Πληροφορίες για συμμετέχοντες | 24η Εθνική Συνδιάσκεψη Επιλογής
23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
-
Upload
manolis-vavalis -
Category
Documents
-
view
3.655 -
download
6
description
Transcript of 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Γραμμική Αλγεβρα
Μετασχηματισμοί
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
9 Δεκεμβρίου 2013
Μετασχηματισμοί στον R2
Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Δηλαδή
x → y = Ax
Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Δηλαδή
x → y = Ax
Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Δηλαδή
x → y = Ax
Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Δηλαδή
x → y = Ax
Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Θεώρημα
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με
πίνακα
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Θεώρημα
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με
πίνακα
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R
3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Θεώρημα
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με
πίνακα
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Θεώρημα
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με
πίνακα
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Θεώρημα
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με
πίνακα
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Θεώρημα
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με
πίνακα
Παραδείγματα
1
[10
]→
234
και [01
]→
468
2
[11
]→
6912
και [ 2−1
]→
000
Παραδείγματα
1
[10
]→
234
και [01
]→
468
2
[11
]→
6912
και [ 2−1
]→
000
Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x
n−1 + anxn
p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x
n−2 + nanxn−1
pn(x)↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x)↔
0a12a2. . .
(n − 1)an−1nan
Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x
n−1 + anxn
p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x
n−2 + nanxn−1
pn(x)↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x)↔
0a12a2. . .
(n − 1)an−1nan
Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x
n−1 + anxn
p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x
n−2 + nanxn−1
pn(x)↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x)↔
0a12a2. . .
(n − 1)an−1nan
Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x
n−1 + anxn
p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x
n−2 + nanxn−1
pn(x)↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x)↔
0a12a2. . .
(n − 1)an−1nan
Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x
n−1 + anxn
p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x
n−2 + nanxn−1
pn(x)↔
a0a1a2. . .
an−1an
p′n(x)↔
0a12a2. . .
(n − 1)an−1nan
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V
Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V
Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V
Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm
Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V
Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm
Περιστροφή
Qθ =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)
Περιστροφή
Qθ =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)
Περιστροφή
Qθ =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)
Περιστροφή
QθQ−θ =
I ⇒ Q−1θ = Q−θ
Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2
...
Περιστροφή
QθQ−θ = I
⇒ Q−1θ = Q−θ
Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2
...
Περιστροφή
QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ
Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2
...
Περιστροφή
QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ
Qθ1Qθ2 =
Qθ1+θ2
...
Περιστροφή
QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ
Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2
...
Περιστροφή
QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ
Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2
...
Μετασχηματιμός Γινομένου
xA→ y
B→ z ⇒ xAB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ = I ⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ
Μετασχηματιμός Γινομένου
xA→ y
B→ z ⇒ xAB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ = I
⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ
Μετασχηματιμός Γινομένου
xA→ y
B→ z ⇒ xAB→ z
Συμπέρασμα
AπαραγAoλoκλ = I ⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =
(cos2 θ − cos θ sin θ
cos θ sin θ sin2 θ
)
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =
(cos2 θ − cos θ sin θ
cos θ sin θ sin2 θ
)
Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =
(cos2 θ − cos θ sin θ
cos θ sin θ sin2 θ
)
Προβολή
P2 =
P ⇒ Pk = P
Ο P δεν αντιστρέφεται
Ο P είναι συμμετρικός
...
Προβολή
P2 = P
⇒ Pk = P
Ο P δεν αντιστρέφεται
Ο P είναι συμμετρικός
...
Προβολή
P2 = P ⇒ Pk = P
Ο P δεν αντιστρέφεται
Ο P είναι συμμετρικός
...
Προβολή
P2 = P ⇒ Pk = P
Ο P δεν αντιστρέφεται
Ο P είναι συμμετρικός
...
Προβολή
P2 = P ⇒ Pk = P
Ο P δεν αντιστρέφεται
Ο P είναι συμμετρικός
...
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =
(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1
)
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =
(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1
)
Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =
(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1
)
Ανάκλαση
H2 =
I ⇒ H−1 = H
H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px
Ο H είναι συμμετρικός
...
Ανάκλαση
H2 = I
⇒ H−1 = H
H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px
Ο H είναι συμμετρικός
...
Ανάκλαση
H2 = I ⇒ H−1 = H
H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px
Ο H είναι συμμετρικός
...
Ανάκλαση
H2 = I ⇒ H−1 = H
H = 2P − I
⇒ Hx + x = 2Px
Ο H είναι συμμετρικός
...
Ανάκλαση
H2 = I ⇒ H−1 = H
H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px
Ο H είναι συμμετρικός
...
Ανάκλαση
H2 = I ⇒ H−1 = H
H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px
Ο H είναι συμμετρικός
...