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µ‘¥µàÕ —Ëß´◊ÈÕ‰¥â∑’Ë ”π—°æ‘¡æåøî ‘° 凴Áπ‡µÕ√å45, 47 Õ¬®√—≠ π‘∑«ß»å 40 ∂ππ®√—≠ π‘∑«ß»å ·¢«ß∫“߬’Ë¢—π‡¢µ∫“ßæ≈—¥ °√ÿ߇∑æœ 10700‚∑√. 0-2433-7755-7, 0-2433-7704-6 ·øì°´å. 0-2433-7703

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52 Àπâ“.1. §≥‘µ»“ µ√å (°“√·ª√º—π). I. ™◊ËÕ‡√◊ËÕß.

510ISBN 978-974-434-380-2

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website : www.physicscenter.come-mail : sales@physicscenter.com

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°“√®—¥°“√‡√’¬π°“√ Õπ®–µâÕ߇πâπ„Àâπ—°‡√’¬π‰¥â‡√’¬π1. ‡√’¬π‡æ◊ËÕ„À≥â√—∫§«“¡√Ÿâ (Learn to know)2. ‡√’¬π‡æ◊ËÕ„Àâ¡’§«“¡‡ªìπ¡πÿ…¬å (Learn to be)3. ‡√’¬π‡æ◊ËÕ„Àâ “¡“√∂ªØ‘∫—µ‘‰¥â (Learn to do)4. ‡√’¬π‡æ◊ËÕ„Àâ “¡“√∂Õ¬Ÿà√à«¡°—∫ºŸâÕ◊Ëπ ∑”ß“π√à«¡°—∫ºŸâÕ◊Ëπ‰¥âÕ¬à“ß

‡ªìπ ÿ¢ (Learn to live with other)¥—ßπ—Èπ ”π—°æ‘¡æåøî ‘° å‡ Áπ‡µÕ√å ®÷߉¥â®—¥∑”Àπ—ß ◊Õ ‡∑§π‘§

°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√åœ ‡©æ“–‡√◊ËÕߢ÷Èπ ‡æ‘◊ËÕ„À⺟â‡√’¬π∑’ˬ—߉¡à‡¢â“„®„πÀ≈—°§≥‘µ»“ µ√å∫“߇√◊ËÕ߉¥â‡≈◊Õ°π”‰ª„™â»÷°…“¥â«¬µπ‡Õß„À⇢Ⓞ®‰¥âÕ¬à“ß∂àÕß·∑â·≈–§√Ÿ-Õ“®“√¬åºŸâ Õπ‡Õß°Á “¡“√∂𔉪„™â „π°“√ Õπ«‘™“§≥‘µ»“ µ√å·∫∫‡®“–≈÷°„π·µà≈–‡√◊ËÕ߉¥âÕ’°¥â«¬ ‡æ√“–πÕ°®“°¡’ √ÿªÀ≈—°„π·µà≈–‡√◊ËÕß·≈â«°Á¬—ß¡’·∫∫Ωñ°À—¥·≈–·∫∫∑¥ Õ∫∑’ËÀ≈“°À≈“¬„Àâ≈Õß∑”æ√âÕ¡‡©≈¬·¬°‡≈ࡉ«â „Àâµ√«®§«“¡∂Ÿ°µâÕߥ⫬

”π—°æ‘¡æåœ À«—߇ªìπÕ¬à“߬‘Ëß«à“ Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’ȧ߮–Õ”π«¬ª√–‚¬™πå„Àⷰຟâ‡√’¬π §√Ÿ-Õ“®“√¬åºŸâ Õπ ·≈–ºŸâ∑’Ë π„®„π°“√‡√’¬π°“√ Õπ«‘™“§≥‘µ»“ µ√剥⇪ìπÕ¬à“ߥ’Õ’°‡≈à¡Àπ÷Ëß

