1_Από Την Άλγεβρα Των Υπολογισμών Στα Υπολογιστικά...

download 1_Από Την Άλγεβρα Των Υπολογισμών Στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας

of 17

  • date post

    12-Mar-2016
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

description

Μια νέα ερευνητική περιοχή που αναπτύχθηκε ιδιαίτερα τις τελευταίες τέσσερις δεκαετίες και η οποία είναι αφιερωμένη : α) σε μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων μέσω συμβολικών αλγορίθμων, και β) στην υλοποίηση των αλγορίθμων αυτών σε υλικό και λογισμικό ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι η Υπολογιστική Άλγεβρα (Computer Algebra). Η Υπολογιστική Άλγεβρα έχει εφαρμογές σε επιστήμες όπως Μαθηματικά, Φυσική, Επιστήμη των Υπολογιστών, Μηχανική καθώς και στην Εκπαίδευση. Τα προγράμματα τα οποία κάνουν χρήση των μεθόδων της Υπολογιστικής Άλγεβρας, ονομάζονται Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας (Computer Algebra Systems). Στην εργασία αυτή θα αναφερθούμε : στην ιστορική εξέλιξη των συστημάτων αυτών και στους παράγοντες που συντέλεσαν στην ανάπτυξη τους, στις κατηγορίες που χωρίζονται τα συστήματα αυτά, στα κύρια χαρακτηριστικά τους, στα μειονεκτήματα τους καθώς και στον ρόλο που μπορούν να παίξουν στην εκπαίδευση.

Transcript of 1_Από Την Άλγεβρα Των Υπολογισμών Στα Υπολογιστικά...

  • pi pi pi

    pi. pi

    pi

    54006 Email : [email protected]

    . pi pi pi

    pi : ) pi pi , ) pi pi,

    pi (Computer Algebra). pi pi pi , , pi pi,

    pi. pi pi

    pi , pi

    (Computer Algebra Systems). : pi pi

    pi , pi ,

    , pi pi

    pi pi.

    1. pi pi pi .

    pi pi

    pi pi

    pi pi pi .

    pi pi

    pi 13 pi 250 pi.., pi pi 6. pi pi , pi pi

    pi , . pi

    pi pi ,

    . pi pi

    .

    pi pi al jabr pi pi pi pi Kitab al jabr wal mugabala ( pi ) pi 825 .. pi pi pi , Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850 ..). pi pi pi . Al-Khwarizmi, pi pi pi ,

    al jabr pi pi

  • pi, mugabala pi , pi pi . Al-Khwarizmi Liber Algorismi ( Al-Khwarizmi), pi pi pi algorismi, pi algorithm .

    pi pi Al-Khwarizmi 19 , .

    pi pi

    Leonardo Fibonacci, Scipione del Fero, Niccolo Tartaglia Gerolamo Cardano pi pi , Ludovico Ferrari pi pi 4 . pi pi Rene Descartes ( ), Carl Friedrich Gauss ( pi pipi), Niels Abel Evariste Galois ( pi pipi ). 20 pi pi pi , pi pi

    , , modules, , .

    pi 1939 pi pi, pi pi pi pi

    . pi

    pi , pi

    pi pi pi

    pi pi pi pi,

    , , pi , , ,

    , pi, pi, ..pi..

    pi pi pi pi

    pi pi pi

    (pi , pi , pi) pi .

    pi

    pi pi pi pi

    pi pi pi pi

    pi pi

    pi. pi pi pi pi

    pi pipi pi

    pi pi pi : ) ( (hardware) (software)) pi, ) pi pi pipi pi.

    pi pi pi 4 pi pi M Epi Ypi pi (Computer Algebra). pi pi pi pi [2], pi , pi,

    pi (pi pi

  • ), pi pi

    (pi , pipi pi, Groebner ), pi (pi pi ), pi (pi Smith Jordan ), , ,

    , , pi,

    ( , , ), pipi ... pi pi pi pi pi

    pi , pi , pi

    , pi pi ,

    pi (interfaces), pipipi pi hardware pi .

    pi pi

    ( , , , ..), , pi pi ( pi, VLSI , pi , pi ..), (pi, pi /, pi ..), pi ( , ).

