Easitmasi Parameter ARIMA

ESTIMASI PARAMETERESTIMASI PARAMETERARIMAARIMA

Dr. Ruminta

@Ruminta 2009

EstimasiEstimasi NilaiNilai ParameterParameter

• Model AR (p) Parameter AR yaitu nilai φi diperoleh dari fungsi autokorelasi (ρk) melalui persamaan Yule Walker :

p-kp2-k21-k1k ... ρφρφρφρ +++=Untuk k =1,2,3, …, p diperoleh :

p2-p21-p1p

2-pp2112

1-pp1211

... ....................................

...

...

φρφρφρ

ρφφρφρ

ρφρφφρ

+++=+++=

+++=

+++=

@Ruminta 2009

Atau dalam bentuk persamaan matrik :

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−

pppp

p

p

p φ

φφ

ρρρ

ρρρρρρ

ρ

ρρ

M

K

MOMMM

K

K

M2

1

321

211

121

2

1

.

1

11

Jadi parameter model φI :

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−

pppp

p

p

p ρ

ρρ

ρρρ

ρρρρρρ

φ

φφ

M

K

MOMMM

K

K

M2

1

321

211

121

2

1

-1

1

11

.

@Ruminta 2009

Varians dari model AR :

pp

ey φρφρφρ

σσ−−−−

=...1 2211

22

Untuk model AR(1) disebut juga proses Markov :

ttt eyy += −11φ

11

−

=k

k

ρρφ Karena ρ0 = 1 dan k=1, maka :

11

0

1

11 1

ρρρρ

ρρφ ====−k

k

@Ruminta 2009

Varians dari model AR (1):

21

2

11

22

11 φσ

φρσσ

−=

−= ee

y

tttt eyyy ++= −− 2111 φφParameter model AR (2):

21

111 1

)1(ρρρφ

−−

=

21

212

2 1 ρρρφ

−−

=

Varians dari model AR (2):2211

22

1 φρφρσσ−−

= ey

@Ruminta 2009

• Model MA (q)Parameter MA yaitu nilai θi diperoleh dari fungsiautokorelasi (ρk) melalui persamaan :

222

21

qk-q1-k1k ...1

...

q

k

θθθθθθθθ

ρ++++

+++−=

Varians dari model MA :

2222

21

2 )...1( eqy σθθθσ ++++=

Parameter MA (1) :

011 1

1212

1

11 =++⇔

+−

=ρθθ

θθρ

ttt eey += −11θ

@Ruminta 2009

Atau

1)2(

121

1)2(

121

211

1

211

1

−−−=

−+−=

ρρθ

ρρθ

Varians dari model MA (1):

221

2 )1( ey σθσ +=

tttt eeey ++= −− 2211 θθParameter MA (2) :

22

21

211 1

)1(θθθθρ++−−

=

@Ruminta 2009

22

21

22 1 θθ

θρ++

−=

Varians dari model MA (2): 222

21

2 )1( ey σθθσ ++=

• Model ARMA (p,q) dan ARIMA (p,d,q)Parameter ARMA atau ARIMA yaitu nilai φi dan θidiperoleh dari fungsi autokorelasi (ρk) :

2k ,1

))(1(1

2 1

1-k1k

22

1

11111

22

1

112

10

≥=−

−−=

−−+

=

ρφρ

σθ

θφθφρ

σθ

θφθρ

e

e

@Ruminta 2009

tttt eeyy ++= −− 1111 θφParameter ARMA (1,1) :

Dengan mengeliminasi varians σe2 pada persamaan

autokrelasi diperoleh paramater model ARMA melaluipersamaan berikut

112

1

11111 21

))(1(θφθθφθφρ

−+−−

=

112 ρφρ =

Varians model ARMA (1,1) :

2

11

21

21

2 21)1(

1ey n

σρρ

ρφ

σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

=

@Ruminta 2009

tttt eeyy ++∆=∆ −− 1111 θφParameter ARIMA (1,1,1) :

