5. Fungsi dari Peubah Acak

EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono

Isi

1. Transformasi Peubah Acak2. Fungsi Pembangkit Momen3. Pencuplikan Acak4. Teori Pencuplikan5. Pencuplikan Sebaran Mean6. Pencuplikan Sebaran (n-1)S2/σ2

7. Sebaran t8. Sebaran F

5.1 Transformasi Peubah Acak

Pendahuluan• Seringkali kita perlu menurunkan sebaran peluang

dari fungsi satu peubah atau lebih. • Misalnya, andaikan X peubah acak diskrit dengan

sebaran f(x) dan andaikan lagi Y=u(X) transformasisatu-ke-satu dari X ke Y. Kita ingin menentukansebaran peluang dari Y.

• Dari pembahasan pada Bab 2, jelas bahwa peubahacak Y bernilai y saat peubah acak X punya nilaitertentu, misalnya, w(y). Akibatnya, sebaran Yakan diberikan oleh

g(y) =P(Y=y) = P(X=w(y)) = f[w(y)]

• Hasil ini kita rangkum dalam teorema berikut.

Transformasi satu peubah acak• TEOREMA 5.1 Andaikan X peubah acak diskrit dengan

sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) adalah transformasisatu-ke-satu antara nilai-nilai X dng Y sedemikian hinggapersamaan y=u(x) dapat dipecahkan secara unik untuk xdalam y, misalkan berbentuk x=w(y). Maka, sebaranpeluang dari Y adalah

g(y) = f[w(y)]

• Contoh 5.1: Andaikan X peubah acak geometrik dengan sebaranpeluang f(x) = (3/4)(1/4)x-1, x = 1, 2, 3, … Tentukan sebaranpeluang dari peubah acak Y=X2.

• Jawab: karena semua nilai X positif, transformasi inimenyatakan korespondensi satu-ke-satu antara x dengan y, dimana y = x2 dan x = √y. Dengan demikian

g(y) = f(√y) = (3/4)(1/4)√y – 1 , y=1, 4, 9, …= 0 , lainnya

Transformasi dua peubah acak• Teorema 5.2 Andaikan X1 dan X2 peubah acak diskrit dengan

sebaran peluang gabungan f(x1,x2). Andaikan Y1 = u1(X1,X2) danY2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi antara titik (x1,x2) dan(y1,y2) sedemikian hingga y1=u1(x1,x2) dan y2=u2(x1,x2) secaraunik dapat dipecahkan untuk x1 dan x2 yang dinyatakan dalam y1dan y2, misalnya x1=w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Maka sebaranpeluang gabungan dari Y1 dan Y2 adalah

g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)]

• Contoh 5.2: Andaikan X1 dan X2 dua peubah acak saling bebas yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ1 dan μ2. Tentukansebaran dari peubah acak Y1 = X1+ X2

• Jawab: Karena X1 dan X2 saling bebas, maka

dimana x1= 0, 1, 2, … dan x2 = 0, 1, 2, ….

( ) ( ) ( )( )

!!!!

,

21

21

2

2

1

1

2121

21212211

xxe

xe

xe

xfxfxxfxxxx μμμμ μμμμ +−−−

==

=

Lanjutan …• Sekarang kita definisikan peubah acak kedua, mis. Y2=X2.

Fungsi inverse diberikan oleh x1=y1-y2 dan x2 = y2. DenganTeorema 5.2, kita temukan sebaran peluang bersama dari Y1 danY2, yakni:

( )( )

( ) !!,

221

2121

22121

yyyeyyg

yyy

−=

−+− μμμμ

dimana y1 = 0, 1, 2, …, dan y2 = 0, 1, 2, …Karena x1>0, transformasi x1=y1-x2 berimplikasi bahwa x2 dan y2 harus selalukurang dari atau sama dengan y1. Akibatnya, sebaran marjinaldari Y1 adalah

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2211

2

21221

1

2

21

1

2

22121

1

2

210 2

1

121

0 221

1

1

0 221

21

0211

!!!!

!

!!,

yyyy

y

yyyy

y

y

y

yyyy

y

yy

ye

yyyy

ye

yyyeyygyh

μμμμ

μμ

μμμμ

μμ

−

=

+−−

=

+−

=

−+−

=

∑∑

∑∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

−==

Lanjutan …• Penjumlahan tsb adalah ekspansi binomial (μ1+μ2)y1.

Dengan demikian, kita peroleh:

( )( )( ) ...,2,1,0,

! 11

211

121

=+

=+−

yy

eyhyμμμμ

• Kesimpulan: penjumlahan dia peubah acak saling bebasyang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ1 danμ2 adalah suatu sebaran Poisson dengan parameter (μ1+ μ2)

Transformasi satu peubah acak kontinyu• Teorema 5.3 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan korespondensi satu-ke-satuantara X dengan Y sedemikian hingga persamaan y=u(x) dapatdipecahkan secara unik untuk x dalam y, misalnya x=w(y). Makasebaran peluand dari Y adalah

g(y) = f[w(y)]|J|dimana J=w’(y) adalah Jacobian dari transformasi.

