Η απελευθέρωση της άλγεβρας από την αριθμητική ,Peacock,

Hamilton .

Γράφει ο Γιώργος Μπαντές μαθηματικός www.mpantes.gr

Περίληψη

Ο Peacock μετέτρεψε τους τεχνητούς αριθμούς της εποχής του σε λογικά σύμβολα,

καταργώντας τη διαισθητική τους ερμηνεία με εικόνες από τον πραγματικό κόσμο. Κι αυτό

μέσω της αξιωματικοποίησης των πράξεων της αριθμητικής όπου τα σύμβολα των πράξεων

δεν έχουν άλλη έννοια από αυτήν που δίνεται από τα αξιώματα, π.χ πρόσθεση σημαίνει

κάποια αξιώματα. Αυτή η νέα άλγεβρα είναι η «συμβολική άλγεβρα» και ήταν το πρώτο βήμα

προς την αφηρημένη άλγεβρα.

Η θεμελιώδης λογική του αρχή είναι η «αρχή της μονιμότητας των ισοδύναμων

μορφών» .

Εισαγωγή

Κατά τα μέσα του 19ου αιώνα σχεδόν συγχρόνως με την

απελευθέρωση της γεωμετρίας από το 5ο αίτημα, δηλαδή την

Ευκλείδεια ευθεία, άρχισε και η απελευθέρωση της άλγεβρας από

την αριθμητική των τεσσάρων γνωστών πράξεων και της θεωρίας

των εξισώσεων , την οποία απλώς αναπαριστούσε με γράμματα.1

Αυτό γέννησε , τις αριθμητικές και τις άλγεβρες επί πλέον της αριθμητικής και

της γνωστής άλγεβρας των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών, και τελικά σε νέα

μαθηματικά συστήματα π.χ σύνολα εφοδιασμένα με διάφορες δομές τα οποία δεν

είχαν κλασσικά ανάλογα. Είχαμε την άλγεβρα του Lie του Jordan του Hamilton του

Grassman, τα τετραδόνια, τους υπερμιγαδικούς ,όπως ανάλογα είχαμε τη γεωμετρία

του Λομπατσέφσκυ του Ρήμαν κλπ. Είχαμε ακόμα τις αλγεβρικές δομές της ομάδας,

του σώματος κλπ Έτσι στα 1870 εμφανίστηκε μια νέα περιοχή των μαθηματικών , η

οποία ονομάζονταν μέχρι τα μέσα του εικοστού αιώνα «η περιοχή των μοντέρνων

μαθηματικών».

1 Τα γράμματα αναπαριστούσαν τους θετικούς ακέραιους και του τέσσερεις τεχνητούς

αριθμούς, (αρνητικούς , κλάσματα, άρρητους και μιγαδικούς)

1

Τι ήταν όμως αυτές οι απελευθερώσεις και πως συνέβη η αλλαγή που

σάρωσε τη μαθηματική επιστήμη αιώνων; Ποιο είναι το βαθύτερο σημείο της;

Είναι η ωρίμανση της μαθηματικής κοινότητας να θεμελιώσει λογικά την

άλγεβρα, όπως ο Ευκλείδης θεμελίωσε τη γεωμετρία, επάνω σε μια αξιωματική

βάση, και προέκυψε από την αναγνώριση από τους Άγγλους μαθηματικούς, της

ύπαρξης δομής στην άλγεβρα. Φαίνονταν ότι η αξιωματική θεμελίωση της άλγεβρας

σημαίνει αξιωματική θεμελίωση του αριθμητικού της συστήματος.

Το αριθμητικό σύστημα της άλγεβρας πριν τον Peacock .

….Κανένας τεχνητός αριθμός δεν γίνονταν αποδεκτός έως

ό,του να αντιστοιχηθεί σε κάτι με πραγματική ύπαρξη. Τα κλάσματα και

οι άρρητοι που προέκυπταν από σχέσεις σε μεγέθη με πραγματική

ύπαρξη θεμελιώθηκαν στην άλγεβρα νωρίτερα από τους αρνητικούς

και μιγαδικούς οι οποίοι εμφανίστηκαν μέσα από τις εξισώσεις και για

τους οποίους δεν υπήρχε μια «πραγματική» ερμηνεία . Η απόπειρα να

δικαιολογήσουμε την ύπαρξη αυτών των αριθμών με πραγματικά

αλγεβρικές θεωρήσεις πρωτοεμφανίστηκε, αν και με ατέλειες στο έργο

του G. Peacock….. Henry.Fine

Για παράδειγμα οι άρρητοι αριθμοί θα μπορούσαν να «ερμηνευτούν» ως

σημεία μιας ευθείας και όσο για τη χρησιμότητά τους δεν υπήρχε ασάφεια. Και γι’

αυτό, αν και δεν υπήρχε λογική βάση για τους άρρητους , αυτοί έγιναν αποδεκτοί στο

αριθμητικό σύστημα.

….Οι πραγματικά μη αποδεκτοί από τη διαίσθηση αριθμοί

ήταν οι αρνητικοί αριθμοί και οι μιγαδικοί. Υπήρχαν ερωτηματικά και

απορρίπτονταν ακόμα το 19ο αιώνα με την ίδια σφοδρότητα όπως και

στους προηγούμενους αιώνες….. Morris Klein

Το πρώτο λάθος στη διδασκαλία της άλγεβρας γίνεται

φανερό διαβάζοντας λίγες σελίδες από το πρώτο μέρος της άλγεβρας

του Maclaurin. Οι αριθμοί εκεί χωρίζονταν σε δύο είδη, θετικοί και

αρνητικοί. Και γίνεται μια προσπάθεια να ερμηνευτεί η φύση των

αρνητικών αριθμών με υπαινιγμούς για χρέη (το χρέος είναι αρνητικός

αριθμός) και άλλα τεχνάσματα…όταν κάποιος δεν μπορεί να

ερμηνεύσει τις αρχές μιας επιστήμης χωρίς αναφορές σε μεταφορές το

πιθανότερο είναι να μην έχει σκεφτεί ποτέ επακριβώς πάνω στο

θέμα….. Friend»

