Esercizio 2 - HOEPLI.it · 2 Analisi delle reti Esercitazioni aggiuntive Esercizio 2.1 Calcolare la...

Click here to load reader

  • date post

    04-Oct-2018
  • Category

    Documents

  • view

    220
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Esercizio 2 - HOEPLI.it · 2 Analisi delle reti Esercitazioni aggiuntive Esercizio 2.1 Calcolare la...

  • 2

    Analisi delle reti

    Esercitazioni aggiuntive

    Esercizio 2.1

    Calcolare la tensione ai capi A e B del seguente circuito, applicando il teorema di Millman:

    R1

    I R2

    +E

    I1

    A

    BE = 10 [v]I = 1 [A]I1 = 1 [A]R1 = 10 []R2 = 20 []

    Esaminando il circuito si osserva, da sinistra verso destra, che: il primo ramo, tra i punti A e B, costituito soltanto da un generatore di corrente; il secondo contiene un generatore di tensione ideale con una resistenza in serie; il terzo consiste soltanto di una resistenza; il quarto costituito da un generatore di corrente.Per determinare la tensione VAB occorre quindi adoperare la seguente formula:

    V

    IER

    I

    R R

    AB =+ +

    +=

    + +

    +=1

    1

    1 2

    1 1

    11010

    1

    110

    120

    20

    [v]

    Si osservi come, nota VAB

    , sia necessario usare altre relazioni per risolvere la rete.Si osservi ancora che per determinare rapidamente la tensione V

    AB sarebbe bastato trasformare la

    serie E R1 in un generatore reale di corrente e poi calcolare il parallelo sia dei generatori di corrente

    sia delle resistenze, ottenendo quindi una rete a una sola maglia.

  • AnAlISI dEllE REtI2

    Esercizio 2.2

    determinare le tensioni e le correnti in tutti i rami della seguente rete:

    R4I R2

    +E

    R1

    R3

    I = 1 [A]E = 5 [v]R

    1 = 10 []

    R2 = 10 []

    R3 = 8 []

    R4 = 2 []

    Si valuti, per prima cosa, la serie R3 R

    4.

    R R Rs = + =3 4 10 []

    Si effettui poi la trasformazione thevenin-norton per il generatore ideale E con in serie la resistenza Rs :

    Rs

    +E

    I Rs

    in cui IE

    Rs

    ' .= = 0 5 [A].

    Si ottiene cos il seguente circuito:

    I R2R1 Rs I

    IR1 IR2 IRsI1

  • ESERCItAzIonI 3

    che si trasforma in:

    RpIp

    con I I Ip = + =' .1 5 [A] ed

    1 1 1 10 3

    1 2R R R Rp s= + + = . [S]; Rp 3 3. [].

    la tensione su Rp :

    V I RR p pp

    = = 4 9. [v]

    Inoltre V V V V VI R R R Rs p= = = =1 2 , quindi:

    I

    V

    RRR

    1

    1

    1

    0 49= = . [A]

    poich R R2 1= :

    I IR R2 1 0 49= = . [A]

    Riferendosi, ora, al circuito iniziale si osserva che:

    I I I IR R E3 4 1= = =

    I I I IR R1 1 2 0+ + =

    I I I IR R1 1 2 0 02= = . [A]

    Quindi:

    V I RR3 1 3 0 16= = . [v]

    V I RR4 1 4 0 04= = . [v]

    V E V VR R Rp3 4 5 2 4 9+ + = =. .

    Questo non accettabile perch la differenza di potenziale tra due punti deve risultare la stessa qualunque siano il percorso e il modo con cui venga calcolata. Questa discrepanza deriva dallap-prossimazione alla prima cifra decimale su Rp.

    Si rifacciano i calcoli calcolando Rp con 3 cifre decimali.

  • AnAlISI dEllE REtI4

    Esercizio 2.3

    Applicare il teorema di thevenin alla rete lineare rispetto ai morsetti A e B.

    R2+

    E

    R4R1

    R3

    I

    A

    B

    E = 20 [v]I = 3 [A]R

    1 = 5 []

    R2 = 4 []

    R3 = 8 []

    R4 = 16 []

    Calcolo della resistenza della rete equivalente di thevenin, che quella vista dai morsetti A e B cortocircuitando il generatore di tensione indipendente E e aprendo il generatore di corrente indi-pendente I.

    definendo Req

    come il parallelo di R2, R

    3 ed R

    4 si ha:

    1 1 1 1

    0 43752 3 4R R R Req

    '.= + + = [S],

    e quindi:

    Req

    ' .= 2 2857 []

    la resistenza della rete equivalente di thevenin vale quindi:

    R R Req eq= + =1 7 2857

    ' . []

    Calcolo della tensione del generatore Veq

    della rete equivalente di thevenin.definendo RP come il parallelo tra R3 ed R4 si ha:

    R

    R R

    R RP=

    +=3 4

    3 4

    5 3333. []

    la rete, con la sostituzione di RP al parallelo tra R3 ed R4, diventa:

  • ESERCItAzIonI 5

    R2+

    E

    RpR1

    I

    A

    B

    Effettuando la trasformazione norton-thevenin del generatore di corrente I:

    I R2

    R2

    +

    E

    definendo

    E IR' = =2 12 [v]

    si ottiene la rete:

    +E

    RpR1A

    B

    R2

    +E

    I1VRpVR2

    A

    VAB

    Si pu scrivere:

    E V V ER RP

    ' =2

    0

    Poich:

    V I RR2 1 2=

    V I RR PP

    = 1

    si ottiene:

    E I R I R Ep' =1 2 1 0

  • AnAlISI dEllE REtI6

    da questultima si calcola allora:

    IE E

    R Rp1

    2

    0 8571=+

    = '

    . [A]

    Si osservi che anche:

    V V EA B R'

    '+ =2

    0

    Quindi:

    V E V E I RA B R'' ' .= = =

    2 1 215 4284

    [v]

    Allora:

    V V Veq AB A B= = =' .15 4284 [v]

    Esercizio 2.4

    data la rete riportata in figura si determini la tensione ai capi del generatore di corrente I.

