7 Μαθήματα στο Κεφ. 2 Άλγεβρας - Α Λυκείου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης

Κεφάλαιο 1ο http://lisari.blogspot.gr

[1]

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Φύλλα εργασίας

Κεφάλαιο 2

Περιεχόμενα

Ερωτήσεις θεωρίας

Ασκήσεις προς λύση

Εργασίες

Μάθημα 1: Λογική

Μάθημα 2: Σύνολα

Μάθημα 3: Πράξεις και ιδιότητες

Μάθημα 4: Δυνάμεις – Ταυτότητες

Μάθημα 5: Διάταξη πραγματικών αριθμών

Μάθημα 6: Απόλυτη τιμή πραγματικού

αριθμού

Μάθημα 7: Ρίζες πραγματικούς αριθμού

Αθήνα 2012 – 13

http://lisari.blogspot.com/



[2]

Ασκήσεις

1. Να γράψετε αν είναι Αληθής (Α) ή Ψευδής (Ψ) η συνεπαγωγή:

α. Για κάθε x ισχύει:

2

2

2 2

2 3 3 2

1.x 0 x 0

2.x 1 x 1ήx 1

3.x 1 x 2 1 2

4. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

β. Για κάθε x,y ισχύει:

2 4 21. x y x y

2. xy 0 x 0 y 0

γ. Για κάθε , , , ισχύει:

1.

2.

2. Να γράψετε αν είναι Αληθής (Α) ή Ψευδής (Ψ) η ισοδυναμία:

a. Για κάθε ισχύει:

2

2

1. 0 0

2. 1 1

3. 1 0 0 1

b. Για κάθε , ισχύει:

2 2

1. 0 0 0

2. 0 0ή 0

3. Συμπληρώστε στο κουτάκι τις λέξεις α) συνεπαγωγή, β) ισοδυναμία, γ) διάζευξη δ) σύζευξη (ή συνδυασμός λέξεων)

α. Το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο αν και μόνο αν έχει αμβλεία γωνία …………………………………………….

β. Αν έχει καλό καιρό την Παρασκευή, τότε θα πάμε εκδρομή στον ΕΟΤ …………………………..…..……….

γ. Αν ο α είναι ακέραιος αριθμός και 8 < α < 10 τότε α =9 ……………………..……………..……….

δ. Σήμερα θα λύσουμε το φυλλάδιο ή θα γράψουμε test ………………………..…………..……….

ε. Αν οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους, τότε αυτό είναι τετράγωνο ………….

στ. Ένα ακέραιος αριθμός είναι άρτιος ή περιττός αριθμός ……………………………………..……….

Μάθημα 1ο/ Μαθηματική Λογική / Θυμάμαι ; 1. Οι σύνδεσμοι «ή» και «και», πως τους χρησιμοποιούμε μεταξύ δύο ισχυρισμών; Πως καλούνται στα Μαθηματικά;

2. Τι σημαίνει η πρόταση P Q ;

3. Τι σημαίνει η πρόταση P Q ;

4. Ποιο σύμβολο χρησιμοποιούμε για να λύσουμε εξισώσεις, ανισώσεις και συστήματα;

5. Ποιες λέξεις εισάγουν συνεπαγωγή και ποιες ισοδυναμία;

Ερώτημα 1 2 3 4

Αληθής (Α) Ψευδής (Ψ)

Ερώτημα 1 2


Ερώτημα 1 2


Ερώτημα 1 2 3


Ερώτημα 1 2





[3]

Ασκήσεις

(Α) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: Βάλτε σε κύκλο το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

1. Ποιος Μαθηματικός είναι ο θεμελιωτής της θεωρίας συνόλων;

Α. Καντόρ Β. Νεύτωνας Γ. Ευκλείδης Δ. Αρχιμήδης E. Πυθαγόρας

2. Η τομή των συνόλων Κ = α, β, γ και Λ = β, γ, δ είναι:

Α. α, β, γ, δ Β. α Γ. δ Δ.β, γ Ε. β, γ, δ

3. Αν Κ = 0, 3, 5, Λ = 0, Μ = 3, 5, Ν = 5, 3 τότε είναι:

Α. Κ Λ Β. Λ Μ Γ. Μ Λ Δ. Ν Κ Ε. Ν Λ

4. Αν Α και Β δύο σύνολα το Α Β συμβολίζει:

Α. την τομή των συνόλων

Β. το συμπληρωματικό του Α

Γ. το βασικό σύνολο

Δ. το συμπληρωματικό του Β

Ε. την ένωση των συνόλων

(Β) Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β)

Στήλη (Α)

Στήλη (Β)

1. Q α. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών

2. N β. Το σύνολο των φυσικών αριθμών

3. R γ. Το σύνολο των ρητών αριθμών

4. Z δ. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

5. R – Q ε. Το σύνολο των άρρητων αριθμών

1 2 3 4 5

(Γ) (Βασική άσκηση) Συμπληρώστε τις ισότητες, αν Ω: Βασικό σύνολο, Α, Β υποσύνολα του Ω με Α⊆Β και το κενό

σύνολο.