ΩÉ“¬«‘™“°“√

”π—°æ‘¡æåøî ‘° 凴Áπ‡µÕ√å

§”π” ”π—°æ‘¡æå§”π” ”π—°æ‘¡æå

1.1 °“√·ª√º—πµ√ß 7

·∫∫Ωñ°À—¥∑’Ë 1.1 8

1.2 ·∫∫√ŸªÕ◊ËπÊ ¢Õß°“√·ª√º—πµ√ß 13

·∫∫Ωñ°À—¥∑’Ë 1.2 14

1.3 °“√·ª√º°º—π 22

·∫∫Ωñ°À—¥∑’Ë 1.3 25

1.4 °“√·ª√º—π‡°’Ë¬«‡π◊ËÕß 30

·∫∫Ωñ°À—¥∑’Ë 1.4 33

1.5 ‚®∑¬åªí≠À“ 37

·∫∫Ωñ°À—¥∑’Ë 1.5 41

·∫∫∑¥ Õ∫°“√·ª√º—π 48

“√∫—≠ “√∫—≠

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π 7

°“√·ª√º—π1.1 °“√·ª√º—πµ√ß

∂â“ y ·ª√º—πµ√ß°—∫ x ‡¢’¬π§«“¡ —¡æ—π∏剥â«à“ y ∝ x ‡§√◊ËÕßÀ¡“¬ ∝ Õà“π«à“ç·ª√º—π°—∫é ·≈–‡√’¬°«à“‡§√◊ËÕßÀ¡“¬°“√·ª√º—π

∂â“ y ∝ x ·≈â«Õ—µ√“ à«π

yx = §à“§ß∑’Ë ‡√’¬°«à“§à“§ßµ—«¢Õß°“√·ª√º—π ·≈–

∂â“„Àâ§à“§ßµ—«¢Õß°“√·ª√º—π·∑π¥â«¬ k ®–‰¥â«à“

yx = k À√◊Õ y = kx

‚¥¬∑—Ë«‰ª ∂â“°”Àπ¥„Àâ y ·ª√º—πµ√ß°—∫ x ‡√“‡¢’¬π«à“ y = kx ·≈–§à“§ßµ—« k “¡“√∂À“‰¥â∂â“√âŸ§à“¢Õß x ·≈– y ∑’Ë ¡π—¬°—π‡æ’¬ß 1 §àŸ

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1 ∂â“ y ·ª√º—πµ√ß°—∫ x ·≈– y = 8 ‡¡◊ËÕ x = 5 ®ßÀ“

1) §à“§ß∑’Ë¢Õß°“√·ª√º—π

2) ¡°“√§«“¡ —¡æ—π∏å¢Õß x ·≈– y

3) §à“¢Õß y ‡¡◊ËÕ x = 10

«‘∏’∑” 1) y ∝ x

¥—ßπ—Èπ y = kx ‡¡◊ËÕ k ‡ªìπ§à“§ßµ—«

·∑π§à“ x = 5, y = 8 „π ¡°“√

8 = k(5) ; k =

85

2) ·∑π§à“ k ®–‰¥â ¡°“√°“√·ª√º—π§◊Õ y =

85 x À√◊Õ 5y = 8x

3) ·∑π§à“ x = 10 „π ¡°“√ ¢âÕ 2)

®–‰¥â y =

85 × 10 = 16

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π8

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 2 §à“„™â®à“¬„π°“√®—¥ß“π‡≈’È¬ß (E) §√—ÈßÀπ÷Ëß·ª√º—πµ√ß°—∫®”π«π·¢°∑’Ë¡“„πß“π(N) ∂â“¡’·¢°¡“ 40 §π §à“„™â®à“¬‡∑à“°—∫ 3,200 ∫“∑ ®ßÀ“«à“∂â“¡’·¢°¡“ 120§π ®–‡ ’¬§à“„™â®à“¬‡∑à“„¥

«‘∏’∑” ®“° E ∝ N¥—ßπ—Èπ E = kN ‡¡◊ËÕ k ‡ªìπ§à“§ßµ—«·∑π§à“ E = 3,200, N = 40 „π ¡°“√