    +R3

    +E

    R2

    R1

    I

    V1

    J 1

    J 2 J 3

    VI

    I1

    E = 10 [v]V

    1 = hI1 [v]

    I = 1 [A]R

    1 = 60 []

    R2 = 30 []

    R3 = 20 []

    h = 2 []

    la rete costituita da 3 maglie indipendenti e contiene 3 nodi indipendenti; pertanto ai fini della sua risoluzione risulta indifferente utilizzare o il metodo delle correnti di maglia o quello dei potenziali di nodo. Si consideri, anche, che il potenziale del nodo a cui sono collegati sia il generatore di corrente I che il generatore pilotato di tensione V

    1 non noto, dato che questultimo dipende dalla corrente

    su R1.

    Si scelga, inizialmente, di determinare la grandezza cercata usando il metodo delle correnti di maglia.

    Si scelgano arbitrariamente le correnti di maglia J1, J

    2, J

    3; si scriva, poi, il sistema risolvente,

    ricordando di esprimere tramite le correnti di maglia la grandezza pilotante I1 che circola su R

    1.

  • ESERCItAzIonI 7

    Coerentemente con le assegnazioni in figura si ottiene il seguente sistema risolvente:

    J R R J R V

    J R R J R J R E

    J R

    I1 1 2 2 2

    2 2 3 1 2 3 3

    3 3

    ( )+ =+( ) = JJ R V V

    J J I

    V hJ

    I2 3 1

    1 3

    1 1

    =

    =

    =

    Risolvendo il sistema letteralmente si ottiene:

    JJ R R IR E

    R R12 2 3 3

    2 3

    =+( ) +

    +

    JIR E R R R h

    R R R h

    IR

    R23 3 1 2

    2 3 1

    3

    1

    = ( ) + + +( )

    +( ) +( ) + hhSostituendo i valori numerici si ottiene:

    J2 0 039= .

    J1 0 161= .

    J3 0 839= .

    Quindi dallequazione alla maglia in cui circola J3 si ha:

    VI = 15 66.

    Si determini VI mediante il metodo dei potenziali di nodo e si confrontino i due procedimenti.

    Esercizio 2.5

    Per la rete riportata in figura si determini il circuito equivalente di thevenin alla porta A B.

    R2+

    R1 R3

    R4

    R5E2

    hi2E1

    A B

    I2

    E1 = 20 [v]

    E2 = 5 [v]

    R1 = 10 []

    R2 = 50 []

    R3 = 10 []

    R4 = 20 []

    R5 = 20 []

    h = 2

  • AnAlISI dEllE REtI8

    Si determini il generatore E0 della rete equivalente di thevenin.

    la rete da considerare la seguente:

    R2

    +

    +

    R1 R3

    R4

    E2

    hi2E1

    A B

    I2

    J1 J2V

    VAB

    Si osservi come la maglia contenente il generatore E2 risulti aperta; pertanto si pu pensare di

    risolvere il circuito con il metodo delle correnti di maglia, in quanto il sistema risolvente risulta co-stituito da 2 equazioni in due incognite.

    Si assegnino le due correnti di maglia J1 e J2; con i versi di figura si ottiene il seguente sistema:

    ( )R R J R J E

    R R R J R J V

    J hI

    I

    1 2 1 2 2 1

    2 3 4 2 2 1

    2 2

    + =+ +( ) =

    =

    22 1 2=

    J J

    dalle 3a e 4

    a si ha:

    J

    h

    hJ2 11

    =+

    Sostituendo nelle prime due equazioni del sistema, semplificando e sostituendo i dati si ottiene:

    Jh E

    h R R hR11

    1 2 2

    1

    10 75=

    +( )+( ) +( ) = .

    [A]

    J2 0 5= . [A]

    lequazione di Kirchhoff alle tensioni per la maglia aperta includente la porta A-B si scrive come:

    V E VAB R+ + =2 4 0

    Poich V J RR4 2 4= , sostituendo si ricava:

    E0 = VAB = E2 J2R4 = 15 [v]

    la tensione ai capi del generatore pilotato di corrente vale:

    V R R R J R J= + +( ) =2 3 4 2 2 1 2 5. [v]

  • ESERCItAzIonI 9

    Calcolo di R0.

    Per calcolare la resistenza della rete equivalente di thevenin si consideri il seguente circuito:

    R2

    R1 R3

    R4

    A B

    I2

    I0

    J 1 J 2

    J 3

    hi2

    Si osservi che a causa della presenza del generatore pilotato per valutare R0 occorre inserire tra i capi

    A e B un generatore di test.Applicando il metodo delle correnti di maglia e definendo J

    1, J

    2 e J

    3 come in figura si ottiene il

    seguente sistema:

    J R R J R

    J R R R J R V

    J R J R

    1 1 2 2 2

    2 2 3 4 1 2

    3 4 2

    0( )+ =+ +( ) =

    44

    2 1 2

    3 0

    =

    = ( )=

    V

    J h J J

    J I

    '

    dalla penultima equazione si ottiene:

    J

    h

    hJ2 11

    =+

    e sostituendo:

    J R Rh

    hJ R

    h

    hJ R R R J R V

    1 1 2 1 2

    1 2 3 4 1 2

    10

    1

    ( )+ +

    =

    ++ +( ) =

    II Rh

    hJ R V0 4 1 41

    +

    =

    '

    Usando i valori numerici e semplificando si determina facilmente il valore di J1, che sostituito nella 3a equazione permette di ricavare:

    RV

    IR0

    04 20= = =

    '

    []

    Spiegare fisicamente perch R R0 4= .

  • AnAlISI dEllE REtI10

    la rete equivalente di thevenin schematizzabile come nella seguente figura:

    R5

    +

    R0

    VAB

    A

    B

    Esercizio 2.6

    Risolvere la seguente rete con i metodi delle correnti di maglia e dei potenziali di nodo:

    R2+

    +

    R1 R3

    R4

    R5E2

    hi2E1

    I2

    R1 = 10 [] R5 = 20 []

    R2 = 50 [] E1 = 20 [v]R3 = 10 [] E2 = 5 [v]R4 = 20 [] h = 2

    Risoluzione con il metodo delle correnti di maglia.

