 = 80 [Ω]

R6 = 60 [Ω]

Si definiscano i vettori di ingresso e di uscita:

s =e

e

e

1

2

3

y =I

I

I

1

3

6

Il legame tra i vettori di ingresso e di uscita è dato dalla:

y s= ⋅D

Per il calcolo dei diversi termini della matrice D occorre supporre che agisca soltanto uno dei ge-neratori di tensione, cortocircuitando gli altri due.

Per il calcolo di D11

, D21

e D31

si ponga s2 = e

2 = 0 e s

3 = e

3 = 0.

ESERCItAzIonI 45

Si ottiene quindi la seguente rete:

+

R1 R6R2

R5R3

R4

e 1

I1

I3

I6

data la presenza del cortocircuito in parallelo a R2 si ha:

I

e

R11

1

=

Quindi:

DI

e Ree

111

1 00

12

3

10 033= = =

==

. [S]

Inoltre:

DI

e ee

213

1 00

2

3

0= ===

DI

e ee

316

1 00

2

3

0= ===

Per il calcolo dei termini D12

, D22

e D32

si ponga s1 = e

1 = 0 e s

3 = e

3 = 0.

Si ottiene quindi la seguente rete:

R1 R2

R5

+

R3

R4e 2

I1

I3

R6

I6

Si determinino, dopo quest’esemplificazione, i valori di tutti i restanti termini della matrice D richiesta.

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