• Bukti: (1) Andaikan y=u(x) fungsimonoton naik spt pd Gb5.1. Makaterlihat bahwa jika Y jatuh antara nilai a dan b, maka peubah acak X akan beradaantara w(a) dan w(b). Dengan demikian,P(a<Y<b) = P[w(a)<X<w(b)]

= ∫w(a)w(b) f(x) dx

• Perubahan variabel integrasi dari x ke y dng x=w(y), diperoleh dx=w’(y)dy, makaP(a<Y<b) = ∫a

b f[w(y)]w’(y) dy

a

b

w(a) w(b)

y = u(x)y

x

Gambar .5.1

Lanjutan …• Karena integral tsb memberikan nilai yng diinginkan untuk setiap a<b

dalam rentang y yang diijinkan, maka sebaran peluang dari Y adalahg(y) = f[w(y)]w’(y) = f[w(y)]J

• Jika J=w’(y) adalah kemiringan resiprokal (invers) dari garis tangen(sentuh) ke kurva naik y=u(x), tentulah J=|J|, sehingga

g(y) =f[w(y)]|J|• (2) Andaikan y=u(x) fungsi monoton turun

spt pd Gb5.2. Maka bisa kita tuliskanP(a<Y<b)= P[w(b)<X<w(a)]= ∫w(b)

w(a) f(x) dx• Sekali lagi, perubahan variabel integrasi dari

x ke y memberikanP(a<Y<b) = ∫b

a f[w(y)]w’(y) dy= - ∫b

a f[w(y)]w’(y) dydapat disimpulkan bahwag(y) = -f[w(y)]w’(y) = -f[w(y)]J

• Karena slope dari kurva adalah negatif, danJ=-|J|, maka

g(y) = f[w(y)]|J|seperti sebelumnya. Q.E.D

a

b

w(b) w(a)

y=u(x)y

x

Gambar .5.2

Contoh 5.3• Soal: Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

peluangf(x) = x/12 ; 1<x<5

= 0 ; lainnyaTentukan sebaran peluang dari peubah acak Y=2X-3

• Jawab: inverse dari y=2x-3 adalah x=(y+3)/2, dan kitaperoleh J=dx/dy = ½. Berdasar teorema 5.3, kita temukanfungsi kerapatan Y

g(y) = f[(y+3)/2]|J| = {[(y+3)/2]/12}(1/2) = (y+3)/48 ; -1<y<7= 0 ; lainnya

Transformasi dua peubah acak kontinyu• Teorema 5.4. Andaikan X1 dan X2 peubah acak kontinyu dengan

sebaran peluang f(x1,x2). Andaikan Y1=u1(X1,X2) danY2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi satu-ke-satu antara titik(x1,x2) dan (y1,y2) sehingga persamaan y1=u1(x1,x2) dany2=u2(x1,x2) dapat secara unik dipecahkan untuk x1 dan x2 dalamy1 dan y2, misalnya x1= w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Makasebaran peluang bersama dari Y1 dan Y2 adalah

g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)]|J|

dimana Jacobian merupakan determinan matriks 2 ×2 sbb:

dan ∂x1/∂y1 adalah turunan dari x1 = w1(y1,y2) terhadap y1dengan menganggap y2 konstan, seperti pada proses penurunanx1 terhadap y1 pada kalkulus. Turunan parsial lain didefinisikandengan cara yang sama.

2212

2111

yxyxyxyx

J∂∂∂∂∂∂∂∂

=

Contoh 5.4• Soal: Andaikan X1 dan X2 dua buah peubah acak kontinyu dengan

sebaran peluang gabunganf(x1,x2) = 4x1x2 ;0<x1<1, 0<x2<1

= 0 ; lainnyaTentukan sebaran peluang gabungan dari Y1=X1

2 dan Y2=X1X2.• Jawab: Solusi invers dari y1=x1

2 dan y2=x1x2 adalah x1=√y1 danx2=y2/√y1 , sehingga diperoleh Jacobian berikut:

Transformasi ini bersifat satu-ke-satu, memetakan titik-titik{(x1,x2)|0<x1<1, 0<x2<1} ke himpunan {(y1,y2)| y2

2 <y1<1, 0<y2<1}. Dari teorema 5.4, maka sebaran peluang dari Y1 dan Y2 adalah

g(y1,y2) = 4(√y1) (y2/√y1) (1/2y1)= 2y2/y1 ; y2

2<y1<1, 0<y2<1= 0 ; lainnya

11

2/312

1 21

12/

02

1

yyyyyJ =

−=

Jika pemetaan tidak satu-ke-satu …• Penerapan prinsip transformasi peubah acak bisa muncul

masalah jika kita ingin menentukan sebaran peubah acakY=u(X), dimana X kontinyu dan transformasinya tidak satu ke-satu. Yakni, setiap nilai x ada satu nilai y, tapi setiap y berkorespondensi dengan lebih dari satu nilai x.