Οι αρνητικοί αριθμοί ήταν αποδεκτό ότι δήλωναν ποσότητες όπως χρέος ,

προηγούμενο χρόνο, αντίθετη κατεύθυνση κλπ, αλλά όπως αναφέρει ο Klein ,

2

απορρίπτονταν ως ρίζες εξίσωσης από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς. Ήταν

εσφαλμένα συμπεράσματα, (Carnot) πλασματικές(Cardan) , ψευδείς (Καρτέσιος)

ασυνεπείς ή ασαφείς λύσεις (Morgan), με την έννοια ότι αντιπροσωπεύουν αριθμούς

λιγότερο από το τίποτα, άρα χωρίς νόημα….Νεύτων». Το πρόβλημά τους ήταν ότι

θεωρούσαμε την αριθμητική στηριγμένη στην έννοια της ποσότητα η οποία όμως θα

μπορούσε να παρατηρηθεί. (δεν υπήρχαν αρνητικά πρόβατα)

Στα 1758 ο Βρετανός μαθηματικός Francis Maseres δήλωνε ότι οι αρνητικοί

αριθμοί

«…συσκότιζαν αυτό το ίδιο το οικοδόμημα των εξισώσεων και περιέπλεκαν

τα πράγματα τα οποία από τη φύση τους ήταν υπερβολικά απλά και φανερά..»

Οι Maseres και Friend είχαν την άποψη ότι οι αρνητικοί αριθμοί δεν

υπήρχαν. Όμως, άλλοι μαθηματικοί την ίδια περίοδο είχαν καταλήξει στο ότι

αρνητικοί αριθμοί θα μπορούν να χρησιμοποιούνται , εφ’ όσον απλοποιούνταν στους

υπολογισμούς που εμφανίζονταν.

Από την αρχή του 19ου αιώνα οι Caspar Wessel (1745-1818) και Jean

Argand (1768-1822) είχαν παρουσιάσει διάφορες μαθηματικές παρουσιάσεις των

«φανταστικών αριθμών» και περίπου την ίδια εποχή oι August de Morgan(1806-

1871) George Peacock (1791-1858), William Hamilton (1805-1865) και άλλοι,

άρχισαν να εργάζονται επάνω στη «λογική» της αριθμητικής και της άλγεβρας, και

τότε άρχισε να αναδύεται ένας καθαρότερος ορισμός των αρνητικών αριθμών , των

φανταστικών ποσοτήτων και της φύσης των πράξεων.

Η αριθμητική και συμβολική άλγεβρα .

Η θεωρητική αφετηρία για τις σύγχρονες αυτές αντιλήψεις στην άλγεβρα,

υπήρξε η συμβολική άλγεβρα του G.Peacock στην Αγγλία κατά τα μέσα και

3

νωρίτερα του 19ου αιώνα, γι’ αυτό και πολλοί ιστορικοί τον ονομάζουν Ευκλείδη της

άλγεβρας. Στην Αγγλία μια ομάδα μεταρρυθμιστών του Καίμπριτζ που

αυτοαποκαλούνταν «Αναλυτική κοινότητα» κυκλοφόρησαν το δικό τους περιοδικό

«Memoirs of the Analytical Society» για να διαδώσουν ό,τι πίστευαν αυτοί ως

ριζοσπαστική νέα προσέγγιση στα Μαθηματικά. Οι πιο ονομαστοί εκπρόσωποι της

Αναλυτικής κοινότητας ήταν οι Herschre, Babbage, και Ρeacock, ο οποίος στράφηκε

προς τα θεμέλια της άλγεβρας. Στο βιβλίο του «Μια πραγματεία στην Άλγεβρα»

προώθησε την ιδέα ότι η άλγεβρα αν εξεταστεί σωστά, είναι μια επιστήμη

παραγωγική όπως η γεωμετρία, θεμελιώνοντας την αξιωματική σκέψη στην άλγεβρα

( Ευκλείδης της άλγεβρας). Είναι αυτό που αποκαλούμε σήμερα, συμβολική

άλγεβρα. Ο Peacock στη δεύτερη έκδοση του Treatise on Algebra 1840 , δήλωσε

ακριβώς ότι η άλγεβρα, όπως η γεωμετρία , είναι μια παραγωγική επιστήμη, άρα θα

βασίζεται σε μια σειρά αξιώματα τα οποία υπαγορεύουν τις πράξεις που

χρησιμοποιούνται στην πορεία.

Με την αξιωματική άλγεβρα επεκτείνει την έννοια του αριθμού από το θετικό

ακέραιο σε όλους τους γνωστούς τότε τεχνητούς αριθμούς. Είναι το ανάλογο της

επέκτασης της έννοιας της ευθείας από την Ευκλείδεια στις μη-Ευκλείδειες ευθείες. Η

λογική θεμελίωση των τεχνητών αριθμών έφερε την αξιωματική θεμελίωση της

Άλγεβρας. Τη θεμελίωση αυτή, έστω και ατελή όπως θα περιγράψουμε,

πραγματοποίησε ο Peacock , με θεμελιώδεις έννοιες:

Την αριθμητική άλγεβρα ( θετικούς ακεραίους),

τη συμβολική άλγεβρα,

την αρχή της μονιμότητας των ισοδύναμων μορφών με κυρίαρχη ιδέα ότι:

Τα σύμβολα των πράξεων δεν έχουν άλλη έννοια από αυτήν που δίνεται από

τα αξιώματα.

Μια σύγχρονη άποψη της άλγεβρας, η αλγεβρική δομή .

Η άλγεβρα των θετικών ακεραίων

H άλγεβρα είναι δύο πράγματα: ένα σύνολο στοιχείων και οι πράξεις στο σύνολο

αυτό.