    R2

    +

    +

    R1 R3

    R4

    R5E2

    E1

    I2

    J a

    J b J c Vhi2

    dopo aver assegnato le correnti di maglia si scriva il sistema risolvente. Con le scelte riportate in figura si ottiene:

    ( )R R J R J E

    R R R J R J V

    R R

    b c

    c b

    1 2 2 1

    2 3 4 2

    4 5

    + =

    + +( ) =+( )JJ R J E

    J hI

    I J J

    a c

    c

    b c

    =

    =

    =

    4 2

    2

    2

  • ESERCItAzIonI 11

    dalle ultime due equazioni si ha:

    J

    h

    hJb c=

    +1

    Sostituendo nella 1a equazione e usando i valori numerici si ricava:

    Jc = 0 5. [A]

    Quindi:

    Jb = 0 75. [A]

    V = 2 5. [V]

    Ja = 0 375. [A]

    E I R5 5 5= [A]

    I JE b1 0 75= = . [A]

    I JR b1 0 75= = . [A]

    V R IR R1 11 7 5= = . [v]

    V R IR2 2 2 12 5= = . [v]

    I JR c3 0 5= = . [A]

    V R IR R3 33 5= = [v]

    I J JR c a4 0 125= = . [A]

    V R IR R4 44 2 5= = . [v]

    I JE a2 0 375= = . [A]

    I JR a5 0 375= = . [A]

    V R IR R5 55 7 5= = . [v]

    Risoluzione con il metodo dei potenziali di nodo. In questo caso conviene trasformare il generatore di tensione reale E

    1, con in serie la resistenza

    R1, i n un generatore di corrente reale I

    1 (con in parallelo la resistenza R

    1), e il generatore di tensione

    reale E2 nel generatore di corrente reale I

    2.

    I1 e I

    2 valgono rispettivamente:

    I

    E

    R11

    1

    2= = [A]

    I

    E

    R22

    5

    0 25' .= = [A]

  • AnAlISI dEllE REtI12

    Assegnando i potenziali ai nodi come in figura si ottiene:

    R2R1

    R3

    R4

    R5

    hi2I1

    I21

    V1

    3V3

    V22

    V

    0V0

    I2

    1 1 1 1 1 1

    1 2 31

    32

    1 23R R R

    VR

    VR R

    V I+ +

    +

    = 11

    32

    31 2

    1 2 4 53

    1 1

    1 1 1 1 1

    RV

    RV hI

    R R R RV

    =

    + + +

    RR RV I I

    IR

    V V

    1 21 2 1

    22

    1 3

    1

    1

    +

    =

    = ( )

    '

    Sostituendo la 4a equazione, utilizzando i valori numerici e semplificando si ha:

    0 22 0 1 0 12 2

    0 06 0 1 0 04 01 2 3

    1 2 3

    . . .

    . . .

    V V V

    V V V

    =

    + =

    + =

    0 12 0 22 1 751 3. . .V V

    da cui si ottiene:

    V V1 31 833 14 583= +. .

    Sostituendo si ha quindi:

    V3 2 504= . [v]

    V2 4 994= . [v]

    V1 9 993= . [v]

    dai valori dei potenziali di nodo si calcolano

    I2 0 25= . [A]

    hI2 0 5= .

    e gli altri valori, uguali a quelli calcolati con il metodo delle correnti di maglia.

  • ESERCItAzIonI 13

    Esercizio 2.7

    Per la rete di figura si determinino le tensioni e le correnti in ogni ramo. Si effettui infine il bilancio delle potenze.

    R3

    +

    E

    R2

    R1

    I +V1

    I1

    R1 = 60 [] E = 10 [v]

    R2 = 30 [] I = 1 [A]

    R3 = 20 [] V

    1 = hI

    1h = 2 []

    Si analizzi preliminarmente la struttura della rete.

    mi = 3; n = 4; n

    i = 3; l = 6

    Si ha che mi = n

    i.

    Per la risoluzione di questa rete si utilizza il metodo dei potenziali di nodo.Si faccia riferimento alla figura, in cui sono indicati anche i potenziali assegnati ai diversi nodi;

    il sistema risolvente :

    R3

    +

    E

    R2

    R1

    I +V

    I1

    V1

    1

    V2V3

    V0

    IE IV1

    1 1 1 1

    1 1

    1 21

    22

    13

    2 3

    R RV

    RV

    RV I

    R R

    E+

    =

    +

    VV

    RV I

    RV

    RV I I

    V E

    V V

    V

    22

    1

    13

    11

    1

    3 1

    1

    1 11

    =

    =

    =

    =

    '

    '

  • AnAlISI dEllE REtI14

    Inoltre

    I

    V V

    R

    E hI

    R11 3

    1

    1

    1

    =

    =

    , poich V1 10= [v]

    da questultima si ottiene:

    I1 0 161= . [A]

    Quindi:

    V V hI3 1 1 0 322= = =' . [v] e V2 16 060= . [v]

    Si ricava allora:

    I3 0 803= . [A]

    I2 0 202= . [A]

    dallequazione di Kirchhoff al nodo con potenziale V1:

    IE = 0 041. [A], e analogamente

    IV1

    0 839' .= [A]; con una semplice differenza si ha:

    VI = 15 738. [v].

    le tensioni ai capi delle resistenze R1, R

    2, R

    3 sono immediatamente calcolabili.

    Bilancio delle potenze.

    P Pg R=

    EI V I V I V I V I V IE I V R R R+ + = + +1 1 2 31 1 2 3

    ''

    che diventa:

    EI V I V I V V I V V I V IE I V+ + = ( ) + ( ) +1 1 3 1 2 1 2 2 31

    ''

    e, quindi,

    15.598 15.678 [W] = [W].

    Esercizio 2.8

    Per la rete di figura determinare il circuito equivalente di thevenin ai morsetti A-B.

    R3

    R1

    R2

    I

    EA

    +

    B

    R1 = 20 []

    R2 = 30 []

    R3 = 100 []

    E = 10 [v]I = 1 [A]

  • ESERCItAzIonI 15

    Calcolo del generatore E0 della rete equivalente di thevenin.

    Si faccia riferimento allo schema di figura.

    E V E IR ER0 33

    90= = = [V]

    Calcolo della resistenza R0.