α. Α∪Ω =……………. β. Α∪∅=……….. γ. Α∪Α΄=…………………… δ. Α∪Β =………………

ε. Α∩Ω =…………….. στ. Α∩∅ = ……… ζ. Α∩Α΄ = ………………….. η. Α∩Β =……………….

θ. Ω = …………… ι. ∅΄ =………………. Ια. (Α΄)΄ = ……………

(Δ) Σημειώστε το μικρότερο σύνολο αριθμών που ανήκουν οι παρακάτω αριθμοί (εκτός του R):

a. 23,5 ..... b. 110 ..... c. 1,43 ...... d. ...... e. 225 .... f. 4....

9 g. 2,3 .... h.

165......

3

.

αλλά όλοι οι αριθμοί ανήκουν στο σύνολο…………………

Μάθημα 2ο/ Σύνολα / Θυμάμαι ; 1. Τι ονομάζουμε σύνολο κατά Cantor; Τι σημαίνει «καλά ορισμένο ένα σύνολο»;

2. Ποια γνωστά σύνολα αριθμών γνωρίζουμε; Δώστε συμβολισμούς των συνόλων αυτών και μερικά στοιχεία τους

3. Τι εκφράζουν τα σύμβολα ,; Που τα χρησιμοποιούμε;

4. Πως παριστάνουμε ένα σύνολο; Δώστε παραδείγματα

5. Πότε δύο σύνολα λέγονται ίσα; Δώστε παράδειγμα

6. Πότε ένα σύνολο Α θα λέμε ότι είναι υποσύνολο του Β; Πως το συμβολίζουμε; Δώστε ιδιότητες του υποσυνόλου

7. Ποιο σύνολο λέγεται κενό και ποιο βασικό; Πως συμβολίζονται;

8. Τι είναι το διάγραμμα Venn;

9. Γράφτε όλες τις πράξεις συνόλων, μαζί με τα αντίστοιχα σχήματα Venn. Δώστε τύπους και παραδείγματα.

10. Δώστε βασικές ιδιότητες των παραπάνω πράξεων (Βασική άσκηση)




[4]

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω:

α. .... ............ γιατί …………………………………………………………

β. 3 5 x 2 3 x 1 6x 2010 …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………….

γ. αν x + y = 7 τότε 5 2x y 3 2 2y x 2 x 5 y …………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..………………………………………

δ. 49

12

23

34

4

2. Να αποδείξετε ότι τα 2, 3 είναι άρρητοι αριθμοί και να τα τοποθετήσετε στον πραγματικό άξονα.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά:

Φυσική γλώσσα Μαθηματική γλώσσα

Άρτιος ακέραιος αριθμός

Περιττός ακέραιος αριθμός

Διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί

Διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί

Ο ακέραιος α διαιρεί το β

Ο ακέραιος α δεν διαιρείται από το β

2 2 0

4. Βρείτε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς.

2 άρα 2 2 2 0

Δηλαδή κάθε αριθμός είναι μηδέν‼!

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. α) Σ – Λ: (άρρητος) + (άρρητος) = (άρρητος) β) Σ – Λ: (άρρητος)(άρρητος)=(άρρητος)

Να αποδείξετε ότι: γ) (ρητός) + (άρρητος) = (άρρητος) και δ) (ρητός) (άρρητος) = (άρρητος),

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Μάθημα 3ο/ Πράξεις και ιδιότητες / Θυμάμαι; 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Δώστε τύπο και ονομασίες σε κάθε ιδιότητα.

2. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Δώστε τύπο και ονομασίες σε κάθε ιδιότητα.

3. Ποια ιδιότητα συνδέει την πρόσθεση με τον πολ/σμό; Δώστε τύπο 4. Ορίστε την αφαίρεση και διαίρεση μέσω των προηγούμενων πράξεων.

5. Γράφτε τις (10) ιδιότητες ισοτήτων.

6. Γράφτε τις βασικές ιδιότητες των αναλογιών

7. Αναφέρετε τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων

8. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι. Δώστε παραδείγματα




[5]

Ασκήσεις

1. Δίνεται η παράσταση 2 4 3

2 3 3 3 1:

, όπου 0 .

Αν 99 να αποδείξετε ότι τα ,

9

είναι αντίστροφοι αριθμοί.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Δίνεται ο αριθμός 8 225 64 . Σε μηδενικά τελειώνει ο αριθμός;

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Αν 1005 , να αποδειχθεί ότι: 2 2 2 2

2 2010

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. Αν 1 , να αποδείξετε ότι: α) Οι αριθμοί α, β, γ είναι μη μηδενικοί αριθμοί.

β) 11 1 1

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Δίνεται η παράσταση x x 1 3 x 6 2x

Α) Για ποιες τιμές του x έχουμε: A x 0 ; Β) Για ποιες τιμές του x ορίζεται το 1

A x

;

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. Παραγοντοποιήστε τις παρακάτω παραστάσεις:

4 2 2x 9x 4 9 x …………………………………………………………………………………………………………..

6x 27 …………………………………………………………………………………………………………………………..

5 3 2x 4x 8x 32 …………………………………………………………………………………………………………….

Μάθημα 4ο/ Δυνάμεις – Ταυτότητες – Παραγοντοποίηση / Θυμάμαι; 1. Δώστε τον ορισμό της δύναμης ,

2. Γράφτε και ονομάστε τις ιδιότητες των δυνάμεων.

3. Ισχύει η ισοδυναμία: , όπου ν φυσικός αριθμός; Δώστε παραδείγματα

4. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Γράψτε τις 8 βασικές ταυτότητες.

5. Γράψτε και αναλύστε τις μεθόδους απόδειξης μιας σχέσης. Δώστε παραδείγματα

6. Τι ονομάζουμε παραγοντοποίηση; Δώστε τους βασικούς τρόπους παραγοντοποίησης.




[6]

Ασκήσεις

1. Δίνεται η παράσταση 3 2 , όπου πραγματικοί αριθμοί.

Βρείτε το πρόσημο του Α.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Αν 3 4 2 3 , να αποδειχθεί ότι:

α. 24 < 6α + 3β < 33 β. 3 < 3α – 2β < 8 γ. 6 3

3 113 2

δ.

69 2

3 4

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Να συγκριθούν οι αριθμοί Α = (α + β)2 και Β = 2 ( α2 + β2). Σε ποια περίπτωση οι αριθμοί Α και Β είναι ίσοι;

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Μάθημα 5ο/ Διάταξη πραγματικών αριθμών / Θυμάμαι - Γνωρίζω; 0. Τι ονομάζουμε ανισότητα;

1. Πότε ένας αριθμός α θα λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από ένα αριθμό β; Δώστε συμβολισμό και σχέση. Ποια είναι η

γεωμετρική ερμηνεία; Τι συμβαίνει όταν β=0;

2. Πότε ένας αριθμός α θα λέμε ότι είναι μικρότερος από ένα αριθμό β; Δώστε συμβολισμό και σχέση. Ποια είναι η

γεωμετρική ερμηνεία; Τι συμβαίνει όταν β=0;

3. Ποιος είναι ο νόμος της τριχοτομίας;

4. Τι σημαίνει αλγεβρικά και γεωμετρικά: α < x < β ή α ≤ x ≤ β ; Μπορούμε να βρούμε την μέγιστη ή ελάχιστη τιμή που

μπορεί να πάρει το x;

5. Περιγράψτε αλγεβρικά και γεωμετρικά τις σχέσεις: α ≤ β και α ≥ β. Τι συμβαίνει όταν β=0;

6. Γράψτε τις 8 ιδιότητες ανισοτήτων και δώστε περιγραφή και παράδειγμα στην κάθε μια ξεχωριστά.

7. Τι συμπεραίνουμε για τους πραγματικούς αριθμούς α, β στις παρακάτω σχέσεις:

α. 2 2 0 β.

2 2 0 γ. 2 2 0 δ.

2 2 0

όπου ν ένας θετικός ακέραιος αριθμός.

8. Για τους θετικούς αριθμούς α, β και ν ένας θετικός ακέραιος αριθμός, να αποδείξετε τις παρακάτω ισοδυναμίες:

α. β.

9. Μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη; Δικαιολογήστε την απάντησή σας και δώστε παράδειγμα. Αν έχουμε

τις ανισότητες x , y τότε πως θα δημιουργήσουμε την ανισότητα: ; x y ;

10. Μπορούμε να διαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη; Δικαιολογήστε την απάντησή σας και δώστε παράδειγμα. Αν έχουμε

τις ανισότητες x , y με α, γ > 0, τότε πως θα δημιουργήσουμε την ανισότητα: x

; ;y

11. Γράψτε και αναλύστε όλες τις μορφές διαστημάτων. Για ευκολία κάντε ένα πίνακα με 8 γραμμές, που θα υπάρχουν

όλες οι μορφές των διαστημάτων και 3 στήλες με συμβολισμό, σχήμα και την αντίστοιχη ανισότητα για κάθε διάστημα

ξεχωριστά.




[7]

4. Να αποδειχθεί ότι: 4 4

2 2

2

για κάθε ,

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Να αποδειχθεί ότι: 2 2 2 3 2 για κάθε , , . Πότε ισχύει η ισότητα;

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

α. 2 2

1 1

β. 3 3 γ.

1 14

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2160 και 3120 .

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. α. Αν 0 < α < 1 να αποδείξετε ότι:

β. Να αποδείξετε ότι: 4100 + 3100 < 7100

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. Να αποδείξετε ότι: α. 2 2 2x y z xy xz yz και β.

2 2 2x y z xy xz yz

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. Αν 1 < α < 3 και 4 < β < 7. Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι παραστάσεις:

α) α + β β) α – β γ) 2α – 3β δ) α2 + β2 ε) αβ στ) α:β

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………




[8]

Ασκήσεις 1. Γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις:

α) π 8 β) 2010χ γ) 5 3 δ) 5 2 ε) 2 3 3 5

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: α) Α x 3 x 1 , αν 1 x 3

β) Α α 2 5 α , αν α 2 γ) Α α β β γ 3 γ α 2 α β 2γ , αν α β γ

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Να γράψετε χωρίς απόλυτη τιμή τις παραστάσεις:

α) Α x 5 β) Α 2 x 3 1 γ) 3x 1

Α3x 1

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Μάθημα 6ο/ Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού / Θυμάμαι - Γνωρίζω; 0. Ο αριθμός +χ είναι πάντα θετικός, ενώ ο αριθμός –χ είναι πάντα αρνητικός αριθμός; Σχολιάστε και δώστε παραδείγματα

1. α) Δώστε συμβολισμό και τον (αλγεβρικό) ορισμό – τύπο της απόλυτης τιμής του πραγματικού αριθμού α.

β) Ένας μαθητής έγραψε: « Για την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α:

a) α max α,α b) min , c) max , min ,

2

Σωστό ή Λάθος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

2. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της απόλυτης τιμής ενός αριθμού α;

3. Γράψτε τις 12 ιδιότητες (άμεσες και έμμεσες του ορισμού) και περιγράψτε πότε θα τις εφαρμόζουμε. Δώστε παραδείγματα

παράλληλα με κάθε ιδιότητα ξεχωριστά.

4. Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες: α) αβ α β και

β) α β α β . Πότε ισχύει η ισότητα; Ποια σχέση σας θυμίζει από την γεωμετρία;

γ) x x όπου θ μη αρνητικός πραγματικός αριθμός δ) x x όπου α πραγματικός αριθμός

5. α) Τι συμβολίζουμε με d α,β ; Πως ορίζεται;

β) Αν 0χ ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος (α, β), να αποδείξετε και να ερμηνεύσετε, την παρακάτω ισοδυναμία:

0 0 0

α βd χ ,α d χ ,β χ

2

στη συνέχεια να βρείτε τα d(x0,α) και d(x0,β) συναρτήσει των α, β. Πως λέγονται αυτές οι αποστάσεις;

6. Συμπληρώστε το κενό: | x | < ρ ……………… και δώστε την γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης καθώς και παραδείγματα.




[9]

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. Βασική άσκηση: Τι συμπεραίνετε για τους πραγματικούς αριθμούς x, y όταν ισχύουν τα εξής:

α. x y 0 β. x y 0 γ. x y 0 δ. x y 0 ε. x y 0

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Έστω η παράσταση

2x 4x 4A 2x 4 4x 8 6 2011

x 2

α. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; β. Να αποδείξετε ότι: Α = 2011 για κάθε x 2

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. Για κάθε πραγματικού αριθμούς α, β με β 2α , να αποδείξτε ότι: α 2β

1 β αβ 2α

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: α β και α βχ αχ β . Να αποδείξετε ότι:

α. α β α β 0 β. 2 2 2 2 2 2α β χ β α χ γ. χ 1

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Σημειώσεις για το Μάθημα 6:

………………………………………………………………………………………………………………………………………




[10]

Ασκήσεις Βασική άσκηση 1η

Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να αποδειχθεί η ισοδυναμία:

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Βασική άσκηση 2η

α) Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β να αποδείξετε ότι:

β) Πότε ισχύει η ισότητα;

γ) Ποια γνωστή η ιδιότητα μας θυμίζει; Που το έχουμε ξαναδεί;

Μάθημα 7ο/ Ρίζες πραγματικών αριθμών/ Θυμάμαι - Γνωρίζω; 1. α) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού;

β) Πως συμβολίζεται η τετραγωνική ρίζα του α; Δώστε τον τύπο και του περιορισμούς

γ) Ποια είναι η μη αρνητική λύση της εξίσωσης 2 , 0 ;

2. Ποια είναι η ερμηνεία της τετραγωνικής ρίζας; Με ποια πράξη συνδέεται άμεσα;

3. α) Γράψτε τις ιδιότητες (άμεσες και έμμεσες του ορισμού) της τετραγωνικής ρίζας μη αρνητικού αριθμού και περιγράψτε

πότε θα τις εφαρμόζουμε. Δώστε παραδείγματα σε κάθε ιδιότητα ξεχωριστά.

β) Ένας μαθητής έγραψε για α, β μη αρνητικούς αριθμούς. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του;

Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας.

4. α) Πότε ο αριθμός α είναι ρητός και πότε άρρητος;

β) Να δείξετε ότι ο αριθμός 2 είναι άρρητος αριθμός.

5. Τι ονομάζουμε ρητοποίηση του παρονομαστή; Για ποιο λόγο την εφαρμόζουμε και πως; Να δοθούν παραδείγματα.

6. α) Τι ονομάζουμε ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού;

β) Πως την συμβολίζουμε την ν-οστή ρίζα του α; Δώστε τύπο και περιορισμούς.

γ) Αν α μη αρνητικός αριθμός, τότε τι ορίσαμε για ν = 1 και ν = 2;

δ) Ποια είναι η μη αρνητική λύση της εξίσωσης , 0 ;

7. Γράψτε τις ιδιότητες (άμεσες και έμμεσες του ορισμού) της ν-οστής ρίζας μη αρνητικού αριθμού και περιγράψτε πότε θα

τις εφαρμόζουμε. Δώστε παραδείγματα σε κάθε ιδιότητα ξεχωριστά.

8. Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες της ν-οστής ρίζας για α, β μη αρνητικούς και ν, μ ,ρ θετικοί ακέραιοι.

α) β) γ)

9. α) Δώστε τον ορισμό δυνάμεων με ρητό εκθέτη.

β) Ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη;

γ) Πόσο ορίσαμε το 0

; Ορίσαμε δύναμη με ρητό εκθέτη και αρνητική βάση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας

δ) Πως οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη μας διευκολύνουν στο λογισμό των ριζικών; Δώστε παραδείγματα




[11]

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Βασική άσκηση 3η: Τι συμπεραίνεται για τους μη αρνητικούς αριθμούς α, β όταν ισχύουν τα εξής:

α. ν να β 0 β. ν να β 0 γ. ν να β 0 δ. ν να β 0 ε. ν να β 0

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. Α) Αν 3 1 και 3 1 τότε να αποδείξετε ότι: 1

1 32

Β) Βρείτε στην συνέχεια τα παρακάτω:

α) β) γ)2 2 δ) ε)

2 2 στ)3 3 ζ)

3 3 η) 2 θ)

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Αν α, β, γ θετικοί να αποδείξετε ότι:

α) 2

2

β)

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………




[12]

6. Αν x > 1 να διατάξετε από τον μεγαλύτερο προς το μικρότερο τις παρακάτω παραστάσεις: 1 1 x

, x, ,x xx x

και να το δικαιολογήσετε.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Σημειώσεις για το μάθημα 7:

………………………………………………………………………..............................................................................................

………………………………………………………………………..............................................................................................

………………………………………………………………………..............................................................................................

………………………………………………………………………..............................................................................................

………………………………………………………………………..............................................................................................

………………………………………………………………………..............................................................................................

………………………………………………………………………..............................................................................................


7 Μαθήματα στο Κεφ. 2 Άλγεβρας - Α Λυκείου

Education

Transcript of 7 Μαθήματα στο Κεφ. 2 Άλγεβρας - Α Λυκείου