II Vežba Statistika (1)

Student-ov t-testANOVA

Student-ov t-testStudent-ov t-test

mali broj podataka (uzorak) uzetih iz normalne raspodele nepoznata populaciona standardna devijacija nepoznata populaciona standardna devijacija σσ nepoznata populaciona srednja vrednost μnepoznata populaciona srednja vrednost μ

* Primena Student-ovog t-testa:Primena Student-ovog t-testa:1. poređenje xsr jedne grupe podataka sa tačno deklarisanom vrednošću-

Student-ov t-test za srednju vrednost jedne populacije 2. poređenje srednjih vrednosti dve grupe podataka3. kod paralelnih određivanja4. kod poređenja procentualne zastupljenosti

σσ→→ Sd Sd

μ→μ→ xN

Sdμx

t

1.1. Student-ov t-test za srednju vrednost jedne populacijeStudent-ov t-test za srednju vrednost jedne populacije

Primer 1Deklarisan sadržaj šećera u 100g neke čokolade je 25g. Na osnovu slučajnog uzorka od 16 čokolada koje su proizvedene u istoj seriji dobijena je srednja vrednost 24g sa standardnom devijacijom 2g. Pokazati da li se sadržaj šećera u ispitivanoj seriji čokolada statistički značajno razlikuje od deklarisanog.

Da bismo mogli da donesemo zaključak o prihvatanju ili odbacivanju Ho, tizračunato upoređujemo sa kritičnom vrednosti t koja se očitava iz tabele za t-raspodelu (ttabelarno) za određeni broj stepeni slobode (φ) i zadati nivo značajnosti (α).

Po pravilu: α = 0,05 (osim ako u zadatku nije drugačije naglašeno)

N

Sdμx

t

20,5

1

16

22524

t

dvostrani test

H0:μ=25

HA:μ≠25

25

16

2

24

N

Sd

x

t tabelarno = 2,131

α za jednostrani test

α za dvostran

i test

φ

broj stepeni slobode

2,131

t izračunato = 2φ = N – 1 = 16 – 1 = 15α = 0,05t tabelarno = ?

t izračunato = 2 t tabelarno = 2,131

t izračunato < t tabelarno → Ho se prihvata → Ho: μ = 25

Zaključak:

Sadržaj šećera u ispitivanoj seriji čokolada se statistički značajno ne razlikuje od 25g.

H0 se odbacuj

e

/2/2 /2/2

xHo se prihvataHo se odbacuje Ho se odbacuje

1. Student-ov t-test za srednju vrednost jedne 1. Student-ov t-test za srednju vrednost jedne populacijepopulacije

Primer 2 Deklarisan sadržaj šećera u 100g neke čokolade je 25g. Na osnovu

slučajnog uzorka od 16 čokolada koje su proizvedene u istoj seriji dobijena je srednja vrednost 24g sa standardnom devijacijom 2g. Pokazati da li je sadržaj šećera u ispitivanoj seriji čokolada statistički značajno manji od deklarisanog.

Jednostrani test

Ho: µ ≥ 25

HA: µ ‹ 25

20,5

1

16

22524

N

Sdμx

t

xHo se odbacuje Ho se prihvata

HH00: : xxsrsr >>

HHAA: : xxsrsr<<

Levostrani test

05,0

25

16

2

24

N

Sd

x

jednostrani test: t ima predznakza desnostrani test predznak +za levostrani test predznak -

t tabelarno = -1,753

α za jednostrani test

α za dvostran

i test

φ

broj stepeni slobode

1,753

t izračunato = -2φ = N – 1 = 16 – 1 = 15α = 0,05t tabelarno = ?

t izračunato = -2 t tabelarno = -1,753

t izračunato < t tabelarno → Ho se odbacuje, HA se prihvata→ HA: μ < 25

Zaključak:

Sadržaj šećera u ispitivanoj seriji čokolada je statistički značajnomanji od 25g.

xHo se odbacuje Ho se prihvata

Levostrani test

-1,753-2

http://www.quantitativeskills.com/sisa/statistics/t-test.htmhttp://www.quantitativeskills.com/sisa/statistics/t-test.htm

ZaključakZaključak

površina levo od p: Levostrani test: značajna

razlika!

Dvostrani test: nije značajna

razlika!