Dengan mengeliminasi varians σe2 pada persamaan

autokrelasi diperoleh paramater model ARIMA melaluipersamaan berikut

112

1

11111 21

))(1(θφθθφθφρ

−+−−

=

112 ρφρ =

Varians model ARMA (1,1,1) :

2

11

21

21

2 21)1(

1ey n

σρρ

ρφ

σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

=

@Ruminta 2009

PengujianPengujian DiagnostikDiagnostik(Diagnostic Checking)(Diagnostic Checking)

• Pengujian model ARIMA dilakukan terhadapautokorelasi sisa (residual), menggunakan statistikQ Ljung-Box. Pengujian ini disebut test Portmanteau. Statistik Q mempunyai distribusi Chi Kuadrat (χ2) dengan db = k-p-q yang diuji. Ujiautokorelasi juga dapat dilakukan dengan ujiDurbin-Watson (d).

• Jika hasil uji menunjukkan ada autokorelasi yaitunilai Q signifikan (Q>χ2

tabel) atau nilai d tidakmendekati 2, perlu kembali ke tahap indentifikasiuntuk mengevaluasi model melalui penggunaan lag berikutnya.

@Ruminta 2009

Uji Portmanteau

@Ruminta 2009

Pengujian autokorelasi residu model ARIMA menggunakan statistik Q Ljung-Box :

dimanan = jumlah observasi data deret waktuk = lag (time lag)m = jumlah lag yang dijujirk = fungsi autokorelasasi residu pada periode lag k

∑= −

+=m

k

k

knr

nnQ1

2

)2(

Formulasi pengujian hipotesis :

0 0

11

10

≠=

ρρ

:H:H

Kriteria uji Portmanteau : nilai Q

Nilai kritis : χ2 pada Tabel Chi Kuadrat (db = m-p-q dan taraf nyata α)

⎩⎨⎧

≠→>=→≤

0: Terima0: Terima

Bila1

2,

2,

ρχρχ

α

α

HH

Qdb

odb

Kaidah keputusan :

Apabila nilai Q signifikan menunjukkan masih adaautokorelasi residu sehingga model tidak layakdigunakan untuk peramalan.

@Ruminta 2009

UjiUji Durbin Watson (Durbin Watson (dd))

∑

∑

=

−=

−= n

tt

t

n

tt

e

eed

1

2

21

2

)(

Pengujian autokorelasi residu model ARIMA menggunakan uji Durbin Watson (d) :

@Ruminta 2009

Kriteria nilai uji Durbin Watson (d) :

Nilai d Kriteria0 Menunjukkan autokorelasi positif

sempurna (perfect positive correlation)

2 Menunjukan tidak ada autokoralsi(no autocorrelation)

4 Menunjukkan autokorelasi negatifsempurna (perfect negative autocorrelation)

@Ruminta 2009

PeramalanPeramalan (Forecasting)(Forecasting)• Peramalan dapat dilakukan oleh model ARIMA

yang dinyakatan secara statistik layak untukdipergunakan setelah model tersebut dijui melauitest Portmanteau atau uji Durbin-Watson.

• Test terhadap model ARIMA sangat pentingsampai sejauh mana model tersebut dapatdigunakan untuk peramalan dengan baik.

• Pengujian model dapat dilakukan di dalamsampel ataupun di luar sampel data deret waktuyang dianalisis. Tetapi yang paling baik adalahterhadap data deret waktu di luar yang dianalisis.

@Ruminta 2009

TipeTipe PeramalanPeramalan• Peramalan satu tahap ke depan (one-step-ahead)

: peramalan hanya untuk satu observasiberikutnya.

• Peramalan multi tahap ke depan (multi-step-ahead) : peramalan untuk 1,2,3,…s tahap kedepan.

• Peramalan rekursif : peramalan dimana waktuestimasi awal ditentukan tetapi setiap observasitambahan dimasukan satu per satu ke dalampanjangnya waktu estimasi.

• Peramalan “rolling” : peramalan dimana periodewaktu estimasi ditentukan tetapi waktu dimulai dandiakhiri meningkat secara suksesif setia 1 tahap.