• Contoh: andaikan f(x) positif pada interval -1<x<2 dan nol ditempat lain. Tinjau transformasi y=x2. Dalam kasus ini, x=±√y untuk 0<y<1 dan x=√y untuk 1<y<4.Untuk selang 1<y<4, kita bisamenentukan sebaran peluang Y dng carasebelumnya, dng Teorema 5.3, yakni: g(y) = f[w(y)]|J|

= f(√y)/(2√y) , 1<y<4Tapi, untuk 0<y<1, interval -1 <x<1 dipartisi sbbx = -√y , -1<x<0

= √y , 0 <x<1

-√a √a-√b √b-1 1

y = x2

y

x

2

1

0

Gambar .5.3

Lanjutan …• Maka, bagi setiap nilai y akan ada nilai x tunggal untuk setiap partisi.

Dari Gambar 5.3P(a<Y<b) = P(-√b<X<-√a) + P(√a<X<√b)

= ∫-√b-√a f(x) dx + ∫√a

√b f(x) dxPerubahan variabel integrasi dari x ke y memberikan

P(a<Y<b) = ∫ba f(-√y)J1dy + ∫a

b f(√y)J2dy= -∫a

b f(-√y)J1dy + ∫ab f(√y)J2dy

dimana: J1 = d(-√y)/dy = -1/(2√y) = -|J1| danJ2 = d(√y)/dy = 1/(2√y) = |J2|

Sehingga bisa dituliskanP(a<Y<b) = ∫a

b [ f(-√y)|J1| + f(√y) |J2|] dySelanjutnya: g(y) = f(-√y) |J1| + f(√y) |J2|

= [f(-√y) + f(√y)]/(2√y) , 0<y<1Dengan demikian, untuk selurh Y pada selang 0<y<4, bisa ditulis

g(y) = [f(-√y) + f(√y)]/(2√y) , 0<y<1= f(√y)/(2√y) , 1<y<4= 0 , lainnya

Transformasi untuk k-buah fungsi invers• Teorema 5.5 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan transformasi yang tidak satu-ke-satu antara nilai X dengan Y. Jika selang keseluruhX dpt dipartisi menjai k-buah himpunan tak beririsansedemikian hingga setiap fungsi inverse x1=w1(y), x2=w2(y), …, xk=wk(y) dari y=u(x) berkorespondensi satu-ke-satu, makasebaran peluang dari Y adalah

dimana Ji=wi’(y), i =1, 2, …, k

( ) ( )[ ] i

k

ii Jywfyg ∑

=

=1

• Latihan: Soal no. 1, 2, 4, 6, 10 dalam buku teks

Contoh 5.5• Soal: Tunjukkan bahwa Y=(X-μ)2/σ2 memiliki sebaran chi-

kuadrat dengan derajat bebas 1, jika X tersebar normal denganmean μ dan variansi σ2.

• Jawab: Andaikan Z=(X-μ)/σ, dimana peubah acak Z memilikisebaran normal baku

f(z) = (1/2π)1/2exp(-z2/2) ; -∞<z<∞

Kita sekarang akan mencari sebaran dari peubah acak Y=Z2. Solusi invers dari y=z2 adalah z=±√y. Kita namakan z1=-√y danz2=√y; J1=-1/(2√y) dan J2=1/(2√y). Maka berdasarkan Teorema5.5, akan diperoleh

( )

0,2

1

21

21

21

21

212121

22

>=

+−

=

−−

−−

yey

ye

yeyg

y

yy

π

ππ

Lanjutan …• Karena g(y) fungsi kerapatan peluang, maka

integral ini menyatakan luas daerah dibawah kurva peluanggamma dengan parameter α=1/2 dan β=2. Oleh karena itu, √π= Γ(1/2) dan sebaran peluang Y diberikan oleh

yaitu sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

( )( )

( )ππ

π

21212

121

211

0

212121

0

212121

Γ=

ΓΓ

=

=

∫

∫∞

−−

∞−−

dyey

dyey

y

y

( ) ( ) 0,212

1 212121 >Γ

= −− yeyyg y

5.2 Fungsi pembangkit momen

Pendahuluan• Disamping metoda transformasi variabel spt

yang sudah dijelaskan, ada cara lain untukmenentukan fungsi sebaran peluang daribanyak peubah acak, terlebih jika fungsi inimerupakan penjumlahan beberapa peubahacak yang saling bebas.