Ukoliko imamo desnostrani

test: p=1-left p!

1NSdSd

xxt

22

21

21

2. Student-ov t-test za srednje vrednosti dve 2. Student-ov t-test za srednje vrednosti dve populacijepopulacije

a) obe grupe imaju isti broj podataka: N1=N2=N

21

21

21

2211

21

NNNN

2NNSdNSdN

xxt

22

b) grupe imaju različiti broj podataka: N1≠N2


a) a) obe grupe imaju isti broj podatakaobe grupe imaju isti broj podataka: : N1=N2=NN1=N2=N

U januarskom ispitnom roku 20 studenata je polagalo ispite iz matematike i statistike. Prosečna ocena iz statistike ove grupe studenata je 8,5 (Sd = 0,2), a iz matematike 8,3 (Sd = 0,5). Da li su studenti pokazali značajno bolji uspeh iz statistike u odnosu na matematiku?

jednostrani test

H0 : μ1 ≤ μ2

HA : μ1 > μ2

66,112,0

2,0

1929,0

2,0

1202,05,0

3,85,822

1NSdSd

xxt

22

21

21

20

2,0

5,8

1

1

1

N

Sd

x

statistika

20

5,0

3,8

2

2

2

N

Sd

x

matematika

t tabelarno = 1,686

jednostrani test(desnostrani)

t izračunato = 1,66α = 0,05φ = N1 + N2 – 2 φ = 20 + 20 – 2 = 38t tabelarno = ?

1,686

t izračunato = 1,66 t tabelarno = 1,686

t izračunato < t tabelarno → Ho se prihvata → Ho: μ1 ≤ μ2

Zaključak:

Studenti nisu pokazali značajno bolji uspeh iz statistike u odnosu namatematiku.

Ho se odbacujeHo se prihvata

1,6861,66

Desnostrani test

b) b) grupe imaju različiti broj podataka: grupe imaju različiti broj podataka: N1≠N2N1≠N2

Farmaceutska kompanija A je izbacila na tržište nove tablete aspirina. Na 30 osoba koje pate od glavobolje ispitan je uzorak od 18 tableta kompanije A i 12 tableta kompanije B. Mereno je vreme (u minutama) koje je potrebno da prestane bol u cilju provere da li postoji značajna razlika u delovanju tableta ove dve kompanije. Dobijeni rezultati u ove dve posmatrane grupe su:


dvostrani

test:

H0:μ1=µ2

HA: μ1≠µ2

3,0684,1

5,0

834,2

5,012181218

212186,4122,418

9,84,822

t

t

21

21

21

2211

21

NNNN

2NNSdNSdN

xxt

22

18

2,4

4,8

1

1

1

N

Sd

x

A kompanija

12

6,4

9,8

1

1

1

N

Sd

x

B kompanija

t tabelarno = 2,048

t izračunato = 0,3

α = 0,05

φ = N1 + N2 – 2 = 18 + 12 – 2

= 28

dvostrani test

t izračunato < t tabelarno → Ho se prihvata → Ho: μ1 = μ2

Zaključak:

Nema statistički značajne razlike u delovanju aspirina kojeg proizvodeove dve kompanije.

t izračunato = 0,3t tabelarno = 2,048

Primer 1:Primer 1: Lekar nutricionista je želeo da ispita da li postoji razlika u

vrednostima holesterola kod osoba koje su vegeterijanci u odnosu na osobe sa uobičajenom ishranom. Koristio je grupu od 20 vegeterijanaca i 20 ljudi sa uobičajenom ishranom. Nakon merenja, dobijene su sledeće vrednosti:

Chol, V

5.8 6.5 4.5 6.1 6.6 6.6 5.9 4.4 4.8 5.7 3.4 4.8 3.6 4.6 5.6 6.1 4.8 3.9 4.5 4.5

Chol, U

4.7 4.5 3.5 4.5 3.7 6.4 4.9 5.3 4.5 4.6 5.3 4.9 5.4 6.2 4.5 3.7 3.7 6.4 4.9 5.3

2. Student-ov t-test za srednje vrednosti dve populacije2. Student-ov t-test za srednje vrednosti dve populacije--MS-ExelMS-Exel

dvostrani

test:

H0:μ1=µ2

HA: μ1≠µ2

Tools, Data Analysis, t-test: Two-sample Assuming Equal Variances

Input Variable 1 Range: obeležiti prvu grupu sa nazivom Variable 2 Range: obeležiti drugu grupu sa nazivom

Podaci se unose u sledećem obliku:

označiti polje Labels

označiti polje Output range i postaviti kursor na polje u Worksheetu gde treba da se pojavi izveštaj

OK

Chol, V

Chol, U

5.8 4.76.5 4.54.5 3.56.1 4.56.6 3.76.6 6.45.9 4.94.4 5.34.8 4.55.7 4.63.4 5.34.8 4.93.6 5.44.6 6.25.6 4.56.1 3.74.8 3.73.9 6.44.5 4.94.5 5.3

IzveštajIzveštaj

t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances

Chol, V Chol, UMean 5.135 4.85Variance 0.991868 0.728947368Observations 20 20Pooled Variance 0.860408Hypothesized Mean Difference 0df 38t Stat 0.971612P(T<=t) one-tail 0.168694t Critical one-tail 1.685954P(T<=t) two-tail 0.337388t Critical two-tail 2.024394

t-tabelarno za

dvostrani test

t-izračunato

Verovatnoća: ako je

p<0,05 postoji

statistički značajna razlika

φ=N1+N2-2

ZakljuZaključakčak

t Stat=0.971612 t Critical two-tail=2.024394

t Stat< t Critical two-tail

P(T<=t) two-tail=0.337388, p≥0,05

Ho se prihvata → Ho: μ1 = μ2

Nema značajne razlike u koncentraciji holesterola Nema značajne razlike u koncentraciji holesterola

kod vegeterijanaca i kod ljudi na uobičajenoj kod vegeterijanaca i kod ljudi na uobičajenoj

ishrani.ishrani.

2. 2. Student-ov t-test za srednje vrednosti dve Student-ov t-test za srednje vrednosti dve populacijepopulacije--MS-ExelMS-Exel

Primer 2:Primer 2: Lekar nutricionista je želeo da ispita da li osobe koje su

vegeterijanci imaju manju koncentraciju holesterola u odnosu na osobe sa uobičajenom ishranom. Koristio je grupu od 20 vegeterijanaca i 20 ljudi sa uobičajenom ishranom. Nakon merenja, dobijene su sledeće vrednosti:

Chol, V

5.8

6.5

4.5

6.1

6.6

6.6

5.9

4.4

4.8

5.7

3.4

4.8

3.6

4.6

5.6

6.1

4.8

3.9

4.5

4.5

Chol, U

4.7

4.5

3.5

4.5

3.7

6.4

4.9

5.3

4.5

4.6

5.3

4.9

5.4

6.2

4.5

3.7

3.7

6.4

4.9

5.3

Jednostrani test- levostrani

Ho: µ ≥ 25

HA: µ ‹ 25

IzveštajIzveštaj

t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances

Chol, V Chol, UMean 5.135 4.85Variance 0.991868 0.728947368Observations 20 20Pooled Variance 0.860408Hypothesized Mean Difference 0df 38t Stat 0.971612P(T<=t) one-tail 0.168694t Critical one-tail 1.685954P(T<=t) two-tail 0.337388t Critical two-tail 2.024394

t-tabelarno za

jednostrani test

t-izračunato

Verovatnoća: ako je

p<0,05 postoji

statistički značajna razlika

φ=N1+N2-2

ZakljuZaključakčak

t Stat=0.971612 t Critical one-tail= 1.685954

t Stat< t Critical one-tail

P(T<=t) one-tail= 0.168694, p≥0,05

Ho se prihvata → Ho: μ1 = μ2

Nema značajne razlike u koncentraciji holesterola Nema značajne razlike u koncentraciji holesterola

kod vegeterijanaca i kod ljudi na uobičajenoj kod vegeterijanaca i kod ljudi na uobičajenoj

ishrani.ishrani.

