Post on 17-Feb-2016
description
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ
Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα,
Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς
Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D.
Μάρτιος 2011
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 1
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Μέρος 1ο
Διαγράμματα M, Q, N σε δοκούς
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 2
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 1
A
m4.0
B
N/m60
A BΓ
A B
[ ]Q
[ ]M
N180
m2.0
Γ
N220AV = N200BV =
m2.0 m2.0
m3.67
Nm403.33maxM = +
Nm400+
2
1208
ql =
Nm320+
N220+
N20-
N200- N200-
Αντιδράσεις: N
N
0 6 2 (60 4) 4 180 0 200
0 4 60 180 0 220
B BA
y BA A
M V V
F V V V
´ ´ ´
´
S = - - = =
S = + - - = =
Μέγιστη ροπή:
θέση μέγιστης ροπής (μηδενισμός τέμνουσας): N
m N m
2203.67
60x = =
/ (από το Α)
maxM = (ροπή στο Α)+ (εμβαδόν διαγράμ. Q από το Α έως m3.67x = )
N m Nm1
0 220 3.67 403.332
max maxM M = + = +
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 3
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 2
(N m
)
M(x)
1 m 1 m
(N)
Q(x)
750
0
250
500
750
x (m)
Διάγραμμα Ροπών Κάμψης
Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων
1 m 1 m
500 N/m
500 N
500 N/m
500
250
800
0
700
500
600
400
300
100
200
1 3 42
1 2 3 4
V B= 750 NVA = 750 N
2.50.5
312.5
812.5 = Mmax
A B
x (m)
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 4
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 3
A
m2.0
B Nm750
A BΓ
A B
[ ]Q
[ ]M
N250
m2.0
Γ
N125AV =N125BV =
Nm0
Nm250+
N125+
m2.0 m2.0 m2.0
G
N0V =Γ
N125+
N125- N125-
G
Nm500-
Nm250+
Γ G
Αντιδράσεις: δεξ. N
N
N
0 4 2 250 0 125
0 750 4 8 250 10 0 0
0 250 0 125
B BG
BA
y BA A
M V V
M V V V
F V V V V
´
´ ´
S = - + = =
S = - - + - = =
S = + + - = =
Γ Γ
Γ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 5
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 4
A
m1.0
B Nm125
A Γ
AB
N150
Γ
N350AV = N300BV =
0
100M = +max
350+
m2.5 m1.5
G
300-
G
Γ
G
N/m200
m1.0
Nm550AM =
200+
B
550-
200-
0
m1.0
2 8
156.25
ql / =
m1.25
Nm( )
[ ]M
N( )
[ ]Q
350+
200+
125-
93.75+
m1.0
m1.25
125-
Αντιδράσεις: δεξ. N0 2.5 1.25 (2.5 200) 125 0 300B BGM V V´ ´S = - + + = =
Nm1 150 3.25 (2.5 200) 4.5 125 0 550BA A AM M V M´ ´ ´ ´S = - + + - + = =
N0 150 2.5 200 0 350y BA AF V V V´S = + - - = =
Μέγιστη ροπή: στη θέση N N m m200 /(200 ) 1.0x = / = από το G (μηδενισμός της Q)
maxM = (ροπή στο G)+ (εμβαδόν διαγράμ. Q από το G έως m1.0x = )
N m Nm120 200 1.0 100max maxM M´ = + = +
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 6
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 5
Εάν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της παρακάτω δοκού, να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών.
x
(kN
m)
M(x)
(m)
2 m 2 m4 m
70
40
(kN
)
Q(x)30
20
10
0
10
20
30
40
x(m)
Διάγραμμα Ροπών
Διάγραμμα Τεμνουσών
Διάγραμμα ΕλευθέρουΣώματος
2 4 6 8
20
7.5 7.5
35 35
20 kN
12.5 kN
42.5 kN
35 kN
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 7
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 6
Εάν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της παρακάτω δοκού, να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών.
(kN
m)
M(x)
x (m)
2 m
40
(kN
)
Q(x)
30
20
10
0
10
20
30
40
Διάγραμμα Ροπών
Διάγραμμα Τεμνουσών
Διάγραμμα ΕλευθέρουΣώματος
x (m)
8070
50
20 kN
15 kN
45 kN
40 kN
2 m 2 m 2 m
20 kNm
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 8
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 7
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό AB του σχήματος.
A
m2.0
B Nm800
N200
m2.0
Γ
m2.0 m2.0 m2.0
G
Άσκηση 8
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορι-σθεί η τιμή της μέγιστης καμπτικής ροπής maxM , καθώς και η θέση όπου εμφανίζεται.
ΒΑ
4 m
q = 100 N/m100 N
Άσκηση 9
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορι-σθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής maxM .
ΒΑ
2 m 2 m
Γ
q = 100 N/my
x
200 Nm100 N
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 9
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 10
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορι-σθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής maxM .
BΑ
200 N
200 Nm
Γ Δ
q = 100 N/m
y
x
250 N
Ε Ζ Η
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1.5 m
Άσκηση 11
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος.
ΒΑ
150 N
Γ
q = 60 N/m
y
xG
120 Nm
1 m 1 m 1 m 1 m 1.5 m
Άσκηση 12
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και καμπτικών ροπών του φορέα. Να υπολο-γισθεί η μέγιστη καμπτική ροπή και να προσδιορισθεί η θέση που εμφανίζεται αυτή.
200 kN
q = 50 kN/my
x
8 m 4 m
300 kN
12 m
ΑΒ
Γ Δ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 10
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 13
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και καμπτικών ροπών του φορέα. Να υπολο-γισθεί η μέγιστη καμπτική ροπή και να προσδιορισθεί η θέση που εμφανίζεται αυτή.
BΑ
100 N700 Nm
Γ Δ
q = 200 N/m
y
x
1 m 1 m 2 m 1.5 m 1.5 m
Άσκηση 14
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα. Να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης θετικής καμπτικής ροπής.
A
B
kN120
Γ
m6.0 m2.0 m2.0
G
m2.0
kN/m30
Άσκηση 15
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα.
A B
kN120
Γ
m2.0 m2.0 m4.0
G
m2.0
kN/m30
Δ
Απαντήσεις: kNm240AM = - , kNm180BM = - , m kNm7 45xM = = + ,
max kNm60M = + στη θέση m8x = .
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 11
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 16
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα και να προσδιορισθεί η μέγιστη θετική ροπή (τιμή και θέση).
AB
kN40
Γ
m2.0 m2.0 m4.0
G
m2.0
kN/m20
Δ
m2.0
kN160
Άσκηση 17
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα και να προσδιορισθούν οι μέγιστες ροπές (τιμή και θέση).
AB
kN80
Γ
m2.0 m2.0 m4.0
G
m4.0
kN/m20
Δ
m2.0
kN60
Ε
kN/m20
Απαντήσεις: kNm200AM = - , kNm280BM = - , kNm80EM = - ,
max kNm190M =- στη θέση m1x = δεξιά του Α και max kNm40M = + στη θέση m2x = δεξιά του G.
Άσκηση 18
Εάν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της δοκού AB , να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών.
m3
kNm60-
A B[ ]M m1
-
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 12
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Μέρος 2ο
Διαγράμματα M, Q, N σε πλαίσια
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 13
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 19
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
kN100
kN30AH =
kN30
kN m20 /
kN60BV =
kN200AV =
m4
m2 m2 m4
A
ΒΓ ΔΕ
A
ΒΓ ΔΕ
30+
200-
30+
200-
kN( )
[ ]N
Αντιδράσεις στηρίξεων:
kN
kN
kN
0 30 0 30
0 2 100 4 4 30 2 (8 20) 0 60
0 100 8 20 0 200
x A A
A
y BA A
F H H
M V V
F V V V
´ ´ ´ ´
´
S = - + = =
S = - - + + = =
S = + - - = =
B B
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 14
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
kN100
kN30AH =
kN30
kN m20 /
kN60BV =
kN200AV =
m4
m2 m2 m4
A
ΒΓ ΔΕ
A
ΒΓ
ΔΕ
60+
20-
40+
30+
kN( )
[ ]Q
30+
100-140-
m3x =
Ζ
Μέγιστη ροπή:
Θέση της μέγιστης ροπής (δηλ. σημείο μηδενισμού της τέμνουσας):
kN
m kN m
603.0
20x = =
/ (αριστερά του Ε)
Υπολογισμός της μέγιστης ροπής:
maxM = (ροπή δεξιά του κόμβου Ε)+(εμβαδόν διαγράμ. Q από το Ε έως το Ζ)
kNm kN m kNm1
120 60 3.0 30.02
max maxM M´ = - + =-
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 15
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
kN100
kN30AH =
kN30
kN m20 /
kN60BV =
kN200AV =
m4
m2 m2 m4
A
ΒΓ ΔΕ
A
ΒΓ ΔΕ
120-
120+
40-
240-
kNm( )
[ ]M
m3x =
2 8 10ql / =2 8 40ql / =
2 8 10ql / =
Ζ
kNm30M = -max
Τιμές της καμπτικής ροπής στο:
μέσον του ΓΕ: kN m m kNm
kNm kNm22 20 (2 )240
120 1102 8 8
q l ´/- + = - + =-ΓΕ
μέσον του ΕΒ: kNm kN m m
kNm kNm22( 120 40) 20 (4 )
80 402 8 8
q l ´- - /+ =- + =-ΕB
μέσον του ΒΔ: kN m m kNm
kNm kNm22 20 (2 )40
20 102 8 8
q l ´/- + =- + =-BΔ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 16
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 20
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
Αντιδράσεις:
δεξ. 0 3 2 2 80 160 0 3 2 320B B B BGM V H V H´S = - + + + = - = (1)
0 2 40 2 (4 20) 6 80 160 7 2 0
7 2 880
B BA
B B
M V H
V H
´ ´ ´ ´S = + + + - - =
+ = (2)
kN80
kN20AH =
kN40
kN m20 /
kN120BV =
kN40AV =
m2
m2 m1m4
A
Β
Γ Δ
kN( )
[ ]N
m2
G
kNm160
m2
kN20BH =
20- 20-
120-
120-40-
40-A
Β
Γ ΔG
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 17
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει:
kN120BV = και kN20BH =
Επιπλέον είναι:
kN0 4 20 80 0 40y BA AF V V V´S = + - - = =
kN0 40 0 20x BA AF H H HS = - - + = =
200-
0
80-
40+
40-
A
Β
Γ ΔG
m2x =
kNm( )
[ ]M
2 8 40ql / =
40+
20-
20-
120-
40-
A
Β
ΓΔG
kN( )
[ ]Q
m2x =
E
20+
20+
40+
40-
20+
20+
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 18
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 21
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
Αντιδράσεις:
δεξ. kN0 4 1.5 80 0 30BGM V V´S = - + = =B
kNm
0 2 (4 20) 6 40 1.5 80 12 0
160
BA A
A
M M V
M
´ ´ ´ ´S = - + + + - =
=
kN0 80 0 80x A AF H HS = - = =
kN0 4 20 40 0 90y BA AF V V V´S = - - + = =
Ανάλυση δυνάμεων στο λοξό μέλος
2 2sin 3 5 0.6
3 4 5cos 4 5 0.8
GBlf
f
ì = / =ïï= + = íï = / =ïî
kN80
kN30BV =
Β
G
Ε
m2 m2
m3
f
kN48 80 sinf=
Β
G
Ε
f
kN64 80 cosf=
kNcos 24BV f = kN18
sinBV f=
f
f
kN80
AH
kN40 kN m20 /
BV
AV
A
Β
Γ Δ
G
m2m2 m4 m2m2
m3
AM
Ε
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 19
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
kN80
kN80
kN40 kN m20 /
kN30
kN90
A
Β
Γ Δ
G
m2m2 m4 m2m2
m3
kNm160
Ε
kN( )
[ ]Q
90+
A
Β
Γ Δ
G
Ε30-
24-
24+
24+30-
10+
24-
10+
kNm( )
[ ]M
160-
A
Β
Γ Δ G
Ε
0
60+
60+
2 8 40ql / =
40+
kN( )
[ ]N
80-
A
Β
Γ Δ G
Ε
82-
18-
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 20
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 22
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] των φορέων.
Άσκηση 23
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
KN/m20
BD
G
m4.0
m3.0m3.0
A
m3 m3
m3
A
ΒkN100
kN100
kN100
kN100
m3 m3
A
Β
m3
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 21
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 24
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [M] του παρακάτω πλαισίου. Επιπλέον, να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης ροπής στο ζύγωμα ΓΒ.
Άσκηση 25
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
m3.0
A
m8.0
B
kN/m20
m3.0
kN80
kN60
m6
m3
A
ΒΓ
kN/m20
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 22
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 26
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του τριαρθρωτού τόξου AGB .
Άσκηση 27
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
kN20
m4
G
kN20
m4 m4 m2 m2
A Β
A
m2
B
m6.0
kN60
G
m2 m2 m2
kN60
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 23
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 28
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα.
Άσκηση 29
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
kN m40 /
m4
Α
m5
ΓΔ
Β
m3
kN20
m4
G
kN20
m4 m4 m2 m2
A Β
kN m20 /
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 24
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 30
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα.
Άσκηση 31
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του τριαρθρωτού πλαισίου.
kN90
kN m30 /
m6
m4
A
Β
Γ Δ
m4
m6 m2
G Ε
kN120
kN180
kN m20 /
m3
m4
A
Β
Γ Δ
m4
m6 m2
m3
G Ε
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 25
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 30 (απαντήσεις) : kN90xA =- , kN60yA = , kN90xB = - , kN180yB = , m kNm3 270yM = = + ,
kNm0M =Γ , kNm400M =-ΔΓ , kNm40M =-ΔΕ , kNm360M =-ΔΒ , max kNm90M = + στη θέση m3x = δεξιά του Γ.
Άσκησης 30 (παραλλαγή) : Η ίδια άσκηση με οριζόντιο φορτίο kN60 αντί kN180 στο υποστήλωμα οδηγεί στα παρακάτω αποτελέσματα:
kN0xA = , kN90yA = , kN60xB = - , kN150yB = , m kNm3 0yM = = , kNm180M =-Γ , kNm280M =-ΔΓ , kNm40M =-ΔΕ , kNm240M =-ΔΒ ,
max kNm22.5M = + στη θέση m4.5x = δεξιά του Γ.
Άσκηση 31 (απαντήσεις) : kN0xA = , kN90yA = , kN90xB = - , kN330yB = , m kNm3 0yM = = , kNm0M =Γ , kNm600M =-ΔΓ , kNm240M =-ΔΕ , kNm360M =-ΔΒ ,
max kNm90M = + στη θέση m3x = δεξιά του Γ.
Άσκηση 32
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.
kN90
kN m30 /
m6
m4
A
Β
Γ ΔG
m4
m6
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 26
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 33
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του πλαισίου.
Άσκηση 34
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του πλαισίου.
kN60kN m20 /
m2
Α
Γ Δ
Β
kN100
m4
m2m6 m1.5 m2
kN m10 /
ΕG
kN80
kN m20 /
m2
m3
Α
m2
m8
m4
ΓΔ
Β
kN100
m2
kNm100
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 27
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Μέρος 3ο
Ανάλυση Επίπεδων Δικτυωμάτων
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 28
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 35
Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα:
(α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι
δυνάμεις στα μέλη ΗΘ, ΓΘ και ΓΔ.
(β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων που
συντρέχουν στους κόμβους Β, Κ, Ε και Ι (δηλ. ΒΕ, ΒΚ, ΚΙ, ΚΕ, ΙΘ, ΙΔ, ΙΕ και ΔΕ).
Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
Λύση:
Αντιδράσεις στηρίξεων: kN30.00xA = - , kN40.00yA = , kN60.00yB =
B
m 3
G E
Z H kN15
kN20
D
m 4
kN15
kN20 kN20 kN20 kN20
m 3 m 3 m 3
Q I K
A
α
α
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 29
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
(α) Μέθοδος των τομών: Τομή α-α (δεξί τμήμα)
Δύναμη στο μέλος ΗΘ:
kN
0 4 3 20 6 20 9 20 4 15 9 0
4 60 120 180 60 9 60 0 30
yM N
N N
G HQ
HQ HQ
BS = ⋅ - ⋅ - ⋅ - ⋅ - ⋅ + ⋅ =
⋅ - - - - + ⋅ = = -
Δύναμη στο μέλος ΓΔ:
kN
0 4 3 20 6 20 6 0
4 60 120 6 60 0 45
yM N
N N
Q GD
GD GD
BS = - ⋅ - ⋅ - ⋅ + ⋅ =
- ⋅ - - + ⋅ = =
Δύναμη στο μέλος ΓΘ:
kN
40 20 20 20 0
5
460 60 0 0
5
y yF N
N N
GQ
GQ GQ
BS = - ⋅ - - - + =
- ⋅ - + = =
(β) Μέθοδος των κόμβων:
Κόμβος Β: προσδιορισμός μελών NBE και NBK
kN0 0 0xF N NBE BES = - = =
kN0 0 60 0 60y yF N N NBK BK BKBS = + = + = = -
Κόμβος Κ: προσδιορισμός μελών NKE και NKI
( )
kN
4 40 20 0 60 20 0
5 5
50
yF N N N
N
BK KE KE
KE
S = - - - = - - - - =
=
kN
3 30 15 0 50 15 0
5 5
15
xF N N N
N
KI KE KI
KI
S = - - + = - - + =
= -
Κόμβος Ε: προσδιορισμός μελών N IE και NDE
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 30
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
kN4 4
0 0 50 0 405 5
yF N N N NIE KE IE IES = + = + = =-
kN
3 30 0 50 0 0
5 5
30
xF N N N N
N
DE KE BE DE
DE
S = - + + = - + + =
=
Κόμβος Ι: προσδιορισμός μελών N IQ και N ID
( )
kN
4 40 20 0 40 20 0
5 5
25
yF N N N
N
IE ID ID
ID
S = - - - = - - - - =
=
( )
kN
3 30 0 25 15 0
5 5
30
xF N N N N
N
IQ ID KI IQ
IQ
S = - - + = - - + - =
= -
Άσκηση 36
Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα:
(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη.
(β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι
δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ και ΖΕ.
(γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων που
συντρέχουν στους κόμβους Β και Ζ (δηλ. ΒΖ, ΒΗ, ΖΗ, ΖΓ και ΖΕ).
Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 31
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Λύση:
B
m 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 2
A
G
E Z H kN40
kN50 kN50
kN30
D
m 4
m 4
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 32
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Αντιδράσεις στηρίξεων: kN70.00xA = - , kN25.00yA = , kN75.00yB =
Δυνάμεις ράβδων:
ΡΑΒΔΟΣ Αξονική δύναμη
α/α άκρα τιμή φορά 1 ΑΔ -304.056 θλίψη 2 ΓΔ -304.056 θλίψη 3 ΒΗ -318.198 θλίψη 4 ΓΗ -318.198 θλίψη 5 ΔΕ -40.000 θλίψη 6 ΕΖ 125.000 εφελκυσμός 7 ΖΗ 0.000 8 ΓΕ 268.328 εφελκυσμός 9 ΓΖ 223.607 εφελκυσμός 10 ΑΕ 342.527 εφελκυσμός 11 ΒΖ 270.416 εφελκυσμός
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 33
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 37
(α) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις στα μέλη ΑΔ και ΓΕ.
(β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις.
Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
Α Β
Γ
2.0 m
2.0
m
Δ
Η
30 kN
Ζ
Ε
2.0 m
1.5
m
Άσκηση 38
(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
(β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΔΗ και ΖΗ.
(γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΒΙ, ΒΖ, ΔΖ και ΖΗ με τη μέθοδο των κόμβων.
Για όλες τις δυνάμεις να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτικές ή εφελκυστικές.
30 kN
4 m
4 m
20 kN
4 m 4 m 4 m
2 m2 m
2 m
Β
Κ
ΙΘ
Δ
Η
ΖΕΑ
Γ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 34
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 39
Τα φορτία των 60 kN, 90 kN και 30 kN ασκούνται στις διευθύνσεις των μελών #23, #16 και #17, αντίστοιχα. Να υπολογισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του δικτυώματος ακο-λουθώντας τα παρακάτω βήματα:
(α) με τη μέθοδο των τομών να βρεθούν οι δυνάμεις στα μέλη 6N και 10N , και
(β) με τη μέθοδο των κόμβων να βρεθούν οι δυνάμεις στα υπόλοιπα μέλη.
Για όλες τις απαντήσεις να διευκρινισθεί εάν το μέλος υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
Α ΒΓ
Δ60 kN
30 kN
90 kN
1
2
3
4
5
6
7 8 9 10 11 12
1314
15 1617
1819
2021
22
23 24
254 m
3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m
Άσκηση 40
(α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ και ΖΕ.
(β) Να υπολογισθούν όλες οι δυνάμεις που συντρέχουν στους κόμβους Β και Ζ (δηλ. ΒΖ, ΒΗ, ΖΗ, ΖΓ και ΖΕ).
Για όλες τις απαντήσεις να διευκρινισθεί εάν το μέλος υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
75 kNA
4 m
4 m
75 kN
4 m
4 m
45 kN
60 kN
2 m 2 m 2 m 2 m
Ζ
Η
Ε
Δ
Γ
Β
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 35
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 41
Να υπολογισθούν οι δυνάμεις ΘΗ, ΘΓ, ΓΔ και ΓΖ με τη μέθοδο των τομών Ritter, και να προσδιορισθεί εάν τα μέλη βρίσκονται σε θλίψη ή εφελκυσμό. Επιπλέον, να εντοπισθούν δύο μέλη με μηδενική ένταση.
24 kN
24 kN
Α
2 m
2 m
24 kN
2 m 2 m 2 m
Β Γ ΔΕ
Ζ
ΗΘ
Ι
Άσκηση 42
(α) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ και ΓΖ με τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας ροπών. (Υπόδειξη: να βρεθεί πρώτα η ΓΔ προκειμένου να υπο-λογισθεί η ΓΖ).
(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη που καταλήγουν στο κόμβο Ζ (δηλ. ΖΔ, ΖΗ, ΖΒ, ΖΑ και ΖΕ) χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις δύο μεθόδους.
(γ) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΔΗ, ΒΗ και ΑΕ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κόμβων.
Για όλες τις δυνάμεις να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτικές ή εφελκυστικές.
200 N
Α
100 N
100 N 100 N75 N
3 m 3 m 3 m 3 m
3 m 3 m
Β
ΓΔ
ΕΖ
Η
4 m
4 m
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 36
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 43
Να υπολογισθούν οι δυνάμεις όλων των μελών του δικτυώματος. Να βρεθεί εάν τα μέλη υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
2 m
20 kN
2 m 2 m
45° 45°60°60°A Β
Γ
Δ Ε
Ζ ΗΘ
Άσκηση 44
Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΑΔ, ΑΗ, ΘΗ και ΒΗ με τη μέθοδο των τομών.
15 kN
45 kN
60 kN
30 kN 2 m 2 m 2 m
2 m
4
m
A
Β
ΓΔ Ε
Ζ
ΗΘ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 37
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 45
(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
(β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών να προσδιορισθεί η δύναμη στο μέλος ΔΕ. (Υπόδειξη: δεν υπάρχει λόγος να βρεθούν οι αντιδράσεις).
(γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΑΕ και ΓΕ με τη μέθοδο των κόμβων.
Να προσδιορισθεί για κάθε μέλος εάν υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
25 kN
5 m
30°
20 kN
5 m
30°30°
Α
ΒΓ
Δ
E
Ζ
Η
Άσκηση 46
Να προσδιορισθούν:
(α) με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις των μελών 14N και 21N ,
(β) με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη 9N , 19N , 12N και 13N , και
(γ) τα μέλη με μηδενική αξονική δύναμη.
Να διευκρινισθεί για κάθε μέλος εάν υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
Δ
20 kN
30 kN
1 2 3 4 5 6
89 10
1112
1314
15
1618
20 21 22 23 24
30 kN
19
25
3 m 3 m3 m3 m3 m3 m
717
ΓΒΑ
Ε
4 m
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 38
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 47
(α) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΑΕ και ΑΔ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας ροπών.
(β) Να προσδιορισθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη.
(γ) Να υπολογισθούν όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις με τη μέθοδο των κόμβων.
Για κάθε δύναμη να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική.
2 m
40 kN
1.5 m
2 m
2 m
2 m
1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m
20 kN 20 kN
A Β
Γ
Δ ΕΖ Η
Θ ΙΚ Λ
Μ ΝΞ Ο
Άσκηση 48
Να υπολογισθούν οι δυνάμεις όλων των μελών του δικτυώμα-τος. Να δηλωθεί εάν τα μέλη υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυ-σμό.
200 N
100 N
100 N 100 N75 N
3 m
4 m
3 m 3 m 3 m
3 m 3 m
4 m
Α Β
Γ Δ
ΕΖ
Η
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 39
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 49
Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΗΔ, ΗΕ, ΗΘ και ΘΚ χρησιμο-ποιώντας μόνο τη μέθοδο των τομών Ritter. Συγκεκριμένα, να γίνουν δύο διαφορετικές τομές για τον υπολογι-σμό των δυνάμεων ΗΔ και ΗΕ, και μία τομή για τα μέλη ΗΘ και ΘΚ. Σε όλες τις περιπτώσεις να αξιοποιηθεί η εξίσωση ισορροπίας των ροπών και να βρεθούν οι παραπάνω δυνάμεις με την ίδια σειρά που εμφανίζονται στην εκφώνηση της άσκησης. Να δηλωθεί ποιές από αυτές είναι εφελκυστικές και ποιές θλιπτικές.
Άσκηση 50
(α) Να προσδιορισθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη.
(β) Να υπολογισθούν οι δυνά-μεις στα μέλη ΘΙ και ΓΘ με τη μέθοδο των τομών.
(γ) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα άλλα μέλη του δικτυώματος χρησιμοποιώντας οποια-δήποτε από τις δύο μεθό-δους, κόμβων ή τομών.
Για κάθε δύναμη να διευκρι-νισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική.
10 kN
2 m
1.5 m 1.5 m
2 m
2 m
10 kN
10 kN
20 kN 20 kN
A
ΒΓ
Δ
ΕΖ
Η
ΘΙ
Κ Λ
200 N
100 N 100 N120 N
200 N
4 m
4
m
4 m
3 m 3 m 3 m 3 m
2 m 4 m
Α Β
Γ
Δ
Ε Ζ Η
ΘΙ
Κ
Λ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 40
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 51
Το δικτύωμα του παρακάτω σχήματος ονομάζεται Wichert-truss (πήρε το όνομά του από τον Wichert E. M., 1932).
(α) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις και οι δυνάμεις στα μέλη ΒΘ και ΒΙ.
(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΔΕ, ΗΘ και ΘΕ με τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας των ροπών.
(γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη που καταλήγουν στο κόμβο Ζ (δηλ., ΖΕ, ΖΙ, ΖΚ και ΖΓ) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κόμβων.
Για κάθε δύναμη να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική.
90 kN45 kN
12 m
12
m
12 m 6 m
6 m
12 m 12 m 6 m
Α
Β
Γ
Δ Ε Ζ
Η Θ Ι Κ
Άσκηση 52
Το δικτύωμα του σχήματος στηρίζεται με άρθρωση στον κόμβο #1 και με λοξή κύλιση στον κόμβο #6. Εάν η δύναμη kN100P = , να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη 2-4, 3-4 και 3-5 με τη μέθοδο των τομών, οι δυνάμεις στα μέλη του κόμβου #7 με τη μέθοδο των κόμβων και η αντίδραση στη κύλιση.
60
m3
3P
m3m4
m3
5
6
73
2 4
1
2P
5P
PP
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 41
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 53
Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα:
(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΘ, ΔΖ και ΗΔ του δικτυώματος χρησι-
μοποιώντας τη μέθοδο των τομών.
(γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη ΑΕ, ΑΗ, ΒΘ και
ΒΖ του δικτυώματος.
Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
(Παραλλαγή: Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του δικτυώματος.)
Άσκηση 54
Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ, ΔΖ και ΕΖ του δικτυώματος χρησιμο-ποιώντας τη μέθοδο των τομών. Επιπλέον να σημειωθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. ( Απαντήσεις: kN80xA = , kN60yA = , kN60yB = ).
kN80
kN120 Β
m3
m 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 4
m3
Α
Γ Δ
Ε
Ζ
Η
Γ
BA
Ε Ζ
Η Θ
kN90
kN40
Δ
m1.5
m1.5
m2.0 m2.0 m2.0 m2.0
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 42
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 55
Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα:
(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΕ, ΔΖ, ΗΘ, ΚΜ και ΛΙ του δικτυώματος
χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών.
(γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη ΑΓ, ΑΕ, ΓΕ, ΓΔ
και ΔΕ του δικτυώματος.
Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.
(Απαντήσεις: kN100xA = , kN90yA = , kN60yB = .)
Άσκηση 56
Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΔΖ, ΕΖ, ΕΗ, ΘΚ και ΛΜ του δικτυώματος χρη-σιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών. Να σημειωθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. Τέλος, να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του τμήμα-τος ΘΚΜΒΛΙΘ του δικτυώματος.
(Απαντήσεις: kN180xA = , kN90yA = , kN80xB =- , kN60yB = .)
kN100
kN150Α Β
m3
m 4 m 4 m 4 m 4 m 4
m3Ε
ΖΔΓ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
kN100
kN150Α Β
m3
m 4 m 4 m 4 m 4 m 4
m3Ε
ΖΔΓ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 43
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Μέρος 4ο
Υπερστατικοί Φορείς
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 44
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 57
Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β και Γ.
(β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα καμπτικών ροπών του φορέα και να προσδιορισθεί η
μέγιστη τιμή και η θέση της καμπτικής ροπής.
1f 2f
L
A B
( )1 22
2AEI
ML
f f= + , ( )1 22
2BEI
ML
f f= +
( )1 22
6A
EIQ
Lf f= + , ( )1 22
6B
EIQ
Lf f= +
P
A B
2L/2L/
8APL
M = , 8
BPL
M = -
2AP
Q = , 2
BP
Q = -
q
L
A B
2
12AqL
M = , 2
12B
qLM =- ,
2AqL
Q = , 2
BqL
Q = -
Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Β.
kN m15 /
m2
AΒ
Γ
m12
3EI
kN120EI
m2
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 45
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Δοκός ΑΒ:
( ) 22 3 15 120.5 180
12 12AB AB
EIM M EIf f⋅= + = +
( ) 24 3 15 12180
12 12BA BA
EIM M EIf f⋅= - = -
( )2
6 3 15 12 190
12 2 8AB AB
EIQ Q EIf f⋅= + = +
( )2
6 3 15 12 190
12 2 8BA BA
EIQ Q EIf f⋅= - = -
Δοκός ΒΓ:
4 120 460
4 8B B
EIM M EIG Gf f⋅= + = +
2 120 40.5 60
4 8B B
EIM M EIG Gf f⋅= - = -
2
6 120 360
4 2 8B B
EIQ Q EIG Gf f= + = +
2
6 120 360
4 2 8B B
EIQ Q EIG Gf f= - = -
Ισορροπία κόμβου Β:
( ) ( )0 0 180 60 0
60
B BA BM M M EI EI
EI
G f f
f
S = + = - + + =
=
Κόμβος Α:
kN1
90 97.58
y AB y yA Q A EI Af= = + =
kNm0.5 180 210A AB A AM M M EI Mf= = + = (αριστερόστροφα)
Κόμβος Γ:
( ) kN3
60 37.58
x B x xQ EIGG G f G= - = - - =
kNm2 120 4
304 8
BEI
M M M MG G G Gf ⋅= = - = - (αριστερόστροφα)
Ισορροπία πλαισίου:
kN0 120 0 37.5 120 82.5x x x x xF A A AGS = + - = + = =
kN0 15 12 0 97.5 180 82.5y y y y yF A G G GS = + - ⋅ = + = =
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 46
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 58
Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α (ροπή πακτώσεως) και Γ (αρι-
στερά, δεξιά και κάτω).
(β) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών του φορέα.
(γ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης.
Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Γ. Δοκός ΑΓ:
22 20 4 80
4 12 2 3A A
EI EIM MG G
ff ⋅= + = +
24 20 4 80
4 12 3A A
EIM M EIG Gf f⋅= - = -
2
6 20 4 340
2 84A A
EI EIQ QG G
ff ⋅= + = +
2
6 20 4 340
2 84A A
EI EIQ QG G
ff ⋅= - = -
m2
G
kN m20 /
m4
m2
B
kN40
D
kN80
m2
A
E
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 47
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΚΑΙ
ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΕΛΩΝ
AM
BQ
BM
AQAN BN
A B
1f 2f
L
A B
( )1 22
2AEI
ML
f f= + , ( )1 22
2BEI
ML
f f= +
( )1 22
6A
EIQ
Lf f= + , ( )1 22
6B
EIQ
Lf f= +
1f
L
A B
13
AEI
ML
f=
12
3A
EIQ
Lf= , 12
3B
EIQ
Lf=
q
L
A B
2
12AqL
M = , 2
12B
qLM =-
2AqL
Q = , 2
BqL
Q = -
P
2L/2L/
A B
3
16A
PLM =
11
16A
PQ = , 5
16B
PQ = -
Δοκός ΓΒ:
3 3 40 4 330
4 16 4B B
EI EIM MG G
ff ⋅ ⋅= + = +
2
3 11 40 3 55
16 16 24B B
EI EIQ QG G
ff ⋅= + = +
2
3 5 40 3 25
16 16 24B B
EI EIQ QG G
ff ⋅= - = -
Πρόβολος ΓΔ: (ισοστατικό τμήμα)
80 2 160M MGD GD= ⋅ =
80QGD =
Ισορροπία ροπών κόμβου Γ:
0 0
80 3 28030 160 0
3 4 3
A BM M M M
EIEI EI
G G G GD
ff f
S = + + =
æ ö æ ö÷ ÷ç ç - + + + = =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 48
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Κόμβος Α:
kN3 3 280
40 40 58 8 3
y A y yEI
A Q A AGf æ ö÷ç= = + = - + =÷ç ÷çè ø
kNm80 1 280 80
202 3 2 3 3
A A A AEI
M M M MGf æ ö÷ç= = + = - + = -÷ç ÷çè ø
(αριστερόστροφα) Κόμβος Β:
kN3 25 3 280 25
3016 2 16 3 2
x B x xEI
Q GfB B B
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - - = - - + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Κόμβος Γ:
kNm80 280 80 360
1203 3 3 3
A AM EI MG Gfæ ö÷ç= - = - - = - = -÷ç ÷çè ø
kN3 3 280
40 40 35 40 758 8 3
A AEI
Q QG Gf æ ö÷ç= - = - - = - - = -÷ç ÷çè ø
kNm3 3 280
30 30 70 30 404 4 3
EIM MGB GB
f æ ö÷ç= + = - + = - + = -÷ç ÷çè ø
kN3 55 3 280 55 35 55
1016 2 16 3 2 2 2
EIQ QGB GB
f æ ö÷ç= + = - + = - + =÷ç ÷çè ø
kNm160MGD =
kN80QGD =
Ισορροπία πλαισίου:
kN0 40 0 30 40 0 10x x x x xF A A ABS = + - = + - = =
kN0 4 20 80 0 155y y y yF A B BS = + - ⋅ - = =
( )0 4 20 2 40 2 4 4 80 6 0
20 160 80 620 120 480 0 740 740 0
A y xM MA B BS = - ⋅ ⋅ - ⋅ + ⋅ + ⋅ - ⋅ =
- - - + + - = - + =
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 49
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 50
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 59
Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων ή τη μέθοδο Cross.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β και Γ.
(β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, Β και Γ του φορέα.
(γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.
(δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης.
ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ
ΜΕΛΩΝ
AM
BQ
BM
AQAN BN
A B
1f 2f
L
A B
( )1 22
2AEI
ML
f f= + , ( )1 22
2BEI
ML
f f= +
( )1 22
6A
EIQ
Lf f= + , ( )1 22
6B
EIQ
Lf f= +
P
A B
2L/2L/
8APL
M = , 8
BPL
M = -
2AP
Q = , 2
BP
Q = -
q
L
A B
2
12AqL
M = , 2
12B
qLM = -
2AqL
Q = , 2
BqL
Q = -
kN/m20
B
kN80
GA
EI EI
kNm180
m 6 m 6 m 6
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 51
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Β. Δοκός ΑΒ:
22 20 12 80 12360
12 12 8 6AB AB
EI EIM M
ff ⋅ ⋅= + + = +
24 20 12 80 12360
12 12 8 3BA BA
EI EIM M
ff ⋅ ⋅= - - = -
2
6 20 12 80160
2 2 2412AB AB
EI EIQ Q
ff ⋅= + + = +
2
6 20 12 80160
2 2 2412BA BA
EI EIQ Q
ff ⋅= - - = -
Δοκός ΒΓ:
24 20 6 260
6 12 3B B
EI EIM MG G
ff ⋅= + = +
22 20 660
6 12 3B B
EI EIM MG G
ff ⋅= - = -
2
6 20 660
2 66B B
EI EIQ QG G
ff ⋅= + = +
2
6 20 660
2 66B B
EI EIQ QG G
ff ⋅= - = -
Ισορροπία κόμβου Β:
20 180 0 360 60 180 0
3 3
480
B BA BEI EI
M M M
EI
Gf f
f
æ ö æ ö÷ ÷ç çS = + - = - + + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
=
kN
0 0 160 60 024 6
280
y BA y B y
y
EI EIF Q Q G
f fB B
B
æ ö æ ö÷ ÷ç çS = + - = - + - + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
=
Κόμβος Α:
kN160 18024
y AB y yEI
A Q A Af= = + =
kNm360 4406
A AB A AEI
M M M Mf= = + = (αριστερόστροφα)
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 52
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Κόμβος Γ:
kN60 206
y B y yEI
QGfG G G
æ ö÷ç= - = - - = -÷ç ÷çè ø
kNm60 1003
BEI
M M M MG G G Gf= = - = (αριστερόστροφα)
Ισορροπία πλαισίου: (έλεγχος ή εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού yB )
kN
0 20 18 80 180 20 360 80 0
280
y y y y y
y
F A B G B
B
S = + + - ⋅ - = + - - - =
=
Διαγράμματα Τεμνουσών και Ροπών
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 53
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 60
Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του υπερστατικού φορέα.
Άσκηση 61
Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος με τη μέθοδο των παραμορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β και Γ.
(β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, Β και Γ του φορέα.
(γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.
(δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης.
Α
m12 m6
kN/m40
Β
ΓEI EI
kN m25 /
m3A
Β
Γ
m18
EI
kN100EI
m3
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 54
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 62
Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος με τη μέθοδο των παραμορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και Β.
(β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, Β και Γ του φορέα.
(γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.
(δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης.
Άσκηση 63
Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Β και Γ. (β) Να προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.
Α
m3 m12 m3
kN/m20
Β Γ Δ
m3
EI 2EI EI
m3
kN80 kN80
Α
m12 m6
kN/m40
Β
ΓEI EI
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 55
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 64
Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β, Γ και Δ.
(β) Να προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης.
(γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.
Άσκηση 65
Να επιλυθεί το υπερστατικό πλαίσιο του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στους κόμβους 1, 2 και 3.
(β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.
kN60kN m20 /
m2
1
2 3
4
kN100
m4
20 50´20 30´1
2
320 40´
m2m6 m1.5 m2
420 50´
kN m10 /
5
EI
kN m36 /
m10
A Β
Γ Δ
m40 m10
Ε2EI EI
2EI 2EI
m10
Ζ
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 56
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 66
Να επιλυθεί η συνεχής δοκός του σχήματος και να σχεδιασθεί το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] του υπερστατικού φορέα (δίδεται η απάντηση).
Α
m5 m8 m3
kN/m30
Β Γ Δ
kNm2171500EI =
m3
kN80
2EI 3EI EI
[ ]M
kNm119.89- kNm105.72-
kNm52.86+
2
2408
ql =
kNm127.20+
m4
Α
Β Γ
Δ
kNm60.06+
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 57
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 67
Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β και Γ.
(β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, Β και Γ του φορέα.
(γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.
(δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης.
Άσκηση 68
Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.
(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και Β.
(β) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων και ροπών του φορέα και να
προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης.
2EIEI
ΓΒ
kN/m20
m 2
Α
m 6 m 2
kN180
Α
m12 m3
kN/m20
Β
ΓEI EI
kN80
m3
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 58
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Μέρος 5ο
Γραμμές Επιρροής
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 59
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 69
Γραμμές επιρροής των αντιδράσεων και χαρακτηριστικών εσωτερικών εντατικών μεγεθών αμφιπροέχουσας δοκού και προβόλου.
m1.0
A
m4.0
B
γ.ε. [ ]Α
kN1P =
Γ
m2.0 m2.0
Δi
γ.ε. [ ]iQ
1
3 2/
0
1 2- /
3 4- /
1 4/1 2/
0
0
1 2- /
0
γ.ε. [ ]BM
2-
0
γ.ε. [ ]Β
1
3 2/
0
1 2- /
3 4/
0 0
3 2- /
1 2- /
γ.ε. [ ]iM
0
A
γ.ε. [ ]iQ
kN1P =
γ.ε. [ ]iM
1-
Β
0
1
i
m1.0
1
m4.0
0
0
0
γ.ε. [ ]Α
1
γ.ε. [ ]AM
4
0
1
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 60
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 70
Για τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των αντιδράσεων στις στηρίξεις Α, Β και Γ, καθώς και των ροπών AM και BM .
A
m4.0
γ.ε. [ ]Α
kN1P =
Β
m2.0 m2.5m2.0
ΓH
γ.ε. [ ]Β
0 00
00
1
1.8
0.8-
γ.ε. [ ]BM
2-
0 00
G
1
0
γ.ε. [ ]Γ
00
1
0
γ.ε. [ ]AM0
4
0 0 0
0
1
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 61
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 71
Για τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των διατμητικών δυνά-μεων και καμπτικών ροπών στις τομές i, j και k.
A
γ.ε. [ ]iQ
kN1P =
Β
m2.5
ΓH
γ.ε. [ ]iM
0
00
0
1-
G
0
γ.ε. [ ]jQ
000
γ.ε. [ ]jM
0 0
1
i j
m1.0 m1.0
1
m4.0 m2.0m2.0
0 00
1-1-
0
0
0
1-
00
0
m1.0
k
0
γ.ε. [ ]kQ
0
0
0
γ.ε. [ ]kM
0
0
0.4-
0
0.6
1.2-
0 0
0.8
0.6
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 62
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 72
Για τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των διατμητικών δυνά-μεων και καμπτικών ροπών στη τομή m και των διατμητικών δυνάμεων στις αρθρώσεις G και H.
A
γ.ε. [ ]mQ
kN1P =
Β
m2.5
ΓH
γ.ε. [ ]mM
0
00
0
G
0
γ.ε. [ ]GQ
00
γ.ε. [ ]HQ
0 0
m
m1.0
0.5
m4.0 m2.0m2.0
0
0
0
0
0 0
0
0.5-
0.5
0
1
0
0
1-
0
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 63
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
Άσκηση 73
Για τη συνεχή δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής:
(α) της αντίδρασης στη στήριξη Α,
(β) της αντίδρασης στη στήριξη Γ,
(γ) της τέμνουσας iQ στη τομή i,
(δ) της τέμνουσας GQ + αμέσως δεξιά της άρθρωσης G,
(ε) της καμπτικής ροπής BM στη στήριξη B, και
(στ) της καμπτικής ροπής kM στη τομή k.
m1.0
A
m4.0
B
kN1P =
m3.0
Γ
m2.0 m2.0 m2.0
G
m2.0
ΔHi k
m1.0 m1.0
Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 64
Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος
m1.0
A
m4.0
B
γ.ε. [ ]Α
kN1P =
m3.0
Γ
m2.0 m2.0 m2.0
G
m2.0
ΔHi k
γ.ε. [ ]Γ
γ.ε. [ ]iQ
1
3 2/
0
1 3/
1 6- /
0
0
1 2- /
0
0
0
0
1
5 3/
5 6- /
m1.0 m1.0
3 4- /
1 4/ 1 3/1 2/
0
0
1 2- /
0
1 6- /
γ.ε. [ ]GQ +0
2 3- /
0
0
01 3/
0
1
γ.ε. [ ]BM
2-
0
00
4 3/
2 3- /
γ.ε. [ ]kM
1-
1 2/
0 0 0