@Ruminta 2009

AkurasiAkurasi PeramalanPeramalan

1. Error Total (ET)2. Mean Error (ME)3. Mean Absolute Error (MAE)4. Percentage Error (PE)5. Mean Percentage Error (MPE)6. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)7. Mean Squared Error (MSE)8. Root Mean Squared Error (RMSE)

Akurasi peramalan didasarkan pada perbedaanantara hasil peramalan dengan data observasi padawaktu yang sama (t) dapat dianalisis melalui :

@Ruminta 2009

Error Total (ET)Error Total (ET)• Jumlah semua error :

• Menggunakan error asli (positif ataunegatif)

• Total error (ET) dapat positif ataunegatif

• Mengukur bias dalam peramalan• Peramalan yang baik ET mendekati nol.

∑∑==

=−=n

tt

n

ttt eYYET

11)ˆ(

@Ruminta 2009

Mean Error (ME)Mean Error (ME)• Rataan dari semua error :


• ME dapat positif atau negatif• Mengukur bias dalam peramalan• Peramalan yang baik ME mendekati

nol.

∑=

=n

tte

nME

1

1

@Ruminta 2009

Mean Absolute Error (MAE)Mean Absolute Error (MAE)• Rataan dari semua error :


• MAE bernilai positif• Mengukur bias dalam peramalan• Peramalan yang baik MAE mendekati

nol.

∑=

=n

tte

nMAE

1

1

@Ruminta 2009

Percentage Error (PE)Percentage Error (PE)

• Persetase error :

• Bernilai positif atau negatif• Mengukur bias, model yang baik PE

mendekati nol

100ˆ

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

t

ttt Y

YYPE

@Ruminta 2009

Mean Percentage Error (MPE)Mean Percentage Error (MPE)

• Rataan dari persetase error :

• Bernilai positif atau negatif• Mengukur bias, model yang baik MPE

mendekati nol

∑=

=n

ttPE

nMPE

1

1

@Ruminta 2009

Mean Absolute Percentage Error Mean Absolute Percentage Error (MAPE)(MAPE)

• Rataan dari persentase error absolut :

• Selalu bernilai positif• Mengukur besarnya (magnitude) error• Satuan : %

[ ] 1MA1∑=

=n

ttPE

nPE

@Ruminta 2009

Mean Squared Error (MSE)Mean Squared Error (MSE)

• Rataan dari error kuadrat :

• Selalu bernilai positif• Mengukur besarnya error

∑=

=n

tte

nMSE

1

21

@Ruminta 2009

Root Mean Squared Error (RMSE) Root Mean Squared Error (RMSE) • Akar kuadrat dari MSE :

• Selalu bernilai positif• Mengukur besarnya error• Standar deviasi dari error peramalan.

∑=

=n

tte

nRMSE

1

21

@Ruminta 2009

Uji U Theil

terbaikyang siidentifika hasilARIMA model hanya1U terbaikyang modelperamalan hasil hanya1U

akuratnya samaadalah modelperamalan hasil maupun siidentifika hasilARIMA modelbaik 1U

peramalan waktu ss waktu tpada observasi data

siidentifika hasilARIMA model dariperamalan nilai

)(

)(

,

,

2,

1

→>→<

→==

+=

=

−

−

=

+

=

+

+

+

+

∑

st

st

T

Tt

st

stst

st

stst

yfb

xfby

xfy

u

@Ruminta 2009

Teladan 1Tentukan Model ARIMA yang paling cocok untuk menggambarkan model data :

1. Produksi BBM, 2. Impor beras3. Penjualan CPO,4. Jumlah sunspot,

seperti ditunjukkan pada gambar dantabel berikut.

