Àπ—ß ◊Õ‡√’¬π√“¬«‘™“æ◊Èπ∞“π§≥‘µ»“ µ√å ‡≈à¡ Ò

™—Èπ¡—∏¬¡»÷°…“ªï∑’Ë Ò

°≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å

µ“¡À≈—° Ÿµ√·°π°≈“ß°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π æÿ∑∏»—°√“™ ÚııÒ

®—¥∑”‚¥¬

 ∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’

°√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√

ISBN 978-974-01-9689-1

æ‘¡æå§√—Èß∑’Ë “¡ ı¯, ‡≈à¡

æ.». ÚııÙ

Õߧ尓√§â“¢Õß  ° §. ®—¥æ‘¡æå®”Àπà“¬

æ‘¡æå∑’Ë‚√ßæ‘¡æå  ° §. ≈“¥æ√â“«

ÚÚÙ˘ ∂ππ≈“¥æ√â“« «—ß∑ÕßÀ≈“ß °√ÿ߇∑æ¡À“π§√

¡’≈‘¢ ‘∑∏‘ϵ“¡æ√–√“™∫—≠≠—µ‘

5400217L01a 16/6/04 5:04 PM Page A

ª√–°“»°√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√

‡√◊ËÕß Õπÿ≠“µ„Àâ „™âÀπ—ß ◊Õ„π ∂“π»÷°…“

-------------------

¥â«¬ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√‰¥â¡Õ∫À¡“¬„Àâ

 ∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’ ®—¥∑”Àπ—ß ◊Õ‡√’¬π √“¬«‘™“æ◊Èπ∞“π

§≥‘µ»“ µ√å ‡≈à¡ Ò ™—Èπ¡—∏¬¡»÷°…“ªï∑’Ë Ò °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å µ“¡À≈—° Ÿµ√

·°π°≈“ß°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π æÿ∑∏»—°√“™ ÚııÒ  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π

‰¥âæ‘®“√≥“·≈â« Õπÿ≠“µ„Àâ„™âÀπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’È„π ∂“π»÷°…“‰¥â

ª√–°“» ≥ «—π∑’Ë ÒÒ ∏—𫓧¡ æ.». ÚııÚ

(𓬙‘π¿—∑√ ¿Ÿ¡‘√—µπ)

‡≈¢“∏‘°“√§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π

5400217L01a 4/5/04 5:25 PM Page B

§”π”

Àπ—ß ◊Õ‡√’¬π √“¬«‘™“æ◊Èπ∞“π §≥‘µ»“ µ√å ‡≈à¡ Ò ™—Èπ¡—∏¬¡»÷°…“ªï∑’Ë Ò π’È ®—¥∑”¢÷Èπ

µ“¡µ—«™’È«—¥·≈–¡“µ√∞“π°“√‡√’¬π√Ÿâ °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å À≈—° Ÿµ√·°π°≈“ß°“√»÷°…“

¢—Èπæ◊Èπ∞“π æÿ∑∏»—°√“™ ÚııÒ  ”À√—∫„Àâ ∂“π»÷°…“‡≈◊Õ°„™âª√–°Õ∫°“√‡√’¬π°“√ Õπ·≈–„™â

‡ªìπ·π«∑“ß„π°“√ÕÕ°·∫∫°‘®°√√¡°“√‡√’¬π√Ÿâ „À⧫“¡√Ÿâ§«“¡‡¢â“„®ºŸâ‡√’¬π𔉪 Ÿà∑—°…–°“√§‘¥

«‘‡§√“–Àå  —߇§√“–Àå µ“¡§«“¡ “¡“√∂·≈–§«“¡·µ°µà“ß√–À«à“ß∫ÿ§§≈¢ÕߺŸâ‡√’¬π‰¥â „π°“√®—¥

∑”Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’È ‰¥â√—∫§«“¡√à«¡¡◊Õ®“°§≥“®“√¬å ºŸâ∑√ߧÿ≥«ÿ≤‘ ºŸâ‡™’ˬ«™“≠¥â“π§≥‘µ»“ µ√宓°

 ∂“∫—πµà“ßÊ ∑—Èß¿“§√—∞·≈–‡Õ°™π‡ªìπÕ¬à“ߥ’

 ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π À«—߇ªìπÕ¬à“߬‘Ëß«à“Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’È®–‡ªìπ

ª√–‚¬™πåµàÕ°“√®—¥°“√‡√’¬π√Ÿâ ‡æ◊ËÕª√–¬ÿ°µå„™âæ—≤π“°“√‡√’¬π√Ÿâ¢ÕߺŸâ‡√’¬π‰¥âÕ¬à“߇À¡“– ¡

¢Õ¢Õ∫§ÿ≥ ∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’ µ≈Õ¥®π∫ÿ§§≈·≈–Àπ૬ߓπ∑’Ë

¡’ à«π‡°’ˬ«¢âÕß„π°“√®—¥∑”Àπ—ß ◊Õ‰«â ≥ ‚Õ°“ π’È

(𓬙‘π¿—∑√ ¿Ÿ¡‘√—µπ)

‡≈¢“∏‘°“√§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π

ÒÒ ∏—𫓧¡ ÚııÚ

5400217L01a 4/5/04 5:25 PM Page C

§”™’È·®ß

 ∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’ (  «∑.) ‰¥â√—∫¡Õ∫À¡“¬®“°

°√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ „Àâæ—≤π“À≈—° Ÿµ√·°π°≈“ß°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π æÿ∑∏»—°√“™ 2551

°≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ«‘∑¬“»“ µ√å √«¡∑—Èß “√–°“√ÕÕ°·∫∫·≈–

‡∑§‚π‚≈¬’ ·≈– “√–‡∑§‚π‚≈¬’ “√ π‡∑»„π°≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ°“√ß“πÕ“™’æ·≈–‡∑§‚π‚≈¬’

µ≈Õ¥®π®—¥∑” ◊ËÕ°“√‡√’¬π√Ÿâµ“¡À≈—° Ÿµ√¥—ß°≈à“«

Àπ—ß ◊Õ‡√’¬π√“¬«‘™“æ◊Èπ∞“π§≥‘µ»“ µ√å  ”À√—∫√–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ¡’¥â«¬°—π

∑—ÈßÀ¡¥ 6 ‡≈à¡ ®—¥∑”¢÷Èπ‡æ◊ËÕ„À⺟â‡√’¬π “¡“√∂‡√’¬π√Ÿâ·≈–æ—≤π“µπ‡Õß π”§«“¡√Ÿâ∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å

‰ªæ—≤π“™’«‘µ ·≈–‡ªìπ‡§√◊ËÕß¡◊Õ„π°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√åµ≈Õ¥®π»“ µ√åÕ◊Ëπ Ê „π√–¥—∫∑’Ë Ÿß¢÷Èπ

∑—Èßπ’È ∂“π»÷°…“ “¡“√∂ª√—∫„™â‡π◊ÈÕÀ“®“°Àπ—ß ◊Õ‡√’¬π∑—Èß 6 ‡≈à¡π’È ‡æ◊ËÕ®—¥°“√‡√’¬π°“√ Õπ√“¬«‘™“

æ◊Èπ∞“π§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‰¥âµ“¡§«“¡‡À¡“– ¡

Àπ—ß ◊Õ‡√’¬π√“¬«‘™“æ◊Èπ∞“π§≥‘µ»“ µ√å ‡≈à¡ 1 ™—Èπ¡—∏¬¡»÷°…“ªï∑’Ë 1 ª√–°Õ∫¥â«¬

‡√◊ËÕß  ¡∫—µ‘¢Õß®”π«ππ—∫ √–∫∫®”π«π‡µÁ¡ ‡≈¢¬°°”≈—ß ·≈–æ◊Èπ∞“π∑“߇√¢“§≥‘µ ´÷Ë߇ªìπ

‡π◊ÈÕÀ“ “√–µ“¡¡“µ√∞“π°“√‡√’¬π√Ÿâµ“¡∑’Ë°”À𥉫â„πÀ≈—° Ÿµ√ Õ¬à“߉√°Áµ“¡ºŸâ Õπ “¡“√∂

ª√—∫∫∑‡√’¬π„Àâ‡À¡“– ¡°—∫»—°¬¿“æ¢ÕߺŸâ‡√’¬π·µà≈–°≈ÿà¡

°“√®—¥∑”Àπ—ß ◊Õ‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å‡≈à¡π’È   «∑. ‰¥â√—∫§«“¡√à«¡¡◊ÕÕ¬à“ߥ’¬‘Ëß®“°

§≥“®“√¬å ºŸâ∑√ߧÿ≥«ÿ≤‘ π—°«‘™“°“√ ·≈–§√ŸºŸâ Õπ ®“°À≈“¬Àπ૬ߓπ ∑—Èß¿“§√—∞·≈–‡Õ°™π

  «∑. ®÷ߢբÕ∫§ÿ≥∑ÿ°∑à“π‰«â ≥ ∑’Ëπ’È ·≈–À«—߇ªìπÕ¬à“߬‘Ëß«à“Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’È®–‡ªìπª√–‚¬™πåµàÕ

°“√»÷°…“§≥‘µ»“ µ√å Õ—π‡ªìπ√“°∞“𠔧—≠¢Õß°“√æ—≤π“∑√—欓°√¡πÿ…¬å¢Õß™“µ‘µàÕ‰ª À“°¡’

¢âÕ‡ πÕ·π–„¥∑’Ë®–∑”„ÀâÀπ—ß ◊Õ‡√’¬π‡≈à¡π’È ¡∫Ÿ√≥嬑Ëߢ÷È𠂪√¥·®âß„Àâ “¢“§≥‘µ»“ µ√å¡—∏¬¡»÷°…“

  «∑. ∑√“∫¥â«¬ ®—°¢Õ∫§ÿ≥¬‘Ëß

(π“ß “«π“√’ «ß»å ‘‚√®πå°ÿ≈)

√ÕߺŸâÕ”π«¬°“√ √—°…“°“√·∑π

ºŸâÕ”π«¬°“√ ∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’

5400217L01a 4/5/04 5:25 PM Page D

สารบัญ

หนา บทที่ 1 ตัวหารรวมมากและตัวคณูรวมนอย 1 1.1 ตัวหารรวมมากและการนําไปใช 2 1.2 ตัวคูณรวมนอยและการนําไปใช 11 บทที่ 2 ระบบจํานวนเต็ม

23

2.1 จํานวนเต็ม 23 2.2 การบวกจํานวนเต็ม 28 2.3 การลบจํานวนเต็ม 39 2.4 การคูณจํานวนเต็ม 45 2.5 การหารจํานวนเต็ม 51 2.6 สมบัติของจํานวนเต็ม 55 บทที่ 3 เลขยกกําลัง

65

3.1 ความหมายของเลขยกกําลัง 66 3.2 การดําเนนิการของเลขยกกําลัง 77

3.3 การนําไปใช 95

สารบัญ

หนา บทที่ 4 พ้ืนฐานทางเรขาคณิต 105 4.1 จุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสี และมุม 105 4.2 การสรางพื้นฐาน 122 4.3 การสรางรูปเรขาคณิตอยางงาย 142 บรรณานุกรม 155

ภาคผนวก 157

บัญชศีัพท 157 บัญชสัีญลักษณ 159

บทที ่ 1 ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย

จํานวนซ่ึงเปนที่รูจักและไดนํามาใชเพื่อแสดงจํานวนของสิ่งตาง ๆ ไดแก 1, 2, 3, … เรียกจํานวนเหลานี้วา จํานวนนับ

นอกจากนี้ยังมกีารบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนนับ การหาร

จํานวนนับอาจเปนการหารลงตัวหรือเปนการหารไมลงตัวก็ได ในกรณีท่ีเปนการหารลงตัว เชน 15 ÷ 3 = 5 เรียก 3 วา ตัวหาร หรือ ตัวประกอบของ 15

ตัวประกอบของจํานวนนับใด คือ จํานวนนับที่หารจํานวนนับนั้นลงตัว เชน ตัวประกอบทัง้หมดของ 10 คือ 1, 2, 5 และ 10 ตัวประกอบทัง้หมดของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 จะเห็นวา 1 และ 2 เปนตัวประกอบของทั้ง 10 และ 12 จึงเรียก 1 และ 2 วา ตัวประกอบรวม หรือ ตัวหารรวมของ 10 และ 12 เนื่องจาก 1 หารจํานวนนับทุกจํานวนลงตัว ดังนัน้ 1 จึงเปนตัวประกอบรวมของจํานวนนบัทุกจํานวน

2 2

12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3

2 3

2 × 3 = 6

ตัวประกอบรวมคือ 2, 3 และ 6

จํานวนนับที่มากกวา 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 และ ตัวเอง เรียกวา จํานวนเฉพาะ เชน 2, 3, 5, 7, 11 เปนจํานวนเฉพาะแต 1, 4, 6, 8, 9, 10 ไมเปนจํานวนเฉพาะ ตัวประกอบทีเ่ปนจํานวนเฉพาะ เรียกวา ตัวประกอบเฉพาะ เชน 3 และ 5 เปนตัวประกอบเฉพาะของ 15 2 และ 7 เปนตัวประกอบเฉพาะของ 14

การแยกตัวประกอบของจํานวนนับใด คือ ประโยคที่แสดงการเขียน จํานวนนับนัน้ในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ เชน 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3

จากการแยกตวัประกอบขางตน จะเห็นวาตัวประกอบรวมหรือตวัหารรวม ของ 12 และ 18 คือ 2, 3 และ 6

1.1 ตัวหารรวมมากและการนาํไปใช พิจารณาปญหาตอไปนี ้

3 3

ชาวสวนตองการลอมรั้วรอบที่ดินรูปส่ีเหล่ียมผืนผาแปลงหนึ่งซ่ึงมีขนาดกวาง 48 เมตร ยาว 76 เมตร โดยปกเสาแตละตนใหหางเทา ๆ กันเปนจํานวนเต็มที่มีหนวยเปนเมตรทุกดาน เขาจะปกเสาใหหางกันเทาไรไดบางและหางกันมากที่สุด กี่เมตร จากปญหาขางตนอาจแกปญหาโดยการทดลองปกเสาแตละตนใหหางกันชวงละ 1 เมตร หรือ 2 เมตร หรือ 3 เมตร เพิ่มข้ึนเรื่อย ๆ และตองปกโดยไมใหเหลือเศษ จนไดระยะหางเทากันที่มากที่สุด ซ่ึงตองใชเวลาทดลองนานกวาจะไดระยะทีต่องการ ในทางคณติศาสตร มีวิธีคิดหาระยะดงักลาวไดรวดเรว็กวา เพราะระยะปกเสาใหหางเทากันนั้นเปนจํานวนนับที่หารทั้ง 48 และ 76 ลงตัว ซ่ึงจํานวนเหลานั้น คือ ตัวหารรวมของ 48 และ 76 นั่นเองและเมื่อโจทยตองการปกเสาใหหางเทา ๆ กนั มากที่สุด ตัวหารรวมที่ตองการจึงเปนตวัหารรวมที่มากที่สุดของ 48 และ 76 เรียกวา ตัวหารรวมมากของ 48 และ 76 ซ่ึงเขียนยอ ๆ วา ห.ร.ม. ของ 48 และ 76 ห.ร.ม. ของ 48 และ 76 อาจหาไดดังนี ้ จํานวนนับที่หาร 48 ลงตัว ไดแก 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 และ 48 จํานวนนับที่หาร 76 ลงตัว ไดแก 1, 2, 4, 19, 38 และ 76 จะเห็นวา 1, 2 และ 4 ตางก็เปนตวัหารรวมของ 48 และ 76 นั่นคือ ชาวสวนสามารถปกเสาใหหางเทา ๆ กันได 1 เมตร หรือ 2 เมตร หรือ 4 เมตร เนื่องจาก 4 เปนตัวหารรวมที่มากที่สุด 4 จึงเปน ห.ร.ม. ของ 48 และ 76 ดังนั้น ชาวสวนจะปกเสาใหหางกันไดมากที่สุด 4 เมตร เนื่องจากการหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปเปนการหาตัวหารรวมหรอืตัวประกอบรวมที่มากที่สุดของจํานวนนับเหลานั้น เราจึงอาศัยการหาตัวประกอบรวมในการหา ห.ร.ม.ของจํานวนนับไดโดยวิธีตาง ๆ ดังนี้

4 4

วิธีท่ี 1 โดยการพิจารณาตัวประกอบ ตัวอยางการหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 45 เนื่องจาก ตวัประกอบของ 30 ไดแก 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 ตัวประกอบของ 45 ไดแก 1, 3, 5, 9, 15 และ 45 จะเห็นวา ตัวประกอบรวมของ 30 และ 45 ไดแก 1, 3, 5 และ 15 ตัวประกอบรวมที่มากที่สุดของ 30 และ 45 คือ 15 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 30 และ 45 คือ 15 วิธีท่ี 2 โดยการแยกตวัประกอบ ตัวอยางการหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 การแยกตัวประกอบของ 18 และ 30 ทําไดดังนี ้ 18 = 2 × 3 × 3

30 = 2 × 3 × 5 จากการแยกตวัประกอบของ 18 และ 30 จะเห็นวา ตวัประกอบ รวมของ 18 และ 30 ไดแก 2, 3 และ 2 × 3

ตัวประกอบรวมที่มากที่สุดของ 18 และ 30 คือ 2 × 3 = 6 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 คือ 6 วิธีท่ี 3 โดยการตัง้หาร ตัวอยางการหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 การหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 โดยการตั้งหารทําไดดังนี ้

นํา 2 ซ่ึงเปนจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมของ 24, 36 และ 48 ไปหาร 24, 36 และ 48 ไดดังนี ้

2 24 36 48 12 18 24

5 5

นํา 2 ซ่ึงเปนจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมของ 12, 18 และ 24 ไปหาร 12, 18 และ 24 ไดดังนี ้

2 12 18 24 6 9 12 นํา 3 ซ่ึงเปนจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมของ 6, 9 และ 12 ไปหาร 6, 9 และ 12 ไดดังนี ้

3 6 9 12 2 3 4

เนื่องจากไมมจีํานวนเฉพาะใดเปนตวัประกอบรวมของ 2, 3 และ 4 จึงยุติการหาร ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 หาไดจาก 2 × 2 × 3 ซ่ึงเทากับ 12 สรุปขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 โดยการต้ังหารไดดังนี ้

2 24 36 48 2 12 18 24 3 6 9 12 2 3 4 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 คือ 2 × 2 × 3 = 12

ขอสังเกต 1. ในแตละขั้นตอนของการหาร จํานวนที่นําไปหารตองเปน จํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมของทุกจํานวนที่ตองการหารซึ่งอาจมี หลายจํานวน เลือกจํานวนเฉพาะจํานวนใดจํานวนหนึ่งไปหารกอนกไ็ด

6 6

2. การหารจะยุติเมื่อไมมีจาํนวนเฉพาะทีเ่ปนตัวประกอบรวมของทุก จํานวนที่ตองการหาร

3. ห.ร.ม. ท่ีได คือ ผลคูณของจํานวนเฉพาะที่นําไปหารในแตละ ข้ันตอน

ตัวอยางที่ 1 จงหา ห.ร.ม. ของ 42 และ 105 วิธีทํา แยกตวัประกอบของ 42 และ 105 ไดดังนี้ 42 = 2 × 3 × 7 105 = 3 × 5 × 7 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 42 และ 105 คือ 3 × 7 = 21 ตอบ 21 ตัวอยางที่ 2 จงหา ห.ร.ม. ของ 210, 315 และ 525 วิธีทํา แยกตวัประกอบของ 210, 315 และ 525 ไดดังนี ้ 210 = 2 × 3 × 5 × 7 315 = 3 × 3 × 5 × 7 525 = 3 × 5 × 5 × 7 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 210, 315 และ 525 คือ 3 × 5 × 7 = 105 ตอบ 105 ตัวอยางที่ 3 จงหา ห.ร.ม. ของ 9 และ 14 วิธีทํา แยกตวัประกอบของ 9 และ 14 ไดดังนี ้ 9 = 3 × 3 14 = 2 × 7

จากการแยกตวัประกอบ จะเห็นวา ไมมีจํานวนนับที่มากกวา 1 เปน ตัวประกอบรวมของ 9 และ 14

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 9 และ 14 คือ 1 ตอบ 1

7 7

ตัวอยางที่ 4 จงหา ห.ร.ม. ของ 23 และ 49 วิธีทํา เนื่องจาก 23 เปนจํานวนเฉพาะ และ 23 ไมเปนตัวประกอบ ของ 49 ตัวประกอบรวมของ 23 และ 49 มีเพียงจํานวนเดยีว คือ 1 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 23 และ 49 คือ 1 ตอบ 1 ตัวอยางที่ 5 จงหา ห.ร.ม. ของ 35, 105, 280 และ 385 วิธีทํา 5 35 105 280 385 7 7 21 56 77 1 3 8 11 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 35, 105, 280 และ 385 คือ 5 × 7 = 35 ตอบ 35 เราสามารถนําความรูเกี่ยวกบั ห.ร.ม. ไปใชในการแกปญหาบางปญหาไดดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 6 จงหาจํานวนนบัที่มากที่สุดที่หาร 15, 23 และ 31 แลวเหลือเศษ 1, 2 และ 3 ตามลําดับ

วิธีทํา จํานวนนับที่หาร 15 แลวเหลือเศษ 1 จะเปนจํานวนที่หาร 15 – 1 หรือ 14 ลงตัว

จํานวนนับที่หาร 23 แลวเหลือเศษ 2 จะเปนจํานวนที่หาร 23 – 2 หรือ 21 ลงตัว

จํานวนนับที่หาร 31 แลวเหลือเศษ 3 จะเปนจํานวนที่หาร 31 – 3 หรือ 28 ลงตัว

8 8

ตรวจสอบไดอยางไรวา 7 เปนคําตอบที่ตองการ

จํานวนนับที่มากที่สุดที่หาร 14, 21 และ 28 ลงตัวจะเปน ห.ร.ม. ของ 14, 21 และ 28

หา ห.ร.ม. ของ 14, 21 และ 28 ไดดังนี ้ 7 14 21 28 2 3 4 ห.ร.ม. ของ 14, 21 และ 28 คือ 7

ดังนั้น จํานวนนับที่มากที่สุดที่หาร 15, 23 และ 31 แลวเหลือเศษ 1, 2 และ 3 ตามลําดับ คือ 7

ตอบ 7 ตัวอยางที่ 7 ตองการติดตั้งพัดลมเพดานในหองประชุมซ่ึงกวาง 18 เมตร ยาว

24 เมตร โดยใหพัดลมแตละตัวมีระยะหางเทากันและตวัท่ีอยูใกลฝาผนังมีระยะหางจากฝาผนังเทากับระยะหางจากพัดลมตัวอ่ืน ๆ จงหาวาตองใช พัดลมอยางนอยที่สุดกี่ตวั

วิธีทํา

18 เมตร

24 เมตร

d

d d A

9 9

ให A แทนจดุหนึ่งที่ตดิตั้งพัดลม d แทนระยะหางระหวางพัดลมกับพัดลม และระยะหางระหวาง พัดลมกับฝาผนัง เนื่องจากตองการใชพัดลมจาํนวนนอยตวัท่ีสุด ดังนั้น d จึงตองเปนจํานวนนับท่ีมากที่สุดที่หาร 18 และ 24 ลงตัว นั่นคือ d เปน ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 คือ 6 ดังนั้น ระยะหางระหวางพัดลมกับพัดลมและระยะหางระหวางพัดลม กับฝาผนังเปน 6 เมตร จึงแบงดานกวางได 6

18 = 3 ชวง ซ่ึงติดพัดลมได 2 แถว แบงดานยาวได 6

24 = 4 ชวง ซ่ึงติดพัดลมได 3 แถว ดังนั้น ตองใชพัดลมอยางนอยที่สุด 2 × 3 = 6 ตัว ตอบ 6 ตัว

รูไดอยางไรวาตองใช พัดลมอยางนอย 6 ตัว

ก็ลองเขียนแผนภาพ แสดงที่ต้ังพัดลมดูซิ

10 10

ตัวอยางที่ 8 จงทํา 3624 ใหเปนเศษสวนอยางต่ํา

วิธีทํา วิธีการอยางหนึ่งที่ใชในการทอนเศษสวนใหเปนเศษสวนอยางต่ํา คือ นํา ห.ร.ม. ของตัวเศษและตัวสวนมาหารทั้งตัวเศษและตัวสวน

ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 12 ดังนั้น เศษสวนอยางต่ําของ 36

24 คือ 12361224÷÷ = 3

2 ตอบ 3

2

แบบฝกหัด 1.1

1. จงหา ห.ร.ม. ของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ 1) 51 และ 85 2) 47 และ 103 3) 42, 105 และ 165 4) 375, 748 และ 932 2. จงหาจํานวนนับที่มากที่สุดที่หาร 48 และ 115 ลงตัว 3. จงหาจํานวนนบัที่มากที่สุดที่หาร 85, 136 และ 187 ลงตัว 4. จงเขียนจํานวนนับที่มีสามหลักสามจํานวนที่ตางกนั แลวหา ห.ร.ม. ของสาม

จํานวนนั้น 5. จงหาจํานวนนบัที่มากที่สุดที่หาร 676 และ 460 แลวเหลือเศษ 1 เทากัน 6. จงหาจํานวนนบัที่มากที่สุดที่หาร 70 และ 105 แลวเหลอืเศษ 2 และ 3

ตามลําดับ 7. มีสมอยูสามชนิด ชนิดที่หนึง่มี 48 ผล ชนิดที่สองมี 60 ผล และชนดิที่สามมี

84 ผล ตองการแบงสมออกเปนกอง กองละเทา ๆ กัน ใหแตละกองมจีํานวนมากที่สุดและไมเหลือเศษ โดยท่ีสมแตละชนิดไมปะปนกัน จะแบงสมไดกี่กอง กองละกี่ผล

11 11

8. นักเรียนกลุมหนึ่งเปนชาย 64 คน เปนหญิง 96 คน ถาตองการจัดแถวนักเรยีนชายและนักเรยีนหญิงใหไดแถวละเทา ๆ กันและไดแถวยาวที่สุดโดยไมใหนักเรียนชายและนักเรยีนหญิงอยูในแถวเดียวกันจะจดัไดกี่แถวและแถวละกี่คน

9. ไมอัดแผนหนึง่กวาง 104 เซนติเมตร ยาว 195 เซนติเมตร นํามาตัดเปนแผนรูปส่ีเหลี่ยมจัตรัุสที่มีขนาดเทากันทุกแผนใหไดแผนขนาดใหญท่ีสุดและไมเหลือเศษ จะไดไมอัดรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสกี่แผนและแตละแผนมีขนาดเทาใด

10. ตองการขุดหลุมเพื่อปลูกมะมวงในทีด่ินรปูส่ีเหลี่ยมผืนผาซ่ึง กวาง 18 เมตร ยาว 25.5 เมตรและลอมรั้วไวแลวท้ัง 4 ดาน หลุมที่ขุดแตละหลุมมีระยะหางระหวางหลุมเทากันและหลมุที่อยูใกลขอบรั้วมีระยะหางจากขอบรั้วเทากับระยะหางจากหลุมอ่ืน ๆ จงหาวาจะปลูกมะมวงไดอยางนอยที่สุดกี่ตน

11. มีผาอยูผืนหนึง่กวาง 36 เซนติเมตร ยาว 180 เซนติเมตร ถาตองการตัดเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่มีความยาวของดานเปนจํานวนเต็มซ่ึงมีหนวยเปนเซนติเมตรโดยไมใหเหลือเศษและขนาดของผาที่ตัดออกมีความยาวดานละไมต่ํากวา 5 เซนติเมตร จะตัดไดมากทีสุ่ดกี่ผืนและนอยที่สุดกี่ผืน

12. จงทํา 10878 ใหเปนเศษสวนอยางต่ํา เราจะทราบไดอยางไรวาคําตอบที่ไดเปน

เศษสวนอยางต่ํา 13. ห.ร.ม. ของจํานวนนับสองจาํนวนใด ๆ มากกวาหรือเทากับ 1 เสมอหรือไม

เพราะเหตุใด

1.2 ตัวคูณรวมนอยและการนําไปใช จากความรูเรื่องตัวประกอบของจํานวนนบั เราทราบวา 2 เปนตัวประกอบของ 6 และ 5 เปนตัวประกอบของ 10 ในทางคณิตศาสตรเรากลาววา 6 เปน พหุคูณของ 2 และ 10 เปนพหุคูณของ 5 จํานวนนับที่หารดวยจํานวนนับที่กําหนดใหลงตัว เรียกวา พหุคูณ ของจํานวนนับที่กาํหนดใหนัน้ เชน