04 Statistika - Pendugaan Parameter
-
Upload
nindyalangenluthfiani8627 -
Category
Documents
-
view
3.776 -
download
7
Transcript of 04 Statistika - Pendugaan Parameter
OLEH :
FAKULTAS PERTANIANUNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2009
WIJAYA
S T A T I S T I K A
email : [email protected]
IV. PENDUGAAN PARAMETER
Populasi Sampel
Sampling
N n
Rata-rata : μSimp. Baku : σRagam : σ2
Rata-rata : x
Simp. Baku : s
Ragam : s2
Parameter Statistik
1. Parameter = sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi
Misalkan populasi tanaman padi kultivar IR-64 pada luasan 1 hektar
dengan jarak tanam 20 cm x 20 cm yaitu sebanyak 250.000
tanaman, diambil sebuah sampel secara acak berukuran n = 500
tanaman dan diperoleh rata-rata jumlah anakannya 15 anakan.
IV. PENDUGAAN PARAMETER
2. Statistik = sembarang nilai yang menjelaskan ciri sampel
Ukuran Populasi N = 250.000
Ukuran Sampel n = 500, Rata-rata x = 15
Berdasarkan rata-rata sampel (statistik) dapat diduga bahwa rata-
rata jumlah anakan padi kultivar IR-64 pada luasan 1 ha sebanyak
15 anakan (parameter).
Statistik sebagai penduga bagi Parameter yang tidak diketahui.
Rata-rata x = 15 sebagai Penduga Titik
IV. PENDUGAAN PARAMETER
Nilai dugaan dalam bentuk selang lebih tepat digunakan daripada
nilai dugaan dalam bentuk dugaan titik.
Nilai dugaan selang : P (a < θ < b ) = 1 – α, artinya peluang θterletak diantara a dan b sebesar (1 – α). Atau kita yakin
sebesar (1 –α) 100% bahwa θ ada dalam selang (a,b).
Selang : (a < θ < b ) disebut Selang Kepercayaan (1 – α) 100%.
(1 –α) disebut Koefisien (Derajat) Kepercayaan (Keyakinan)
Nilai statistik a dan b disebut Batas Kepercayaan.
IV. PENDUGAAN PARAMETER
Jika nilai α = 5 % maka (1 –α ) = 95 % = 0,95.
a x b
SE SE
a = x – SE a = x – SE
SE = Standard Error of Mean (Galat Baku Rata-rata)
SE = σx = σ / √ n
1. PENDUGAAN RATA-RATA
Penggunaan Sebaran t dan z
Apa σ ada?Ya
Uji - z
Uji - zn ≥30 ?Ya
Tidak
Tidak
Uji - t
A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel
P ( –zα/2 < z < zα/2 ) = 1 – α
P ( –zα/2 < (x–μ)/σx < zα/2 ) = 1 – α
P ( x – zα/2 . σx < μ < x + zα/2 . σx ) = 1 – α
( x – zα/2 . σx ) < μ < ( x + z α/2 . σx )
( x – zα/2 . σ/√n ) < μ < ( x + z α/2 . σ/√n )
A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel
Contoh 1 :
Suatu contoh acak 36 mhs tingkat akhir mempunyai IP rata–rata
2,60 dan simpangan baku 0,30. Buatlah selang kepercayaan
95% bagi rata–rata IP seluruh mhs tingkat akhir tersebut.
Jawab :
n = 36 ; Rata–rata x = 2,60 dan simp. baku s =0,30 ;
α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; zα/2 = z0,025 = 1,96
x – zα/2 . s/√n < μ < x + z α/2 . s/√n
2,60 – (1,96)( 0,30/√36) < μ < 2,60 + (1,96)(0,30/√36)
(2,60 – 0,10) < μ < (2,60 + 0,10)
2,50 < μ < 2,70
A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel
Contoh 2 :
Sebuah lembaga penelitian menghasilkan kedelai Kultivar X. Dari
hasil percobaan di 16 lokasi diperoleh rata-rata hasilnya 1,15
t/ha dengan simp. baku 0,20 t/ha. Buatlah selang kepercayaan
95% bagi rata-rata hasil yang sebenarnya.
Jawab :
n = 16 ; Rata–rata x = 1,15 dan simp. baku s =0,20 ;
α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; tα/2(n-1) = t0,025(15) = 2,131
x – tα/2(n-1) . s/√n < μ < x + tα/2(n-1) . s/√n
1,15 – (2,131)( 0,20/√16) < μ < 1,15 + (2,131)(0,20/√16)
(1,15 – 0,11) < μ < (1,15 + 0,11)
1,04 < μ < 1,26
B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel
( x1– x2 ) – tα/2(n1+n2-2).SE < (μ1– μ2) < (x1– x2) + tα/2(n1+n2-2).SE
Menghitung SE :
1. Jika Ragam Kedua Sampel Sama ( σ12 = σ2
2 ) :
(n1-1)S12 + (n2-1)S2
2
Sg2 =
n1 + n2 – 2
SE = Sg .√ (1/n1 + 1/n2)
2. Jika Ragam Kedua Sampel Tidak Sama ( σ12 ≠ σ2
2 ) :
SE = √ (s12/n1 + s2
2/n2)
B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel
Contoh :
Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan
Metode Biasa, dan 10 siswa kelas B dengan Metode Terprogram.
Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4,
kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan
selang kepercayaan 90% bagi selisih rata–rata populasi, bila
diasumsikan kedua populasi menyebar normal dengan ragam sama
(n1-1)S12 + (n2-1)S2
2 (11)(16) + (9)(25)
Sg2 = =
n1 + n2 – 2 12 + 10 – 2
Jawab :
n1 = 12 ; x1 = 85 ; s1 = 4 ; n2 = 10 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ;
α = 10% ; α/2 = 0,05 ; tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725
Sg2 = 20,05 Sg = √20,05 = 4,478
B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel
Jawab :
n1 = 12 ; x1 = 85 ; s1 = 4 ; n2 = 10 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ;
α = 10% ; α/2 = 0,05 ; tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725
Sg2 = 20,05 Sg = √20,05 = 4,478
SE = Sg .√ (1/n1 + 1/n2) = (4,478) .√ (1/12 + 1/10)
SE = (4,478).√ (0,083 + 0,100) = (4,478).√0,183
SE = ( 4,478) (0,428) = 1,917
( 85 – 81) – (1,725)(1,917) < μ < ( 85 – 81) + (1,725)(1,917)
(4 – 3,307) < μ < ( 4 + 3,307)
0,693 < μ < 7,307
( x1– x2 ) – tα/2(n1+n2-2).SE < (μ1– μ2) < (x1– x2) + tα/2(n1+n2-2).SE
C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan
d – tα/2(n-1) . Sd./√ n < μ < d + tα/2(n-1) . Sd./√n
d = Rata-rata dari selisih pengamatan kedua sampel
Sd = Simp. Baku dari selisih pengamatan kedua sampel
Contoh :
Pelatihan manajemen agribisnis dilakukan kepada 100 petani
andalan agar mampu mengembangkan usahataninya. Setelah
beberapa waktu, 6 orang diantara 100 petani andalan tersebut
diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan sesudah
pelatihan. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rata–
rata populasi.
C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan
Petani 1 2 3 4 5 6
Sebelum 40
58
4978
87 57
63
72
55
61
33 Juta Rp
Sesudah 40 Juta Rp
Jawab :
Sebelum 40 78 49 63 55 33 Jumlah
Sesudah 58
Selisih (d) 18 9 8 9 6 7 57
324
4061725787
81 64 81 36(d2) 49 635
C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan
n = 6 ; ∑ d = 57 ; ∑ d2 = 635 ; α = 5% ; tα/2(n-1) = 2,571
∑ d2 – ( ∑ d)2 /n (635) – (572)/6 635 – 541,5
Sd2 = = =
n – 1 6 – 1 5
Sd2 = 18,7 Sd = √18,7 = 4,324
9,5 – (2,571)(1,765) < μ < 9,5 + (2,571)(1,765)
d = 57/6 = 9,5 ; √6 = 2,449 ; Sd /√ n = 4,324/2,449 = 1,765
9,5 – (2,571)(3,948) < μ < 9,5 + (2,571)(3,948)
9,5 – 4,538 < μ < 9,5 + 4,538
4,962 < μ < 14,038
D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel
n ≥100 : p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2. √pq/n
n < 100 : p – tα/2(n-1) .√ pq/n < π < p + tα/2(n-1).√pq/n
Contoh :
Contoh acak 200 orang yang membeli pestisida di sebuah toko
pestisida selama satu minggu diperoleh informasi sebanyak 60
orang yang suka membeli insektisida X . Tentukan selang
kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya yang suka membeli
insektisida X di toko tersebut.
Jawab :
n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ;
√ pq/n = √ (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; zα/2 = 1,96
D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel
n ≥100 : p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2. √pq/n
n < 100 : p – tα/2(n-1) .√ pq/n < π < p + tα/2(n-1).√pq/n
Jawab :
n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ;
√ pq/n = √ (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; zα/2 = 1,96
0,3 – 1,96(0,032) < π < 0,3 + 1,96(0,032)
0,3 – 0,063 < π < 0,3 + 0,063
0,237 < π < 0,363
23,7 % < π < 36,3 %
E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel
(p1 – p2) – zα/2 .SE < (π1 –π2) < (p1 – p2) + zα/2.SE
SE = √ (p1q1/n1) + (p2q2/n2)
Contoh :
Suatu studi dilakukan untuk menduga proporsi penduduk suatu
kota dan penduduk di sekitar kota tersebut yang menyetujui
pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 1200 diantara 2000
penduduk kota dan 2400 diantara 5000 penduduk di sekitar
kota yang diwawancarai menyetujui pembangunan tersbut, buat
selang kepercayaan 90% bagi proporsi sebenarnya yang setuju.
Jawab :
n1 = 2000 ; p1 = 1200/2000 = 0,60 ; q1 = 0,40 ;
n2 = 5000 ; p2 = 2400/5000 = 0,48 ; q2 = 0,52
SE = √ (p1q1/n1 + p2q2/n2) = 0,013 ; zα/2 = 1,96
E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel
(0,60 – 0,48) – 1,96(0,013) < (π1 –π2) < (0,60 – 0,48) +
1,96(0,013)
Jawab :
n1 = 2000 ; p1 = 1200/2000 = 0,60 ; q1 = 0,40 ;
n2 = 5000 ; p2 = 2400/5000 = 0,48 ; q2 = 0,52
SE = √ (p1q1/n1 + p2q2/n2) = 0,013 ; zα/2 = 1,96
(0,12 – 0,025) < (π1 –π2) < (0,12 – 0,025)
0,095 < (π1 –π2) < 0,145