Αν πάρουμε ως σύνολο στοιχείων τους θετικούς ακέραιους και τις πράξεις τις

συνήθεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμό αυτές συμβολίζονται με + και x αντίστοιχα

και έχουν βασικούς νόμους τους

Ι. α+β=β+α

ΙΙ. α+(β+γ)=α+β+γ

4

ΙΙΙ αxβ=βxα

ΙV. αx(βxγ)=αxβxγ

V. αx(β+γ)=αxβ+αxγ

Οι πέντε νόμοι ορίζουν την άλγεβρα των θετικών ακεραίων, και είναι το

«αντίστοιχο» του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη, εκείνο για την ευθεία,

ετούτο για τον αριθμό. Εκεί Ευκλείδεια ευθεία ήταν αυτή που πληρούσε τα Ευκλείδεια

αξιώματα, εδώ θετικοί ακέραιοι είναι αυτοί των οποίων οι πράξεις πληρούν τις

παραπάνω ιδιότητες. Και τα δύο αξιωματικά συστήματα περιγράφουν την άμεση

εμπειρία, η γεωμετρία είδαμε σε προηγούμενα άρθρα, οι θετικοί ακέραιοι και οι

πράξεις τους την καθημερινή αντιστοίχηση-μέτρηση.

Όμως οι πέντε ιδιότητες είναι συμβολικές και είναι δυνατόν να εφαρμόζονται

και σε άλλο σύνολο στοιχείων εκτός των θετικών ακεραίων. Πράγματι ισχύουν στου

περιττούς θετικούς ακεραίους, στους ρητούς, στους πραγματικούς με τη συνήθη

πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, , στα πολυώνυμα με συντελεστές πραγματικούς και

την συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό των πολυωνύμων , καθώς και σε όλα τα

διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων (α,β) με πράξεις

(α,β)+(γ,δ)=(α+γ,β+δ)

(α,β) χ (γ,δ)=(αγ, βδ)

Κλπ.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι οι πέντε ιδιότητες των πράξεων των θετικών

ακεραίων , πληρούνται σε όλα τα παραπάνω σύνολα, καθώς και σε πολλά άλλα.

Είναι αυτό που λέμε ότι υπάρχει μια κοινή αλγεβρική δομή (οι πέντε ιδιότητες και οι

συνέπειές τους) που προσαρτάται σε πολλά διαφορετικά συστήματα. Έτσι η άλγεβρα

διαχωρίζεται από την αριθμητική όπως η γεωμετρία από την Ευκλείδεια ευθεία.

Οι πέντε βασικές ιδιότητες μπορούν να θεωρηθούν ως αξιώματα ενός ειδικού

τύπου αλγεβρικής δομής, και κάθε θεώρημα που προκύπτει τυπικά από αυτά τα

αξιώματα θα ισχύει σε όλα τα σύνολα που αναφέραμε προηγουμένως, ή σε κάθε

άλλη ερμηνεία που πληρεί τα πέντε αξιώματα. Είναι όπως τα γεωμετρικά αξιώματα

μιας επιπεδομετρίας, και η άλγεβρα των θετικών ακεραίων φαίνεται ως ένα

παραγωγικό σύστημα.

Αυτή είναι η σύγχρονη άποψη της άλγεβρας (η αξιωματικοποίηση της

αλγεβρικής δομής) και οι πρώτες έστω θαμπές ιδέες προς την κατεύθυνση αυτή

ξεκίνησαν στην Αγγλία περί το 1830 , με το έργο του G.Peacock.

5

Η «συμβολική άλγεβρα». Η συμβολική αφαίρεση

Η συμβολική άλγεβρα είναι η αφηρημένη άλγεβρα στα πρώτα της βήματα.

Μας προετοιμάζει για την α ξ ι ω μ α τ ι κ ο π ο ί η σ η στην ανάπτυξη της άλγεβρας.

Οι συμβολιστές του Peacock έκαναν τη διάκριση ανάμεσα σε αυτό που

αποκαλούσαν αριθμητική άλγεβρα και συμβολική άλγεβρα. Η πρώτη θεωρείται

από τον Peacock ως η μελέτη που προκύπτει από τη χρήση των συμβόλων για τους

θετικούς ακεραίους με τις πράξεις, όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση, των αριθμών

αυτών. Στην αριθμητική άλγεβρα κάποιες πράξεις είναι περιορισμένες. Για

παράδειγμα , στην αφαίρεση α-β θα πρέπει να είναι α>β..Στη συμβολική άλγεβρα

όμως , αποδεχόμαστε τις πράξεις της αριθμητικής άλγεβρας , αλλά αγνοούμε τους

περιορισμούς. Έτσι η αφαίρεση στη συμβολική άλγεβρα διαφέρει από την αφαίρεση

της αριθμητικής στο ότι θεωρείται ότι πάντα εφαρμόζεται. Η δικαιολόγηση αυτής της

επέκτασης των πράξεων της αριθμητικής άλγεβρας στη συμβολική άλγεβρα

ονομάζεται από τον Peacock “αρχή της σταθερότητας των ισοδύναμων

μορφών». Η συμβολική άλγεβρα είναι μια παγκόσμια αριθμητική άλγεβρα , της

οποίας οι πράξεις ορίζονται από αυτές της αριθμητικής άλγεβρας , όσο οι δύο

άλγεβρες συμπίπτουν , και από την αρχή της σταθερότητας των ισοδύναμων

μορφών σε όλες τις άλλες περιπτώσεις (H.Eves).

….Όλα τα αποτελέσματα που παράγονται στην αριθμητική

άλγεβρα των οποίων οι εκφράσεις είναι γενικές στη μορφή αλλά ειδικά

στην τιμή, είναι ορθά αποτελέσματα της συμβολικής άλγεβρας που

είναι γενικά στην τιμή καθώς και στη μορφή ….Peacock

Για να κατανοήσουμε την έννοια της συμβολικής άλγεβρας του G.Peacock,

θα την περιγράψουμε δίπλα στο παράδειγμα του ορισμού της αφαίρεσης και των

αρνητικών ακεραίων , γνωρίζοντας ήδη την άλγεβρα των θετικών ακεραίων .

Αφαιρούμε το β από το α σημαίνει βρίσκουμε έναν αριθμό, που αν τον

προσθέσουμε στο β έχουμε τον α. Το αποτέλεσμα γράφεται α-β και πληρεί τη σχέση

VI……(α-β)+β=α (ορισμός αριθμητικής αφαίρεσης).

VII Θεώρημα αν α+γ=β+γ→ α=β

Προφανώς σε αντίθεση με την πρόσθεση, η αφαίρεση είναι δυνατή στο

σύνολο των θετικών ακεραίων , μόνο αν α>β, δηλαδή για ειδικές τιμές των α,β.