    2. pi . pi pi pi ,

    pi () (Computer Algebra Systems). pipi pipi

    pi, pi .

    pi : ) pi (general purpose CAS) pi pi pi pi pi.. Macsyma, Reduce, Maple, Mathematica, .., ) pi (special purpose CAS) pi pi

    pi.. PARI ( ), DELiA ( ) ... pi pi pi (packages) pi pi pi

    pi pi.. CALI pi REDUCE pi pi , Control System Professional pi MATHEMATICA pi pi ...

    pi pi 3 pi : ) pi pi, ) pi pi pi, pi

    , ) pi pi pi . pi pi

    pi LISP (pi pi

  • 1960/61) pi.. pi SAINT LISP 1960 . , , pi

    MAPLE MATHEMATICA, pi C, pi pi pi pi pi . pi

    pi pi pi, pi

    pi . pi pi

    pi

    .

    pi pi

    1961 SAINT 1964-66 ALTRAN, MATHLAB pi 1966-67 SIN 1968 -

    REDUCE http://www.rrz.uni-koeln.de/REDUCE

    pi . pi

    pi ,

    pi, pi

    .

    1968 MATHLAB-68 Mathlab 1968 -

    MACSYMA http://www.macsyma.com

    pi

    1970s muMATH

    1980 MAPLE http://www.maplesoft.com

    pi

    1980s DERIVE pi , muMATH

    1984

    SINGULAR http://www.mathematik.uni-kl.de/pub/~zca/Singular

    pi pi

    1988

    SMP, MATHEMATICA http://www.wolfram.com

    pi

    1989 -

    MuPAD http://www.mupad.de http://www.sciface.com

    pi

    1991 -

    AXIOM http://www.nag.co.uk

    Stratchpad. pi , pi pipi

    pi pi

    CAYLEY

    1980s MAGMA http://www.maths.usyd.edu.au:8000/u/magma

    pi ,

    , ,

    pi, ...

    1986-1997

    GAP, GAP 2 (2000) http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~gap

    , pi,

    pi

    FORM pi 1990-1996

    LiE http://www.mathlabo.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE

    pi Lie

    1992 MACAULAY 2 http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2

    1980s - 2000

    PARI ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari

  • pi :

    ) pi. pi pi pi,

    pi : ) pi pi , ) pi pi , ) pi .

    pi pi pi pi bits pi pi pi 8, 16, 32, 36, 48 64 bits. pi pi pi

    pi pi pi

    pi.

    . pipi pi pi Fibonacci pi 100 pi Fortran 95

    program fibonacciimplicitnone! VariablesINTEGER4::f,f1, f2,i! Bodyoffibonaccif1= 1; f2 =1; i= 3; f =f1+f2;Do WhileHMod Hf, 100L = 0Lf1= f2; f2 =f; f= f1+f2; i= i+1EndDoPrint,f,iendprogramfibonacci

    pi pi

    708252800 96Pressanykeytocontinue

    f, f1,f2,i pi Integer*4 ( 312 1 ), Integer*8 ( 632 1 ) pi pi :

    8284360270132553400 522Pressanykeytocontinue

    2 pipi pipi pi pi pi

    100, pi . pi pi Mathematica pi :

  • f1= 1;f2= 1;i= 3;f =f1+f2;[email protected]@f, 100D 0,f1= f2;f2= f;f= f1+f2;++iD;

    fi

    9969216677189303386214405760200

    150

    150 Fibonacci 100, pi pi 31 , pi pi pi pi Fortran 95. pi pi pi Fortran 95 pi pi pi pi Fortran 95 pi (4 bytes (. 32 bits) 8 bytes (. 64bits)).