®–‰¥â 3,200 = 40k ; k =

3,20040 = 80

¥—ßπ—Èπ E = 80N·∑π§à“ N = 120 „π ¡°“√ ®–‰¥â

E = 80 (120) = 9,600 ∫“∑∂â“¡’·¢°¡“„πß“π 120 §π ‡ ’¬§à“„™â®à“¬ 9,600 ∫“∑

1. ®ß‡µ‘¡¢âÕ§«“¡≈ß„π™àÕß«à“ß„Àâ∂Ÿ°µâÕß

1) y ∝ x, k = 2 ¥—ßπ—Èπ ¡°“√°“√·ª√º—π §◊Õ

2) m ∝ n, k =

13 ¥—ßπ—Èπ ¡°“√°“√·ª√º—π §◊Õ

3) a ∝ b, k = -1 ¥—ßπ—Èπ ¡°“√°“√·ª√º—π §◊Õ

4) c ∝ d, k = -

15 ¥—ßπ—Èπ ¡°“√°“√·ª√º—π §◊Õ

5) p ∝ q, k = 2 ¥—ßπ—Èπ ¡°“√°“√·ª√º—π §◊Õ

2. ®“° ¡°“√∑’Ë°”Àπ¥„Àâ „π·µà≈–¢âÕ ®ßÀ“§«“¡ —¡æ—π∏å¢Õßµ—«·ª√ 2 µ—«·ª√·≈–∫Õ°§à“§ßµ—«¢Õß°“√·ª√º—π

1) x =

23 y

2) F = x

3) a = -b

4) y = 3 x

5) m = -

15 n

·∫∫Ωñ°À—¥∑’Ë 1.1

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π 9

3. ∂â“ y ∝ x ·≈– y = 6 ‡¡◊ËÕ x = 9 ®ßÀ“ y ‡¡◊ËÕ x = 15

4. ∂â“ x ·ª√º—πµ√ß°—∫ y ·≈– x = 20 ‡¡◊ËÕ y = 9 ®ßÀ“ x ‡¡◊ËÕ y = 18

5. ∂â“ y ·ª√º—πµ√ß°—∫ x ·≈– y = 16 ‡¡◊ËÕ x = 8 ®ßÀ“ y ‡¡◊ËÕ x = 30

6. ∂â“ P ·ª√º—πµ√ß°—∫ Q ·≈– P = 16 ‡¡◊ËÕ Q = 2 ®ßÀ“§«“¡ —¡æ—π∏å P ·≈– Q

7. ∂â“ M ∝ L ·≈– M = 7 ‡¡◊ËÕ L = 3 ®ßÀ“ ¡°“√°“√·ª√º—π ·≈–À“§à“¢Õß L ‡¡◊ËÕ M = 12

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π 9

3. ∂â“ y ∝ x ·≈– y = 6 ‡¡◊ËÕ x = 9 ®ßÀ“ y ‡¡◊ËÕ x = 15

4. ∂â“ x ·ª√º—πµ√ß°—∫ y ·≈– x = 20 ‡¡◊ËÕ y = 9 ®ßÀ“ x ‡¡◊ËÕ y = 18

5. ∂â“ y ·ª√º—πµ√ß°—∫ x ·≈– y = 16 ‡¡◊ËÕ x = 8 ®ßÀ“ y ‡¡◊ËÕ x = 30

6. ∂â“ P ·ª√º—πµ√ß°—∫ Q ·≈– P = 16 ‡¡◊ËÕ Q = 2 ®ßÀ“§«“¡ —¡æ—π∏å P ·≈– Q

7. ∂â“ M ∝ L ·≈– M = 7 ‡¡◊ËÕ L = 3 ®ßÀ“ ¡°“√°“√·ª√º—π ·≈–À“§à“¢Õß L ‡¡◊ËÕ M = 12

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π10

8. „Àâ y ∝ x ·≈– y = 3 ‡¡◊ËÕ x = 4 ®ßÀ“§à“¢Õß x ‡¡◊ËÕ y = 6

9. ∂â“ A ·ª√º—πµ√ß°—∫ B ·≈– A = 3 ‡¡◊ËÕ B = 27 ®ßÀ“§à“¢Õß A ‡¡◊ËÕ B = 3 ·≈–§à“¢Õß B‡¡◊ËÕ A = 10

10. ∂â“ y ∝ x ·≈– y = 18 ‡¡◊ËÕ x = 6 ®ßÀ“§à“¢Õß y ‡¡◊ËÕ x = 5, 7 ·≈– 17

11. „Àâ y ·ª√º—πµ√ß°—∫ x „ÀâÀ“§«“¡ —¡æ—π∏å¢Õß x ·≈– y ·≈⫇µ‘¡®”π«π≈ß„πµ“√“ß·µà≈–¢âÕµàÕ‰ªπ’È„Àâ ¡∫Ÿ√≥å1)

