5. Fungsi dari Peubah Acak - · PDF filePendahuluan • Seringkali kita perlu menurunkan...

Click here to load reader

  • date post

    20-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    290
  • download

    21

Embed Size (px)

Transcript of 5. Fungsi dari Peubah Acak - · PDF filePendahuluan • Seringkali kita perlu menurunkan...

  • 5. Fungsi dari Peubah Acak

    EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono

  • Isi

    1. Transformasi Peubah Acak2. Fungsi Pembangkit Momen3. Pencuplikan Acak4. Teori Pencuplikan5. Pencuplikan Sebaran Mean6. Pencuplikan Sebaran (n-1)S2/2

    7. Sebaran t8. Sebaran F

  • 5.1 Transformasi Peubah Acak

  • Pendahuluan Seringkali kita perlu menurunkan sebaran peluang

    dari fungsi satu peubah atau lebih. Misalnya, andaikan X peubah acak diskrit dengan

    sebaran f(x) dan andaikan lagi Y=u(X) transformasisatu-ke-satu dari X ke Y. Kita ingin menentukansebaran peluang dari Y.

    Dari pembahasan pada Bab 2, jelas bahwa peubahacak Y bernilai y saat peubah acak X punya nilaitertentu, misalnya, w(y). Akibatnya, sebaran Yakan diberikan oleh

    g(y) =P(Y=y) = P(X=w(y)) = f[w(y)]

    Hasil ini kita rangkum dalam teorema berikut.

  • Transformasi satu peubah acak TEOREMA 5.1 Andaikan X peubah acak diskrit dengan

    sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) adalah transformasisatu-ke-satu antara nilai-nilai X dng Y sedemikian hinggapersamaan y=u(x) dapat dipecahkan secara unik untuk xdalam y, misalkan berbentuk x=w(y). Maka, sebaranpeluang dari Y adalah

    g(y) = f[w(y)]

    Contoh 5.1: Andaikan X peubah acak geometrik dengan sebaranpeluang f(x) = (3/4)(1/4)x-1, x = 1, 2, 3, Tentukan sebaranpeluang dari peubah acak Y=X2.

    Jawab: karena semua nilai X positif, transformasi inimenyatakan korespondensi satu-ke-satu antara x dengan y, dimana y = x2 dan x = y. Dengan demikian

    g(y) = f(y) = (3/4)(1/4)y 1 , y=1, 4, 9, = 0 , lainnya

  • Transformasi dua peubah acak Teorema 5.2 Andaikan X1 dan X2 peubah acak diskrit dengan

    sebaran peluang gabungan f(x1,x2). Andaikan Y1 = u1(X1,X2) danY2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi antara titik (x1,x2) dan(y1,y2) sedemikian hingga y1=u1(x1,x2) dan y2=u2(x1,x2) secaraunik dapat dipecahkan untuk x1 dan x2 yang dinyatakan dalam y1dan y2, misalnya x1=w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Maka sebaranpeluang gabungan dari Y1 dan Y2 adalah

    g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)]

    Contoh 5.2: Andaikan X1 dan X2 dua peubah acak saling bebas yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter 1 dan 2. Tentukansebaran dari peubah acak Y1 = X1+ X2

    Jawab: Karena X1 dan X2 saling bebas, maka

    dimana x1= 0, 1, 2, dan x2 = 0, 1, 2, .

    ( ) ( ) ( )( )

    !!!!

    ,

    21

    21

    2

    2

    1

    1

    2121

    21212211

    xxe

    xe

    xe

    xfxfxxfxxxx +

    ==

    =

  • Lanjutan Sekarang kita definisikan peubah acak kedua, mis. Y2=X2.

    Fungsi inverse diberikan oleh x1=y1-y2 dan x2 = y2. DenganTeorema 5.2, kita temukan sebaran peluang bersama dari Y1 danY2, yakni:

    ( )( )

    ( ) !!, 22121

    21

    22121

    yyyeyyg

    yyy

    =

    +

    dimana y1 = 0, 1, 2, , dan y2 = 0, 1, 2, Karena x1>0, transformasi x1=y1-x2 berimplikasi bahwa x2 dan y2 harus selalukurang dari atau sama dengan y1. Akibatnya, sebaran marjinaldari Y1 adalah

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )( )

    2211

    2

    21221

    1

    2

    21

    1

    2

    22121

    1

    2

    210 2

    1

    121

    0 221

    1

    1

    0 221

    21

    0211

    !!!!