Τώρα έχουμε την αριθμητική άλγεβρα των ακεραίων αριθμών και κάποια

πορίσματα είναι

6

Πορίσματα .

1.α-(β+γ)=α-β-γ=α-γ-β

2.α-(β-γ)=α-β+γ

3.α+β-β=α

4.α+(β-γ)=α+β-γ=α-γ+β

5.αx(β-γ)=αxβ-αxγ

Για παράδειγμα το 5. αποδεικνύεται

αxβ-αxγ=αx(β-γ+γ)-αxγ ορισμός VI

= αx(β-γ) +αxγ-αxγ ιδιότητα V

=αx(β-γ) ιδιότητα 3.

Η συμβολική αφαίρεση .

Όμως τι θα σήμαινε αν α<β ; τι σημαίνει η VI ? Τότε ο α-β δεν είναι γνωστός

αριθμός, αλλά σύμβολο. Τώρα εισάγουμε μια νέα ερμηνεία της (VI) , τη συμβολική

ερμηνεία. Καθώς είμαστε συνηθισμένοι στην αριθμητική άλγεβρα, μια ισότητα έχει το

νόημα ότι αν γίνουν οι αριθμητικές πράξεις που σημειώνονται , θα έχουμε τα ίδια

αριθμητικά αποτελέσματα στα δύο μέλη. Όμως αν τα σύμβολα δεν είναι αριθμοί και οι

πράξεις δεν είναι αριθμητικές, τι μένει από την έννοια της ισότητας;

Τότε , λέει ο Peacock , η ισότητα είναι μια δήλωση της ισοδυναμίας ενός

ορισμένου συνδυασμού των συμβόλων (γραμμάτων) με την έννοια ότι ο ένας μπορεί

να αντικατασταθεί από τον άλλο. Με αυτή την έννοια η (VI) είναι μια συμβολική

ισότητα , που ερμηνεύεται ως αριθμητική ισότητα αν τα α,β θετικοί ακέραιοι με α>β.

Ομοίως το + δηλώνει αριθμητική πρόσθεση μόνο αν τα σύμβολα που συνδέει είναι

αριθμοί.

Αν όμως αγνοήσουμε την ερμηνεία των α,β αποδεικνύεται ότι το σύμβολο α-

β που ορίζεται από την (VI) πληρεί τις σχέσεις I έως V των θετικών ακεραίων, οι

οποίες σχέσεις τώρα δεν ερμηνεύονται αριθμητικά αλλά ως δηλώσεις της

ισοδυναμίας των συνδυασμών των συμβόλων. Αφαίρεση δεν σημαίνει τίποτα άλλο

παρά κάθε διαδικασία που πληρεί τις σχέσεις I-VII. Σε αυτή τη διαδικασία δεν έχει

νόημα αν ο α-β είναι αριθμός ή όχι, οι αρνητικοί αριθμοί δεν ορίζονται εκ των

προτέρων αλλά κατόπιν ερμηνείας των συμβόλων , και αποδεικνύονται αυστηρά

7

λογικά2 οι τυπικές ιδιότητες (πορίσματα) της συμβολικής αφαίρεσης, με βάση τους

θεμελιώδεις νόμους I- VII και τον συμβολικό ορισμό της αφαίρεσης :

Αν θεωρήσουμε σε ισχύ τους ίδιους νόμους στους δύο ορισμούς της

αφαίρεσης (αριθμητικό και συμβολικό) τις ιδιότητες δηλαδή 1-5 που βασίζονται

στους νόμους I-VI τότε το σύμβολο συμπεριφέρεται με τη λογική του αριθμού. Ότι

ίσχυε για τον αριθμό α-β θα ισχύει και για το σύμβολο α-β. Όμως ας προσέξουμε: ο

αριθμητικός ορισμός για την αφαίρεση είναι μια ειδική περίπτωση του συμβολικού

ορισμού και αποτελεί μια ερμηνεία του όταν α>β.

Ο αξιωματικός ορισμός της αφαίρεσης εισάγει αξιωματικά στους ορισμούς

νέων συμβόλων όπως του 0 και –α (μηδέν και αρνητικού αριθμού) χωρίς αναφορά

στη διαίσθηση παρά μόνο στην αξιωματική βάση.

Όταν b είναι ίσο με το a , η γενική εξίσωση

(a-b)+b=a

Παίρνει τη μορφή

(a-a)+a=a

(b-b)+b=b

Μπορεί να δειχτεί ότι

a-a=b-b

για (a-a)+(a+b)=(a-a)+a+b ( II )

αφού ( a-a)+a=a

και (b-b) +(a+b)=(b-b)+b+a=b+a ( I, II )

αφού (b-b)+b=b

άρα a-a=b-b ( VII )

a-a είναι ανεξάρτητο του a και μπορεί να αντιπροσωπευτεί με ένα σύμβολο

άσχετο με το a . το σύμβολο που έχει επιλεγεί είναι το 0 που ονομάζεται μηδέν.

…..έτσι είναι δυνατόν να αποβεί θεμελιώδης μία επιστήμη

συμβόλων και των συνδυασμών τους με βάση τους δικούς τους

κανόνες η οποία θα μπορούσε να εφαρμοστεί στην αριθμητική και στις

άλλες επιστήμες μέσα από την ερμηνεία τους. Αυτό σημαίνει ότι η

ερμηνεία θα α κ ο λ ο υ θ ε ί και δεν θα π ρ ο η γ ε ί τ α ι των πράξεων

της άλγεβρας και των αποτελεσμάτων της…. Peacock3 . (Εδώ ο

Peacock φωτογραφίζει τα βασικά στοιχεία του φορμαλισμού).

Κριτική της αρχής της μονιμότητας .