• Metoda ini disebut teknik fungsipembangkit momen.

Fungsi pembangkit momen• DEF.5.1 Fungsi pembangkit-momen dari peubah acak X

diberikan oleh E(etX) dan dituliskan sebagai MX(t), yakni( ) ( )

( )

( ) kontinyuXuntukdxxfe

diskritXuntukxfe

eEtM

tx

n

ii

tx

tXX

i

,

,1

∫

∑∞

∞−

=

=

=

=

• Fungsi pembangkit momen ini ada jika jumlah atauintegral di ruas kanan pada DEF.5.1 konvergen.

• Jika fungsi ini ada, fungsi ini dapat dipakai untukmembangkitkan/menentukan semua nilai momen darivariabel ybs, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.

Perhitungan momen• TEOREMA 5.6. Andaikan X peubah acak dengan fungsi

pembangkit momen MX(t). Maka

( )r

trX

r

dttMd '

0

μ==

• Bukti: dengan asumsi proses diferensiasi dapat dilakukan, maka

Dng membuat t=0, kedua kasus akan menghasilkan E(Xr) =μ’r.

( ) ( )

( ) kontinyuXdxxfex

diskritXxfexdt

tMd

txr

n

ii

txrir

Xr

i

,

,1

∫

∑∞

∞−

=

=

=

Contoh 5.6• Soal: Tentukan fungsi pembangkit momen utk peubah acak

binomial X dan gunakan utk membuktikan μ=np dan σ2=npq.• Jawab: Dari definisi 5.1, kita dapatkan

( ) ( )∑∑=

−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

x

xnxtn

x

xnxtxX qpe

xn

qpxn

etM00

Yang tak lain adalah ekspansi binomial (pet + q)n, sehinggadiperoleh: MX(t) = (pet + q)n

Selanjutnya: dMX(t)/dt = n (pet + q)n-1 pet dand2MX(t)/dt2 = np[et(n-1)(pet + q)n-2 pet + (pet + q)n-1et]

Dengan membuat t=0, maka diperolehμ1’ = np dan μ2’=np [(n-1)p +1]

Akibatnya: μ = μ1’ = np danσ2 = μ2’ - μ1

2 = np(1-p) = npq

Contoh 5.8• Soal: Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari peubah

acak X yang tersebar Chi-kuadrat dengan derajat bebas v adalahMX(t)=(1-2t)exp(-v/2).

• Jawab: Sebaran Chi-kuadrat adalah kasus khusus dari sebarangamma dengan membuat α=v/2 dan β=2. Dari DEF 5.1 diperoleh

Dengan menuliskan y=x(1-2t)/2 dan dx=[2/(1-2t)]dy diperoleh

( ) ( ) ( )( )∫∫

∞−−−−−

∞

Γ=

Γ=

0

221122

212

02 22

122

1 dxexv

dxexv

etM txvv

xvv

txX

( ) ( )

( )( )( ) 2

0

1222

0

12

2

21

21221

212

212

221

v

yvvv

yv

vX

t

dyeytv

dyt

et

yv

tM

−

∞−−

∞−

−

−=

−Γ=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−Γ=

∫

∫

Komb. linier peubah acak yang saling bebas• TEOREMA 5.7 (T. KEUNIKAN) Andaikan X dan Y dua

peubah acak yang memiliki fungsi pembangkit momen, berturut-turut, MX(t) dan MY(t). Jika MX(t)=MY(t) untuksemua nilai t, maka X dan Y akan memiliki sebaranpeluang yang sama.

• TEOREMA 5.8: MX+a(t) = eatMX(t)

• Bukti: MX+a(t) = E[et(X+a)] = eatE[etX] = eatMX(t)

• TEOREMA 5.9: MaX (t) = MX(at)

• Bukti: MaX(t) = E[et(aX)] = E[e(at)X] = MX(at)

Lanjutan …• TEOREMA 5.10 Jika X1 dan X2 peubah acak yang saling

bebas dengan fungsi pembangkit momen MX1(t) danMX2(t), dan Y=X1 + X2, maka

MY(t) = MX1+X2(t) = MX1(t)MX2(t)

• BUKTI:MY(t) = E[etY] = E[et(X1+X2)]

= ∫-∞∞ ∫-∞∞ et(X1+X2) f(x1,x2)dx1dx2

Karena semua peubah saling bebas, maka f(x1,x2)=g(x1)h(x2) danMY(t) = ∫-∞

∞ etX1 g(x1) dx1 ∫-∞∞ etX2 g(x2) dx2= MX1(t)MX2(t)

Bukti untuk kasus diskrit sejalan dengan yang diatas, dimanaintegral digantikan dengan penjumlahan.