2)

x 3 6 7 9

y 24 48

x 4 8 10

y 10 17.5 27.5

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π 37

°“√·ª√º—π„™â„π°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“∑’ËÀ≈“°À≈“¬„π™’«‘µª√–®”«—π‰¥â ¥—ßµ—«Õ¬à“ßµàÕ‰ªπ’È

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1 §à“æ‘¡æå ¡ÿ¥√“¬ß“πª√–®”µ—«π—°‡√’¬π‡ªìπ®”π«π§ß∑’Ë à«πÀπ÷Ëß ·≈–·ª√‰ªµ“¡

®”π«π‡≈à¡∑’Ëæ‘¡æåÕ’° à«πÀπ÷Ëß „π°“√æ‘¡æå ¡ÿ¥ 80 ‡≈à¡ §à“æ‘¡æ凪ìπ 64 ∫“∑

·≈–„π°“√æ‘¡æå 120 ‡≈à¡ §à“æ‘¡æ凪ìπ 88 ∫“∑ ∂“¡«à“„π°“√æ‘¡æå 200 ‡≈à¡

§à“æ‘¡æ凪ìπ‡∑à“‰√

«‘∏’∑” „Àâ P ‡ªìπ§à“æ‘¡æå∑—ÈßÀ¡¥

A ‡ªìπ à«π§ß∑’Ë

N ‡ªìπ®”π«π‡≈à¡∑’Ëæ‘¡æå

¥—ßπ—Èπ P = A + kN ‡¡◊ËÕ k ‡ªìπ§à“§ß∑’Ë

∂â“æ‘¡æå 80 ‡≈à¡ §à“æ‘¡æ凪ìπ 64 ∫“∑

®–‰¥â 64 = A + k(80) ------- ❶

∂â“æ‘¡æå 120 ‡≈à¡ §à“æ‘¡æ凪ìπ 88 ∫“∑

®–‰¥â 88 = A + k(120) ------- ❷

❷ - ❶ 24 = 40k

k =

35

·∑π§à“ k „π ❶ ®–‰¥â

64 = A + (

35 )(80)

A = 16

¡°“√°“√·ª√º—π§◊Õ P = 16 +

35N

∂⓵âÕß°“√æ‘¡æå 200 ‡≈à¡ ®–‡ ’¬§à“æ‘¡æå

P = 16 + (

35 )(200)

= 136

∴ ‡ ’¬§à“æ‘¡æå√“¬ß“π 200 ‡≈à¡ ‡ªìπ‡ß‘π 136 ∫“∑

1.5 ‚®∑¬åªí≠À“

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π38

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 2 æ◊Èπ∑’˺‘«¢Õß≈Ÿ°∫“»°å·ª√º—π‚¥¬µ√ß°—∫°”≈—ß ÕߢÕߧ«“¡¬“«¢Õß —π ∂ⓧ«“¡¬“«

¢Õß —π‡ªìπ 2 ‡´πµ‘‡¡µ√ ®–¡’æ◊Èπ∑’˺‘« 24 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’˺‘«¢Õß

≈Ÿ°∫“»°å‡¡◊ËÕ —𬓫 5 ‡´πµ‘‡¡µ√

«‘∏’∑” „Àâæ◊Èπ∑’˺‘«≈Ÿ°∫“»°å A ‡´πµ‘‡¡µ√2

—π¢Õߪ√‘¡“µ√ x ‡´πµ‘‡¡µ√

‡π◊ËÕß®“° A ∝ x2

¥—ßπ—Èπ A = kx2 ‡¡◊ËÕ k = §à“§ßµ—«

∂â“ —𬓫 2 ‡´πµ‘‡¡µ√ æ◊Èπ∑’˺‘« 24 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√

∴ 24 = k(2)2

4k = 24

k = 6

¡°“√¢Õß°“√·ª√º—π §◊Õ A = 6x2

∴ ∂â“ —𬓫 5 ‡´πµ‘‡¡µ√ A = 6 × 52 = 150 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 3 ‡¡◊ËÕ«—µ∂ÿ‡§≈◊ËÕπ∑’ËÕ¬à“ß ¡Ë”‡ ¡Õ‡ªìπ«ß°≈¡ ·√߇¢â“ Ÿà»Ÿπ¬å°≈“ß (F) ·ª√º—π‚¥¬µ√ß