2 Henry B. Fine 3 ‘Αrithmetical and Symbolical Algebra’ 1830 και 1845

8

Είδαμε ότι αρχή της μονιμότητας των (ισοδύναμων) μορφών, είναι μια λογική

αρχή και έχει το νόημα ότι οι πράξεις της συμβολικής άλγεβρας ορίζονται από αυτές

της αριθμητικής όταν συμβαδίζουν, και από την αρχή της μονιμότητας σε κάθε άλλη

περίπτωση. Αργότερα θα καταλάβουμε ότι τα μοντέλα μιας αξιωματικής βάσης είναι

ισοδύναμες μορφές . Οι μορφές I-VII είναι ισοδύναμες μορφές για όλους τους

αριθμούς (μονιμότητα) κι αλλάζοντας έναν ορισμό θεμελιώνουμε τα αριθμητικά

συστήματα της εποχής του Peacock.

Τα αποτελέσματα πράγματι αυτών των υπολογισμών ήταν σωστά όταν κάθε

αριθμός (αρνητικός , άρρητος ή μιγαδικός) αντικαθιστούσε τα γράμματα. Όμως οι

αριθμοί αυτοί δεν ήταν στην πραγματικότητα κατανοητοί ούτε οι ιδιότητές τους είχαν

προκύψει λογικά. Η αρχή της μονιμότητας δεν απαντάει γιατί οι διάφοροι τύποι

αριθμών είχαν τις ίδιες ιδιότητες με τους θετικούς ακέραιους. Είναι μια υπόθεση ad

hoc για την επικύρωση αυτού που ήταν εμπειρικά σωστό αλλά όχι λογικά βασισμένο.

Αν γνώριζε τα τετραδόνια και την άλγεβρα του Χάμιλτον (χωρίς αντιμεταθετική

ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό) δεν θα θέσπιζε την αρχή της μονιμότητας, αφού τα

γράμματα που αντιπροσωπεύουν τα τετραδόνια δεν έχουν όλες τις ιδιότητες των

πραγματικών και μιγαδικών αριθμών. Τα τετραδόνια ακυρώνουν την αρχή της

μονιμότητας! Ο Peacock δεν προέβλεψε τις νέες άλγεβρες αλλά άνοιξε το δρόμο για

την αλγεβρική έρευνα γενικά . Όμως ο Peacock ήταν πρωτοπόρος όπως ο Leibnitz.

Η ιδέα του ήταν μια επαναστατική ιδέα αντιστοίχησης μιας αξιωματικής βάσης στα

συστήματα των αριθμών.

Σήμερα η πράγματι νεφελώδης αρχή της μονιμότητας έχει εγκαταλειφθεί,

αλλά ακόμα οδηγούμαστε σε αυτή όταν επιχειρούμε να επεκτείνουμε έναν ορισμό με

τέτοιον τρόπο ώστε οι περισσότερες ιδιότητες του παλιού ορισμού να διατηρηθούν.

Ακόμα ο σπόρος της ιδέας της συμβολικής έδωσε καρπούς και είναι η αλλαγή της

σκέψης για τη σύνδεση των συμβόλων με την ερμηνεία τους στην άλγεβρα.

«…Οι νόμοι της ορθής σκέψης εφαρμόζονται εξ ίσου σε απλά

σύμβολα όπως στους αριθμούς. Η αρχή της μονιμότητας είναι μια

κομψή αρχή από την οποία εξαρτώνται οι υπολογισμοί με τεχνητούς

αριθμούς , και η δήλωση της φύσης αυτής της εξάρτησης είναι

εξαιρετική …Henry B Fine ‘the number system of Algebra)..»

….όλες οι διαδικασίες της άλγεβρας πρέπει να βασίζονται σε

μια ολοκληρωμένη δήλωση του κορμού των νόμων οι οποίοι

αναφέρονται στις πράξεις που χρησιμοποιούνται σε αυτές τις

διαδικασίες , χωρίς να χρησιμοποιείται καμία ιδιότητα μιας πράξης αν

δεν έχει ληφθεί ως αληθής από την αρχή ή αν δεν προκύπτει ως

συμπέρασμα από τους αρχικούς νόμους…P.H.Nidditch.

9

Οι ιδέες αυτές του Peacock φαίνονται στους ιστορικούς ως η αρχή της έννοιας

της αλγεβρικής δομής της αφηρημένης άλγεβρας, την οποία θεμελιώνει η αρχή της

μονιμότητας, οι οποίες δομές είναι τα νέα μαθηματικά αντικείμενα της (αφηρημένης)

άλγεβρας.

«..Η συμβολική άλγεβρα του Peacock ήταν οι απαρχές της

‘αφηρημένης άλγεβρας’ (abstract algebra) η οποία ήταν μια κίνηση από

την άλγεβρα ως γενικευμένη αριθμητική σε μια καθαρά τυπική (formal)

άλγεβρα. Η συμβολική άλγεβρα υπογράμμισε τη σπουδαιότητα της

δομής έναντι του νοήματος και αναγνώρισε αυτό που έχει διατυπωθεί

ως αρχή της μαθηματικής ελευθερίας. Η αρχή αυτή υπονοεί ότι η

άλγεβρα ασχολείται με αυθαίρετα σύμβολα , άνευ νοήματος , οι

μαθηματικοί κατασκευάζουν τους κανόνες χειρισμού τους και η

ερμηνεία, ακολουθεί μάλλον παρά προηγείται των αλγεβρικών

χειρισμών». (Patricia R Allaire , Robert E. Bradley ‘Symbolical

Algebra as a foundation of calculuς, διαδίκτυο)…..

Όμως η εμφάνιση των αλγεβρικών δομών της αφηρημένης άλγεβρας,

(ομάδες , δακτύλιοι σώματα) δεν προέκυψε με απόφαση των συμβολιστών και

ξαφνικά, όπως παρουσιάζεται να συμβαίνει σε όλα τα βιβλία αφηρημένης άλγεβρας.

