ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf ·...

70
ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

Transcript of ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf ·...

Page 1: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ

ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

Page 2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Φυσική ερμηνεία στατικής συμπύκνωσης

3. Ποιοτική διερεύνηση των δεικτών στιβαρότητας

υπερστοιχείου

4. Μητρώο στιβαρότητας και δράσεις παγίωσης στοιχείου με

ελαστικό κόμβο

2

5. Εφαρμογή – Ανάλυση επίπεδου ολόσωμου φορέα με

διαφορετικές θεωρήσεις

Page 3: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

3

Page 4: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διαδικασία απαλοιφής ορισμένων συνιστωσών μετακινήσεων

των κόμβων φορέα έχει επικρατήσει να ονομάζεται "στατική

συμπύκνωση". Στη στατική ανάλυση των κατασκευών, η στατική

συμπύκνωση παρέχει σημαντικά υπολογιστικά πλεονεκτήματα, τόσο

ως προς τον χρόνο εκτέλεσης της επίλυσης των εξισώσεων

ισορροπίας, όσο και ως προς την απαιτούμενη μνήμη του

υπολογιστή για την αποθήκευση των παραγόμενων μητρώων. Κατά

την επίλυση της συμπυκνωμένης εξίσωσης υπολογίζονται μόνο οι

παραμένουσες (condensed) μετακινήσεις, οι οποίες εκφράζουν

τους ενεργούς βαθμούς ελευθερίας του συμπυκνωμένου φορέα. Το

γεγονός ότι οι παραμένουσες μετακινήσεις του αρχικού και του

συμπυκνωμένου φορέα ταυτίζονται σημαίνει ότι οι δύο φορείς

είναι ισοδύναμοι ως προς τη στατική τους συμπεριφορά, χωρίς

να επέρχεται καμιά τροποποίηση στον συμπυκνωμένο φορέα.

4

Page 5: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ

5

Page 6: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ

6

τα στοιχεία 1 και 2 του αρχικού

φορέα θεωρούνται ως ένα

υπερστοιχείο του συμπυκνωμένου

φορέα. Ως υπερστοιχείο θεωρείται

ένα σύνθετο στοιχείο αποτελούμενο

από περισσότερα του ενός απλά

στοιχεία με ακραίους μόνο ενεργούς

βαθμούς ελευθερίας.

4ciK

4 1c

(1) (3) (4)1,2,3 1,2,3 1,2,3

T

c

1

2 3

4 1

2

3

Αρχικός φορέας – β.ε. Συμπυκνωμένος φορέας – β.ε.

υπερστοιχείο

Δείκτες

στιβαρότητας

συμπυκνω-

μένου φορέα

Page 7: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ

7

1

2 3

4

=

1

2 3

4

+

1

2 3

4

Το σχήμα παριστάνει τη διαδικασία της αντικατάστασης των ενδιάμεσων φορτίων,

μέσω του παγιωμένου φορέα, στα επικόμβια φορτία του ισοδύναμου φορέα. Ο

φορέας του σχήματος αποτελείται από τα στοιχεία (1,2), (2,3) και (3,4) και

φορτίζεται με τα σημειούμενα εσωτερικά φορτία και τις επικόμβιες δράσεις.

Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή

της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα

Αρχικός Φορέας Παγιωμένος Φορέας Ισοδύναμος Φορέας

Page 8: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ

8

Ο συμπυκνωμένος φορέας αποτελείται από το υπερστοιχείο (1,2,3) και το στοιχείο

(3,4) και φορτίζεται με τις εσωτερικές δράσεις (λόγω της συμπύκνωσης των 3

βαθμών ελευθερίας του κόμβου 2) και τις επικόμβιες δράσεις . Oι ενεργοί βαθμοί

ελευθερίας του συμπυκνωμένου φορέα είναι εκείνοι που αντιστοιχούν μόνο στους

βαθμούς ελευθερίας του κόμβου 3. Κατά συνέπεια οι δράσεις θεωρούνται

εσωτερική φόρτιση, η οποία πρέπει να μεταβιβαστεί στους ενεργούς βαθμούς

ελευθερίας και τις στηρίξεις.

1

2 3

4

=

1

2 3

4

υπερστοιχείο +

(2)1,2,3P

(3)1,2,3P

(2)1,2,3P

(2)1,2,3 e (1) (3) (4)

1,2,3 1,2,3 1,2,3

T

c

Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή

της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα

11,2,3

11,2,3

11,2,3SR R

41,2,3

41,2,3

41,2,3SR R

1

2 3

4

προς απαλοιφή β.ε. παραμένοντες β.ε.

Page 9: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ

9

(2) (2)1,2,3 1,2,3

(1) (1)1,2,3 1,2,3

(3) (3)1,2,3 1,2,3

(4) (4)1,2,3 1,2,3

ee ec

ce cc

P

K KR

P K K

R

(1)1,2,3

1(2) (2) (3)1,2,3 1,2,3 1,2,3

(4)1,2,3

ee ecP

(1) (1)1,2,3 1,2,3

1 1(3) (2) (3)1,2,3 1,2,3 1,2,3

(4) (4)1,2,3 1,2,3

ce ee cc ce ee ec

R

P P K K

R

(1) (1) (1)1,2,3 1,2,3 1,2,3

(3) (3) (3)1,2,3 1,2,3 1,2,3

(4) (4) (4)1,2,3 1,2,3 1,2,3

c

R S

P S

R S

c c cP K

ο δεύτερος όρος του πρώτου μέλους της σχέσης είναι

οι δράσεις παγίωσης του παγιωμένου φορέα, ενώ η

διαφορά των δύο όρων του πρώτου μέλους αντιστοιχεί

με τις ισοδύναμες δράσεις του ισοδύναμου φορέα.

Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή

της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα

Συμπυκνωμένη εξίσωση ισοροπίας

Αρχική

(αναδιατ.)

εξίσωση

ισορροπίας

Επίλυση ως προς απαλοιφή β.ε.

Αντικατάσταση (συμπυκνωμένη

εξίσωση ισοροπίας)

Page 10: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ

10

Κατά συνέπεια οι δράσεις που αντιστοιχούν στους υπό

συμπύκνωση βαθμούς ελευθερίας παίζουν τον ρόλο των

εσωτερικών δράσεων σε ένα φορέα με ενεργούς βαθμούς

ελευθερίας τους παραμένοντες μετά τη στατική συμπύκνωση.

