Post on 17-Feb-2017
Distribuição de Poisson
Anselmo Alves de Sousa
July 21, 2016
Distribuição de Poisson
P (X = x) =λxe−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
� Valor Esperado: µ = E(X) = λ
� Variância: σ2 = V ar(X) = λ⇒ σ =√λ
� Coe�ciente de Assimetria: α3 = 1/√λ
� Coe�ciente de Curtose: α4 = 3 + 1/λ
� Função Geratriz de Momentos: MX(t) = E(etX)
PreliminaresRegras de derivação:
I Se f(x) = h(x) + g(x)⇒ f′(x) = h
′(x) + g
′(x)
I Se f(x) = h(x)g(x)⇒ f′(x) = h
′(x)g(x) + h(x)g
′(x)
I Se f(x) = eg(x) ⇒ f′(x) = g
′(x)eg(x)
Outros Resultados importantes:
∞∑x=0
λx
x!= 1 + λ+
λ2
2!+λ3
3!+ . . . = eλ
∞∑x=0
(λet)x
= 1 + λet +(λet)2
2!+
(λet)3
3!+ . . . = eλe
t
FGM da Poisson
P (X = x) =λxe−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
MX(t) = E(etX) =∞∑x=0
etx · λxe−λ
x!= e−λ
∞∑x=0
(λet)x
x!
= e−λ[1 + λet +
(λet)2
2!+
(λet)3
3!+ . . .
]= e−λeλe
t
= eλet−λ
= exp[λ exp(t)− λ]
Importância da FGM
MX(t) = E(etX)
M′
X(t) = E(X · etX)⇒M′
X(0) = E(X)
M′′
X(t) = E(X2 · etX)⇒M′′
X(0) = E(X2)
M′′′
X(t) = E(X3 · etX)⇒M′′′
X(0) = E(X3)
. . . = . . .
M(n)X (t) = E(Xn · etX)⇒M
(n)X (0) = E(Xn)
Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson
P (X = x) =λxe−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .⇒MX(t) = exp[λ exp(t)− λ]
MX(t) = exp
g(t)︷ ︸︸ ︷[λ exp(t)− λ] = eg(t)
M′
X(t) = λ exp(t) exp[λ exp(t)− λ] = λ exp(t)MX(t)
M′
X(0) = λ exp(0) [λ exp(0)− λ]M
′
X(0) = λ exp [λ− λ] = λ exp(0) = λ⇒ E(X) = λ
Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson
V ar(X) = E(X2)− E(X)2
MX(t) = exp [λ exp(t)− λ]M
′
X(t) = λ exp(t)MX(t)
M′′
X(t) = λ exp(t)MX(t) + λ exp(t)M′
X(t)
= λ exp(t)[MX(t) +M
′
X(t)]
M′′
X(0) = λ exp(0)[MX(0) +M
′
X(0)]= E(X2) = λ (1 + λ)
V ar(X) = E(X2)− E(X)2 = λ+ λ2 − λ2 = λ e σ =√λ
CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012
A quantidade diária de acidentes domésticos � X � segueuma distribuição de Poisson. Sabe-se que a média da variávelaleatória X é igual a 1 acidente por dia. Em 70% dessasocorrências de acidentes, há envolvimento de pessoas menoresde idade. A partir dessas informações, julgue os itens que seseguem.
70. ln[P (X = 0)] = −1.71. A quantidade diária de acidentes domésticos que têm o
envolvimento de pessoas menores de idade segue umadistribuição de Poisson com média igual a 0, 7 acidente/dia.
72. O coe�ciente de variação da distribuição X é igual a 1.
CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012
70. Para λ = 1 acidente/dia
P (X = x) =λxe−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .⇒ P (X = x) =
e−1
x!
Consequentemente:
P (X = 0) = e−1 ⇒ ln[P (X = 0)] = ln e−1 = −1
Certo!
CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012
71. Para os acidentes envolvendo menores λ1 = 0, 70 acidente/dia
P (X = x) =λxe−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .⇒ P (X = x) =
0, 70xe−0,70
x!
Certo!
CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012
72. Para X ∼ Poisson(λ)⇒ E(X) = λ e σ =√λ.
CV (X) =σ
µ=
√λ
λ=
1√λ6= 1
Errado!
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I Coe�ciente de Assimetria
α3 = E
[(X − µ)3
σ3
]I Coe�ciente de Curtose
α4 = E
[(X − µ)4
σ4
]