@Ruminta 2009

Tahun Produksi BBM WaktuY t

1960 6.577 11961 6.855 21962 6.939 31963 7.557 41964 8.065 51965 8.314 61966 8.009 71967 8.357 81968 9.404 91969 9.447 101970 9.388 111971 9.831 121972 10.409 131973 11.551 141974 11.301 151975 12.168 161976 12.852 171977 12.426 181978 13.346 191979 14.657 201980 14.561 211981 15.144 221982 15.254 231983 16.224 241984 16.118 251985 17.389 261986 17.94 271987 18.483 281988 18.398 291989 19.233 301990 19.16 311991 19.334 321992 19.854 33

1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Tahun

Produksi BBM (100 Ribu Ton)

1. Data Produksi BBM

@Ruminta 2009

ACF dan PACF Produksi BBM

87654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Produksi BBM

87654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Produksi BBM

Dari ACF tidak meluruh menunjukkan data tidakstasioner, data perlu dideferensiasi, untuk d=1 :

@Ruminta 2009

ACF dan PACF Produksi BBM (d=1)

87654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Produksi BBM

87654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Produksi BBM

ACF dan PACF menunjukkan meluruhsecara osilasi dimulai pada lag 1. Jadimodel yang cocok adalah ARIMA (1,1,1)

@Ruminta 2009

35302520151051

25

20

15

10

5

Time

Prod

uksi

BBM

Time Series Plot for Produksi BBM(with forecasts and their 95% confidence limits)

@Ruminta 2009

Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 0.0379 0.3680 0.10 0.919MA 1 0.5418 0.3140 1.73 0.095Constant 0.40619 0.03589 11.32 0.000

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statisticLag 12 24 36 48Chi-Square 8.8 15.0 * *DF 9 21 * *P-Value 0.456 0.824 * *

∆Yt=0.406 + 0.038 ∆Yt-1+ et + 0.542et-1

Yt – Yt-1 =0.406 + 0.038 (Yt-1 –Yt-2) + et + 0.542et-1

Yt =Yt-1 + 0.406 + 0.038 (Yt-1 –Yt-2) + et + 0.542et-1

@Ruminta 2009

3 3 504 4 2001 5 2502 6 1503 7 2004 8 3001 9 3502 10 2003 11 1504 12 4001 13 5502 14 3503 15 2504 16 5501 17 5502 18 4003 19 3504 20 6001 21 7502 22 5003 23 4004 24 6501 25 8502 26 6003 27 4504 28 700

4 8 12 16 20 24 28

50

99

148

197

246

295

344

393

442

491

540

589

638

687

736

785

834

883

Quorter

Impor Beras (Ribu Ton)

2. Data Impor Beras

@Ruminta 2009

ACF dan PACF Impor Beras

7654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Impor Beras

7654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Impor Beras

Dari ACF dan PACF tidak meluruh menunjukkandata tidak stasioner, data perlu dideferensiasi, untuk d=1 :

@Ruminta 2009

ACF dan PACF Impor Beras (d=1)

7654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Impor Beras

7654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Impor Beras


@Ruminta 2009

4035302520151051

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

Time

Impo

r Be

ras

Time Series Plot for Impor Beras(with forecasts and their 95% confidence limits)

@Ruminta 2009

Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 0.0615 0.0794 0.77 0.447AR 2 -0.9988 0.0808 -12.36 0.000MA 1 1.0130 0.2339 4.33 0.000MA 2 -0.0672 0.2467 -0.27 0.788Constant 42.7707 0.6239 68.56 0.000


∆Yt=42.771 + 0.062 ∆Yt-1-0.999 ∆ Yt-2 + et + 1.013et-1 -0.067et-2

Yt – Yt-1 = 42.771 + 0.062 (Yt-1 –Yt-2) -0.999(Yt-2 –Yt-3) + et + 1.013et-1 -0.067et-2

Yt = Yt-1 + 42.771 + 0.062 (Yt-1 –Yt-2) -0.999(Yt-2 –Yt-3) + et + 1.013et-1 -0.067et-2

@Ruminta 2009

Minggu Penjualan CPO1 2752 2913 3074 2815 2956 2687 2528 2799 26410 28811 30212 28713 29014 31115 27716 24517 28218 27719 29820 30321 31022 29923 28524 25025 26026 24527 27128 28229 30230 285

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

45

65

85

05

Minggu

Penjualan CPO (Ribu Ton)