Έτσι, οι τελικές δράσεις της στατικής συμπύκνωσης που υπολογίζονται

αλγεβρικά από τη παρακάτω σχέση, αντιστοιχούν με την επικόμβια

φόρτιση ενός ισοδύναμου φορέα με βαθμούς ελευθερίας τους

παραμένοντες μετά τη στατική συμπύκνωση.

1

c cc ce ee eP P K K P

Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή

της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα

Page 11: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

11

Page 12: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

12

1 2 3

Το μητρώο στιβαρότητας του υπερστοιχείου μπορεί να προκύψει με

τέσσερεις διαφορετικές θεωρήσεις:

i. θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2,

ii. θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

ή στο στοιχείο 2,

iii. θεώρηση τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας και στα δύο

στοιχεία 1 και 2,

iv. εφαρμογή στατικής συμπύκνωσης και θεώρηση ενός

υπερστοιχείου (1,2,3).

Page 13: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

13

i) θεώρηση συνδυασμένου κόμβου

στον κόμβο 2

Δείκτες

στιβαρότητας με

θεώρηση

συνδυασμένου

κόμβου

1 2 3

Page 14: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

14

ii) θεώρηση τροποποιημένου μητρώου

στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Δείκτες

στιβαρότητας με

θεώρηση

τροποποιημένου

μητρώου

στιβαρότητας

στο στοιχείο 1

1 2 3

Page 15: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

15

iii)

Δείκτες στιβαρότητας

με θεώρηση

τροποποιημένων

μητρώων

στιβαρότητας και στα

δύο στοιχεία 1 και 2

1 2 3

θεώρηση τροποποιημένων μητρώων

στιβαρότητας και στα δύο στοιχεία 1 και 2

Page 16: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

16

iv) θεώρηση ενός υπερστοιχείου (1,2,3)

Δείκτες

στιβαρότητας με

θεώρηση ενός

υπερστοιχείου

(1,2,3)

1 2 3

Το τελικό μητρώο στιβαρότητας του υπερστοιχείου μπορεί να προκύψει είτε από τη

στατική συμπύκνωση των τεσσάρων βαθμών ελευθερίας του κόμβου 2 στο μητρώο

στιβαρότητας με τον συνδυασμένο κόμβο, είτε από τη στατική συμπύκνωση των

βαθμών ελευθερίας 4, 5 του κόμβου 2 στο μητρώο στιβαρότητας που προκύπτει από τη

σύνθεση των τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας των στοιχείων 1, 2.

Page 17: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΔΡΑΣΕΙΣ

ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ

ΚΟΜΒΟ

17

Page 18: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΚΟΜΒΟ

18

2 22 23 25 26 2

3 3

3 32 33 35 36 3

5 52 53 55 56 5

6 62 63 65 66 6

0

0 0 0

0

0

c c

c c

P k k k k

M k k

M k k k k k k

P k k k k

M k k k k

2 3 3 5 6

2

3

3

5

6

22 25 26 23

32 35 3652 55 56 53 33

62 65 66 63

1

0

0 0 0 1

0

0

cc ce ee

cc c

e

c

c

c

k k k k

k kK k k k k

k k k k k k

k k k k

K K K K

2 3 5 6

1

c cc ce ee ecK K K K K

33 22 23 32 23 33 25 23 35 33 26 23 36

32 33 35 36

33 52 53 32 33 55 53 35 33 56 53 3633

33 62 63 32 33 65 63 35 33 66 63 36

1

c c c c

c c c c

c c c cc

c c c c

k k k k k k k k k k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k k k k k kk k

k k k k k k k k k k k k k k k k

2 3 5 6

2

3

5

6

Yπολογισμός του μητρώου στιβαρότητας στοιχείου με ελαστικούς κόμβους

στα άκρα του με τη διαδικασία της στατικής συμπύκνωσης

Αρχική εξίσωση ισορροπίας

(α)

(β)

(Αρχικός

Φορέας)

(Παγιωμένος

Φορέας)

(Ισοδύναμος

Φορέας)

Συμπυκνωμένο μητρώο στιβαρότητας

Αναδιάταξη - Στατική συμπύκνωση β.ε. 3’

Page 19: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΚΟΜΒΟ

19

2 22 23 25 26 2

3 3

3 32 33 35 36 3

5 52 53 55 56 5

6 62 63 65 66 6

0

0 0 0

0

0

c c

c c

P k k k k

M k k

M k k k k k k

P k k k k

M k k k k

2 3 3 5 6

2

3

3

5

6

1

23

53 33

63

1c

ce e

c

e

ec

k

kS P

K

k k

K

k

k

Yπολογισμός των δράσεων παγίωσης στοιχείου με ελαστικούς κόμβους στα

άκρα του με τη διαδικασία της στατικής συμπύκνωσης

Αρχική εξίσωση ισορροπίας

(α)

(β)

(Αρχικός

Φορέας)

(Παγιωμένος

Φορέας)

(Ισοδύναμος

Φορέας)

Συμπυκνωμένες δράσεις παγίωσης

Αναδιάταξη - Στατική συμπύκνωση β.ε. 3’

1

c ce ee eS K K P

0

e e ee ec e

cc ce cc c

P S K K

P K K

Page 20: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ

ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ

20

Page 21: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ

21

7 22.1 10 /E kN m 20.30 0.60A m

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Εξεταζόμενο πλαίσιο

Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών

Αρίθμηση κόμβων,

μελών, καθολικό

και τοπικά

συστήματα αξόνων,

βαθμοί ελευθερίας

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 22: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ

22

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

1

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.800 0 0.240 0.400

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.400 0 0

k EI

1 2 3 4 5 7

.240 0.800

1

2

3

4

5

7

2

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.800 0 0.240 0.400

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.400 0

k EI

4 6 7 8 9 10

0.240 0.800

4

6

7

8

9

10

Τοπικά μητρώα στιβαρότητας

μελών

Page 23: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ

23

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

1

4.301 3.154 0.144 4.301 3.154 0.144

3.154 2.461 0.192 3.154 2.461 0.192

0.144 0.192 0.800 0.144 0.192 0.400

4.301 3.154 0.1

1 2 3 4 5 7

k EI44 4.301 3.154 0.144

3.154 2.461 0.192 3.154 2.461 0.192

0.144 0.192 0.400 0.144 0.192 0.800

1

2

3

4

5

7

2

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.800 0 0.240 0.400

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.400 0

k EI

4 6 7 8 9 10

0.240 0.800

4

6

7

8

9

10

1

0.80 0.6 0

0.6 0.80 0 0

0 0 1

0.80 0.6 0

0 0.6 0.80 0

0 0 1

PF

2PF I

1 1 36,87j k o Μητρώα μετασχηματισμού μελών iPF

2 2 0j k o

Page 24: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 24

Η ανάλυση του επίπεδου ολόσωμου φορέα μπορεί να επιτευχθεί με

τέσσερεις διαφορετικές θεωρήσεις:

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

i. θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2,

ii. θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο

1 ή στο στοιχείο 2,

iii. θεώρηση τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας και στα δύο

στοιχεία 1 και 2,

iv. εφαρμογή στατικής συμπύκνωσης και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

(1,2,3).

Page 25: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

25

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Μόρφωση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου

Στο εξεταζόμενο πλαίσιο, λόγω της

παρουσίας του συνδυασμένου

κόμβου, η σύνθεση των

υπομητρώων των καθολικών

μητρώων στιβαρότητας των μελών

για τον προσδιορισμό του καθολικού

μητρώου στιβαρότητας του φορέα

καθίσταται δυσχερής και η σύνθεση

αυτή θα γίνει στοιχείο – στοιχείο.

Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας στους

οποίους αντιστοιχούν τα στοιχεία των καθολικών μητρώων στιβαρότητας

των μελών, το καθολικό μητρώο στιβαρότητας του πλαισίου προκύπτει ως

Page 26: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 26

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

1 2 3 4 5

#1 #2

6 7

#3

4, 301 3,154 0,144 4, 301 3,154 0, 000 0,144 0, 000 0, 000 0, 000

3,154 2, 461 0,192 3,154 2, 461 0, 000 0,192 0, 000 0, 000 0, 000

0,144 0,192 0,800 0,144 0,192 0, 000 0, 400 0, 000 0, 000 0, 000

4, 301 3,154 0,

K EI

8 9 10

144 10, 968 3,154 0, 000 0,144 6, 667 0, 000 0, 000

3,154 2, 461 0,192 3,154 2, 461 0, 000 0,192 0, 000 0, 000 0, 000

0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240 0, 000 0, 096 0, 240

0,144 0,192 0, 400 0,144 0,192 0, 240 1, 600 0, 000 0, 240 0, 400

0,

000 0, 000 0, 000 6, 667 0, 000 0, 000 0, 000 6, 667 0, 000 0, 000

0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240 0, 000 0, 096 0, 240

0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 240 0, 400 0, 000 0, 240 0,800

1

2

3

4

5

6

7

#1

8

9

10

#2

#3

Μόρφωση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

πλαισίου

Page 27: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 27

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

1 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0

1

1

1

0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

0

1

1

1

ύ

ί ( free )

έ

ί

(sup ported )

1

2

3

4

5

6

7

8

0 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 101

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Τροποποίηση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης

Μητρώο

αναδιάταξης

[V]

ff fs

Tm

sf ss

K K

K V K VK K

Page 28: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 28

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

4, 301 4, 301 3,154 0, 000 0,144 3,154 0,144 0, 000 0, 000

ff fsT

m

sf ss

K K

K V K VK K

EI

1 4 5 6 7 2 3 8 9 10

0, 000

4, 301 10, 968 3,154 0, 000 0,144 3,154 0,144 6, 667 0, 000 0, 000

3,154 3,154 2, 461 0, 000 0,192 2, 461 0,192 0, 000 0, 000 0, 000

0, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240 0, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240

0,144 0,144 0,192 0, 240 1, 600 0,192 0, 40

0 0, 000 0, 240 0, 400

3,154 3,154 2, 461 0, 000 0,192 2, 461 0,192 0, 000 0, 000 0, 000

0,144 0,144 0,192 0, 000 0, 400 0,192 0,800 0, 000 0, 000 0, 000

0, 000 6, 667 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 6, 667 0, 000 0, 000

0, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240 0

, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240

0, 000 0, 000 0, 000 0, 240 0, 400 0, 000 0, 000 0, 000 0, 240 0,800

1

4

5

6

7

2

3

8

9

10

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Αναδιατεταγμένο καθολικό μητρώο

στιβαρότητας πλαισίου (1η τροποποίηση)

Page 29: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 29

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

11

12

11

1 3

1 11

12

13

96

128

106.67

96

128

106.67

j

j

jj

r

rk k

r

k

k

F

F

A MA

A F

F

M

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Τοπικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 1 :

5.0 4.0

3.0

EI EI

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

1

α=3 .87o

Page 30: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 30

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Τοπικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 2 :

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

q=80kN/m

2

200kN

166,67kN

3

200kN

166,67kN

21

22

22

2 3

2 21

22

23

0

200

166.67

0

200

166.67

j

j

jj

r

rk k

r

k

k

F

F

A MA

A F

F

M

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 31: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 31

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Καθολικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 1 :

1 1 1

0.00

160

106.67

0.00

160

106.67

1

2

3

4

5

7

T

r PF rA A

5.0 4.0

3.0

EI EI

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

1

α=3 .87o

Page 32: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 32

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Καθολικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 2 :

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

q=80kN/m

2

200kN

166,67kN

3

200kN

166,67kN

2 2 2

0.00

200

166.67

0.00

200

166.67

4

6

7

8

9

10

T

r PF rA A

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 33: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 33

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Υπολογισμός δράσεων παγίωσης

Κόμβος 1 :

(1) 1

0.00

160

106.67

jrS A

1

2

3

(2) 1 2

155.9

160

200

60

k jr rS A A

4

5

6

7

(3) 2

0.00

200

166.67

krS A

8

9

10

Κόμβος 2 : Κόμβος 3 :

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 34: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 34

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

1

4

5

6

7

0

0

0

0

0

f

m

s

1

4

5

6

7

2

3

8

9

10

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Αναδιατεταγμένα μητρώα επικόμβιων

δράσεων και μετακινήσεων πλαισίου

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

0.00

155.90

160

200

60

160

106.67

200

166.67

nodal

f

m m ms

P

P P S RP

R

R

R

R

1

4

5

6

7

2

3

8

9

10

Page 35: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 35

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

1

4

45

6

7

29.85

0.00

1041.91

249.85

26.46

f

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

320.00

366.67

0.00

400.00

726.67

s

R

R

P R

R

R

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Επίλυση –

Επικόμβιες μετακινήσεις

κατά τους ελεύθερους και

επικόμβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

Page 36: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 36

11 1 1 1

1

1

1

2

11 1 43

1

1

1

2

1

3

96 29.85 192

128 0 256

106.67 0 366.6710

96 0 0

128 41.91 0

106.67 26.45 273.33

r PF

j

j

j

PFk

k

k

A A k D

F

F

Mk

F

F

M

22 2 2 2

2

1

2

2

22 43

2

1

2

2

2

3

0 0 0

200 249.85 0

166.67 26.45 273.3310

0 0 0

200 0 400

166.67 0 726.67

r PF

j

j

j

k

k

k

A A k D

F

F

Mk I

F

F

M

-192kN

0kN

256kN

0kN

-400kN

273.3kN -366.7kN

-726.7kN

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο 2

Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών πλαισίου –

Διαγράμματα εντατικών μεγεθών

Μέλος 2 :

Μέλος 1 : [Ν]

[Q]

[Μ]

Page 37: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 37

Τα βήματα μέχρι τη μόρφωση των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των

μελών του πλαισίου είναι ίδια.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

1

4.301 3.154 0.144 4.301 3.154 0.144

3.154 2.461 0.192 3.154 2.461 0.192

0.144 0.192 0.800 0.144 0.192 0.400

4.301 3.154 0.1

1 2 3 4 5 7

k EI44 4.301 3.154 0.144

3.154 2.461 0.192 3.154 2.461 0.192

0.144 0.192 0.400 0.144 0.192 0.800

1

2

3

4

5

7

2

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.800 0 0.240 0.400

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.400 0

k EI

4 6 7 8 9 10

0.240 0.800

4

6

7

8

9

10

Page 38: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 38

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Κατά τη θεώρηση αυτή, η αντιμετώπιση της

εσωτερικής διατμητικής ελευθέρωσης γίνεται με

απαλοιφή του καθολικού βαθμού ελευθερίας 5

(μετατόπιση), έτσι ώστε οι ενεργοί βαθμοί

ελευθερίας του κόμβου 2 να περιοριστούν στους

3, δηλαδή τους 4 (μετατόπιση), 6 (μετατόπιση) και

7 (στροφή)

5

1

2

3

4

7

2, 461 1

3, 54

5 1 2 3 4 7

ee ec

e

cc

K K

P P

E

P

P

P

PI

P

P

2,461 0,192 3,154 0,192

3,154 4,301 3,154 0,144 4,301 0,144

2,461 3,154 2,461 0,192 3,154 0,192

0,192 0,144 0,192 0,800 0,144 0,400

3,154 4,301 3,154 0,144 4,301 0,144

0,192 0,144 0,192 0,400 0,144 0,800

5

1

2

3

4

7

5

1

2

3

4

7

e

c

ce ccK K

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Απαλοιφή καθολικού βαθμού ελευθερίας 5

Αναδιατεταγμένη

εξίσωση

ισορροπίας του

μέλους 1 στο

καθολικό σύστημα

αξόνων

Page 39: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 39

το τροποποιημένο μητρώο

στιβαρότητας του μέλους 1

προκύπτει ως

1

c cc ce ee ecK K K K K

Υπολογισμός τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας μέλους 1, λόγω απαλοιφής

του καθολικού βαθμού ελευθερίας 5 Αντικαθιστώντας τα υπομητρώα της

προηγούμενης σχέσης στη σχέση

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Η σύνθεση των μητρώων στιβαρότητας των μελών του

πλαισίου, όπως και στην πρώτη θεώρηση, θα γίνει

στοιχείο – στοιχείο

1

0,260 0 0,390 0,260 0,390

0 0 0 0 0

0,390 0 0,785 0,390 0,385

0,260 0 0,390 0,260 0,390

0,390 0 0,385 0,390 0,785

ck EI

1 2 3 4 7

1

2

3

4

7

(παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης γραμμής και στήλης, τα οποία

αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

Page 40: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 40

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Μόρφωση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου

Καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

πλαισίου

#1 #2

1 2 3 4 6 7 8 9

#3

1

0.260 0.000 0.390 0.260 0.000 0.390 0.000 0.000 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.390 0.000 0.785 0.390 0.000 0.385 0.000 0.000 0.000

0.260 0.000 0.390 6.927 0.000 0.390 6.667 0.000 0.000

0.000K EI

0

0.000 0.000 0.000 0.096 0.240 0.000 0.096 0.240

0.390 0.000 0.385 0.390 0.240 1.585 0.000 0.240 0.400

0.000 0.000 0.000 6.667 0.000 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.096 0.240 0.000 0.096 0.240

0.000 0.000 0.000 0.0

00 0.240 0.400 0.000 0.240 0.800

1

2

3

4

#

6

7

8

9

10

1

#2

#3

(παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης γραμμής και στήλης, τα οποία

αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

Page 41: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 41

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

1 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ύ

ί ( free )

έ

ί

(sup ported )

1

2

3

4

6

7

8

9

10

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Τροποποίηση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης

ff fs

Tm

sf ss

K K

K V K VK K

Μητρώο

αναδιάταξης

[V]

Page 42: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 42

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

0.260 0.260 0.000 0.390 0.000 0.390 0.000 0.000 0.000

0.2

ff fsT

m

sf ss

K K

K V K VK K

EI

1 4 6 7 2 3 8 9 10

60 6.927 0.000 0.390 0.000 0.390 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.096 0.240 0.000 0.000 0.000 0.096 0.240

0.390 0.390 0.240 1.585 0.000 0.385 0.000 0.240 0.400

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.390 0.390 0.000 0.3

85 0.000 0.785 0.000 0.000 0.000

0.000 6.667 0.000 0.000 0.000 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.096 0.240 0.000 0.000 0.000 0.096 0.240

0.000 0.000 0.240 0.400 0.000 0.000 0.000 0.240 0.800

1

4

6

7

2

3

8

9

10

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Αναδιατεταγμένο καθολικό μητρώο

στιβαρότητας πλαισίου (1η τροποποίηση)

(παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της πέμπτης γραμμής και στήλης, τα οποία

αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

Page 43: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 43

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

q=80kN/m

1

96kN

2

96kN

11

12

11

1 3

1 11

12

13

96

128

106.67

96

128

106.67

j

j

jj

r

rk k

r

k

k

F

F

A MA

A F

F

M

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Τοπικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 1 :

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 44: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 44

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Τοπικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 2 :

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

q=80kN/m

2

200kN

166,67kN

3

200kN

166,67kN

21

22

22

2 3

2 21

22

23

0

200

166.67

0

200

166.67

j

j

jj

r

rk k

r

k

k

F

F

A MA

A F

F

M

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 45: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 45

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

q=80kN/m

1

96kN

2

96kN

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Καθολικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 1 :

1 1 1

0.00

160

106.67

0.00

160

106.67

1

2

3

4

5

7

T

r PF rA A

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 46: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 46

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Καθολικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 2 :

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

q=80kN/m

2

200kN

166,67kN

3

200kN

166,67kN

2 2 2

0.00

200

166.67

0.00

200

166.67

4

6

7

8

9

10

T

r PF rA A

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

5.0 4.0

3.0

EI EI

Page 47: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 47

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

1

160

0.00

160

106.67

0.00

106.67

5

1

2

3

4

7

c

rm

e

c

A

P

P

1

1

1

205

320

119.2

205

94.2

jr

cr

kcr

c

A

A

A

1

2

3

4

7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Υπολογισμός τροποποιημένου μητρώου

καθολικών ακραίων δράσεων μέλους 1, λόγω απαλοιφής του καθολικού

βαθμού ελευθερίας 5

Η προαναφερθείσα απαλοιφή του καθολικού

βαθμού ελευθερίας 5 επηρεάζει το καθολικό

μητρώο των ακραίων δράσεων του μέλους 1

του πλαισίου.

Αναδιατεταγμένο μητρώο καθολικών

ακραίων δράσεων μέλους 1 έτσι ώστε

να προηγούνται οι μετακινήσεις προς

απαλοιφή {Δe} και να έπονται οι

παραμένουσες μετακινήσεις {Δc}.

1

r cc ce ee ecA P K K P

Τροποποιημένο μητρώο

καθολικών ακραίων δράσεων

μέλους 1

Page 48: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 48

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

(1) 1

205

320

119.2

1

2

3

jr

cS A

(2) 1 2

205

200

72.5

4

6

7

k jr r

cS A A

(3) 2

0.00

200

166.67

8

9

10

krS A

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Οι δράσεις παγίωσης σε κάθε κόμβο του

παγιωμένου φορέα του πλαισίου είναι ίσες με

το άθροισμα των καθολικών ακραίων δράσεων

των άκρων των μελών που καταλήγουν στον

κόμβο αυτόν, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στον

κόμβο 2 (όπου η άθροιση θα πρέπει να γίνει

στοιχείο-στοιχείο)

Ανάλυση παγιωμένου φορέα –

Υπολογισμός δράσεων παγίωσης

Κόμβος 3 :

Κόμβος 2 :

Κόμβος 1 :

Page 49: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 49

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

205

205

200

72.5

320

119.2

200

166.67

1

4

6

7

2

3

8

9

10

nodal

f

m m ms

P RP P S

P R

R

R

R

1

4

6

7

0

0

0

0

0

f

m

s

1

4

6

7

2

3

8

9

10

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

320.00

366.67

0.00

400.00

726.67

s

R

R

P R

R

R

1

4 4

6

7

29.85

0.0010

249.85

26.46

f

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1

Αναδιατεταγμένα

μητρώα επικόμβιων

δράσεων και

μετακινήσεων

πλαισίου

Επίλυση –

Επικόμβιες μετακινήσεις

κατά τους ελεύθερους και

επικόμβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

Page 50: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 50

45 41.91 10 e

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο 1 Υπολογισμός μετατόπισης κατά τον

καθολικό βαθμό ελευθερίας 5 που

απαλείφθηκε σε προηγούμενο βήμα

1e ee e ec cK P K

Με τη βοήθεια της σχέσης

των μετακινήσεων κατά τους β.ε. 4,7 που υπολογίστηκαν

προηγουμένως και των υπομητρώων των σχέσεων που

αναφέρθηκαν σε προηγούμενο βήμα

προκύπτει η μετατόπιση κατά τον καθολικό β.ε. 5 ως

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

5

1

2

3

4

7

2, 461 1

3, 54

5 1 2 3 4 7

ee ec

e

cc

K K

P P

E

P

P

P

PI

P

P

2,461 0,192 3,154 0,192

3,154 4,301 3,154 0,144 4,301 0,144

2,461 3,154 2,461 0,192 3,154 0,192

0,192 0,144 0,192 0,800 0,144 0,400

3,154 4,301 3,154 0,144 4,301 0,144

0,192 0,144 0,192 0,400 0,144 0,800

5

1

2

3

4

7

5

1

2

3

4

7

e

c

ce ccK K

1

160

0.00

160

106.67

0.00

106.67

5

1

2

3

4

7

c

rm

e

c

A

P

P

Ακολουθεί ο υπολογισμός των τοπικών ακραίων δράσεων και η χάραξη των

διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών των μελών του πλαισίου (ίδια με τα προηγούμενα)

Page 51: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 51

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

Τα βήματα μέχρι τη μόρφωση των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των

μελών του πλαισίου είναι ίδια.

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

1

4.301 3.154 0.144 4.301 3.154 0.144

3.154 2.461 0.192 3.154 2.461 0.192

0.144 0.192 0.800 0.144 0.192 0.400

4.301 3.154 0.1

1 2 3 4 5 7

k EI44 4.301 3.154 0.144

3.154 2.461 0.192 3.154 2.461 0.192

0.144 0.192 0.400 0.144 0.192 0.800

1

2

3

4

5

7

2

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.800 0 0.240 0.400

6.667 0 0 6.667 0 0

0 0.096 0.240 0 0.096 0.240

0 0.240 0.400 0

k EI

4 6 7 8 9 10

0.240 0.800

4

6

7

8

9

10

Page 52: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 52

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Κατά τη θεώρηση αυτή, η αντιμετώπιση της

εσωτερικής διατμητικής ελευθέρωσης γίνεται με

απαλοιφή των καθολικών βαθμών ελευθερίας 5,6

(μετατοπίσεις), έτσι ώστε οι ενεργοί βαθμοί

ελευθερίας του κόμβου 2 να περιοριστούν στους

2, δηλαδή τους 4 (μετατόπιση) και 7 (στροφή)

Απαλοιφή καθολικών βαθμών ελευθερίας 5, 6

Αναδιατεταγμένη

εξίσωση

ισορροπίας του

μέλους 2 στο

καθολικό σύστημα

αξόνων

6

4

7

8

9

10

0.096 0.00

6 4 7 8 9 10

ee ec

e

cc

P

P

PEI

P

P

P

K K

P

P

0 0.240 0.000 0.096 0.240

0.000 6.667 0.000 6.667 0.000 0.000

0.240 0.000 0.800 0.000 0.240 0.400

0.000 6.667 0.000 6.667 0.000 0.000

0.096 0.000 0.240 0.000 0.096 0.240

0.240 0.000 0.400 0.000 0.240 0.800

6

4

7

6

4

7

8

9

10

8

9

10

e

c

ce ccK K

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

Η απαλοιφή του καθολικού β.ε. 5 έχει περιγραφεί στην προηγούμενη θεώρηση,

ενώ για τον β.ε. 6 :

Page 53: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 53

το τροποποιημένο μητρώο

στιβαρότητας του μέλους 2

προκύπτει ως

1

c cc ce ee ecK K K K K

Υπολογισμός τροποποιημένων μητρώων

στιβαρότητας μελών 1,2 λόγω απαλοιφής

των καθολικών βαθμών ελευθερίας 5,6

Αντικαθιστώντας τα υπομητρώα της

καθολικής σχέσης στιβαρότητας

του μέλους 2 στη σχέση

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Η σύνθεση των μητρώων στιβαρότητας των μελών του πλαισίου,

μπορεί να γίνει είτε υπομητρώο-υπομητρώο είτε στοιχείο – στοιχείο

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

για το μέλος 1

όπως πριν για το μέλος 2

2

6.667 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.200 0.000 0.000 0.200

6.667 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 0.200 0.000 0.000 0.200

ck EI

4 7 8 9 10

4

7

8

9

10

1

0,260 0 0,390 0,260 0,390

0 0 0 0 0

0,390 0 0,785 0,390 0,385

0,260 0 0,390 0,260 0,390

0,390 0 0,385 0,390 0,785

ck EI

1 2 3 4 7

1

2

3

4

7

Page 54: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 54

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Μόρφωση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου

Καθολικό

μητρώο

στιβαρότητας

πλαισίου

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

(παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης και έβδομης γραμμής και

στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

0.260 0.0

K EI

1 2 3 4 7 8 9 10

#1 #2 #3

00 0.390 0.260 0.390 0.000 0.000 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.390 0.000 0.785 0.390 0.385 0.000 0.000 0.000

0.260 0.000 0.390 6.927 0.390 6.667 0.000 0.000

0.390 0.000 0.385 0.390 0.985 0.000 0.000 0.200

0.000 0.000 0.000 6.667 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.200 0.000 0.000 0.200

1

2

3

4

7

8

9

10

#1

#2

#3

Page 55: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 55

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Τροποποίηση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης

ff fs

Tm

sf ss

K K

K V K VK K

Μητρώο

αναδιάταξης

[V]

1 0 0 0 0 0 0 0 1

4 0 0 0 0 0 0 0 2

7 0 0 0 0 0 0 0 3

2 0 0 0 0 0 0 0 4

3 0 0 0 0 0 0 0 7

8 0 0 0 0 0 0 0 8

9 0 0 0 0 0 0 0 9

10 0 0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

1

1

1

101

ύ

ί ( free )

έ

ί

(sup ported )

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

Page 56: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 56

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Αναδιατεταγμένο καθολικό μητρώο

στιβαρότητας πλαισίου (1η τροποποίηση)

0.260 0.260 0.390 0.000 0.390 0.000 0.000 0.000

0.260 6.927 0.390 0.000 0.390 6.

ff fsT

m

sf ss

K K

K V K VK K

EI

1 4 7 2 3 8 9 10

667 0.000 0.000

0.390 0.390 0.985 0.000 0.385 0.000 0.000 0.200

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.390 0.390 0.385 0.000 0.785 0.000 0.000 0.000

0.000 6.667 0.000 0.000 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.0

00 0.000 0.000 0.000

0.000 0.000 0.200 0.000 0.000 0.000 0.000 0.200

1

4

7

2

3

8

9

10

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

(παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της τέταρτης και έβδομης γραμμής και

στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

Page 57: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

2

2

2

0

333.33

0

400

666.67

4

7

8

9

10

jr

cr

kcr

c

A

A

A

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 57

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Ακολουθεί ο υπολογισμός των τροποποιημένων μητρώων καθολικών ακραίων

δράσεων των μελών 1,2 λόγω απαλοιφής των καθολικών β.ε. 5,6

Αναδιατεταγμένο

μητρώο καθολικών

ακραίων δράσεων

μέλους 2

1

r cc ce ee ecA P K K P

Τροποποιημένο μητρώο

καθολικών ακραίων δράσεων

μέλους 2

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Ο υπολογισμός των τοπικών και καθολικών

ακραίων δράσεων των μελών 1, 2, γίνεται όπως στα προηγούμενα.

για το μέλος 1, όπως πριν

για το μέλος 2

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

1

1

1

205

320

119.2

205

94.2

1

2

3

4

7

jr

cr

kcr

c

A

A

A

2

200

0

166.67

0

200

166.67

6

4

7

8

9

10

rm

e

cc

A

P

P

Page 58: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 58

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Οι δράσεις παγίωσης σε κάθε κόμβο του

παγιωμένου φορέα του πλαισίου είναι ίσες με

το άθροισμα των καθολικών ακραίων δράσεων

των άκρων των μελών που καταλήγουν στον

κόμβο αυτόν

Ανάλυση παγιωμένου φορέα –

Υπολογισμός δράσεων παγίωσης

Κόμβος 3 :

Κόμβος 2 :

Κόμβος 1 :

(1) 1

205

320

119.2

jr

cS A

1

2

3

(2) 1 2 205

427.5

4

7

k jr r

cS A A

(3) 2

0

400

666.67

8

9

10

krS A

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

Page 59: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 59

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Αναδιατεταγμένα

μητρώα επικόμβιων

δράσεων και

μετακινήσεων

πλαισίου

Επίλυση –

Επικόμβιες μετακινήσεις

κατά τους ελεύθερους και

επικόμβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

205

205

427.5

320

119.2

400

666.7

nodal

f

m m ms

RP

P P SRP

R

R

R

1

4

7

2

3

8

9

10

1

4

7

0

0

0

0

0

f

m

s

1

4

7

2

3

8

9

10

1

44

7

29.85

0.00 10

26.46

f

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

320.00

366.67

0.00

400.00

726.67

s

R

R

P R

R

R

Page 60: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

προκύπτουν οι μετατοπίσεις κατά τους καθολ. β.ε. 5,6 ως 5 4

6

41.9110

249.85

e

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 60

Υπολογισμός μετατοπίσεων κατά

τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας

5,6 που απαλείφθηκαν σε

προηγούμενο βήμα

1e ee e ec cK P K

Με τη βοήθεια της σχέσης

των μετακινήσεων κατά τους β.ε. 4,7 που υπολογίστηκαν προηγουμένως και

των υπομητρώων των σχέσεων που αναφέρθηκαν σε προηγούμενο βήμα

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Ακολουθεί ο υπολογισμός των τοπικών ακραίων δράσεων και η χάραξη των

διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών των μελών του πλαισίου (ίδια με τα προηγούμενα)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία 1 και 2

5

1

2

3

4

7

2, 461 1

3, 54

5 1 2 3 4 7

ee ec

e

cc

K K

P P

E

P

P

P

PI

P

P

2,461 0,192 3,154 0,192

3,154 4,301 3,154 0,144 4,301 0,144

2,461 3,154 2,461 0,192 3,154 0,192

0,192 0,144 0,192 0,800 0,144 0,400

3,154 4,301 3,154 0,144 4,301 0,144

0,192 0,144 0,192 0,400 0,144 0,800

5

1

2

3

4

7

5

1

2

3

4

7

e

c

ce ccK K

1

160

0.00

160

106.67

0.00

106.67

5

1

2

3

4

7

c

rm

e

c

A

P

P

6

4

7

8

9

10

0.096 0.00

6 4 7 8 9 10

ee ec

e

cc

P

P

PEI

P

P

P

K K

P

P

0 0.240 0.000 0.096 0.240

0.000 6.667 0.000 6.667 0.000 0.000

0.240 0.000 0.800 0.000 0.240 0.400

0.000 6.667 0.000 6.667 0.000 0.000

0.096 0.000 0.240 0.000 0.096 0.240

0.240 0.000 0.400 0.000 0.240 0.800

6

4

7

6

4

7

8

9

10

8

9

10

e

c

ce ccK K

2

200

0

166.67

0

200

166.67

6

4

7

8

9

10

rm

e

cc

A

P

P

Page 61: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 61

Ακολουθούνται τα βήματα της θεώρησης συνδυασμένων κόμβων μέχρι τη

μόρφωση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα του πλαισίου.

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

#1 #2 #

5

3

1 2 3 4 6 7

4, 301 3,154 0,144 4, 301 3,154 0, 000 0,144 0, 000 0, 000 0, 000

3,154 2, 461 0,192 3,154 2, 461 0, 000 0,192 0, 000 0, 000 0, 000

0,144 0,192 0,800 0,144 0,192 0, 000 0, 400 0, 000 0, 000 0, 000

4, 301 3,154 0

K EI

8 9 10

,144 10, 968 3,154 0, 000 0,144 6, 667 0, 000 0, 000

3,154 2, 461 0,192 3,154 2, 461 0, 000 0,192 0, 000 0, 000 0, 000

0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240 0, 000 0, 096 0, 240

0,144 0,192 0, 400 0,144 0,192 0, 240 1, 600 0, 000 0, 240 0, 400

0

, 000 0, 000 0, 000 6, 667 0, 000 0, 000 0, 000 6, 667 0, 000 0, 000

0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 096 0, 240 0, 000 0, 096 0, 240

0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 240 0, 400 0, 000 0, 240 0,800

1

2

3

4

5

6

7

8

#1

9

10

#2

#3

Μόρφωση καθολικού μητρώου

στιβαρότητας πλαισίου

Καθολικό

μητρώο

στιβαρότητας

πλαισίου

Page 62: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 62

Εφαρμόζεται στατική συμπύκνωση των

εσωτερικών βαθμών ελευθερίας, δηλαδή των 4

βαθμών ελευθερίας του κόμβου (2). Έτσι,

προκειμένου να επιτευχθεί η απαλοιφή των

βαθμών ελευθερίας 4, 5, 6, 7 του κόμβου 2

μορφώνεται για το σύνολο του φορέα η

αναδιατεταγμένη καθολική εξίσωση ισορροπίας

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

4 5 6 7 1 2 3

ee ecK K

4

5

6

7

1

2

3

8

9

10

10.968 3.154 0.000 0.144 4.301 3.154 0.144 6.667 0.000 0.000

3.154 2.461 0.000 0.192 3.154 2.461 0.192 0.000 0.000 0.000

0.000 0.000 0

8 9 10

e

cc

P

P

P

P

PEI

P

P

P

P

P

P

P

.096 0.240 0.000 0.000 0.000 0.000 0.096 0.240

0.144 0.192 0.240 1.600 0.144 0.192 0.400 0.000 0.240 0.400

4.301 3.154 0.000 0.144 4.301 3.154 0.144 0.000 0.000 0.000

3.154 2.461 0.000 0.192 3.154 2.461 0.192 0.000 0.000 0.000

0

.144 0.192 0.000 0.400 0.144 0.192 0.800 0.000 0.000 0.000

6.667 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.096 0.240 0.000 0.000 0.000 0.000 0.096 0.240

0.000 0.000 0.240 0.400 0.000 0.000 0.000 0.000 0.24

4

5

6

7

1

2

3

8

9

10

0 0.800

4

5

6

7

1

2

3

8

9

10

e

c

ce cK K c

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

Μόρφωση αναδιατεταγμένης καθολικής εξίσωσης ισορροπίας πλαισίου

Αναδιατεταγμένη

καθολική εξίσωση

ισορροπίας του

φορέα

Page 63: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 63

το συμπυκνωμένο μητρώο

στιβαρότητας του φορέα

προκύπτει ως

1

c cc ce ee ecK K K K K

Υπολογισμός συμπυκνωμένου καθολικού

μητρώου στιβαρότητας φορέα λόγω

συμπύκνωσης των καθολικών βαθμών

ελευθερίας 4,5,6,7

Αντικαθιστώντας τα υπομητρώα της

προηγούμενης σχέσης στη σχέση

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

(παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης και πέμπτης γραμμής και

στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

0.104 0.000 0.234 0.104 0.000 0.078

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.234 0.000 0.626 0.234 0.000 0.075

0.104 0.000 0.234 0.10cK EI

1 2 3 8 9 10

4 0.000 0.078

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.078 0.000 0.075 0.078 0.000 0.158

1

2

3

8

9

10

Page 64: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 64

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Τροποποίηση καθολικού συμπυκνωμένου

μητρώου στιβαρότητας πλαισίου λόγω

αναδιάταξης

ff fs

Tm c c

sf ss

K K

K V K V KK K

Μητρώο

αναδιάταξης

[V]

1 0 0 0 0 0 1

2 0 0 0

1

1

1

0 0 2

3 0 0 0 0 0 3

8 0 0 0 0 0 8

9 0 0 0

1

1

1

0 0 9

10 0 0 0 0 0 10

ύ

έ

ί

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

δηλαδή το

μητρώο αναδιά-

ταξης είναι το

μοναδιαίο μητρώο

V I

και επομένως

Page 65: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 65

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Αναδιατεταγμένο συμπυκνωμένο

καθολικό μητρώο στιβαρότητας

πλαισίου (1η τροποποίηση)

0.104 0.000 0.234 0.104 0.000 0.078

0.000 0.000 0.000 0.000 0.00

ff fsT

m c c

sf ss

K K

K V K V KK K

EI

1 2 3 8 9 10

0 0.000

0.234 0.000 0.626 0.234 0.000 0.075

0.104 0.000 0.234 0.104 0.000 0.078

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.078 0.000 0.075 0.078 0.000 0.158

1

2

3

8

9

10

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

(παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης και πέμπτης γραμμής και

στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

Page 66: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 66

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Ο υπολογισμός των τοπικών και καθολικών

ακραίων δράσεων των μελών 1, 2, και η μόρφωση των μητρώων επικόμβιων

δράσεων και μετακινήσεων του συνόλου του πλαισίου γίνεται όπως και στη

θεώρηση συνδυασμένου κόμβου κατά την πρώτη θεώρηση.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

Κόμβος 1 :

(1) 1

0.00

160

106.67

jrS A

1

2

3

(2) 1 2

155.9

160

200

60

k jr rS A A

4

5

6

7

(3) 2

0.00

200

166.67

krS A

8

9

10

Κόμβος 2 : Κόμβος 3 :

Έτσι, ακολουθώντας τη διαδικασία

που περιγράφηκε στα

προηγούμενα, οι δράσεις

παγίωσης των κόμβων του φορέα

προκύπτουν ως

και επομένως τα αρχικά διανύσματα επικόμβιων δράσεων και μετακινήσεων

γράφονται ως

Page 67: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 67

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

0

160

106.67

0.00

160

200

60

200

106.67

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nodal

R

R

P P S

R

R

R

1

4

5

6

7

0

0

0

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Ο υπολογισμός των τοπικών και καθολικών

ακραίων δράσεων των μελών 1, 2, και η μόρφωση των μητρώων επικόμβιων

δράσεων και μετακινήσεων του συνόλου του πλαισίου γίνεται όπως και στη

θεώρηση συνδυασμένου κόμβου κατά την πρώτη θεώρηση.

Ακολουθεί στατική

συμπύκνωση των

βαθμών ελευθερίας του

κόμβου 2 (αφού

προηγηθεί αναδιάταξη)

Page 68: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 68

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

35.2

320

287.5

35.2

400

753.1

1

2

3

8

9

10

f

c

s

R

P RP

P R

R

R

1

0

0

0

0

0

f

c

s

1

2

3

8

9

10

Υπολογισμός καθολικών μητρώων ολικών

ακραίων δράσεων και μετακινήσεων του

υπερστοιχείου 1-2-3 (λόγω συμπύκνωσης

των εσωτερικών καθολικών βαθμών

ελευθερίας 4,5,6,7)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

1

c cc ce ee eP P K K P

Page 69: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 69

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

(τα αναδιατεταγμένα μητρώα

ακραίων δράσεων και

μετακινήσεων του υπερστοιχείου

ταυτίζονται με τα αρχικά)

Επίλυση –

Επικόμβιες μετακινήσεις

κατά τους ελεύθερους και

επικόμβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

320.00

366.67

0.00

400.00

726.67

s

R

R

P R

R

R

41 29.85 10 f

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

Page 70: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ - NTUAusers.ntua.gr/cvsapoun/9-Static Condensation.pdf · 2018-04-09 · ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντάκς Καθηγητής

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 70

Υπολογισμός μετακινήσεων κατά τους

καθολικούς βαθμούς ελευθερίας 4,5,6,7 που

συμπυκνώθηκαν σε προηγούμενο βήμα

1e ee e ec cK P K

Με τη βοήθεια της σχέσης

της μετατόπισης κατά τον β.ε. 1 που υπολογίστηκε προηγουμένως και των

υπομητρώων των σχέσεων που αναφέρθηκαν σε προηγούμενο βήμα

προκύπτουν οι μετατοπίσεις κατά τους καθολ. β.ε. 4,5,6,7 ως

4 7

6 5

2

1

8

9 10

1

2 3

1

2 3

Ακολουθεί ο υπολογισμός των τοπικών ακραίων δράσεων και η χάραξη των

διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών των μελών του πλαισίου (ίδια με τα προηγούμενα)

4 5 6 7 1 2 3

ee ecK K

4

5

6

7

1

2

3

8

9

10

10.968 3.154 0.000 0.144 4.301 3.154 0.144 6.667 0.000 0.000

3.154 2.461 0.000 0.192 3.154 2.461 0.192 0.000 0.000 0.000

0.000 0.000 0

8 9 10

e

cc

P

P

P

P

PEI

P

P

P

P

P

P

P

.096 0.240 0.000 0.000 0.000 0.000 0.096 0.240

0.144 0.192 0.240 1.600 0.144 0.192 0.400 0.000 0.240 0.400

4.301 3.154 0.000 0.144 4.301 3.154 0.144 0.000 0.000 0.000

3.154 2.461 0.000 0.192 3.154 2.461 0.192 0.000 0.000 0.000

0

.144 0.192 0.000 0.400 0.144 0.192 0.800 0.000 0.000 0.000

6.667 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 6.667 0.000 0.000

0.000 0.000 0.096 0.240 0.000 0.000 0.000 0.000 0.096 0.240

0.000 0.000 0.240 0.400 0.000 0.000 0.000 0.000 0.24

4

5

6

7

1

2

3

8

9

10

0 0.800

4

5

6

7

1

2

3

8

9

10

e

c

ce cK K c

(1)

2

(1)

3

(3)

1

(3)

2

(3)

3

0

160

106.67

0.00

160

200

60

200

106.67

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nodal

R

R

P P S

R

R

R

ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ -

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου

4

5 4

6

7

0.00

41.9110

249.85

26.46

e