AplikasiContoh: • Tinjau dua peubah acak Poisson X1 dan X2 yang saling bebas

dengan fungsi pembangkit momenMX1(t) = eμ1(exp(t) – 1) dan MX2(t) = eμ2(exp(t) – 1)

Maka, menurut Teorema 5.10, fungsi pembangkit momen untukpeubah acak Y1=X1+X2 adalah

MY1(t) = MX1(t) MX2(t)= eμ1(exp(t) – 1) eμ2(exp(t) – 1)

= e(μ1+ μ2)(exp(t) – 1)

Yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen untuk peubahacak Poisson dengan parameter μ1+ μ2.

• Berdasarkan contoh ini dan Teorema 5.7, kita simpulkan sekalilagi bahwa jumlah dua peubah acak bebas yang masing-masingtersebar Poisson dengan parameter μ1dan μ2, juga akan memilikisebaran Poisson dengan parameter μ1+ μ2.

Penjumlahan dua peubah acak normal• Dalam statistik terapan, seringkali kita ingin tahu sebaran peluang dari

kombinasi linier sejumlah peubah acak saling bebas yang tersebarsecara normal (Gaussian).

• Tinjau dua peubah acak, X1 dan X2 yang tersebar normal yang masing-masing memiliki mean μ1 dan μ2 dan variansi σ1

2 dan σ22 .

Berdasarkan Teorema 5.10, kita dapatkan fungsi pembangkitmomennya

MY(t) = Ma1X1(t) Ma2X2(t)dan berdasarkan Teorema 5.9, maka

MY(t) = MX1(a1t) MX2(a2t)Berdasarkan contoh 5.7, maka

MY(t) = exp[(a1μ1t +a12σ1

2 t2)/2]⋅exp[(a2μ2t+a22σ2

2 t2)/2]= exp[{(a1μ1+a2μ2)t]+[(a1

2σ12+a2

2σ22) t2}/2]

Yakni fungsi pembangkit momen dari sebaran normal denganmean a1μ1+a2μ2 dan variansi a1

2σ12+a2

2σ22.

• Hasil terakhir dapat diperumum sbb.

Sifat reproduktif sebaran• TEOREMA 5.11 Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acak

saling bebas yang tersebar normal dengan mean μ1, μ2, …, μn dan variansi σ1

2, σ22, …, σn

2, maka peubah acakY = a1X1+ a2X2+ …+ anXn

akan tersebar normal dengan meanμY = a1μ1+ a2μ2+ … +anμn

dan variansiσY

2 = a12σ1

2 + a22σ2

2 + …+ an2σn

2

terlihat bahwa sebaran Poisson dan sebaran Normal punyasifat reproduktif, yakni, jumlah peubah acak saling bebasdengan sebaran Poisson atau normal akan menghasilkansebaran yang tipenya sama.

• Sifat reproduktif ini dimiliki juga oleh sebaran Chi-kuadrat, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.

Reproduksibilitas sebaran Chi-kuadrat

• Bukti: berdasarkan Teorema 5.10MY(t) = MX1(t)MX2(t) … MXn(t)

dari Contoh 5.8 diperoleh fungsi pembangkit momenMX1(t) = (1-2t) -vi/2

oleh karena ituMY(t) = (1-2t) –v1/2(1-2t) –v2/2 … (1-2t) -vn/2

= (1-2t) –(v1+v2+ …+vn)/2

yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen sebaran Chi-kuadrat dengan v = v1+ v2+ … + vn derajat bebas.

• TEOREMA 5.12 Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acakyang saling bebas dengan sebaran sebagai Chi-kuadratdengan derajat bebas v1, v2, …, vn, maka peubah acak

Y = X1+X2+ …+ Xnakan tersebar secara Chi-kuadrat pula dengan derajat bebas

v = v1+ v2+ … + vn

• COROLLARY Jika X1, X2,… , Xn adalah peubah acakyang memiliki sebaran normal dengan mean μ dan variansiσ2, maka peubah acak

akan memiliki sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebasv=n.

• Corrolary ini adalah konsekuensi langsung daricontoh 5.5, yang menyatakan bahwa, masing-masing dari n peubah acak bebas [(Xi -μ)/σ]2, i=1, 2, …,. n tersebar Chi-kuadrat dengan derajatbebas 1.

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=n

i

iXY1

2

σμ

5.3 Pencuplikan Acak

Populasi• DEF 5.2 Suatu populasi terdiri dari keseluruhan

pengamatan yang menjadi perhatian kita.

• Jumlah pengamatan disebut besar (size) dari populasi. Mis. 600 orang mahasiswa, sejumlah tak-hingga lantunan dadu, jumlah kartu, tinggi badan penduduk kota tertentu, dst.