    Si deve, preliminarmente, modificare la rete data cortocircuitando i generatori indipendenti di tensione e aprendo i generatori di corrente; si ottiene cos:

    R3

    R1

    R2 A

    B

    R0

    Si deduce subito che:

    R0 = R

    3 = 100 []

    la rete equivalente allora:

    R0

    +E0

    A

    B

    Esercizio 2.9

    Scrivere in forma letterale le equazioni risolventi la rete di figura col metodo delle correnti di maglia e col metodo dei potenziali di nodo.

    R2

    R1

    R3

    +

    +

    E1

    R5 I5R6

    E2

    +

    R4

    E4

    Risoluzione col metodo delle correnti di maglia.

  • AnAlISI dEllE REtI16

    Si trasforma il generatore di corrente reale nel generatore di tensione equivalente:

    R2

    R1

    R3

    +

    +

    E1

    E2

    R4

    E4R6R5

    +E5J a J b

    Jd

    J c +

    in cui E I R5 5 5= .

    lo studio preliminare della rete permette di dedurre che essa composta da l = 10 rami, da n = 7 nodi, e contiene m

    i = 4 maglie indipendenti.

    Il sistema risolvente sar costituito allora da 4 equazioni in altrettante incognite, e, con riferi-mento alla figura, si scriver:

    J R J R E

    J R R J R J R

    J R R R

    a b

    b a c

    c

    1 6 1

    6 2 6 2

    2 3 5

    0

    =

    + =

    + +

    ( )

    (( ) = ++ =

    J R J R E E

    J R R J R E E

    b d

    d c

    2 5 2 5

    4 5 5 4 5( )

    Risoluzione con il metodo dei potenziali di nodo.Si trasformano i generatori di tensione in generatori di corrente e si ottiene:

    I1 R1 R2 R6

    R3

    I2

    I4 I5R4 R5

    V2V1

    con

    I

    E

    R22

    3

    = ; IE

    R11

    1

    = ; IE

    R55

    5

    =

    Il sistema risolvente :

    VR R R R

    VR

    I I

    VR R

    11 2 3 6

    23

    1 2

    24

    1 1 1 1 1

    1 1

    + + +

    =

    +55 3

    13

    4 5 2

    1 1+

    = +

    R

    VR

    I I I

  • ESERCItAzIonI 17

    Esercizio 2.10

    dato il circuito di figura calcolare quale tensione deve produrre il generatore E1 affinch chiudendo

    il contatto t non si abbia passaggio di corrente nellinterruttore stesso.

    R2

    R1

    R3

    R4

    R5+

    E2

    R6

    +E3+

    E1

    t

    R1 = 50 []

    R2 = 5 []

    R3 = 40 []

    R4 = 20 []

    R5 = 20 []

    R6 = 5 []

    E2 = 30 [v]

    E3 = 40 [v]

    R2

    R1

    R3

    R4

    R5+

    E2

    R6

    +E3+

    E1

    t A

    B

    I

    VA VA

    Si osservi lo schema; si indichi con I la corrente sullinterruttore; con VAB la tensione ai capi della

    resistenza R3, pari a quella del contatto t a interruttore aperto; e con V

    AB la tensione alla sezione A

    B dello schema, cio quella tra il terminale della R4 non connesso allinterruttore e il nodo B.

    Se chiudendo linterruttore t non si deve avere passaggio di corrente nellinterruttore stesso si deve avere:

    VAB

    (I = 0) = VAB

    (I = 0)

    Se la corrente che circola sullinterruttore chiuso nulla tutta la corrente che attraversa la R1 passer

    sulla R3; quindi:

    V

    E R

    R RAB' ( )0 1 3

    1 3

    =+

    Si osservi poi che se I = 0 la caduta di tensione su R4 nulla e che si ha:

    V EAB'' ( )0 403= = [v]

    Perci: E

    1 = 90 [v]

  • AnAlISI dEllE REtI18

    Esercizio 2.11

    determinare lenergia immagazzinata in ciascuno dei condensatori della rete in regime stazionario.

    5 mA 5 k

    3 k

    3 mF

    6 k

    2 mF5 k

    In regime stazionario si pu sostituire ciascun condensatore con un circuito aperto. lenergia imma-gazzinata vale:

    W CV=

    1

    22

    dove C la capacit del condensatore e V la tensione ai suoi capi.Si ottiene il seguente schema:

    5 mA 5 k

    3 k 6 k

    5 k V2

    V1

    I1

    la corrente I1 si pu calcolare con il metodo del partitore di corrente:

    I1

    3

    3 3 33 35 10

    3 10 5 10 5 105 10 1 923 10=

    + +

    = . [A]

    I1 1 923= . [mA]

    le tensioni V1 e V2 sui condensatori si calcolano facilmente e valgono, rispettivamente:

    V1 5 769= . [v] e V2 9 615= . [v]

    Per cui le energie immagazzinate nei due condensatori sono:

    W1 50= [mJ] e W2 92= [mJ]

  • ESERCItAzIonI 19

    Esercizio 2.12

    Ricavare il circuito equivalente di thevenin ai morsetti A-B del circuito di figura.

    R

    A

    R

    R

    R

    R

    E+

    B

    Calcolo del generatore E0 della rete equivalente.

    da considerazioni sulla simmetria della rete rispetto il ramo contenente il generatore E si ricava:

    E0 0=

    si dimostri tale risultato usando lanalisi circuitale.Calcolo della resistenza Req della rete equivalente.Si cortocircuita il generatore E, ottenendo la rete seguente:

    R

    A

    R

    R

    R

    R

    B

    Considerando le due resistenze con un terminale al nodo A e quella connessa tra i restanti terminali delle stesse si ottiene un triangolo, costituito da tre resistori di uguale valore R; pertanto la stella a esso equivalente sar pure costituita da tre resistenze uguali e di valore:

    R R R

    R R

    R

    R1 2 3 3 3= = =

    =

  • AnAlISI dEllE REtI20

    Sostituendo la stella i cui componenti sono stati ora calcolati al triangolo si ottiene il seguente schema:

    R/3

    R

    R/3

    R

    R/3

    A

    B

    Semplici calcoli di resistenze in serie e in parallelo consentono ora di derivare la resistenza Req

    :

    RR

    RR

    RR

    RR

    Req = +

    +

    +

    +

    = +3

    3 3

    23

    3

    2RRR

    3=

    la rete equivalente di thevenin perci:

    Req

    A

    B

    Esercizio 2.13

    Calcolare la tensione dei punti A, B, e C del circuito in figura con i dati riportati:

    +

    +R1

    R2

    R3

    R4A1

    E1

    E2

  • ESERCItAzIonI 21

    E1 = 5 [v]

    E2 = 3 [v]

    R1 = 1 [k]

    R2 = 2 [k]

    R3 = 3 [k]

    R4 = 4 [k]

    A1 = 10 [mA]

    Si sceglie di adoperare il metodo dei potenziali di nodo, osservando che possibile eliminare un nodo (improprio) applicando la trasformazione di thevenin-norton al generatore di tensione E

    2.