°—∫°”≈—ß ÕߢÕߧ«“¡‡√Á«¢Õß«—µ∂ÿ (V) ·≈–·ª√º—π·∫∫º°º—π°—∫√—»¡’¢Õß«ß°≈¡

(R) ∂â“ F = 64 ‡¡◊ËÕ V = 2 ·≈– R = 5 ®ßÀ“ F ‡¡◊ËÕ V = 3 ·≈– R = 4

«‘∏’∑” ®“°‚®∑¬å F ∝

VR

2

π—Ëπ§◊Õ F =

kVR

2 ‡¡◊ËÕ k ‡ªìπ§à“§ßµ—«

·∑π§à“ F = 64, V = 2 ·≈– R = 5

®–‰¥â 64 =

k(2)2

5k = 80

∴ F =

80VR

2

À“ F ‡¡◊ËÕ V = 3 ·≈– R = 4

F =

80(3)4

2 = 180

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π 39

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 4 §à“„™â®à“¬„π°“√≈â“ßÕ—¥√Ÿª§√—Èß·√°ª√–°Õ∫¥â«¬§à“≈â“ßøî≈å¡·≈–§à“Õ—¥√Ÿª §à“≈â“ßøî≈å¡·ª√º—π‚¥¬µ√ß°—∫®”π«π¡â«πøî≈å¡ §à“Õ—¥√Ÿª·ª√º—π‚¥¬µ√ß°—∫®”π«π√Ÿª∑—ÈßÀ¡¥∑’ËÕ—¥ ∂â“ÕâÕ¬π”øî≈å¡ 2 ¡â«π‰ª≈â“ß ·≈–®”π«π√Ÿª∑—ÈßÀ¡¥∑’ËÕ—¥‡ªìπ 73 ·ºàπ ‡ ’¬§à“„™â®à“¬ 269 ∫“∑ Õ‘ππ”øî≈塉ª≈â“ß 3 ¡â«π √Ÿª∑’ËÕ—¥¡’®”π«π 97 ·ºàπ ‡ ’¬§à“„™â®à“¬ 366 ∫“∑ ∂â“ ÿ¿“π”øî≈塉ª≈â“ß·≈–Õ—¥√ŸªÕÕ°¡“∑—ÈßÀ¡¥ 103 ·ºàπ‡ ’¬§à“„™â®à“¬ 384 ∫“∑ ®ßÀ“«à“ ÿ¿“π”øî≈塉ª≈â“ß∑—ÈßÀ¡¥°’Ë¡â«π

«‘∏’∑” „Àâ§à“„™â®à“¬ = P

®”π«πøî≈å¡ = A

®”π«π√Ÿª∑’ËÕ—¥ = B

¥—ßπ—Èπ P = kA + mB ------- ❶

ÕâÕ¬π”øî≈塉ª≈â“ß 2 ¡â«π ®”π«π√Ÿª 73 ·ºàπ §à“„™â®à“¬ 269 ∫“∑

¥—ßπ—Èπ 269 = k(2) + m(73)

∴ 2k + 73m = 269 ------- ❷

Õ‘ππ”øî≈塉ª≈â“ß 3 ¡â«π ®”π«π√Ÿª 97 ·ºàπ §à“„™â®à“¬ 366 ∫“∑

¥—ßπ—Èπ 366 = k(3) + m(97)

∴ 3k + 97m = 366 ------- ❸

❷ × 3 6k + 219m = 807 ------- ❹

❸ × 2 6k + 194m = 732 ------- ❺

❹ - ❺ 25m = 75

m = 3

·∑π§à“ m = 3 „π ❸ ®–‰¥â

3(k) + 97(3) = 366

3k + 291 = 366

k =

753 = 25

∴ ¡°“√¢Õß°“√·ª√º—π §◊Õ P = 25A + 3B

∂â“ ÿ¿“π”øî≈塉ª≈â“ß·≈–Õ—¥√ŸªÕÕ°¡“∑—ÈßÀ¡¥ 103 ·ºàπ ‡ ’¬§à“„™â®à“¬ 384 ∫“∑

∴ 384 = 25A + 3(103)

25A = 75

A = 3

∴ ÿ¿“π”øî≈塉ª≈â“ß 3 ¡â«π

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π48

§” —Ëß „Àâ‡≈◊Õ°§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕß∑’Ë ÿ¥‡æ’¬ß¢âÕ‡¥’¬«

1. ¡°“√∑’Ë°”Àπ¥„π¢âÕ„¥ · ¥ß«à“ A ·ª√º°º—π°—∫ B

°. A = -

56B ¢. 4A.B = 3

§.