Οι σκαπανείς της μαθηματικής εξερεύνησης περιέγραφαν συγκεκριμένες αλγεβρικές

δομές από τα χρόνια του Ruffini ο οποίος ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε τη θεωρία

της ομάδας των μεταθέσεων. Το επόμενο βήμα στη μελέτη των ομάδων , έγινε από

το Γκαλουά το 1832-αν και δημοσιεύτηκε το 1846- ο οποίος σημείωνε για πρώτη

φορά τη εσωτερικότητα της πράξης της ομάδας των μεταθέσεων γράφοντας: «σε μια

τέτοια ομάδα κάποιος που έχει τις αντικαταστάσεις Σ και Τ , τότε έχει την

αντικατάσταση ΣΤ».(Εισαγωγή στη θεωρία Γκαλουά www.mpantes.gr)

Η έννοια δηλαδή της δομής ήταν αποσπασματική και περιστασιακή στις

αποδεικτικές πορείες των παλαιότερων μαθηματικών της Ευρώπης. Όμως τα

γεγονότα πλήθαιναν. Euler,Gauss, Kronecker, Lagrange, Vandermond, Cauchy,

Jordan επεξεργάζονταν συχνότερα τις έννοιες των δομών στις μελέτες τους, ώσπου

η «αφηρημένη» έννοια της ομάδας εμφανίστηκε από τον Arthur Cayley το 1854,

αφού είχε ήδη εμφανιστεί το κίνημα των συμβολιστών στην Αγγλία. Οι δύο πορείες ,

η επαγωγική της Ηπειρωτικής Ευρώπης και η παραγωγική της Αγγλίας

συναντήθηκαν, αναγνωρίζοντας στις δομές το πεδίο της αφηρημένης άλγεβρας!

Οι απόψεις του Peacock έγιναν αποδεκτές από τη μαθηματική κοινότητα

μετά τους Hamilton και Grassmann οι οποίοι ανακάλυψαν νέους αριθμούς που

πληρούσαν νέες άλγεβρες, ο πρώτος την άλγεβρα των τετραδονίων (δεν ίσχυε η

10

αντιμετάθεση στον πολλαπλασιασμό), και ο δεύτερος με τους υπερμιγαδικούς του

αριθμούς, όπου ο πολλαπλασιασμός ορίζονταν πολλαπλά, παράγοντας

πολυάριθμες αλγεβρικές δομές.

.

Η νέα άλγεβρα του Χάμιλτον .

Περίληψη

Οι μιγαδικοί θεωρούνται ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών, τα οποία

μεταφράζονται ως σημεία στο Καρτεσιανό επίπεδο, και στη συνέχεια εκφράζουν περιστροφή

των διανυσμάτων στο επίπεδο. Ο Hamilton διερεύνησε περιστροφές διανυσμάτων στο χώρο

Οι μιγαδικοί ως ζεύγη αριθμών .

Ο καλύτερος τρόπος να προσεγγίσουμε τη δημιουργία του Hamilton είναι η κομψή

του διαπραγμάτευση των μιγαδικών αριθμών ως ζεύγη πραγματικών αριθμών.

Αφού ο μιγαδικός α+βi είναι πλήρως ορισμένος από τους δύο πραγματικούς α,β ο

Hamilton παριστά το μιγαδικό αριθμό με το διατεταγμένο πραγματικό ζεύγος (α,β) .

Όρισε ότι δύο τέτοια πραγματικά ζεύγη (α,β) , (γ,δ) είναι ίσα όταν και μόνο όταν α=γ

και β=δ. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο τέτοιων αριθμητικών ζευγών θα

ορίζεται

(α,β)+(γ,δ)=(α+γ, β+δ) και

(α,β).(γ,δ)=(αγ-βδ, αδ+βγ)

Με αυτούς τους ορισμούς μπορούμε να δείξουμε ότι η πρόσθεση και ο

πολλαπλασιασμός των διατεταγμένων ζευγών πραγματικών αριθμών είναι

αντιμεταθετικοί , προσεταιριστικοί και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως

προς την πρόσθεση. Στην πραγματικότητα , μπορούμε να δείξουμε ότι αφού οι

πραγματικοί αριθμοί με τη συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό αποτελούν σώμα

και τα διατεταγμένα ζεύγη του Hamilton πληρούν τα αξιώματα ενός σώματος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι το σύστημα των πραγματικών αριθμών εμβαπτίζεται στο

σύστημα των μιγαδικών αριθμών. Με αυτό εννοείται ότι αν κάθε πραγματικός r

ταυτοποιηθεί με το αριθμητικό ζεύγος (r,0) τότε η αντιστοιχία διατηρείται με τις

πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των μιγαδικών αριθμών διότι

(α,0)+(β,0)=(α+β,0) (α,0)(β,0)=(αβ,0)

11

Για να πετύχουμε την παλιά μορφή ενός μιγαδικού αριθμού από το μορφή του

Hamilton, παρατηρούμε ότι κάθε μιγαδικός (α,β) μπορεί να γραφεί

(α,β)=(α,0)+(0,β)=(α,0)+(β,0) (0,1)=α+βi όπου (0,1) συμβολίζεται με το σύμβολο i και

(α,0), (β,0) με τους πραγματικούς α, β.

Τελικά βλέπουμε ότι i2 =(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1

Τα ζεύγη και οι περιστροφές των διανυσμάτων .

Όμως τα διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών μπορούν να αντιστοιχηθούν με

σημεία επάνω στο επίπεδο. Και η προηγούμενη άλγεβρα των ζευγών παρέχει ένα

πολύ κατάλληλο αριθμητικό σύστημα για τη μελέτη των διανυσμάτων και των

περιστροφών στο επίπεδο.

Η σχέση των μιγαδικών αριθμών με τη γεωμετρία μας είναι γνωστή

από το Λύκειο. Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι δισδιάστατοι. Ενώ

οι πραγματικοί αντιστοιχούν σε σημεία πάνω σε μια

ευθεία, οι μιγαδικοί αντιστοιχούν σε σημεία στο

(μιγαδικό ) επίπεδο. Ο μιγαδικός χ+ψi αντιστοιχεί στο

σημείο με συντεταγμένες (χ,ψ). όμως ποιος είναι ο

γεωμετρικός ρόλος του μυστηριώδους i, που μας είναι

γνωστός ως φανταστικός αριθμός; Ο ρόλος του αυτός

έχει σχέση με την περιστροφή στο επίπεδο.