3. Student-ov t-test za paralelno određivanje3. Student-ov t-test za paralelno određivanje

Primer: Kod 9 atletičara merena je telesna težina pre i posle letnje olimpijade. Pokazati da li se njihova telesna težina značajno promenila u toku takmičenja.

pre: 92,8 92,6 98,4 101,6 102,9 93,5 92,0 97,0 106,8posle: 92,7 92,9 98,9 102,2 103,3 93,3 92,3 97,5 106,7

0:

0:

dH

dH

A

o

N

Sdd

td

N

Sd

d

d

-srednja razlika parova vrednosti

-standardna devijacija

-broj parova vrednosti

pre posle d d2

92,8 92,7 0,1 0,01

92,6 92,9 -0,3 0,09

98,4 98,9 -0,5 0,25

101,6 102,2 -0,6 0,36

102,9 103,3 -0,4 0,16

93,5 93,3 0,2 0,04

92,0 92,3 -0,3 0,09

97,0 97,5 -0,5 0,25

106,8 106,7 0,1 0,01

Σd = -2,2 Σd2 = 1,26

2,440,1

0,24

9

0,30,244

N

Sdd

t

0,38

0,724

19

0,244)(91,26Sd

1N

)d(NdSd

0,2449

2,2

N

dd

N

d

N

)x(xd

d

2

d

22

d

21

t izračunato = 2,44

α = 0,05

φ = N – 1 = 9 - 1 = 8

N – broj parova vrednosti

dvostrani test


t izračunato > t tabelarno → Ho se odbacuje → HA: d ≠0

Zaključak:

Telesna težina atletičara se značajno promenila u toku takmičenja.

t tabelarno = 2,306

Tools, Data Analysis, t-Test: Paired Two Sample for Means

Input Variable 1 Range: obeležiti prvu grupu sa nazivom Variable 2 Range: obeležiti drugu grupu sa nazivom

Podaci se unose u sledećem obliku:

označiti polje Labels

označiti polje Output range i postaviti kursor na polje u Worksheetu gde treba da se pojavi izveštaj

OK

pre posle92.8 92.792.6 92.998.4 98.9

101.6 102.2102.9 103.393.5 93.392 92.397 97.5

106.8 106.7

Exel-uputstvoExel-uputstvo

IzveštajIzveštaj

t-Test: Paired Two Sample for Means

pre posleMean 97.51111 97.75555556Variance 28.23361 28.82777778Observations 9 9Pearson Correlation 0.998472Hypothesized Mean Difference 0df 8t Stat -2.44068P(T<=t) one-tail 0.020261t Critical one-tail 1.859548P(T<=t) two-tail 0.040521t Critical two-tail 2.306004

t-tabelarno za

dvostrani test

t-izračunatoVerovatnoća: ako je

p<0,05 postoji

statistički značajna

razlika

φ=N-1


t Stat= -2.44068 t Critical two-tail= 2.306004

↓t Stat > t Critical two-tail

P(T<=t) two-tail= 0.040521 p<0,05

Ho se odbacuje! HA: d≠0

Telesna težina atletičara se značajno promenila u Telesna težina atletičara se značajno promenila u toku takmičenja!toku takmičenja!

4. Student-ov t-test za procentualnu zastupljenost 4. Student-ov t-test za procentualnu zastupljenost (proporciju)(proporciju)

Primer Posle izbora izvršena je analiza izašlih birača na jednom biračkom mestu i dobijeni su sledeći rezultati: od 200 muškaraca upisanih u spisak glasalo je 103, a od 100 žena glasalo je 59. Da li postoji značajna razlika u broju muškaraca i žena koji su glasali na izborima?

p1 – željeno obeležje u grupi 1q1 – suprotno obeležje u grupi 1p2 – željeno obeležje u grupi 2q2 – suprotno obeležje u grupi 2N1 – broj podataka u grupi 1N2 – broj podataka u grupi 2

dvostrani

test:

H0: p1=p2

HA: p1≠p2

2

22

1

21

21

Nqp

Nqp

ppt

muškarci:

glasalo=103

nije glasalo=97

N1=200

žene:

glasalo=59

nije glasalo=41

N1=100

muškarci koji su glasali (p1):51,5%

200→100%

103→x%

x=51,5%

muškarci koji nisu glasali (q1):48,5%

100%- 51,5%=48,5%

žene koje su glasale (p2):59%

100→100%

59→x%

x=59%

žene koje nisu glasale (q2):41%

100%- 59%=41%

2

22

1

21

21

Nqp

Nqp

ppt

24,106,6

5,7

7,36

5,7

1004159

20048,551,5

5951,5t

muškarci:

p1=51,5%

q1=48,5%

N1=200

žene:

p2=59%

q2=41%

N2=100

t izračunato = 1,24α = 0,05φ = N1 + N2 – 2 φ = 200 + 100 – 2 = 298t tabelarno = ?