    !

    !!,

    yyyy

    y

    yyyy

    y

    y

    y

    yyyy

    y

    yy

    ye

    yyyy

    ye

    yyyeyygyh

    =

    +

    =

    +

    =

    +

    =

    =

    =

    ==

  • Lanjutan Penjumlahan tsb adalah ekspansi binomial (1+2)y1.

    Dengan demikian, kita peroleh:

    ( )( )( ) ...,2,1,0,

    ! 1121

    1

    121

    =+

    =+

    yy

    eyhy

    Kesimpulan: penjumlahan dia peubah acak saling bebasyang memiliki sebaran Poisson dengan parameter 1 dan2 adalah suatu sebaran Poisson dengan parameter (1+ 2)

  • Transformasi satu peubah acak kontinyu Teorema 5.3 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

    peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan korespondensi satu-ke-satuantara X dengan Y sedemikian hingga persamaan y=u(x) dapatdipecahkan secara unik untuk x dalam y, misalnya x=w(y). Makasebaran peluand dari Y adalah

    g(y) = f[w(y)]|J|dimana J=w(y) adalah Jacobian dari transformasi.

    Bukti: (1) Andaikan y=u(x) fungsimonoton naik spt pd Gb5.1. Makaterlihat bahwa jika Y jatuh antara nilai a dan b, maka peubah acak X akan beradaantara w(a) dan w(b). Dengan demikian,P(a

  • Lanjutan Karena integral tsb memberikan nilai yng diinginkan untuk setiap a

  • Contoh 5.3 Soal: Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

    peluangf(x) = x/12 ; 1

  • Transformasi dua peubah acak kontinyu Teorema 5.4. Andaikan X1 dan X2 peubah acak kontinyu dengan

    sebaran peluang f(x1,x2). Andaikan Y1=u1(X1,X2) danY2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi satu-ke-satu antara titik(x1,x2) dan (y1,y2) sehingga persamaan y1=u1(x1,x2) dany2=u2(x1,x2) dapat secara unik dipecahkan untuk x1 dan x2 dalamy1 dan y2, misalnya x1= w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Makasebaran peluang bersama dari Y1 dan Y2 adalah

    g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)]|J|

    dimana Jacobian merupakan determinan matriks 2 2 sbb:

    dan x1/y1 adalah turunan dari x1 = w1(y1,y2) terhadap y1dengan menganggap y2 konstan, seperti pada proses penurunanx1 terhadap y1 pada kalkulus. Turunan parsial lain didefinisikandengan cara yang sama.

    2212

    2111

    yxyxyxyx

    J

    =

  • Contoh 5.4 Soal: Andaikan X1 dan X2 dua buah peubah acak kontinyu dengan

    sebaran peluang gabunganf(x1,x2) = 4x1x2 ;0

  • Jika pemetaan tidak satu-ke-satu Penerapan prinsip transformasi peubah acak bisa muncul

    masalah jika kita ingin menentukan sebaran peubah acakY=u(X), dimana X kontinyu dan transformasinya tidak satu ke-satu. Yakni, setiap nilai x ada satu nilai y, tapi setiap y berkorespondensi dengan lebih dari satu nilai x.

    Contoh: andaikan f(x) positif pada interval -1

  • Lanjutan Maka, bagi setiap nilai y akan ada nilai x tunggal untuk setiap partisi.

    Dari Gambar 5.3P(a

  • Transformasi untuk k-buah fungsi invers Teorema 5.5 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

    peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan transformasi yang tidak satu-ke-satu antara nilai X dengan Y. Jika selang keseluruhX dpt dipartisi menjai k-buah himpunan tak beririsansedemikian hingga setiap fungsi inverse x1=w1(y), x2=w2(y), , xk=wk(y) dari y=u(x) berkorespondensi satu-ke-satu, makasebaran peluang dari Y adalah

    dimana Ji=wi(y), i =1, 2, , k

    ( ) ( )[ ] ik

    ii Jywfyg

    =

    =1

    Latihan: Soal no. 1, 2, 4, 6, 10 dalam buku teks

  • Contoh 5.5 Soal: Tunjukkan bahwa Y=(X-)2/2 memiliki sebaran chi-

    kuadrat dengan derajat bebas 1, jika X tersebar normal denganmean dan variansi 2.

    Jawab: Andaikan Z=(X-)/, dimana peubah acak Z memilikisebaran normal baku

    f(z) = (1/2)1/2exp(-z2/2) ; -

  • Lanjutan Karena g(y) fungsi kerapatan peluang, maka

    integral ini menyatakan luas daerah dibawah kurva peluanggamma dengan parameter =1/2 dan =2. Oleh karena itu, = (1/2) dan sebaran peluang Y diberikan oleh

    yaitu sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

    ( )( )

    ( )

    21212

    121

    211

    0

    212121

    0

    212121

    =

    =

    =

    dyey

    dyey

    y

    y

    ( ) ( ) 0,2121 2121

    21 >= yeyyg y

  • 5.2 Fungsi pembangkit momen

  • Pendahuluan Disamping metoda transformasi variabel spt

    yang sudah dijelaskan, ada cara lain untukmenentukan fungsi sebaran peluang daribanyak peubah acak, terlebih jika fungsi inimerupakan penjumlahan beberapa peubahacak yang saling bebas.

    Metoda ini disebut teknik fungsipembangkit momen.

  • Fungsi pembangkit momen DEF.5.1 Fungsi pembangkit-momen dari peubah acak X

    diberikan oleh E(etX) dan dituliskan sebagai MX(t), yakni( ) ( )

    ( )

    ( ) kontinyuXuntukdxxfe

    diskritXuntukxfe

    eEtM

    tx

    n

    ii

    tx

    tXX

    i

    ,

    ,1

    =

    =

    =

    =

    Fungsi pembangkit momen ini ada jika jumlah atauintegral di ruas kanan pada DEF.5.1 konvergen.

    Jika fungsi ini ada, fungsi ini dapat dipakai untukmembangkitkan/menentukan semua nilai momen darivariabel ybs, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.

  • Perhitungan momen TEOREMA 5.6. Andaikan X peubah acak dengan fungsi

    pembangkit momen MX(t). Maka

    ( )r

    trX

    r

    dttMd '

    0

    ==

    Bukti: dengan asumsi proses diferensiasi dapat dilakukan, maka

    Dng membuat t=0, kedua kasus akan menghasilkan E(Xr) =r.

    ( ) ( )

    ( ) kontinyuXdxxfex

    diskritXxfexdt

    tMd

    txr

    n

    ii

    txrir

    Xr

    i

    ,

    ,1

    =

    =

    =

  • Contoh 5.6 Soal: Tentukan fungsi pembangkit momen utk peubah acak

    binomial X dan gunakan utk membuktikan =np dan 2=npq. Jawab: Dari definisi 5.1, kita dapatkan

    ( ) ( )=

    =

    =

    =

    n

    x

    xnxtn

    x

    xnxtxX qpex

    nqp

    xn

    etM00

    Yang tak lain adalah ekspansi binomial (pet + q)n, sehinggadiperoleh: MX(t) = (pet + q)n

    Selanjutnya: dMX(t)/dt = n (pet + q)n-1 pet dand2MX(t)/dt2 = np[et(n-1)(pet + q)n-2 pet + (pet + q)n-1et]

    Dengan membuat t=0, maka diperoleh1 = np dan 2=np [(n-1)p +1]

    Akibatnya: = 1 = np dan2 = 2 - 12 = np(1-p) = npq

  • Contoh 5.8 Soal: Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari peubah

    acak X yang tersebar Chi-kuadrat dengan derajat bebas v adalahMX(t)=(1-2t)exp(-v/2).

    Jawab: Sebaran Chi-kuadrat adalah kasus khusus dari sebarangamma dengan membuat =v/2 dan =2. Dari DEF 5.1 diperoleh

    Dengan menuliskan y=x(1-2t)/2 d