    Si ottiene cos il seguente schema:

    +

    R1

    R2

    R4A1

    E1

    R3 A2

    IE A

    B C

    con AE

    R22

    3

    1= = [mA].

    Il sistema risolvente il seguente:

    1 1

    1 1 1

    1

    4 41

    1 2 21

    RV

    RV A I

    R RV

    RV A

    A C E

    B C

    = +

    +

    =

    RR R RV

    RV

    RV A

    V E

    C B A

    A

    2 3 4 2 42

    1

    1 1 1 1+ +

    =

    =

    Sostituendo la 4a equazione e usando i valori numerici si ottiene:

    1 25 10 2 5 10 1 10

    1 5 10 5

    3 4 2

    3

    . .

    .

    = +

    V I

    V

    C E

    B 110 1 10

    1 083 10 5 10 1 25 1

    4 2

    3 4

    =

    V

    V V

    C

    C B. . 00 1 103 3 =

  • AnAlISI dEllE REtI22

    dalla 2a si ricava:

    V VC B= +3 20

    Si ottiene, poi:

    VB = 7 184. [v]

    VC = 1 552. [v]

    Esercizio 2.14

    determinare il circuito equivalente di norton ai morsetti A B della rete elettrica riportata in figura.

    R2

    R1

    +E

    R4

    A

    B

    R3

    I

    R1 = 4 []

    R2 = 8 []

    R3 = 8 []

    R4 = 5 []

    E = 12 [v]I = 2 [A]

    Per determinare il circuito equivalente di norton ai morsetti A B della rete occorre calcolare i valori del generatore di corrente I

    0 e della resistenza R

    0.

    Calcolo di I0.

    Si faccia riferimento alla seguente rete:

    R2

    R1

    +E

    R4

    A

    B

    R3

    I I0

    dopo le opportune semplificazioni, e definendo:

    R R Rs = + =2 3 16 []

  • ESERCItAzIonI 23

    I

    E

    R1 13= = [A] e

    I I Ip = + =1 5 [A]

    si ottiene:

    I

    R

    R RI

    sp0

    1

    1

    1=+

    = [A]

    Calcolo di R0.

    la rete da analizzare la seguente:

    R2

    R1 R4

    A

    B

    R3R0

    Si osserva che:

    RR R R R

    R R R R01 2 3 4

    1 2 3 4

    4=+ +( )+ +( ) + = []

    Pertanto la rete equivalente di norton la seguente:

    A

    B

    R0I0

    Esercizio 2.15

    Per il circuito riportato in figura determinare la corrente in tutti i resistori.

    2 A

    1

    2 2

    1 2 1

  • AnAlISI dEllE REtI24

    Si osservi come tra i punti A, B e C vi sia un triangolo di resistenze, trasformabile in una stella a esso equivalente:

    2 A

    1

    2 2

    1 2 1

    AB

    C

    A

    B C

    1 2

    2 CB

    A

    R3

    R1

    R2

    Per calcolare i valori delle resistenze R1, R

    2 ed R

    3 si applicano le formule di trasformazione, e si ha:

    R1

    1 2

    2 1 20 4=

    + +

    = . []

    R2

    2 2

    2 1 20 8=

    + +

    = . []

    R3

    2 1

    2 1 20 4=

    + +

    = . []

    Con questa trasformazione si ha:

    2 A1 2 1

    AB

    C

    I1 I2 I3

    I4

    R1 R2 R3

    D

    E

  • ESERCItAzIonI 25

    trasformando il generatore di corrente in un generatore di tensione equivalente si ha:

    1 2

    1

    AB

    C

    I1I2

    I3

    R1R2

    R3

    D

    E

    +Eeq

    con Eeq = =2 2 4 [v].

    Infine, calcolando le resistenze equivalenti alle diverse serie, e cio:

    R Rs1 1

    1 1 4= + = . []

    R Rs2 2

    2 2 8= + = . []

    R Rs3 3

    1 1 4= + = . []

    allora:

    V

    E

    R

    R R R

    DE

    eq

    s

    s s s

    =+ +

    =2

    1 2 3

    1 1 10 8. [v]

    I

    V

    RDE

    s1

    1

    0 571= = . [A]

    Siccome:

    E I R Veq s DE+ =2 2 0

    I2 1 143= . [A]

    IV

    R

    V

    RIDE

    s

    DE

    s3 1

    3 1

    0 571= = = = . [A]

    I I4 22 0 857= + = . [A]

    Inoltre:

    V I IAB + =1 41 2 0

  • AnAlISI dEllE REtI26

    da cui:

    VAB = 1 143. [v]

    I

    Vb

    AB= =2

    0 571. [A]

    I Id = =1 0 571. [A]

    I I Ia b d= = 0 [A]

    I If = =3 0 571. [A]

    I Ic f= = 0 571. [A]

    I Ie = =4 0 857. [A]

    Esercizio 2.16

    Per il circuito di figura determinare:1) il circuito equivalente di norton ai morsetti a b;2) la resistenza R

    L da inserire ai morsetti a b in modo che essa assorba la massima potenza.

    + +E

    R1

    Vab I R2 Vab

    a

    b

    I

    Calcolo della corrente di cortocircuito I0.

    Per il calcolo della corrente di cortocircuito I0 si faccia riferimento al seguente schema:

    + +E

    R1

    Vab I R2

    a

    b

    II0

    Si ha:

    I I0 =

    E IR Vab =1 0

    In questo caso Vab = 0 , quindi:

    IE

    R=

    1

    IE

    R0 1=

  • ESERCItAzIonI 27

    Calcolo della resistenza R0 della rete equivalente di norton.