t tabelarno = 1,961,96

dvostrani test

φφ = = ∞∞

1,96


Zaključak:

Ne postoji značajna razlika u broju muškaraca i žena koji su glasali naizborima.

t izračunato < t tabelarno → Ho se prihvata → Ho: p1 = p2

Jednofaktorska ANOVAJednofaktorska ANOVA

PrimenaIspitivanje uticaja jedne nezavisne promenljive (FAKTOR UTICAJA) na jednu zavisnu promenljivu.Faktor uticaja ima 3 ili više subkategorija (podgrupa).

Za razliku od Studentovog t-testa gde se testira značajnost razlike između dve srednje vrednosti, kod analize varijanse uvek imamo 3 ili više srednjih vrednosti, pa shodno tome imamo više HA

Hipoteze:

H0: 1 = 2 = 3 Sve populacione srednje vrednosti su jednake

HA: 1 2 3

HA: 1 = 2 3

HA: 1 2 = 3

HA: 1 = 3 2

H0:μ-nisu sve jednake

Najmanje jedna srednja vrednost je

različita

Primer:

U standardnom uzorku seruma određen je kalcijum u 4 laboratorije (A, B, C, D) istom metodom. Pokazati da li je razlika između dobijenih srednjih vrednosti značajnaA: 2,50 2,51 2,52 2,52 2,50 2,53 2,52B: 2,51 2,50 2,53 2,50 2,50 2,52C: 2,49 2,48 2,49 2,48 2,47 2,48D: 2,52 2,53 2,50 2,51 2,52 2,53 2,52 2,52

Da li postoji razlika u rezultatima koje su dobile ove 4 laboratorije?

Postavljanje hipotezaPostavljanje hipoteza

Ho: 1 = 2 = 3 = 4 HA: 1 ≠ 2 = 3 = 4

HA: 1 = 2 = 3 ≠ 4

HA: 1 = 2 ≠ 3 = 4

HA: 1 = 2 ≠ 3 = 4 .......................

HA: najmanje jedno ≠≠ ii

Izvori varijacija:Izvori varijacija:

Uzrok varijacije između grupa ( Vig )

Uzrok varijacije

unutargrupe

( Vug )

Vig > Vug → uticaj nezavisne promenljive (faktora) na zavisnu promenljivu je

ZNAČAJAN

A B C D

2,50 2,51 2,49 2,52

2,51 2,50 2,48 2,53

2,52 2,53 2,49 2,50

2,52 2,50 2,48 2,51

2,50 2,50 2,47 2,52

2,53 2,52 2,48 2,53

2,52 2,52

2,52

Ukupna varijansa:Ukupna varijansa:

Vtot = Vig + Vug

Izvor varijacije

SK odstupanja od

srednje vrednosti

φ Varijansa

Između grupa

SKig m – 1 SKig /(m-1)

Unutar grupa

Skug N - m Skug/(N-m)

Ukupno SKtot N - 1 --za ukupnu varijansu: φ = N – 1-za varijansu između grupa: φ1 = m – 1 -za varijansu unutar grupa: φ2 = N - m

N = ukupan broj podataka u svim grupamam = broj grupa

SK - suma kvadrata odstupanja od opšte srednje vrednosti

broj stepeni slobode za ukupnu varijansu1

22

NxNx

Vtot

Stepeni slobode:Stepeni slobode:

Suma kvadrata odstupanja od opšte srednje vrednosti:Suma kvadrata odstupanja od opšte srednje vrednosti:

Suma kvadrata odstupanja između grupa:

broj podataka u grupi

C

n

x

n

x

n

xSK

n

nnnig

n

2

2

2

1

2

...21

zbir svih vrednosti u grupi

2

22

2222

Nx

NxNx

NxxNxSKtot

CxSKtot2

ako se izraz označi sa C onda sledi: Nx 2

Suma kvadrata odstupanja unutar grupa:

SKSKugug = SK = SKtottot - SK - SKigigSKSKtottot = SK = SKigig + SK + SKugug

SKSKigig = ? = ?