• Setiap pengamatan dari populasi merupakan peubah acak Xdng sebaran f(x).

• Populasi binomial, populasi normal, dst akan mengacupada nilai peubah acak yang tersebar secarac binomial, normal, … dst.

Cuplikan acak• DEF. 5.3 Andaikan X1, X2, …, Xn adalah peubah acak

saling-bebas yang masing-masing memiliki sebaranpeluang f(x). Kita akan mendefinisikan X1, X2, …, Xnsebagai cuplikan acak berukuran n dari populasi f(x) danmenuliskan sebaran peluang gabungannya sebagai

f(x1, x2, …, xn) = f(x1)⋅f(x2) ⋅ ⋅ ⋅ f(xn)

5.4 Teori Pencuplikan

Statistik• Tujuan pemilihan cuplikan acak adalah untuk mengetahui

lebih jelas perihal parameter dari suatu populasi. • Andaikan kita ingin tahu pendapat masyarakat suatu

negara mengenai merk kopi-kopi tertentu, tidak mungkinkita bertanya ke semua penduduk satu per satu. Yang bisadilakukan, ambil sejumlah besar cuplikan acak dan analisapendapatnya.

• Nilai yang dihitung dari suatu cuplikan disebut sebagaistatistik. Karena dari suatu populasi kita bisa mengambilberbagai sampel, maka nilai statistik dapat bervariasi. Dengan demikian, statistik adalah suatu peubah acak.

• DEFINISI 5.4 Suatu statistik adalah peubah acak yang nilai-nya hanya bergantung pada cuplikan acak yang sedang diamati.

Mean cuplikan (sample mean)• Statistik akan kita tuliskan sebagai P^, sedangkan nilainya adalah p^.

Tingkat ketelitian p^ dalam menggambarkan populasi sesungguhnya, yaitu p, terlebih dahulu kita lihat sebaran dari statistik P^.

• Salah satu statistik yang paling populer adalah ukuran pusat data, yaitumean, median, dan mode.

• DEFINISI 5.5 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikanacak berdimensi n, maka mean dari cuplikan (sample mean) didefinisikan dengan statistik berikut:

• Catat bahwa statistik X mengasumsikan bahna nilai x= Σi=1

N(xi/n) saat X1 bernilai x1, X2 bernilai x2, … dst.

n

XX

n

ii∑

== 1

Contoh 5.9• Soal: Tentukan mean dari cuplikan acak yang nilai

pengamatannya adalah 20, 27, dan 25.• Jawab: Nilai x teramati dari statistik X adalah

x = (20 + 27 +25)/3 = 24

MEDIAN• DEFINISI 5.6 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikan

acak berukuran n yang diurutkan secara meningkat, makamedian X~ dari cuplikan dinyatakan oleh statistik

X~ = X(n+1)/2 jika n ganjil= (Xn/2 + X(n/2)+1)/2 jika n genap

• Contoh 5.10: Tentukan median dari cuplikan acak yang nilaipengamatannya adalah 8, 3, 9, 5, 6, 8, dan 5.

• Jawab: Pengurutan yang meningkat 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, memberikan nilai median x~ = 6.

• Contoh 5.11 Tentukan median dari cuplikan acak yang nilaipengamatannya adlah 10, 8, 4, dan 7.

• Jawab: Pengurutan dari hasil pengamatan secara meningkat 4, 7, 8, 10 dan DEF 5.6, maka median adalah mean aritmetik darititik tengah kedua nilai. Jadi, x~ = (7+8)/2 = 7.5

MODE• DEFINISI 5.7 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikan

acak berukuran n yang tidak perlu berlainan nilainya, makamode M dari cuplikan adalah nilai yang paling seringmuncul atau yang frekuensi nya paling besar. Mode bisajadi tidak ada, dan jika adapun belum tentu unik.

• Contoh 5.12: Tentukan mode dari cuplikan acak yang nilaipengamatannya adalah 2, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, dan 8.

• Jawab: mode m = 6.• Contoh 5.13: Hasil pengamatan 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, dan 9

memiliki dua mode, yaitu 4 dan 8. Sebaran yang demikiandisebut bimodal.

• Jika deretan cuplikan punya dua mode berurutan, kita ambilrata-rata aritmetikanya. Dengan demikian 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 adalah (5+6)/2 = 5.5 dan 9.

Kelebihan dan kekurangan mean• Keuntungan mean:

– paling umum dipakai dalam menggambarkan pusatkecenderungan data.

– Mudah dihitung dan menggunakan semua informasiyang ada.

– Sifat sebaran mean cuplikan sudah banyak dipelajari, shg inferensi statistik didasarkan pada sample mean.

