Γραμμική ΄Αλγεβρα

Μετασχηματισμοί

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

19 Νοεμβρίου 2014

Μετασχηματισμοί στον R2

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν

μετασχηματισμούς αν

1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn

Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν

μετασχηματισμούς αν

1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R

3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn

Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν

μετασχηματισμούς αν

1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2. x→ x′ ⇒ cx→ cx′, ∀x ∈Rn,∀c ∈R3. x→ x′,y→ y′ ⇒ x+y→ x′+y′, ∀x,y ∈Rn

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες

τρείς συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να

παρασταθεί με πίνακα

Παραδείγματα

1.

[10

]→

234

και [01

]→

468

2.

[11

]→

69

12

και [ 2−1

]→

000

Παραδείγματα

1.

[10

]→

234

και [01

]→

468

2.

[11

]→

69

12

και [ 2−1

]→

000

΄Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2. ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

΄Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p2. ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

Παραγώγιση Πολυωνύμων

pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn

p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1

pn(x) ↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x) ↔

0a1

2a2. . .

(n−1)an−1nan

Παραγώγιση Πολυωνύμων

pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn

p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1

pn(x) ↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x) ↔

0a1

2a2. . .

(n−1)an−1nan

Παραγώγιση Πολυωνύμων

pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+an−1xn−1 +anxn

p′n(x) = 0+a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+ (n−1)an−1xn−2 +nanxn−1

pn(x) ↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x) ↔

0a1

2a2. . .

(n−1)an−1nan

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε

Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V

Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε

Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V

Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε

Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V

Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1,v2, . . . ,vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wnβάση του W τότε

Ï Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το Vστο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Ï Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθείεφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στοδιάνυσμα της vj της βάσης του V

Ï Avj = a1,jwj+a2,jw2+ . . .+am,jwm

Περιστροφή

Qθ =(

cosθ −sinθsinθ cosθ

)

Περιστροφή

Qθ =(

cosθ −sinθsinθ cosθ

)

Περιστροφή

Qθ =(

cosθ −sinθsinθ cosθ

)

Περιστροφή

Ï QθQ−θ =

I ⇒Q−1θ

=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2

Ï ...

Περιστροφή

Ï QθQ−θ = I

⇒Q−1θ

=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2

Ï ...

Περιστροφή

Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ

=Q−θ

Ï Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2

Ï ...

Περιστροφή

Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ

=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =

Qθ1+θ2

Ï ...

Περιστροφή

Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ

=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2

Ï ...

Περιστροφή

Ï QθQ−θ = I ⇒Q−1θ

=Q−θÏ Qθ1Qθ2 =Qθ1+θ2

Ï ...

Μετασχηματιμός Γινομένου

x A→ y B→ z⇒ x AB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ= I ⇒A−1παραγ=Aoλoκλ

Μετασχηματιμός Γινομένου

x A→ y B→ z⇒ x AB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ= I

⇒A−1παραγ=Aoλoκλ

Μετασχηματιμός Γινομένου

x A→ y B→ z⇒ x AB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ= I ⇒A−1παραγ=Aoλoκλ

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =(

cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ

)

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =(

cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ

)

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =(

cos2θ −cosθsinθcosθsinθ sin2θ

)

Προβολή

Ï P2 =

P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...

Προβολή

Ï P2 =P

⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...

Προβολή

Ï P2 =P⇒Pk =P

Ï Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...

Προβολή

Ï P2 =P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεται

Ï Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...

Προβολή

Ï P2 =P⇒Pk =PÏ Ο P δεν αντιστρέφεταιÏ Ο P είναι συμμετρικόςÏ ...

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =(

2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1

)

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =(

2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1

)

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =(

2cos2θ−1 2cosθsinθ2cosθsinθ 2sin2θ−1

)

Ανάκλαση

Ï H2 =

I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...

Ανάκλαση

Ï H2 = I

⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...

Ανάκλαση

Ï H2 = I ⇒H−1 =H

Ï H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...

Ανάκλαση

Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I

⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...

Ανάκλαση

Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2Px

Ï Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...

Ανάκλαση

Ï H2 = I ⇒H−1 =HÏ H = 2P− I ⇒Hx+x= 2PxÏ Ο H είναι συμμετρικόςÏ ...