AB = 25 ß.

2B3A =

89

2. ∂â“°”Àπ¥„Àâ a ·ª√º—πµ√ß°—∫ b ∂â“ a = 2

12 ‡¡◊ËÕ b = 3

13 ·≈â«§à“§ßµ—«¢Õß°“√·ª√º—π

§◊Õ¢âÕ„¥

°.

23 ¢.

34

§.

43 ß.

32

3. ∂â“ x ∝ y ·≈– x = 40 ‡¡◊ËÕ y = 16 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“„¥‡¡◊ËÕ y = 24

°. 20 ¢. 40

§. 60 ß. 80

4. ∂â“ x ·ª√º°º—π°—∫ y ·≈– x = 80 ‡¡◊ËÕ y = 4 ·≈â« y ¡’§à“‡∑à“„¥‡¡◊ËÕ x = 16

°. 12 ¢. 20

§. 32 ß. 40

5. ∂â“ x ∝ y2 ·≈– x = 30 ‡¡◊ËÕ y = 4 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“„¥‡¡◊ËÕ y = 2

°. 7.5 ¢. 15

§. 22.5 ß. 30

6. ∂â“ y ∝ (x - 2) ·≈– y = 25 ‡¡◊ËÕ x = -3 ·≈â« µàÕ‰ªπ’È¢âÕ„¥‡ªìπ ¡°“√¢Õß°“√·ª√º—π

°. y = x - 2 ¢. y = x + 2

§. y = 5x - 10 ß. y = -5x + 10

7. ∂â“ y ∝

1x

·≈– x = 9 ‡¡◊ËÕ y = 5 ·≈â« §à“§ßµ—«¢Õß°“√·ª√º—π§◊Õ¢âÕ„¥

°. 3 ¢. 5 §. 10 ß. 15

·∫∫∑¥ Õ∫ °“√·ª√º—π

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π 49

8. °”Àπ¥ x ∝ y - z ‡¡◊ËÕ y ∝ m2 ·≈– z ∝ m3 ∂â“ x = 0 ‡¡◊ËÕ m = 3 ·≈– x = 8 ‡¡◊ËÕ m= -1 ®ßÀ“§à“ x ‡¡◊ËÕ m = 2°. 6 ¢. 8§. -8 ß. -6

9. ∂â“ x ·ª√º°º—π°—∫ y ·≈–°”≈—ß ÕߢÕß z ·≈– x = 3 ‡¡◊ËÕ y = 3, z = 1 ∂â“ x = 4, y =

18

·≈â« z ¡’§à“‡∑à“„¥°. ± 2 3 ¢. ± 3 2

§. ±

12 3

ß. ±

13 2

10. ∂â“ A ∝ B ·≈– C ∝

1D ¢âÕ„¥µàÕ‰ªπ’È∂Ÿ°µâÕß

°. A . B ∝

CD ¢. A . B ∝

DC

§. A . C ∝

BD ß. A . D ∝

CB

11. A ·ª√º°º—π°—∫ B ∂â“ A ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 50% B ®–‡æ‘Ë¡¢÷ÈπÀ√◊Õ≈¥≈ß°’ˇªÕ√凴Áπµå

°. ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 50% ¢. ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 33

13%

§. ≈¥≈ß 50% ß. ≈¥≈ß 33

13%

12. ∂â“ y ·ª√º°º—π°—∫√“°∑’Ë “¡¢Õß x ·≈– y = 3 ‡¡◊ËÕ x = 8 ®ßÀ“§à“¢Õß y ‡¡◊ËÕ x = -27

°. -2 ¢. -

92 §. 2 ß.