• Kerugian: – mudah terpengaruh nilai ekstrim. Jika dalam

pengumpulan dana sebagian besar orang menyumbang$5, maka sumbangan seseorang sebesar $10,000 menghasilkan rata-rata sumbangan yang jauh lebihbesar dari seharusnya.

Kelebihan dan kekurangan median• Keuntungan median:

– Mudah dihitung– Tak terpengaruh nilai ekstrim, akan

memberikan nilai tengah yang sebenarnyadalam contoh donasi.

• Kerugian median– Dalam penanganan cuplikan populasi, mean

tidak akan se-variatif median sehingga mean lebih stabil. Dengan demikian, mean cuplikanlebih mewakili mean populasi dibandingkanmedian cuplikan menyatakan median pupulasi.

Kelebihan dan kekurangan mode

• Mode lebih jarang dipakai dibandingkan dengandua ukuran pusat yang lain, yaitu mean danmedian.

• Jika cuplikannya sedikit, nilai mode hampirsamasekali tidak ada gunanya. Jika ukuran data besar, manfaatnya baru kelihatan.

• Keuntungan satu-satunya dari mode adalah: tidakperlu melakukan kalkulasi apapun untukmendapatkan mode.

Ukuran penyebaran data• Ketiga statistik yang telah disebut (mean, median, mode)

tidak menggambarkan apapun mengenai penyebaran data.• Tinjau kasus berikut berkaitan dengan isi jus buah didalam

botol dari dua merek A dan B.

Cuplikan A 75 80 74 83 86Cuplikan B 86 80 69 71 94

• Kedua cuplikan punya nilai mean cuplikan yang samasebesar 80, tapi terlihat jelas bahwa jus merek A lebihseragam dibandingkan dengan merek B.

• Statistik paling penting dalam menyatakan variabilitascuplikan acak adalah jangkauan (range) dan variansi.

• Dari kedua macam statistik ini, yang paling mudahdihitung adalah jangkauan.

Jangkauan (range)• DEFINISI 5.8 Jangkauan dari cuplikan acak X1,

X2, …, Xn yang diurutkan meningkat, didefinisikansebagai statistik Xn-X1.

• Contoh 5.14. Nilai jangkauan dari kumpulanpengamatan 10, 12, 12, 18, 19, 22, dan 24 adalah24-10=14.

• Untuk kasus jus buah pada contoh sebelumnya, jangkauan dari merek A adalah 12, sedangkanuntuk merek B adalah 25.

Kelemahan jangkauan• Jangkauan bukanlah ukuran variabilitas data yang baik

karena hanya mempertimbangkan dua nilai ekstrim tanpamengatakan apapun mengenai nilai diantara dua ekstrim tsb.

• Tinjau dua kumpulan data berikut3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 153, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 15

kedua data ini memiliki jangkauan 12.• Data pertama memiliki mean dan median sebesar 8, tetapi

nilai-nilai diantaranya sangat bervariasi.• Data kedua memiliki mean dan median sebesar 9, tetapi nilai

diantaranya dekat ke mean maupun median.• Untuk mengatasi kelemahan jangkauan, diperkenalkanlah

variansi cuplikan yang menyatakan variabilitas data denganmempertimbangkan posisi setiap data pengamatan terhadapmean cuplikan.

Variansi cuplikan• DEFINISI 5.9 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan peubah acak

berukuran n, maka variansi cuplikan didefinisikan sebagaistatistik

( )1

1

2

2

−

−=

∑=

n

XXS

n

ii

• Nilai hasil hitungan S2 dinyatakan sebagai s2. • Perhatikan bahwa S2 pada dasarnya adalah rata-rata dari

simpangan kuadrat data pengamatan terhadap mean. Penggunan n-1 sebagai pembagi dan bukannya n, sebenarnya jelas dengan sendirinya. Penjelasan lebih lanjutakan dibahas pada Bab VI.

Variansi cuplikan• TEOREMA 5.13 Jika S2 adalah variansi dari

cuplikan acak berukuran n, kita bisa menuliskan

( )1

2

11

2

2

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=∑∑

==

nn

XXnS

n

ii

n

ii

• Bukti: --lakukan sendiri• Simpangan baku cuplikan S didefinisikan sebagai akar

kuadrat positif dari variansi cuplikan.

Contoh 5.15• Soal: Tentukan variansi dari cuplikan

pengamatan berikut: 3, 4, 5, 6, 6, dan 7• Jawab: Kita mendapatkan Σi=1

6(xi)2 = 171, Σi=1

6(xi) = 31, dan n = 6. Dengan demikians2 = [(6)⋅(171) - 312]/[(6)⋅(5)]

= 13/6.

Sebaran cuplikan• Statistika induktif berkaitan dng generalisasi dan prediksi.

