Logica in actie  H O O F D S T U K   3  

Wie A zegt moet B zeggen   Logici ontwerpen niet alleen systemen om bestaande vormen van redene‐ren te analyseren, ze bestuderen ook de eigenschappen van die systemen op zich. De propositielogica is daarvan een uitstekend voorbeeld, want we kunnen dit systeem gebruiken om nu stelselmatige wetmatigheden aan het licht te brengen.  Wat maakt bijvoorbeeld de formule ¬(p ∧ ¬p) zo bijzonder? Dat is vooral het feit dat de formule niet onwaar kan worden, anders gezegd: dat de formule waar is, of p nu waar is of niet. Dit kunnen we aflezen uit de waar‐heidstabel van de formule. Deze eigenschap komt bij veel formules voor en is van groot belang, zowel voor de theorie als voor diverse toepassingen.  Een andere wetmatigheid heeft te maken met redeneringen. Een redenering van de vorm ‘uit p ∨ ¬q en q kan men p afleiden’ vonden we correct (gel‐dig), en we kunnen uitzoeken welke eigenschap van de waarheidstabellen van de formules in kwestie hiervoor verantwoordelijk is.  Door op zo’n wiskundige manier te denken kunnen we dus precies defi‐niëren wat geldigheid is, maar we kunnen hiermee ook allerlei mooie patronen zien in geldig redeneren die anders onzichtbaar zouden blijven. Voorbeelden die we zullen zien zijn de dualiteit van conjunctie en disjunc‐tie in de aanwezigheid van negatie, en het systematisch aan elkaar schake‐len van implicaties.   3.1  Tautologie  Door middel van waarheidstabellen kunnen we onderzoeken onder welke voorwaarden een formule waar is. Twee gevallen springen er duidelijk uit: formules die altijd waar zijn en formules die altijd onwaar zijn. Met ‘altijd’ bedoelen we: bij elke toekenning van waarheidswaarden aan propositie‐letters.    

1 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

VOORBEELD  3.1  De formule p ∨ ¬p is waar, ongeacht de waarheidswaarde van p. Dit is direct te zien aan de waarheidstabel:                    p     p     ∨     ¬    p  1    1    1    0    1 0    0    1    1    0      1    3    2    1                     De waarheidswaarden van de hele formule staan in de kolom onder ∨, die in stap 3 berekend worden. In deze kolom staan alleen enen, zodat de for‐mule altijd waar is. Elke uitspraak van deze vorm is dus altijd waar. Vanaf nu geven we trouwens de stappen waarin de waarheidstabel wordt opge‐steld (de onderste rij in de tabel) niet meer aan.  ◊  

VOORBEELD  3.2  De formule (p ∧ (p → q)) → q is waar, welke waarheidswaarde we ook voor p en q kiezen.                                        p    q    (p     ∧     (p     →     q))     →     q  1    1    1    1    1    1    1    1    1  1    0    1    0    1    0    0    1    0  0    1    0    0    0    1    1    1    1  0    0    0    0    0    1    0    1    0                                              ◊  Zo’n toekenning van waarheidswaarden aan propositieletters heet een ‘waardering’. Een waardering w is een functie van propositieletters naar waarheidswaarden, dat wil zeggen w: {p, q, r, ...} → {0, 1}. En een waar‐dering die een formule waar maakt noemen we een model voor die formule. Je zou ook kunnen zeggen dat die waardering ‘model staat’ voor die for‐mule. Een formule is vervulbaar als deze ten minste één model heeft.  

DEFINITIE  3.1  Een tautologie is een formule van de propositielogica die waar is voor elke waardering.  Bij iedere rij in een waarheidstabel hoort dus een waardering. De formules in de laatste twee voorbeelden, die voor iedere waardering waar zijn, zijn tautologieën. Bij een tautologie is iedere waardering ook model voor die formule.  Om na te gaan of een formule een tautologie is, dienen we dus een waar‐heidstabel voor de formule op te stellen, en vervolgens te kijken of de kolom onder het connectief met het grootste bereik alleen maar enen bevat. 

2 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

De tegenhanger van een tautologie is een formule die voor iedere waar‐dering onwaar is. Dit heet een contradictie.   

VOORBEELD  3.3  De formule p ∧ ¬p is onwaar, ongeacht de waarheidswaarde van p.                      p     p     ∧     ¬    p  1    1    0    0    1 0    0    0    1    0                         ◊  In de hoofdkolom van de waarheidstabel van een contradictie staan dus alleen maar nullen. Het is duidelijk dat een formule niet zowel een contra‐dictie als een tautologie kan zijn. Er is wel een verband: ¬ϕ is een contra‐dictie, precies dan als ϕ een tautologie is, en ϕ is een contradictie, precies dan als ¬ϕ een tautologie is. Er bestaan ook formules die geen van beide zijn. Een eenvoudige propositieletter p voldoet daar al aan! Een ander voorbeeld is als volgt.  

VOORBEELD  3.4  De formule p ∧ ¬q is waar voor één waardering, en onwaar voor de overige waarderingen.                            p    q    p     ∧     ¬    q  1    1    1    0    0    1   1    0    1    1    1    0  0    1    0    0    0    1  0    0    0    0    1    0                          ◊  Bepaalde vormen van tautologieën keren steeds weer terug. Het is immers alleen de vorm van de propositie die haar geldig maakt. Daarom zijn naast  p ∨ ¬p ook q ∨ ¬q en ((p ∧ q) ∨ r) ∨ ¬((p ∧ q) ∨ r) tautologieën. Kortom, alle formules van de vorm ϕ ∨ ¬ ϕ zijn tautologieën. Deze wet heet het principe van uitgesloten derde. In het Latijn is dit: ‘tertium non datur’, hetgeen bete‐kent “een derde wordt niet gegeven”. Andere tautologieën zijn:  –  ϕ ↔ ¬¬ϕ  –  (ϕ ∧ ¬ϕ) → ψ  –  (ϕ ∧ (ϕ → ψ)) → ψ  –  ¬(ϕ ∧ ψ) ↔ (¬ϕ ∨ ¬ψ)  –  ¬(ϕ ∨ ψ) ↔ (¬ϕ ∧ ¬ψ)  –  (ϕ → ψ) ↔ (¬ψ → ¬ ϕ)   Dit kunt u desgewenst met waarheidstabellen aantonen.  

3 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

We hoeven nu niet meer een omvangrijke waarheidstabel voor bijvoorbeeld ((p ∧ q) → (¬r ∨ s)) ↔ ¬¬((p ∧ q) → (¬r ∨ s)) op te stellen; het volstaat om te herkennen dat deze formule de vorm ϕ ↔ ¬¬ϕ heeft.  

Verum en falsum  Het is handig om een hele korte formule te hebben die een tautologie is. Soms wordt het speciale symbool ⊤ ingevoerd als afkorting voor p ∨ ¬p. Dit ⊤ staat voor, in het Engels: ‘true’. In het Latijn spreken we van ‘verum’. Voor contradicties geldt net zoiets. De formule die altijd onwaar is wordt weergegeven met het symbool ⊥. Dit staat voor, in het Engels, ‘false’; of, zo u wilt, in het Latijn, ‘falsum’. Visueel kunnen we hier een ‘omgekeerde ⊤’ in zien: de waarheid op zijn kop, dus.   3.2  Logisch gevolg  Met de hier ontwikkelde begrippen zijn we nu in staat om een precieze logische definitie te geven van wat we intuïtief een correcte redenering noemen. Welke eigenschap van de waarheidstabellen van de betrokken formules is hiervoor verantwoordelijk?  Om dit te achterhalen, beschouwen we een eenvoudige redenering: uit ‘Jan is een goede schaker en Karin een goede dammer’ kan worden geconclu‐deerd: ‘Jan is een goede schaker’. Het uitgangspunt is ‘Jan is een goede schaker en Karin een goede dammer’ en de conclusie is ‘Jan is een goede schaker’. Hier is geen speld tussen te krijgen: de redenering is correct. Zij nu p: ‘Jan is een goede schaker’ en q: ‘Karin is een goede dammer’. We maken vervolgens de waarheidstabellen van uitgangspunt (p ∧ q) en conclusie (p):                        p    q    p    ∧     q    p   1    1    1    1    1    1  1    0    1    0    0    1  0    1    0    0    1    0  0    0    0    0    0    0             ↑        ↑    We scheiden het uitgangspunt (of de uitgangspunten) van de conclusie door een onderbreking in de tabel. Vergelijken we de aangegeven kolom‐men, dan valt op dat het uitgangspunt en de conclusie niet altijd waar zijn, en niet dezelfde waarheidswaarde hoeven te hebben, maar dat, en dit is essentieel: –  als het uitgangspunt waar is, dan is ook de conclusie waar. We spreken van logisch gevolg of van ‘geldige gevolgtrekking’.     

4 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

DEFINITIE  3.2  Logisch gevolg De formule ψ is een logisch gevolg van 1ϕ , ..., nϕ als elke waardering die alle 

1ϕ , ..., nϕ  waar maakt, ook ψ waar maakt.  We schrijven hiervoor  1ϕ , ..., nϕ ⇒ ψ. Als ψ niet een logisch gevolg van 1ϕ , ..., nϕ is, schrijven we 1ϕ , ..., nϕ ⇒/ ψ.  

VOORBEELD  3.5  De redenering in het vorige voorbeeld kunnen we weergeven als p ∧ q ⇒ p, dat wil zeggen: p is een logisch gevolg van p ∧ q. Immers, er was blijkens de tabel maar één waardering die p ∧ q waar maakte, en die maakt inderdaad de conclusie p ook waar.  In dit voorbeeld is n = 1 en is  1ϕ  de formule p ∧ q.  ◊  

VOORBEELD  3.6  We herhalen de redenering van het begin van hoofdstuk 2:  ‘De afstandsbediening is kapot of de tv werkt niet goed. Maar de tv werkt wel goed. Dus de afstandsbediening is kapot.’  We kiezen nu p: ‘De afstandsbediening is kapot’ en q: ‘De tv werkt goed’. We gaan nu kijken of p een logisch gevolg is van p ∨ ¬q en q samen.                                p    q    p    ∨     ¬     q    q    p   1    1    1    1    0    1    1     1 1    0    1    1    1    0    0    1 0    1    0    0    0    1    1    0 0    0    0    1    1    0    0     0                                 Uit de tabel blijkt dat de beide uitgangspunten alleen tegelijk waar (onder‐streepte enen) zijn als p en q waar zijn. Met andere woorden: we hoeven slechts naar de eerste rij waarheidswaarden te kijken, en daar is de con‐clusie ook waar. Kortom: p ∨ ¬q, q ⇒ p. In dit voorbeeld is n = 2,  1ϕ de formule p ∨ ¬q en  2ϕ  de formule q.   ◊  Merk op dat in de definitie van geldig gevolg staat: elke waardering die de uitgangspunten waar maakt, moet de conclusie waar zijn. Het is niet voldoende dat er een waardering bestaat die zowel uitgangspunt als conclusie waar maakt.  

VOORBEELD  3.7  Uit ‘Er komen meer wegen in Nederland precies dan als Nederland geasfal‐teerd raakt’ is het niet correct te concluderen dat er meer wegen in Neder‐land komen. Formeel: p ↔ q⇒/ p, dat wil zeggen: p is geen logisch gevolg van p ↔ q. Er is wel een waardering die het uitgangspunt en de conclusie waarmaakt, namelijk de waardering die p en q allebei waarmaakt. Maar er is ook een waardering die p ↔ q waarmaakt, maar niet de conclusie, name‐lijk de waardering die p en q allebei onwaar maakt.  ◊  

5 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

Als twee formules uit elkaar volgen spreken we van logische equivalentie: als ϕ ⇒ ψ en ψ ⇒ ϕ dan schrijven we ϕ ⇔ ψ , en we noemen de formules ϕ en ψ dan logisch equivalent.  Er is een nauwe relatie tussen implicatie en logisch gevolg. De formule ( 1ϕ ∧ ... ∧ nϕ ) → ψ is een tautologie precies dan als  1ϕ , ...,  nϕ ⇒ ψ. Bijvoorbeeld, de tautologie ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) correspondeert met de gevolgtrekking p → q, q → r ⇒ p → r. Toch mogen de tekens → en ⇒ niet door elkaar worden gehaald. Het wezenlijke verschil is dat → deel uitmaakt van de propositielogische taal, en ⇒ niet. Schrijven we ϕ ⇒ ψ, dan stelt dit dat ψ inderdaad volgt uit ϕ, terwijl als we ϕ → ψ opschrijven, deze formule best onwaar kan zijn. Net zoiets geldt voor het verschil tussen het equivalentiesymbool ↔ en het begrip logische equivalentie.  

VOORBEELD  3.8  Logische equivalenties zijn nuttig voor het zoveel mogelijk vereenvoudigen van een formule. Dit kan ook bij het programmeren van pas komen. Om computertijd en programmeertijd te besparen, doen we er goed aan eerst zoveel mogelijk een programma te vereenvoudigen. Zo kunnen we  als niet ((x = 1 of y < 0) en (y < 0 of niet x = 1))

dan x := x + y

 zonder probleem vervangen door het simpeler (>= betekent ≥)   als y >= 0 dan x := x + y

 We kunnen namelijk door middel van logische equivalentie uitrekenen dat  niet ((x = 1 of y < 0) en (y < 0 of niet x = 1))  ⇔ niet ((x = 1 of y < 0) en (niet x = 1 of y < 0))   ⇔ niet ((x = 1 en niet x = 1) of y < 0)   ⇔ niet (y < 0)   ⇔

(y >= 0)  Met x := x + y wordt aangegeven dat aan de variabele x een nieuwe waarde wordt toegekend, namelijk de som van de waarden die x en y tot op dat moment hadden.  ◊           

6 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

DEFINITIE  3.3  Een aantal bekende vormen van gevolgtrekkingen zijn:        naam    vorm van de gevolgtrekking   ex falso    ϕ, ¬ϕ ⇒ ψ  modus ponens    ϕ, ϕ → ψ ⇒ ψ  modus tollens    ϕ → ψ, ¬ψ ⇒ ¬ϕ  contrapositie    ϕ → ψ ⇒ ¬ψ → ¬ϕ  reductio ad absurdum    als ϕ, ¬ψ ⇒ ⊥ , dan ϕ ⇒ ψ  hypothetisch syllogisme    ϕ → ψ, ψ → χ ⇒ ϕ → χ  disjunctief syllogisme     ϕ → ψ, ¬ϕ → ψ ⇒ ψ          Deze regels worden (vaak stilzwijgend) gebruikt bij wiskundige bewijzen. Ex falso is een gangbare afkorting van ‘ex falso sequitur quodlibet’ (Latijn: uit een contradictie volgt alles wat u maar wilt). Reductio ad absurdum (Latijn: het reduceren tot een absurde ‐ tegenstrijdige ‐ bewering) is niet een logisch gevolg, maar een relatie tussen logische gevolgen. In de tabel hebben we een derde Griekse letter ingevoerd voor willekeurige formules: χ, spreek uit ‘chi’.  

VOORBEELD  3.9  We kunnen nu de vorm herkennen van de bewijzen uit hoofdstuk 1. In stelling 1.2 bewezen we dat de wortel van 2 geen breuk is. Laat p staan voor de bewering ‘de wortel van twee is een breuk’. Het bewijs verliep als volgt: we namen aan dat de wortel van twee een breuk was, p dus, en leidden daaruit een tegenspraak af: ⊥. Daarmee toonden we aan dat de wortel van 2 niet een breuk was: ¬p. Dit is een voorbeeld van een ‘reductio ad absur‐dum’. Deze heeft de vorm “als ϕ, ¬ψ ⇒ ⊥, dan ϕ ⇒ ψ”. In dit geval kunnen we voor ϕ de ‘de getaltheorie’ nemen (die we verder niet zullen detailleren; hieronder valt bijvoorbeeld dat we een deling kunnen uitvoeren, en facto‐ren 2 tegelijk uit de teller en de noemer kunnen verwijderen). Voor ψ nemen we ¬p. Voor ¬ψ krijgen we dan ¬¬p, en dit is equivalent met p. De concrete redenering wordt daarmee: “uit ϕ, p ⇒ ⊥, volgt ϕ ⇒ ¬p”.  ◊  

VOORBEELD  3.10  In stelling 1.3 uit hoofdstuk 1 bewezen we dat er irrationale getallen x en y bestaan waarvoor rationaal is. Laat p staan voor de bewering ‘yx 2( 2 )  is rationaal’ en laat q staan voor de bewering ‘er zijn irrationale getallen x en y waarvoor   rationaal is’. Het bewijs verliep als volgt.  yxWe weten dat  2( 2 ) ofwel rationaal is, of niet. Dit is van de vorm p ∨ ¬p (en zelfs exclusieve disjunctie, maar dat maakt hier niet uit). Uit p volgt q, want dan nemen we x = y = 2 . Maar uit ¬p volgt eveneens q, want dan nemen we x = 2( 2 ) en y = 2 . Hiermee was het bewijs klaar, dat wil zeggen: hieruit volgde q. Er is hier dus sprake van een instantie van het disjunctief syllogisme, namelijk: p → q, ¬p → q ⇒ q.  ◊    

7 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

3.3  Van gevolgtrekking tot informatieverwerking  De propositielogica werd oorspronkelijk ontworpen als rekensysteem voor geldig redeneren. Maar zoals vaak gebeurt met wetenschappelijke theorie‐en, blijkt hun reikwijdte achteraf veel groter dan aanvankelijk werd ge‐dacht, of zelfs bedoeld. Zoals we meteen aan het begin van hoofdstuk 1 al zagen, vloeit informatie op veel meer manieren dan alleen het maken van gevolgtrekkingen. We krijgen informatie binnen door observatie en com‐municatie, en trekken daaruit dan pas conclusies. Dat verwerken van binnenkomende informatie op zich kan eveneens worden gemodelleerd in de propositielogica, namelijk door middel van ‘updates’ op verzamelingen modellen. Propositielogica is dus niet alleen een theorie van gevolgtrekken, maar ook van informatieverwerking. In deze paragraaf schetsen we hoe dit in zijn werk gaat.   In een gevolgtrekking  1ϕ , ...,  nϕ ⇒ ψ trekken we een conclusie uit verza‐meling aannames. De volgorde van die aannames doet er eigenlijk weinig toe. Gezien het verband met de tautologie ( 1ϕ ∧ ... ∧  nϕ ) → ψ mag de volg‐orde er zelfs niet toe doen, omdat in een conjunctie de volgorde van de conjuncten irrelevant is. Maar die aannames moeten we eerst wel binnen krijgen. Dit proces kunnen we nu heel natuurlijk weergeven als toene‐mende inperking van mogelijkheden, dat wil zeggen: van de mogelijke waarderingen die echt het geval kunnen zijn.  We beginnen met alle waarderingen. Formule  1ϕ  beperkt deze verzameling al wat, namelijk tot de modellen van  1ϕ . Als nu  2ϕ  eveneens vereist is, beperken we ons nog wat meer, namelijk tot de modellen van  1ϕ  die eveneens modellen van  2ϕ  zijn. Enzovoorts. Als we in dit proces een  iϕ  tegen het lijf lopen die alle resterende modellen elimineert, weten we ‘dat we te ver zijn gegaan’: niet alle systeemeisen kunnen tegelijk vervuld worden. We zullen onze eisen dus ergens moeten herzien. Als we daar‐entegen wel alle eisen 1ϕ , ...,  nϕ kunnen vervullen, kunnen we daarna verifiëren of een gewenste systeemeigenschap ψ geldt door na te gaan of ψ opgaat in alle resterende mogelijkheden. Dit geeft een verband tussen modeleliminatie en gevolgtrekking. Als we slechts een enkele mogelijkheid overhouden, dan is dat te zien als het bereiken van totale informatie over de situatie waar het ons om te doen was. Dit idee van informatieverwerving als ‘modeleliminatie’ is heel algemeen, en het komt in allerlei wetenschappen voor.  Meer algemeen is een dynamisch perspectief op informatieverwerking en gevolgtrekkingen ook van toepassing op de predikaatlogische modellen die we in de komende twee hoofdstukken gaan introduceren. De methode van modeleliminatie zullen we met name zien terugkeren bij de bestudering van kennis en informatie in taalgebruik en communicatie, het onderwerp van de kennislogica in hoofdstuk 6. In dat geval blijkt de volgorde waarin we de informatie verwerken er ineens wel toe te doen, en geldt dus niet 

8 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

meer voor alle  1ϕ  en  2ϕ  dat eerst  1ϕ  verwerken en dan  2ϕ  verwerken hetzelfde oplevert als eerst  2ϕ  verwerken en dan  1ϕ  verwerken.  

VOORBEELD  3.11 We verwerken eerst de informatie p ∨ ¬q. Deze formule heeft drie model‐len. Daarna wordt bekend dat p ↔ q. We houden nog twee van drie modellen over. Ten slotte wordt bekend dat p. Hiermee resteert nog één model. Uit deze drie formules volgt dat p ∧ q.                      p  q    p ∨ ¬q   p ↔ q    p     p ∧ q   1  1    1    1    1    1  1  0    1    0    1    0  0  1    0    0    0    0  0  0    1    1    0    0                           ◊       3.4  Feitelijk redeneren  Hoe verhoudt de logica zich tot de realiteit van ons gedrag? Behalve de leer van correcte informatieve handelingen is er dan in elk geval ook de analyse van incorrecte redeneringen. Er zijn immers allerlei redeneringen die in natuurlijke taal wel correct lijken, maar dat toch niet zijn. Een goed logisch systeem moet ook fouten kunnen analyseren, en voorspellen waar deze optreden, de zogenaamde drogredenen (in het Engels: ‘fallacies’). Met name de argumentatietheorie houdt zich bezig met de analyse van drogredenen. We volstaan met een aantal voorbeelden.  