    . pi pi pi

    Mathematica

    In[1]:= 30!2^26+20^20Out[1]= 108810175621190533915703125

    In[2]:= 30!H2^301LOut[2]= 382760259469251166863360000000

    1549411

    pi pi

    pi pi

    pi pi .

    pi pi pi pi

    pi pi pi (word) 32 bits 312 1 2147483647 =

    1

    0

    li

    ii

    d s d b

    =

    = pi pi pi

    :

    s d0 d1 dl-1d ........

    pi pi :

    [ ]0 1 1lsl d d d pi pi pi

    pi . pi

    pi pi :

  • LINK1 LINK2

    pi LINK1 pi ( pi) pi LINK2 pi pi. pi pi pi pi

    pi . pi pi pi pi

    2 : ) pi pi , ) pi pi . 2 pi pi , pi pi

    . pi pipi pi

    pi pi pi

    . pi pi pi pi

    pi pi (numerical stability) pi pi pi.

    ) (interactivity) pi pipi pi pi

    pi, pi pi

    pi pi , pi pi pi.

    . pi 3 : ) pi , ) pi, ) pi.

    In[1]:= A= 881, 2, 3

  • In[2]:= [email protected] Hx+yL^3DOut[2]= x4+ 2x3y 2xy3 y4

    3) pi - ,

    In[3]:= [email protected]^2-5 x +60, xDOut[3]= 88x 2>

    In[6]:= [email protected]+2*x3+x4-2,

    -2*x1+x2-3*x3-5 *x44,

    x1-x2+x3+6 *x40,

    2*x1+3*x2+5 *x3-7 *x4 1

    In[7]:= [email protected]+x2- x3+x5 1,

    -x1-x2+2*x3-x4+x5 ==2,

    2*x1+2*x2-3*x3 +3*x4 +x5 0,

    x1+x2-3*x4+2*x53

    4) pi pi,

    In[8]:= A= 881, 1, 1

  • 5) pi ,

    In[11]:= [email protected]

    ,x 0EOut[11]= 1

    In[12]:= LimitA!!!!!!!!!1+x !!!!!!!!!1x

    x,x 0E

    Out[12]= 1

    In[13]:= LimitA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x26 x+9x3

    , x 3, Direction 1EOut[13]= 1

    In[14]:= LimitA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x26 x+9x3

    , x 3, Direction 1EOut[14]= 1

    6) pi pi ,

    In[15]:= SumA 1k2, 8k, 1, Infinity

  • 9) pi ,

    In[23]:= [email protected]@xD==a [email protected]+ [email protected], y, xD

    Out[23]= ::y FunctionB8x>

    In[24]:= [email protected]@[email protected], [email protected][email protected]

    In[25]:= [email protected]@n+2D [email protected]+1D [email protected], [email protected] 1, [email protected] 1>

    ) pi pi pi , pi pi

    pi . In[1]:= [email protected],100D

    Out[1]= 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

    ) pi pi pi pi

    (XY plots, XYZ plots, polar plots, log plots ..) pi format pi .

    1) ,

    In[1]:= PlotAx25 x+6, 8x, 1, 5

  • In[2]:= [email protected]@tD, [email protected]
  • 4) pi ,

    In[6]:= [email protected], x^2

  • pi, pi pi a

    pi pi.

    7) In[13]:= Plot3DAE0.2 "#############x2+y2 CosA!!!!!!!!!!!!!x2+y2 E, 8x, 9 Pi2,9 Pi2

  • pi

    pi pi :

    In[8]:= diffAx33 x2+6 x2, xEOut[8]= 6 6x+ 3x2

    In[9]:= diffAx33 x2 +6 x2x21

    ,xE

    Out[9]= H1+x2L H6 6x+ 3x2L 2xH2+ 6x 3x2 +x3L

    H1+ x2L2

    pi pi :

    ) pi pi , ) pi, , pi pi pi pi ,

    ) pi,

    ) pi pi pi pi,

    ) pi pi, pi pi,

    ) pi pi pi , pi, ..pi.,

    ) , ) pi.