92

13. x ·ª√º—πµ√ß°—∫ y ·≈–·ª√º°º—π°—∫ z2 ∂â“ x = 16 ‡¡◊ËÕ y = 24 ·≈– z = 2 ®ßÀ“§à“¢Õß

z ‡¡◊ËÕ x = 9 ·≈– y =

32

°.

23 ¢.

23 ·≈– -

23

§.

32 ß.

32 ·≈– -

32

14. A ·ª√º—πµ√ß°—∫√“°∑’Ë Õß∑’ˇªìπ∫«°¢Õß B ·≈–·ª√º°º—π°—∫°”≈—ß “¡¢Õß C ∂â“ A = 24

‡¡◊ËÕ B = 4, C =

12 ·≈â« §à“§ßµ—«®–‡ªìπ‡∑à“„¥

°.

13 ¢.

12

§.

23 ß.

32

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π50

15. ∂â“ (y - 1) ∝ (3x + 1) ·≈– y = 5 ‡¡◊ËÕ x =

13 ®ßÀ“§à“¢Õß y ‡¡◊ËÕ x = 7

°. 44 ¢. 45

§. 46 ß. 47

16. ∂â“ A ·ª√º°º—π°—∫ B ·µà B ·ª√º—πµ√ß°—∫ C ¢âÕ„¥‡ªì𧫓¡ —¡æ—π∏å¢Õß A °—∫ C

°. A ∝

1C

¢. A ∝ C

§. A ∝ C ß. A ∝

1C

17. y ·ª√º—πµ√ß°—∫ a ·≈–·ª√º°º—π°—∫ c ∂â“ a ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 20% ·≈– c ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 69% ·≈â« y

®–‡ªìπ°’ˇ∑à“¢Õß§à“‡¥‘¡

°.

7265 ¢.

1213

§.

120169 ß. ‰¡à¡’¢âÕ∂Ÿ°

18. ∂â“ P ·ª√º—πµ√ß°—∫ Q ·≈–·ª√º°º—π°—∫ R2 ∂â“ Q ‡æ‘Ë¡®“°‡¥‘¡ 4 ‡∑à“ R ≈¥≈ß®“°‡¥‘¡

13 ‡∑à“ §à“¢Õß P ®–‡ªìπÕ¬à“߉√

°. §à“¢Õß P ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 9 ‡∑à“¢Õߪ√‘¡“≥‡¥‘¡

¢. §à“¢Õß P ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 12 ‡∑à“¢Õߪ√‘¡“≥‡¥‘¡

§. §à“¢Õß P ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 36 ‡∑à“¢Õߪ√‘¡“≥‡¥‘¡

ß. ‰¡à¡’¢âÕ∂Ÿ°

19. ∂â“ y = P + Q ÷Ëß P ·ª√º—πµ√ß°—∫ x ·≈– Q ·ª√º—πµ√ß°—∫√“°∑’Ë ÕߢÕß x ·≈– y = 5

‡¡◊ËÕ x = 4, y = 8 ‡¡◊ËÕ x = 9 §à“§ß∑’ˇ∑à“°—∫‡∑à“‰√

°.

16 ,

15 ¢.

16 ,

136

§.

76 ,

136 ß.

17 ,

137

20. ∂â“ x ‡∑à“°—∫º≈∫«°¢Õ߇≈¢ Õß®”π«π ®”π«πÀπ÷Ëß·ª√º—πµ√ß°—∫ y2 Õ’°®”π«πÀπ÷Ëß·ª√

º°º—π°—∫ z ∂â“ x = 16 ‡¡◊ËÕ y = 2, z = 1 ·≈–∂â“ x = 5 ‡¡◊ËÕ y = 1, z = 2 ¥—ßπ—Èπ ∂â“ y

= 3 ·≈– z = 4 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“‰√

°. 10 ¢. 12

§. 14 ß. 16

‡∑§π‘§°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å : °“√·ª√º—π 51

21. ∂â“ y ‡∑à“°—∫º≈∫«°¢Õ߇≈¢ Õß®”π«π ®”π«πÀπ÷Ëß·ª√º—πµ√ß°—∫ x Õ’°®”π«πÀπ÷Ëß·ª√º°º—π°—∫ x ∂â“ y = 7 ‡¡◊ËÕ x = 2 ·≈– y = 8 ‡¡◊ËÕ x = 3 ∂â“ y = 13 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“„¥

°. 2 À√◊Õ 6 ¢.