Η περιστροφή στο επίπεδο , όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι η κίνηση ενός

σχήματος , τελικά ενός σημείου που ορίζεται με ζεύγος συντεταγμένων, γύρο από

ένα σταθερό σημείο του επιπέδου του. Οι περιστροφές έχουν σχέση με ένα σύστημα

αναφοράς , γιατί τελικά ο υπολογισμός της περιστροφής έγκειται στον υπολογισμό

των νέων συντεταγμένων των σημείων , μετά την περιστροφή. Για να υπολογιστεί η

περιστροφή στις δύο διαστάσεις υπάρχουν δύο μέθοδοι, αυτή των πινάκων και αυτή

των μιγαδικών αριθμών (που εξετάζουμε).

Ας σκεφτούμε έναν πραγματικό αριθμό π.χ τον 3 και τον γεωμετρικό τρόπο

εύρεσης του αντιθέτου του -3 : περιστρέφουμε την εικόνα Α του 3 περί το Ο κατά

1800 έτσι ώστε το σημείο Α(3,0) κινείται προς το (-3,0) ή ο μιγαδικός (3+0ι) προς

τον (-3+0ι). Αυτό ισοδυναμεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό (3+0ι) επί -1.

Τι θα συμβεί αν περιστρέψουμε την εικόνα του 3 κατά 900 ;(πάντα κατά τη

θετική φορά;) τότε το σημείο (3,0) → (0,3) δηλαδή ο 3+0i → 0+3i που είναι

ισοδύναμο με τον πολλαπλασιασμό επί i δηλαδή i.(3+0i)=0+3i i(a+bi)=-b+ai

Αν εκτελέσουμε μια δεύτερη περιστροφή κατά 900 τότε έχω ii(3+0i)=-1(3+0i)

που είναι το αποτέλεσμα της περιστροφής κατά 1800 όπως είδαμε στην αρχή.

12

Ο αριθμός λοιπόν i πέρα από το ότι επιτρέπει σε όλες τις πολυωνυμικές

εξισώσεις να έχουν λύση, δίνει επίσης ένα σπουδαίο εργαλείο για τις περιστροφές

στο επίπεδο. Αν πολλαπλασιαστεί με τις συντεταγμένες ενός σημείου που έχουν

γραφεί σε μιγαδική μορφή , έχουμε την εικόνα του μιγαδικού μετά την περιστροφή

κατά 900.

Οι συντεταγμένες του σημείου Α΄ που θα προκύψει από τη περιστροφή του

Α(α,β) περί το Ο κατά 900 θα βρεθούν

i(α+βi) =-β+αi δηλαδή Α΄ (-β,α) μια καθαρά γεωμετρική εφαρμογή.

Στην περίπτωση μιας περιστροφής κατά τυχούσα γωνία θ , τα ηνία

αναλαμβάνει ο μεγάλος τύπος του Euler

Δηλαδή ο μιγαδικός z=x+yi μπορεί να περιστραφεί κατά γωνία θ , αν

πολλαπλασιαστεί με eiθ τότε z’ =eiθ z

Στον τύπο του Euler αν θέσουμε θ=π έχουμε eiπ =-1 eiπ/2 =i δηλαδή παράγονται οι

προηγούμενοι τελεστές των περιστροφών κατά 1800 και 900 αντίστοιχα.

Τελικά συμπεραίνουμε ότι οι περιστροφές στο επίπεδο εξαρτώνται από μία

παράμετρο, τη γωνία περιστροφής θ, και καθώς οι μιγαδικοί αριθμοί-τελεστές της

περιστροφής πληρούν την μεταθετική ιδιότητα το ίδιο θα συμβαίνει και με τις

περιστροφές στο επίπεδο. Η σειρά δύο διαδοχικών περιστροφών στο επίπεδο δεν

μεταβάλει το αποτέλεσμα της τελικής περιστροφής.

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι δισδιάστατοι αριθμοί και συνδέθηκαν με τις

περιστροφές στο επίπεδο.

Οι περιστροφές στο χώρο , τα τετραδόνια .

Ο Hamilton σκέφτηκε να συνδέσει αντίστροφα την ύπαρξη τρισδιάστατων

αριθμών με την περιστροφή στο χώρο. Όμως οι περιστροφές στο επίπεδο

συμβαίνουν γύρο από σημείο (την αρχή Ο) άρα απαιτείται ένα μέγεθος (η γωνία θ)

για να περιγραφεί, αλλά στο χώρο συμβαίνουν γύρο από άξονα με το ένα άκρο του

στην αρχή, άρα χρειάζονται τρεις αριθμοί για να προσδιοριστεί το άλλο άκρο του

καθώς επίσης και η γωνία περιστροφής. ΄Αρα για τις περιστροφές αυτές χρειάζονται

τετραδικοί αριθμοί. Δεν υπάρχουν τριαδικοί αριθμοί με γεωμετρικό νόημα.

Ο Hamilton προσπάθησε να επινοήσει ένα ανάλογο σύστημα αριθμών για τη

μελέτη των διανυσμάτων και των περιστροφών στον τρισδιάστατο χώρο.

Η άλγεβρα των τετραδονίων .

13

Στις έρευνές του αυτές οδηγήθηκε στη θεώρηση όχι ενός συνόλου

διατεταγμένων ζευγών πραγματικών αριθμών (α,β) το οποίο περιέχει μέσα του τους

πραγματικούς αριθμούς , αλλά ενός συνόλου διατεταγμένων τετράδων πραγματικών

αριθμών (α,β,γ,δ), τα τετραδόνια (quaternions) το οποίο έχει εμβαπτισμένο μέσα

του τους πραγματικούς και τους μιγαδικούς αριθμούς.

Ορίζοντας δύο τέτοιους αριθμούς (α,β,γ,δ) και (e,f,g,h) να είναι ίσοι όταν

α=e,β=f,γ=g, δ=h ο Hamilton βρήκε αναγκαίο να ορίσει την πρόσθεση και τον

πολλαπλασιασμό των διατεταγμένων τετράδων πραγματικών αριθμών με τέτοιο

τρόπο ώστε

(α,0,0,0)+(β,0,0,0)=(α+β,0,0,0)

(α,0,0,0).(β,0,0,0)=(αβ,0,0,0)

(α,β,0,0)+(γ,δ,0,0)=(α+γ,β+δ,0,0)

(α,β,0,0).(γ,δ,0,0)=(αγ-βδ,αδ+βγ,0,0)

Ονομάζοντας αυτές τις τετράδες , τετραδόνια , βρήκε ότι έπρεπε να δώσει

τους παρακάτω ορισμούς για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό.