    . pi :

    2 1p pi p pi .

    p=2,3 . pi pi Mathematica p.

    In[1]:= i = 1;[email protected]@[email protected] 1D,++iD

    [email protected], "th prime=", [email protected] prime=11

    p=11 pi . In[4]:= FactorIntegerA2111E

    Out[4]= 8823, 1

  • . pi pi

    VanDermonde

    ( )

    2 11 1 1

    2 12 2 2

    2 11 2 3 3 3

    2 1

    11

    , ,..., 1

    1

    n

    n

    nn

    n

    n n n

    x x x

    x x x

    D x x x x x x

    x x x

    =

    pi pi Mathematica pi pi pi pi pi pi pi..

    In[1]:= A={{1,x1,x1^2},{1,x2,x2^2},{1,x3,x3^2}};

    In[2]:= Factor[Det[A]]

    Out[2]= -((x1 - x2) (x1 - x3) (x2 - x3))

    In[3]:= A={{1,x1,x1^2,x1^3},{1,x2,x2^2,x2^3},{1,x3,x3^2,x3^3},{1,x4,x4^2,x4^3}};

    In[4]:= Factor[Det[A]]

    Out[4]= (x1 - x2) (x1 - x3) (x2 - x3) (x1 - x4) (x2 - x4) (x3 - x4)

    pi pipi pi pi pi

    :

    ( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,

    , ,..., 1 nn i j i ji j i ji j i j

    D x x x x x x x< >

    = =

    pi pi pi pi

    pi : ) pi pi , ) pi pi, ) pi pi pi pi, ) pi pi pi pi.. pipi ,

    ) , ) pi pi , pi pi

    pi,

    ) pi pi pi pi .

    pi pipi,

    pi , .

    pi pi,

    pi pi .

  • pi pipi

    pipipi pi. pi

    pi , pi

    pi pi,

    pi pi

    pi pi pi

    pi pi . pi

    ; pi pi pi . pi pi ,

    , pi pi pi pi

    . pi pi

    pi pi pi pi

    ( ), pi .

    ,

    , pi

    , pi,

    pi pi pi pi

    pi pi, pi ,

    pipi pi pi.

    pi pi pi

    . ...,

    pi 5 pi pi, pi

    Mathematica. pi , ..,

    pi http://anemos.web.auth.gr/mathematica/index4.htm http://users.auth.gr/~epsom/Symbolic/index.htm . pi pi . Internet pi pi pi pi

    pi pi :

    /, pi pi http://www.inf.uth.gr/greek/coursedesc_308.htm http://www.inf.uth.gr/greek/coursedesc_408.htm pi pi pi

    http://eclass.di.uoa.gr/D231/ pi

    http://www.math.uoi.gr/~nglinos/sm/ma644.html pi

    http://www.math.uoc.gr/~marios/sy03/

    pi , pi pi

    pi (ACM Communications in Computer Algebra, Journal of Symbolic Computation), (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC)), pi pi

    Association for Computing Machinery pi http://www.sigsam.org/ .

    , pi , pi ,

    pi pi pi ,

  • pi pi , pipipi pi

    pi pi

    , Internet ( ), pi pi

    pi . pipi pi

    . pipi

    pi , pi .

    [1] K. O. Geddes, S.R. Czapor and G. Labahn, 1995, Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publisher. [2] J. Grabmeier, E. Kaltofen and V. Weispfenning, 2003, Computer Algebra Handbook, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. [3] N. P. Karampetakis and A.I. Vardulakis, 2006, Special issue on the use of computer algebra systems for computer aided control system design, International Journal of Control, Vol.79, Issue 11, pp.1313-1320. [4] R. Mankiewicz, 2002, , . [5] . , 1999, , pi. [6] .. pi, . . pi, 2004, Mathematica, . [7] The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ .