Post on 04-Jul-2015
description
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Μετασχηματισμοί
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
19 Νοεμβρίου 2014
Μετασχηματισμοί στον R2
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν
μετασχηματισμούς αν
1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn
Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν
μετασχηματισμούς αν
1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R
3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn
Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν
μετασχηματισμούς αν
1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες
τρείς συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να
παρασταθεί με πίνακα
Παραδείγματα
1.
[10
]→
234
και [01
]→
468
2.
[11
]→
69
12
και [ 2−1
]→
000
Παραδείγματα
1.
[10
]→
234
και [01
]→
468
2.
[11
]→
69
12
και [ 2−1
]→
000
΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2. ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p2. ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
Παραγώγιση Πολυωνύμων
pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn
p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1
pn(x) ↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x) ↔
0a1
2a2. . .
(n−1)an−1nan
Παραγώγιση Πολυωνύμων
pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn
p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1
pn(x) ↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x) ↔
0a1
2a2. . .
(n−1)an−1nan
Παραγώγιση Πολυωνύμων
pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn
p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1
pn(x) ↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x) ↔
0a1
2a2. . .
(n−1)an−1nan
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε
Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V
Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm
Περιστροφή
Qθ =(
cosθ −sinθsinθ cosθ
)
Περιστροφή
Qθ =(
cosθ −sinθsinθ cosθ
)
Περιστροφή
Qθ =(
cosθ −sinθsinθ cosθ
)
Περιστροφή
Ï QθQ−θ =
I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I
⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θ
Ï Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =
Qθ1+θ2
Ï ...
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
Περιστροφή
Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ
=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2
Ï ...
Μετασχηματιμός Γινομένου
x A→ y B→ z⇒ x AB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ= I ⇒A−1παραγ=Aoλoκλ
Μετασχηματιμός Γινομένου
x A→ y B→ z⇒ x AB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ= I
⇒A−1παραγ=Aoλoκλ
Μετασχηματιμός Γινομένου
x A→ y B→ z⇒ x AB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ= I ⇒A−1παραγ=Aoλoκλ
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =(
cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ
)
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =(
cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ
)
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =(
cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ
)
Προβολή
Ï P2 =
P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
Προβολή
Ï P2 =P
⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
Προβολή
Ï P2 =P⇒Pk =P
Ï Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
Προβολή
Ï P2 =P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεται
Ï Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
Προβολή
Ï P2 =P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =(
2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1
)
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =(
2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1
)
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =(
2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1
)
Ανάκλαση
Ï H2 =
I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
Ανάκλαση
Ï H2 = I
⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =H
Ï H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I
⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2Px
Ï Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...
Ανάκλαση
Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...