7515,169

27

)67,7(

27

15,2089,1406,156,17 222

N

xC

broj podataka u grupi

C

n

x

n

x

n

x

n

xSKig

4

2

3

2

2

2

1

2

4321

zbir svih vrednosti u grupi

0,00547515,1697568,16975,1698

15,20

6

89,14

6

06,15

7

6,17 2222

igSK

20,1552,252,253,252,251,250,253,252,2

14,8948,247,248,249,248,249,2

15,0652,250,250,253,250,251,2

17,652,253,250,252,252,252,250,2

4

3

2

1

x

x

x

x

SKSKugug = ? = ?

CxSKtot2

169,7594

52,252,253,252,251,250,253,252,248,247,2

48,249,248,249,252,250,250,253,250,2

51,252,253,250,252,252,251,250,2

2222222222

222222222

222222222

x

0079,07515,1697594,169 totSK

SKSKugug = SK = SKtottot - SK - SKigig

7515,169

27

)67,7(

27

15,2089,1406,156,17 222

N

xC

SKug = SKtot – SKig=0,0079-0,0054=0,0025

Iz odnosa varijansi između i unutar grupa računa se F vrednost:

ug

ig

V

VF 21,16

00011,0

00179,0F

Izvor varijacije

SK odstupanja od

srednje vrednosti

φ Varijansa

Između grupa

0,0054 m – 1=4-1=3 0,00179

Unutar grupa

0,0079N – m=27-

4=230,00011

Ukupno0,0025 N – 1=27-1=26 -

00011,023

0025,0

)(

00179,03

0054,0

)1(

mN

SKV

m

SKV

ugug

igig

Da bismo mogli da donesemo zaključak o prihvatanju ili odbacivanju Ho, Fizračunato upoređujemo sa kritičnom vrednosti F koja se očitava iz tabele za F-raspodelu (Ftabelarno) za određeni broj stepeni slobode (φ1 i φ2) i zadati nivo značajnosti (α = 0,05).

FFtabelarnotabelarno =? =?

φφ1 = m – 1 = 31 = m – 1 = 3φφ2 = N – m = 232 = N – m = 23

3,03

φ1

φ2

F izračunato = 16,21 F tabelarno = 3,03

F izračunato > F tabelarno → Ho se odbacuje →

HA: najmanje jedno ≠≠ ii

Zaključak:Postoji statistički značajna razlika u rezultatima koje su dobile 4 laboratorije!

Post Hock test!

Tools, Data Analysis, Anova: Single Factors Input rangeInput range: obeležiti sve grupe zajedno sa nazivima

podaci se unose u sledećem obliku

Jednofaktorska Anova u MS-ExeluJednofaktorska Anova u MS-Exelu

A B C D

2,50 2,51 2,49 2,52

2,51 2,50 2,48 2,53

2,52 2,53 2,49 2,50

2,52 2,50 2,48 2,51

2,50 2,50 2,47 2,52

2,53 2,52 2,48 2,53

2,52 2,52

2,52

Označiti polje Grouped by Grouped by columnscolumns označiti polje Labels in first rowLabels in first row označiti polje Output rangeOutput range i postaviti kursor na polje u Worksheetu gde treba da se pojavi izveštaj OKOK

IzveštajIzveštaj

φ F-izračunatoF-tabelarno

p<0,05-postoji

značajna razlika

Anova: Single Factor

SUMMARY

Groups Count Sum Average Variance

A 7 17,6 2,514286 0,000129

B 6 15,06 2,51 0,00016

C 6 14,89 2,481667 5,67E-05

D 8 20,15 2,51875 9,82E-05

ANOVA

Source of Variation SS df MS F P-value F crit

Between Groups 0,005376 3 0,001792 16,21311 7,02E-06 3,027998

Within Groups 0,002542 23 0,000111

Total 0,007919 26


p= 7,02*10-6, p<0,05 → Ho se odbacuje → HA: najmanje jedno ≠≠ ii

Nulta hipoteza se ne prihvata, negde Nulta hipoteza se ne prihvata, negde postoji razlika između srednjih vrednosti !postoji razlika između srednjih vrednosti !

↓Post Hock

F > F crit

II Vežba Statistika (1)

Documents

Transcript of II Vežba Statistika (1)