(α,β,γ,δ)+(e,f,g,h )=(α+e, β+f, γ+g, δ+h)

(α,β,γ,δ).( e,f,g,h)=( αe-βf-γg-δh, αf+βe+γh-δg, αg+γe+δf-βh αh+βg+δe-γ f)

Μπορεί να δειχτεί ότι με τους ορισμούς αυτούς οι πραγματικοί και

μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να εμβαπτιστούν στα τετραδόνια και ακόμα αν

ταυτοποιήσουμε τον πραγματικό αριθμό μ με το τετραδόνιο (μ,0,0,0) τότε

μ(α,β,γ,δ)=(α,β,γ,δ)μ=(μα, μβ,μγ, μδ)

Επίσης μπορεί να δειχτεί ότι η πρόσθεση των τετραδονίων είναι

αντιμεταθετική και προσεταιριστική και ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικός

και επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση. Αλλά ο αντιμεταθετικός νόμος για τον

πολλαπλασιασμό παύει να ισχύει, πχ για τα τετραδόνια (0,1,0,0) και (0,0,1,0)

έχουμε

(0,1,0,0)(0,0,1,0)=(0,0,0,1) ενώ

(0,0,0,1)(0,1,0,0)=((0,0,0,-1)= - (0,0,0,1)

Αν στην πράξη αντιπροσωπεύσουμε τις τετραδονικές μονάδες (1,0,0,0) ,

(0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) με 1 i, j,k μπορούμε να επαληθεύσουμε τις ήδη

αναφερθείσες πράξεις

i2=j2=k2=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=I, ki=-ik=j

όλες αυτές οι σχέσεις αποτελούν την άλγεβρα των τετραδονίων, η οποία

στερείται της αντιμεταθετικής ιδιότητας όπως η γεωμετρία του Λομπατσέφσκυ

στερούνταν του 5ου αξιώματος!

14

Λέγεται ότι η ιδέα περί παραλείψεως του αντιμεταθετικού νόμου του

πολλαπλασιασμού , του ήρθε σε μια αναλαμπή μετά από δέκα πέντε χρόνια

άκαρπου διαλογισμού , ενώ σκεφτόταν σε μια γέφυρα του Δουβλίνου. Ήταν τόσο

σοκαρισμένος από το απροσδόκητο της ιδέας που λέγεται ότι σημείωσε τα κύρια

σημεία των παραπάνω πράξεων σε μια πέτρα στη γέφυρα.

Μπορούμε να γράφουμε το τετραδόνιο (α,β,γ,δ) στη μορφή α+βi+γj+δk.

Όταν δύο τετραδόνια γράφονται στη μορφή αυτή μπορούν να προσθέτονται

και να πολλαπλασιάζονται ως πολυώνυμα των ι, j k και στη συνέχεια τα γινόμενα να

τα γράφουμε στην ίδια μορφή , μέσω του παραπάνω πίνακα πολλαπλασιασμού.

Μια γεωμετρική ερμηνεία για τη φανταστική τριάδα βi+γj+δk , βρέθηκε

θεωρώντας τους συντελεστές β,γ,δ ως τις ορθογώνιες συντεταγμένες ενός σημείου

στο χώρο. Η προσανατολισμένη γραμμή από τον αρχή του συστήματος στο σημείο

(β,γ,δ) ονομάστηκε από το Hamilton , διάνυσμα.

Τελικά αναπτύσσοντας μια άλγεβρα που να ικανοποιεί διαφορετικούς νόμους

από αυτούς της κοινής άλγεβρας , ανοίχτηκε ο δρόμος για τη μελέτη αναρίθμητων

αλγεβρικών δομών. Απαλείφοντας διάφορα αξιώματα της κοινής άλγεβρας ή

αντικαθιστώντας ένα ή περισσότερα από άλλα τα οποία είναι συνεπή (consistent)

με τα υπόλοιπα, μπορεί να αναπτυχθεί μια μεγάλη ποικιλία αλγεβρικών δομών. Είναι

πιθανώς σωστό να πούμε ότι οι μαθηματικοί μελέτησαν πάνω από διακόσιες

παρόμοιες αλγεβρικές δομές. Όπως έγραψαν οι Αμερικανοί αλγεβριστές Garett

Birkhoff και Saunder MacLane «η μοντέρνα άλγεβρα έχει παρουσιάσει για πρώτη

φορά την πλήρη ποικιλία και τον πλούτο των πιθανών μαθηματικών συστημάτων».

Κάτι ανάλογο συνέβη και στη γεωμετρία με τις ελλειπτικές και υπερβολικές

γεωμετρίας.

Σχόλιο .

Δεν καθορίζουν οι αριθμοί τις πράξεις αλλά οι πράξεις (δηλαδή τα αξιώματά

τους) τους αριθμούς, όπως δεν καθορίζει ο χώρος τις ευθείες αλλά οι ευθείες το

χώρο! Και οι ευθείες και οι αριθμοί είναι σύμβολα του νου, σε αυτόν απευθύνονται,

και μέσω αυτού θα οριστούν, δ η λ α δ ή θ α ο ρ ι σ τ ο ύ ν α ξ ι ω μ α τ ι κ ά. Αν ο

Λομπατσέφσκι απελευθέρωσε τη γεωμετρία, οι Hamilton και Grassmann

απελευθέρωσαν την άλγεβρα. …

Γιώργος Μπαντές, www mpantes. gr

Για το άρθρο διάβασα

15

Number system of Algebra (Henry B. Fine διαδίκτυο, )

Αrithmetical and Symbolical Algebra’ (Peacock , διαδίκτυο)

Abstract Algebra : P.H.Nidditch

Foundation and fundamental concepts of mathematics, Howard Eves

Πως τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο (Τζέιμς Στάιν, Αυγό)

A short account of the history of mathematics (Rousse Ball, Dover)

Mathematics the loss of certainty (Morris Klein Dover)

16