12 À√◊Õ 6

§. 2 À√◊Õ

16 ß.

12 À√◊Õ

16

22. ∂â“ y ·ª√º°º—π°—∫°”≈—ß ÕߢÕß x ∂â“ x ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 25% ·≈â« y ®–¡’§à“‡ªìπ°’ˇ∑à“¢Õß§à“‡¥‘¡°. 0.32 ¢. 0.48§. 0.64 ß. 0.96

23. √–¬–∑“ß∑’Ë°âÕπÀ‘πµ°≈ß¡“®“°∑’Ë Ÿß ·ª√º—πµ√ß°—∫°”≈—ß ÕߢÕߧ«“¡‡√Á«¢Õß°âÕπÀ‘π ‡¡◊ËÕ°âÕπÀ‘πµ°‰¥â 5 ‡¡µ√ ®–¡’§«“¡‡√Á«„π¢≥–π—Èπ 10 ‡¡µ√µàÕ«‘π“∑’ ∂â“°âÕπÀ‘πµ°‰¥â 125‡¡µ√ ®–¡’§«“¡‡√Á«‡ªìπ°’ˇ¡µ√µàÕ«‘π“∑’°. 15 ¢. 25§. 40 ß. 50

24. §«“¡∂’Ë¢Õߧ≈◊Ëπ«‘∑¬ÿ·ª√º°º—π°—∫§«“¡¬“«§≈◊Ëπ ∂ⓧ«“¡∂’ˇªìπ 450 °‘‚≈‡Œ‘√µ´å §«“¡¬“«§≈◊Ëπ‡ªìπ 980 ‡¡µ√ µâÕß°“√≈¥§«“¡¬“«§≈◊Ëπ≈ß 80 ‡¡µ√ ®–„™â§«“¡∂’Ë°’Ë°‘‚≈‡Œ‘√µ´å°. 90 ¢. 450§. 460 ß. 490

25. √∂ 2 §—π ·≈àπ‰¥â∑“߇ªìπÕ—µ√“ à«π 9 : 16 ·≈–‡«≈“∑’Ë·≈àπ‡ªìπ 3 : 4 ®ßÀ“Õ—µ√“ à«π¢Õߧ«“¡‡√Á«¢Õß√∂§—π·√°µàÕ§—π∑’Ë Õß ∂Ⓡ«≈“∑’Ë·≈àπ·ª√º—πµ√ß°—∫√–¬–∑“ß ·≈–·ª√º°º—π°—∫§«“¡‡√Á«°. 3 : 4 ¢. 4 : 3§. 4 : 5 ß. 5 : 7

26. ‡«≈“¢Õß°“√·°«àß≈Ÿ°µÿâ¡Àπ÷Ëߧ√—Èß·ª√º—πµ√ß°—∫√“°∑’Ë ÕߢÕߧ«“¡¬“«¢Õß·¢π≈Ÿ°µÿâ¡ ∂â“·¢π≈Ÿ°µÿ⡬“« 1 ‡¡µ√ ·°«àß 1 §√—Èß„™â‡«≈“ 1 «‘π“∑’ ∂â“≈Ÿ°µÿâ¡·°«àß 75 §√—Èß „™â‡«≈“ 1 π“∑’·≈â«≈Ÿ°µÿ⡬“«°’ˇ´πµ‘‡¡µ√°. 32 ¢. 60

§. 64 ß. 72

27. ∂â“ à«π Ÿß¢Õß°√«¬µ√ß·ª√º—πµ√ß°—∫ª√‘¡“µ√ ·≈–·ª√º°º—π°—∫°”≈—ß ÕߢÕß√—»¡’∂â“°√«¬Õ—πÀπ÷Ëß Ÿß 6 Àπ૬ ‡¡◊ËÕ√—»¡’ = 2 ·≈–ª√‘¡“µ√ = 8π ®ßÀ“ à«π Ÿß¢Õß°√«¬µ√߇¡◊ËÕ√—»¡’‡∑à“°—∫ 3 ·≈–ª√‘¡“µ√ = 12π

°. 3 ¢. 4

§. 5 ß. 6