Generalisasi dari parameter statistik dapat dilakukan jikaperilakuk fluktuatif dari statistik diketahui.

• DEFINISI 5.10 Sebaran peluang dari suatu statistik disebutsebaran cuplikan (sampling distribution).

• DEFINISI 5.11Simpangan baku dari sebaran cuplikan darisuatu statistik disebut sebagai kesalahan baku dari statistik(standard error of statistic).

• Sebaran peluang dari X disebut sebagai sebaran cuplikandari mean, sedangkan kesalahan baku dari mean adalahsimpangan baku dari sebaran cuplikan dari X.

5.5 Sebaran cuplikan dari mean

Pendahuluan• Pokok bahasan pertama ttg sebaran cuplikan penting ( important

sampling distribution ) adalah mean X. • Andaikan cuplikan acak dari n buah pengamatan diambil dari populasi

normal dengan mean μ dan sebaran σ 2. Setiap pengamatan Xi, i=1,2, …,n dari cuplikan acak akan punya sebaran normal yang sama denganpopulasi yang dicuplik.

• Berdasarkan sifat reproduktif dari sebaran normal pada Teoriema 5.11, maka

X = (X1 + X2 + … + Xn)/nakan tersebar normal dengan mean

μX = (μ + μ + … + μ)/n = μdan variansinya

σX2 = (σ2 + σ2 + … + σ2)/n2 = σ2/n2

• Jika pencuplikan dilakukan pada popolasi yang sebarannya takdiketahui, berhingga maupun takhingga, sebaran cuplikan X akan tetapmendekatai normal dengan mean μ dan variansi σ2/n jika jumlahcuplikan cukup banyak. Hasil yang menakjubkan ini adalahkonsekuansi langsung dari Central Limit Theorem.

Central Limit Theorem• THEOREM 5.14 Jika X adalah mean dari cuplikan

acak berukuran n yang diambil dari suatu populasidengan mean μ dan variansi berhingga σ2, makalimit dari bentuk sebaran

ketika n →∞, adalah sebaran normal baku n(z;0,1)n

XZσ

μ−=

• Pada umumnya, hampiran normal dari X akan baik jika n ≥30, apapun bentuk populasinya. Jika n<30, hampiran akan baik hanyajika populasi tidak terlalu menyimpang dari bentuk normal.

• Jika populasinya normal, sebaran cuplikan X akan mengikutisebaran normal secara tepat, seberapapun ukuran cuplikan.

Contoh 5.16• Soal: sebuah pabrik memproduksi lampu listrik yang memiliki

waktu-hidup hampir tersebar normal, dengan mean 800 jam dansimpangan baku 40 jam. Tentukan peluang bahwa suatucuplikan acak 6 buah lampu akan memiliki waktu hidup kurangdari 775 jam.

• Jawab: Sebaran cuplikan dari X akan mendekati normal denganμX =800 dan σX=40/√(16) =10. Peluang yang diinginkan akandiberikan oleh daerah diarsir pada Gb 5.4.

• Untuk x=775, maka kita akanmendapatkan

z = (775-800)/10 = -2.5

Oleh karena ituP(X<775) = P(Z<-2.5)

= 0.006 775x

800

σX=10

Contoh 5.17• Soal: Suatu populasi memiliki sebaran seragam

f(x) = ¼ ; x=0, 1, 2, 3= 0 ; lainnya

tentukan peluang bahwa suatu cuplikan acak berukuran 36, yang diambil dengan penggantian, akan menghasilkan mean cuplikanlebih dari 1.4, tetapi kurang dari 1.8, jika mean diukur kepersepuluhan terdekat.

• Jawab: Perhitungan mean dan variansi dari sebaran seragam darirumus pada Teorema 3.1 menghasilkan

μ = (0+1+2+3)/4 = 3/2σ2 = {(0-3/2)2 + (1-3/2)2 + (2-3/2)2 + (2-3/2)2 }/4 = 5/4

Sebaran cuplikan X dapat didekati dengan sebaran normal dengan mean μX=3/2 dan variansi σX

2 = σ2/n = 5/144. Dengandemikian, simpangan bakunya adalah σX=0.186. Peluang bahwa X akan lebih dari 1.4 tetapi kurang dari 1.8 diberikan oleh daerah diarsir pada Gb.5.5

Lanjutan …• Nilai z yang untuk x1=1.45 dan x2=1.75 adalah

z1= (1.45-1.5)/0.186 = -0.269z2= (1.75-1.5)/0.186 = 1.344

Oleh karena ituP(1.4<X<1.8) ~ P(-0.269<Z<1.344)

= P(Z<1.344) – P(Z<-0.269)= 0.9105 – 0.3932= 0.5173

1.51.45 1.75

x

σX= 0.186

Selesai