23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

52
Γραmmική ΄Αλγεβρα Μετασχηmατισmοί Πανεπιστήmιο Θεσσαλίας 9 Dεκεmβρίου 2013

description

Ορισμοί και παραδείγματα

Transcript of 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Page 1: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμική Αλγεβρα

Μετασχηματισμοί

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

9 Δεκεμβρίου 2013

Page 2: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματισμοί στον R2

Page 3: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Page 4: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Page 5: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Page 6: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματισμοί στον R2

Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με

πολλαπλασιασμό πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

Δηλαδή

x → y = Ax

Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Page 7: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Page 8: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Page 9: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R

3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Page 10: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Page 11: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Page 12: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn

Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

1 δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

2 x → x ′ ⇒ cx → cx ′, ∀x ∈ Rn,∀c ∈ R3 x → x ′, y → y ′ ⇒ x + y → x ′ + y ′, ∀x , y ∈ Rn

Ορισμός

Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς

συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

Θεώρημα

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με

πίνακα

Page 13: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παραδείγματα

1

[10

]→

234

και [01

]→

468

2

[11

]→

6912

και [ 2−1

]→

000

Page 14: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παραδείγματα

1

[10

]→

234

και [01

]→

468

2

[11

]→

6912

και [ 2−1

]→

000

Page 15: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Page 16: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Page 17: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Page 18: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Page 19: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ασκηση

Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την

1 παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

2 ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ an−1x

n−1 + anxn

p′n(x) = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .+ (n− 1)an−1x

n−2 + nanxn−1

pn(x)↔

a0a1a2. . .

an−1an

p′n(x)↔

0a12a2. . .

(n − 1)an−1nan

Page 20: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Page 21: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Page 22: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Page 23: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Πίνακας Μετασχηματισμού

΄Εστω v1, v2, . . . , vm βάση του V και w1,w2, . . . ,wn βάση του Wτότε

Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο Wμπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζονταςτον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj τηςβάσης του V

Avj = a1,jwj + a2,jw2 + . . .+ am,jwm

Page 24: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

Qθ =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Page 25: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

Qθ =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Page 26: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

Qθ =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Page 27: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

QθQ−θ =

I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Page 28: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

QθQ−θ = I

⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Page 29: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Page 30: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 =

Qθ1+θ2

...

Page 31: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Page 32: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Περιστροφή

QθQ−θ = I ⇒ Q−1θ = Q−θ

Qθ1Qθ2 = Qθ1+θ2

...

Page 33: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματιμός Γινομένου

xA→ y

B→ z ⇒ xAB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ = I ⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ

Page 34: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματιμός Γινομένου

xA→ y

B→ z ⇒ xAB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ = I

⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ

Page 35: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Μετασχηματιμός Γινομένου

xA→ y

B→ z ⇒ xAB→ z

Συμπέρασμα

AπαραγAoλoκλ = I ⇒ A−1παραγ = Aoλoκλ

Page 36: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =

(cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ

)

Page 37: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =

(cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ

)

Page 38: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παράδειγμα - Προβολή

Pθ =

(cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ

)

Page 39: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Προβολή

P2 =

P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Page 40: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Προβολή

P2 = P

⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Page 41: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Προβολή

P2 = P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Page 42: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Προβολή

P2 = P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Page 43: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Προβολή

P2 = P ⇒ Pk = P

Ο P δεν αντιστρέφεται

Ο P είναι συμμετρικός

...

Page 44: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =

(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1

)

Page 45: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =

(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1

)

Page 46: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παράδειγμα - Ανάκλαση

Hθ =

(2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1

)

Page 47: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ανάκλαση

H2 =

I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Page 48: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ανάκλαση

H2 = I

⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Page 49: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Page 50: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I

⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Page 51: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...

Page 52: 23η και 24η Δάλεξη - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Ανάκλαση

H2 = I ⇒ H−1 = H

H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

Ο H είναι συμμετρικός

...