    Per il calcolo della resistenza R0 della rete equivalente di norton ci si riferisca alla seguente

    rete:

    +

    Vab I R2

    a

    b

    I

    I1

    R1

    IR2 +E1

    R0

    Poich la rete presenta generatori pilotati, che non devono essere modificati, per il calcolo di R0 oc-

    corre sollecitare il circuito con un generatore di test noto E1.

    Si ha:

    R

    E

    I01

    1

    =

    dallesame del circuito si deduce:

    V Eab = 1

    I

    E

    R= 1

    1

    I I I E

    R R

    R RR1 11 2

    1 22

    = =+

    Quindi:

    R

    R R

    R R01 2

    1 2

    =+

    Il circuito equivalente di norton ai morsetti a b quindi:

    R0I0

    a

    b

  • AnAlISI dEllE REtI28

    Esercizio 2.17

    Per il seguente circuito determinare la rete equivalente di thevenin ai capi del resistore R3.

    R4

    R3

    R5J

    R2

    E+

    E = 24 [v]J = 1 [mA]R

    2 = 10 [k]

    R3 = 4 [k]

    R4 = 40 [k]

    R5 = 20 [k]

    Calcolo del generatore Eeq

    .Per questo scopo ci si riferisca alla seguente rete:

    R4 R5J

    R2

    E+

    Eeq

    IR4

    A B

    IR5

    Si deduce:

    E V Veq A B=

    V V

    ER

    R RA R= =

    +=

    4

    4

    4 2

    19 2. [v]

    V R JB = =5 20 [v]

    Quindi:

    Eeq = 39 2. [v]

    Calcolo della resistenza Req

    .Per il calcolo della resistenza R

    eq occorre cortocircuitare i generatori indipendenti di tensione e

    aprire i generatori indipendenti di corrente; pertanto la rete diventa:

  • ESERCItAzIonI 29

    R4 R5

    R2 A B

    Req

    R

    R R

    R RReq = +

    + =2 42 4

    5 28 [k]

    Quindi, considerando collegato il carico R3, si ha:

    R3

    Req

    +Eeq

    A

    B

    Esercizio 2.18

    determinare il circuito equivalente di thevenin della rete di figura:

    ix

    a

    b

    4i x 10 8

    Calcolo di Eeq

    .Poich il circuito privo di generatori indipendenti Eeq = 0 .Calcolo di R

    eq.

    Per calcolare Req

    si applica un generatore di test del valore I0 = 1 [A] come descritto dal seguente

    schema:

    ix

    a

    b

    4i x 10 8 V0 I0

  • AnAlISI dEllE REtI30

    Applicando lanalisi nodale:

    I i iV

    iV

    x x

    x

    00

    0

    410

    8

    + = +

    =

    Si ottiene:

    I i

    V V V VVx0

    0 0 0 003 10

    3

    8 10

    11

    400 275= + = + = = .

    e quindi:

    R

    V

    Ieq= = 0

    0

    3 636. []

    Il valore negativo ottenuto per la resistenza dice che, secondo la convenzione degli utilizzatori, il circuito proposto eroga potenza.

    naturalmente i resistori non possono erogare potenza, e quindi a erogare potenza il generatore dipendente.

    Questo un esempio di come la combinazione di un generatore dipendente e di resistori possa essere usata per simulare una resistenza di valore negativo.

    Esercizio 2.19

    Calcolare la tensione ai capi A B del seguente circuito applicando il teorema di Millman:

    I1+IR1

    E

    R2

    A

    B E = 6 [v]I = 1 [A]I

    1 = 2 [A]

    R1 = 1 [k]

    R2 = 2 [k]

    Utilizzando direttamente la formula del teorema di Millman si ha:

    V

    IER

    I

    R R

    AB =+ +

    +=2

    1

    1 2

    1 12002 [v]

  • ESERCItAzIonI 31

    Esercizio 2.20

    determinare le tensioni e le correnti in tutti i rami della rete di figura.

    +IR1

    E

    R4R2

    R3

    I = 2.5 [A]E = 3 [v]R

    1 = 6 []

    R2 = 8 []

    R3 = 20 []

    R4 = 12 []

    Considerando la presenza di un parallelo tra due resistenze e di una serie tra altre due si perviene alla seguente semplificazione della rete data:

    +IReq E

    Req1

    VI

    in cui:

    R

    R R

    R Req=

    +=1 2

    1 2

    3 428. []

    R R Req1 3 4

    32= + = []

    trasformando il generatore di corrente in uno equivalente di tensione si ottiene la seguente rete:

    +E

    Req1Req

    +Eeq

    Ia

    in cui:

    E IReq eq= = 8 57. [v]

  • AnAlISI dEllE REtI32

    dallequazione alla maglia si ottiene:

    IE E

    R Raeq

    eq eq

    =+

    =1

    0 157. [A]

    Quindi si ha:

    V V E I RR I a eqeq

    = = + =1

    8 024. [v]

    I I I IR R E a3 4

    0 157= = = = . [A]

    V I RR R3 3 3

    3 14= = . [v]

    V I RR R4 4 4

    1 884= = . [v]

    V V VR R Req1 2

    8 024= = = . [v]

    I

    V

    RRR

    1

    1

    1

    1 337= = . [A]

    I

    V

    RRR

    2

    2

    2

    1 003= = . [A]

    Esercizio 2.21

    determinare la resistenza del resistore R affinch sia massima la potenza dissipata in esso.

    R4I

    R+E2

    +

    +

    E1

    R1 R2

    R3 E3

    H

    K

    Si applichi il teorema del massimo trasferimento di potenza dopo aver determinato la rete equivalente di thevenin ai morsetti H-K del circuito dato.

    la condizione da imporre : Req

    = R.Calcolo della R

    eq.

  • ESERCItAzIonI 33

    Si cortocircuitano i generatori di tensione e si aprono quelli di corrente:

    R4

    R1 R2

    R3

    H

    K

    ovvero la rete diviene la seguente:

    R4

    R1 + R2 H

    K Si ottiene:

    R

    R R R

    R R Req=

    +( )+ +

    4 1 2

    4 1 2

    da cui, per ottenere il risultato cercato, basta porre:

    R

    R R R

    R R R=

    +( )+ +

    4 1 2

    4 1 2

    Req

    R+

    E

  • AnAlISI dEllE REtI34

    Esercizio 2.22

    determinare lequivalente di thevenin ai morsetti a-b del circuito di figura:

    8 AVI 6 Vx

    +

    +

    -

    10

    6 V x

    10

    8 a

    b

    Per calcolare il valore di Eeq

    si valuta Vab

    a circuito aperto nella rete di partenza.

    8 AVI 6 Vx

    +

    +

    -

    10

    6 V x

    10

    8 a

    b

    J 1

    J 2

    J 3

    Applicando il metodo delle correnti di maglia si ottiene:

    6 6

    6 10 10 6 10 0

    10 10 6

    1 2

    2 1 3

    3 2

    J J V

    J J J

    J J

    x =

    + +( ) = = VV

    Jx

    1 8=

    Usando la 4a equazione e applicando poi il metodo di sostituzione si ottiene:

    26 10 48

    26 10 2882 3

    2 3

    J J

    J J

    =

    + =

    che risolto d:

    J3 12= [A]

    J2 6 461= . [A]

  • ESERCItAzIonI 35

    Si ha quindi:

    Vab = 64 61. [v]

    Calcolo di Req

    .Per il calcolo di R

    eq si fa riferimento al seguente circuito:

    6 Vx10

    6 V x

    10

    8 a

    b

    J 1

    J 2

    +

    +

    V0

    I0

    J 3

    Si pu scrivere il seguente sistema:

    6 10 10 10 10 0

    10 10 6

    10 8

    1 2 3

    2 1

    + +( ) = =

    +( )

    J J J

    J J V

    Jx

    33 1 0

    1

    10

    6

    =

    =

    J V

    V Jx

    Si pu ricavare:

    J J2 12 6= .

    e quindi:

    16 08 3 0. J V=

    osservando che I1 1 923= . si ricava:

    R

    V

    Ieq= =0

    0

    16 08. []

    Esercizio 2.23

    Usando il teorema di norton calcolare il circuito equivalente ai morsetti a-b della rete il cui schema riportato in figura:

  • AnAlISI dEllE REtI36

    16

    6

    4 I x

    b

    +10 v

    aIx

    Calcolo della corrente di corto circuito Icc

    .Per il calcolo di I

    cc ci si riferisce alla seguente rete:

    16

    6

    4 I x

    b

    +10 v

    aIx

    Icc

    Ix = 1 667. [A]

    I I Icc x x= + =4 8 335. [A]

    Calcolo di Req

    .data la presenza di un generatore pilotato per il calcolo di R

    eq si inserisce un generatore di test V

    0:

    16

    6

    4 I x

    b

    +V0

    aIx

    I0

  • ESERCItAzIonI 37

    I

    Vx =

    0

    6

    I I I Vx x0 04 0 833= = .

    R

    V

    Ieq= =0

    0

    1 2. []

    Esercizio 2.24

    Facendo uso dellanalisi alle maglie calcolare la corrente I0 nel circuito di figura:

    R3

    R2

    +E

    R1

    +hI0

    R4

    I0

    R1 = 1 []

    R2 = 3 []

    R3 = 6 []

    R4 = 2 []

    h = 2 []E = 20 [v]

    dopo aver definito le correnti di maglia come in figura si pu scrivere il seguente sistema risolvente:

    R2

    +E

    R3

    R1

    +hI 0

    R4

    I0

    J 1

    J 2

    J 3

    R R J R J R J E

    R R R J R J R J

    1 2 1 1 2 2 3

    1 4 3 2 1 1 3 3

    +( ) =+ +( ) ==+( ) =

    =

    0

    2 3 3 2 1 3 2 0

    0 1 2

    R R J R J R J hI

    I J J

  • AnAlISI dEllE REtI38

    Usando la 4a equazione e riordinando i termini si ottiene:

    4 3 20

    9 6 0

    9 8 0

    1 2 3

    2 1 3

    3 1 2

    J J J

    J J J

    J J J

    =

    =

    =

    da cui:

    J1 10= [A]

    J2 4 545= . [A]

    J3 5 152= . [A]

    Si ha quindi:

    I0 5 455= . [A]

    Esercizio 2.25

    Per la rete illustrata in figura:1) si determinino tutte le correnti di lato;2) si verifichi il risultato ottenuto per la corrente nel resistore R6 determinando il generatore equi-

    valente di norton ai capi del resistore stesso;3) si verifichi il principio di conservazione della potenza.

    R6+

    +

    E

    E

    2

    R3

    R4

    R7

    R5

    1

    J5

    R2 +E7

    R2 = 2 [k]

    R3 = 4 [k]

    R4 = 5 [k]

    R5 = 1 [k]

    R6 = 2 [k]

    R7 = 8 [k]

    E1 = 6 [v]

    E7 = 8 [v]

    E2 = 5 [v]

    J5 = 1 [mA]

  • ESERCItAzIonI 39

    Per semplificare la risoluzione del circuito si osservi che si pu applicare il teorema di thevenin alla porta AB:

    +

    +

    E

    E

    2

    1

    R2

    IE1 IAB

    IR2

    A

    B

    I componenti dello schema equivalente di thevenin valgono:

    VAB

    = E1

    RAB

    = 0 []

    la rete cos trasformata quindi riportata nella seguente figura:

    R6

    R3

    R

    R7

    R5

    VAB

    J 5

    +E7

    VI5

    IR3

    IR5

    IR4

    IR6

    IR7IAB

    IE7

    J4

    J 5

    J7

    Per la determinazione delle correnti di lato si sceglie di adoperare il metodo delle correnti di maglia, e, definendo queste ultime come indicato nella suddetta figura, si scrive il seguente sistema risolvente:

    R R R J R J R J V

    R R J R J V

    AB

    I

    3 6 4 4 3 5 6 7

    3 5 5 3 4

    + +( ) =+( ) =

    55

    6 7 7 6 4 7

    531 10

    R R J R J E

    J

    +( ) = =

    Sostituendo i valori numerici si ottiene:

    J J7 435 5 5 10= .

    J447 924 10= . [A]

    J746 42 10= . [A]

  • AnAlISI dEllE REtI40

    Considerando nuovamente il circuito equivalente di thevenin alla porta AB si pu scrivere la seguen-te equazione:

    E R I VR AB2 2 2

    0 =

    da cui:

    IR2

    5 10 4= [A]

    Si ha inoltre:

    I I IAB E R =1 2 0

    e si ha:

    IE1

    1 292 10 3= . [A]

    Si calcolano, quindi:

    IE2

    5 10 4= [A]

    IR3

    2 076 10 4= . [A]

    IR5

    1 10 3= [A]

    IR4

    7 924 10 4= . [A]

    IR6

    1 434 10 3= . [A]

    IR7

    6 42 10 4= . [A]

    IE7

    6 42 10 4= . [A]

    Calcolo del generatore equivalente di norton ai capi di R6.

    Si comincia con il determinare la corrente Icc

    riferendosi al seguente schema:

    +

    +

    E2

    R3 R7

    R5

    E1

    J5

    R2 +E7Icc

    R

  • ESERCItAzIonI 41

    Applicando di nuovo il teorema di thevenin alla porta AB si ottiene:

    R3

    R4

    R7

    R5

    VAB

    J 5

    ++E7IccJ4

    J 7

    VI5

    J5

    la risoluzione di questo circuito viene ancora effettuata con il metodo delle correnti di maglia:

    R R J R J V

    R R J R J V

    R J E

    AB

    I

    3 4 4 3 5

    3 5 5 3 4

    7 7

    5

    +( ) =+( ) =

    = 77

    531 10J =

    da cui si ha:

    J4 0 0011= . [A]

    J731 10= [A]

    Icc = 2 1 10 3. [A]

    determinazione di Req

    .Per la determinazione di R

    eq ci si riferisce al seguente schema:

    R3

    R

    R5

    R2 R7Req

  • AnAlISI dEllE REtI42

    che equivale alla rete:

    R3

    R4

    ReqR7

    RR R R

    R R Req=

    +( )+ +

    = 7 3 47 3 4

    34 235 10. []

    la rete di norton connessa al carico R6 quindi:

    Req R6Icc

    IReq IR6

    da cui:

    IR I

    R RReq cc

    eq6

    6

    31 426 10=+

    = . [A]

    la leggera differenza tra il valore ottenuto precedentemente e questultimo dipende dalle approssi-mazioni effettuate durante il calcolo.

    Bilancio delle potenze.Il bilancio delle potenze si esprime come:

    E I E I V J E I

    R I R I R

    E E I E

    R R

    1 2 5 7

    22

    32

    1 2 5 7

    2 3

    + + + ( ) == + + 44

    25

    26

    27

    2

    4 5 6 7I R I R I R IR R R R+ + +

    Per la sua valutazione occorre determinare il valore di VI5 :

    VI5

    1 83= . [v]

    Sostituendo i valori numerici si ha:

    0.012 = 0.012 [W] = [W]

  • ESERCItAzIonI 43

    Esercizio 2.26

    Per la rete riportata in figura si determinino tutti i coefficienti della matrice D assumendo che le uscite che interessano siano le seguenti grandezze: V

    1, V

    a, I

    3, I

    e.

    R3

    R2

    R5

    e

    Va

    IeI3

    a

    R

    +

    4R1V1

    R1 = 3 [k]

    R2 = 9 [k]

    R3 = 1.8 [k]

    R4 = 2 [k]

    R5 = 4 [k]

    a = 10 [mA]e = 3 [v]

    Si definiscano, per cominciare, i vettori dingresso e di uscita, rispettivamente:

    s =

    e

    a

    e

    y =

    V

    V

    I

    I

    a

    e

    1

    3

    Per il calcolo dei coefficienti D11

    e D21

    occorre supporre lingresso s2 = 0, quindi:

    a = 0

    DV

    es

    111

    02

    ==

    DV

    ea

    s

    2102

    ==

    In questipotesi la rete di partenza diventa la seguente:

    R3

    R2

    R5

    e+

    IeI3

    R4R1V1

  • AnAlISI dEllE REtI44

    Si ricava immediatamente:

    V1 0=

    V Va = 3

    dopo aver determinato i valori numerici dei due coefficienti si determinino anche tutti gli altri ter-mini della matrice D .

    Esercizio 2.27

    Si determini la matrice uscita-ingresso per la rete schematizzata in figura.

    +

    +

    R1

    R6

    R2

    R5

    +

    R3

    R4

    e 1

    e 2

    e 3I1

    I3

    I6

    e1 = 3 [v]

    e2 = 6 [v]

    e3 = 9 [v]

    R1 = 30 []

    R2 = 80 []

    R3 = 60 []

    R4 = 30 []

    R5 = 80 []

    R6 = 60 []

    Si definiscano i vettori di ingresso e di uscita:

    s =e

    e

    e

    1

    2

    3

    y =I

    I

    I

    1

    3

    6

    Il legame tra i vettori di ingresso e di uscita dato dalla:

    y s= D

    Per il calcolo dei diversi termini della matrice D occorre supporre che agisca soltanto uno dei ge-neratori di tensione, cortocircuitando gli altri due.

    Per il calcolo di D11

    , D21

    e D31

    si ponga s2 = e

    2 = 0 e s

    3 = e

    3 = 0.

  • ESERCItAzIonI 45

    Si ottiene quindi la seguente rete:

    +

    R1 R6R2

    R5R3

    R4

    e 1

    I1

    I3

    I6

    data la presenza del cortocircuito in parallelo a R2 si ha:

    I

    e

    R11

    1

    =

    Quindi:

    DI

    e Ree

    111

    1 00

    123

    10 033= = =

    ==

    . [S]

    Inoltre:

    DI

    e ee

    213

    1 00

    2

    3

    0= ===

    DI

    e ee

    316

    1 00

    2

    3

    0= ===

    Per il calcolo dei termini D12

    , D22

    e D32

    si ponga s1 = e

    1 = 0 e s

    3 = e

    3 = 0.

    Si ottiene quindi la seguente rete:

    R1 R2

    R5

    +

    R3

    R4e 2

    I1

    I3

    R6

    I6

    Si determinino, dopo questesemplificazione, i valori di tutti i restanti termini della matrice D richiesta.