3. Data Penjualan CPO

@Ruminta 2009

ACF dan PACF Penjualan CPO

87654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Penjualan CPO

87654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Penjualan CPO


@Ruminta 2009

4035302520151051

340

320

300

280

260

240

220

Time

Penj

uala

n CP

OTime Series Plot for Penjualan CPO

(with forecasts and their 95% confidence limits)

@Ruminta 2009

Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 0.5539 1.1559 0.48 0.636SAR 4 -0.9887 0.1177 -8.40 0.000MA 1 0.4073 1.2088 0.34 0.739SMA 4 -0.5709 0.2209 -2.58 0.016Constant 249.124 2.797 89.08 0.000Mean 280.783 3.152


@Ruminta 2009

4. Data SunspotBulan 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Januari - 1.208 1.202 1.272 1.411 1.431

Februari - 0.700 0.599 0.938 1.089 0.903

Maret - 0.524 0.564 0.785 0.800 0.613

April - 0.444 0.433 0.480 0.552 0.697

Mai - 0.424 0.365 0.488 0.503 0.396

Juni - 0.490 0.459 0.461 0.465 0.528

Juli 0.639 0.904 0.598 0.681 0.603 0.662

Augustus 1.115 0.913 0.889 0.799 0.830 0.830

September 1.371 1.560 1.346 1.272 1.128 1.395

Oktober 1.792 1.863 1.796 1.574 1.638 1.771

November 1.884 2.012 1.867 1.697 1.695 1.846

Desember 1.519 1.088 1.224 1.282 1.445 -

@Ruminta 2009

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61

Waktu (Bulan)

Bila

ngan

Sun

spot

@Ruminta 2009

ACF dan PACF Jumlah Sunspot

16151413121110987654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Jumlah Sunspot

16151413121110987654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Jumlah Sunspot

Dari ACF tidak meluruh menunjukkan data tidakstasioner, data perlu dideferensiasi, untuk d=1 :

@Ruminta 2009

ACF dan PACF Jumlah Sunspot (d=1)

16151413121110987654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Jumlah Sunspot

16151413121110987654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Jumlah Sunspot


@Ruminta 2009

8478726660544842363024181261

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Time

Jum

lah

Suns

pot

Time Series Plot for Jumlah Sunspot(with forecasts and their 95% confidence limits)

@Ruminta 2009

Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 -0.2944 0.3092 -0.95 0.346AR 2 0.4651 0.1823 2.55 0.014SAR 12 -0.1621 0.2525 -0.64 0.524MA 1 0.3053 0.3537 0.86 0.393MA 2 0.5876 0.2942 2.00 0.052SMA 12 0.7230 0.2392 3.02 0.004Constant 0.001014 0.001294 0.78 0.437

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statisticLag 12 24 36 48Chi-Square 19.6 32.0 42.3 54.2DF 5 17 29 41P-Value 0.001 0.015 0.053 0.082

@Ruminta 2009

MODEL ARIMA LEADING INDIKATOR

• Memadukan analisis regresi dan deret waktu. Model ini menggunakan prediktor dari variabel lain yang hubungan kausalitasnya tinggi.

• Jika variabel prediktor X1, X2, …, Xn dan variabelrespon (data deret waktu) Yi, maka model ARIMA Leading Indikator dapat dinyatakan sebagai :

ttnttt eLLX

LLX

LLX

LLY

)()(

)()(...

)()(

)()(

,,2,1 φθ

δω

δω

δω

+++=

Regresi ARIMA

@Ruminta 2009

dimana

indikator leading ,...., ,,2,1 =tntt XXX

ttt YYe ˆ−=

( ) )......(1L 221

ppLLL ωωωω ++++=

( ) )......(1L 221

ppLLL δδδδ ++++=

( ) )......(1L 221

ppLLL θθθθ ++++=

( ) )......(1L 221

ppLLL φφφφ ++++=

@Ruminta 2009

Easitmasi Parameter ARIMA

Documents

Transcript of Easitmasi Parameter ARIMA