VOORBEELD 3.12  Bevestiging van het gevolg We gaan weer terug naar het voorbeeld in het begin van het hoofdstuk 2:   ‘Het schilderij hangt hier niet als het gestolen is. Het schilderij hangt hier niet. Dus is het gestolen.’   Deze ongeldige redenering heeft de vorm p → ¬q, ¬q⇒/ p. De redenering is ongeldig omdat de waardering die p en q onwaar maakt, de uitgangspun‐ten waarmaakt maar niet de conclusie. De redenering lijkt geldig omdat de‐ze zowel op ‘modus ponens’ lijkt als op ‘modus tollens’ (zie definitie 3.3).  ◊  

VOORBEELD  3.13  Verborgen aanname “De tweede voornaam van Barack Obama is Hussein. Hij is dus moslim! Je moet dus niet op hem stemmen bij de presidentsverkiezingen.”  Deze redenering bevat twee verborgen aannames. De eerste is “Iemand die Hussein als voornaam heeft is een moslim.” Deze aanname is niet gerecht‐vaardigd, want dit hoeft niet het geval te zijn. En president Obama is in feite geen moslim. De tweede verborgen aanname is “Als iemand moslim is dan kan hij/zij geen kandidaat zijn voor de presidentsverkiezingen” of (het 

9 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

blijft gissen ...) “Als iemand moslim is dan zou hij/zij geen kandidaat mogen zijn voor de presidentsverkiezingen”. Het eerste is wederom onwaar, omdat in de Amerikaanse grondwet is vastgelegd dat geloofsover‐tuiging politiek niet in de weg mag staan. Het tweede lijkt ons ook onwaar ‐ de vraag is natuurlijk of de meerderheid van de Amerikaanse bevolking daar nu, in 2009, zo over denkt. We wachten tot de presidentsverkiezingen in 2020, en de eerste islamitische Amerikaanse presidentskandidaat.  ◊  

VOORBEELD  3.13  Cirkelredenering De cirkelredenering staat bekend onder de Latijnse naam ‘petitio principii’. De algemene vorm van een cirkelredenering is  1ϕ → 2ϕ ,  2ϕ → 3ϕ , ...,  nϕ → 1ϕ ⇒/ 1ϕ , en het kortst door de bocht is hier 1ϕ → 1ϕ ⇒/ 1ϕ : uit de 

triviale implicatie dat een bewering zichzelf impliceert volgt de bewering zelf. Bijvoorbeeld: “Ik ben de baas omdat ik het hier voor het zeggen heb.” Of anders deze: “Waar je die kerktoren ziet staan moet het centrum van Venlo wel zijn, want dat is echt zo’n centrumkerk.” In het Engels staat deze drogreden bekend als ‘Begging the Question’.   ◊  Overigens willen we bepaald niet zeggen dat fouten en drogredenen ken‐merkend zijn voor wat een logicus ziet als hij kijkt naar feitelijk redeneren van mensen. De laatste jaren groeit juist een interessant grensgebied tussen de logica en de cognitieve psychologie, waarbij gezocht wordt naar rijkere formele modellen van ons redeneren, dat veel meer omvat dan alleen overgangen van aannames naar conclusies. Logische systemen worden zelfs hier en daar gebruikt in het moderne hersenonderzoek, als bron van toetsbare hypotheses over de echte ‘werkplaats’ van ons redeneren, de menselijke hersenen.   

10 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

Samenvatting  Een tautologie is een formule van de propositielogica die waar is voor elke waardering. Een waardering die een formule waar maakt is een model van die formule. Een contradictie is een formule die onwaar is voor elke waar‐dering. Een formule is vervulbaar als deze een model heeft. Een formule ψ  is een logisch gevolg van formules 1ϕ , ..., nϕ  als elke waardering die alle 1ϕ , ..., nϕ waar maakt, ook ψ waar maakt. We schrijven 1ϕ , ...,  nϕ ⇒ ψ. De for‐mule ψ heet de conclusie van de gevolgtrekking en de formules 1ϕ , ..., nϕ de uitgangspunten of aannames. Als twee formules uit elkaar volgen, dat wil zeggen, zowel ϕ ⇒ ψ als ψ ⇒ ϕ , dan noemen we ze logisch equivalent en we schrijven hiervoor ϕ ⇔ ψ. Verzamelingen waarderingen fungeren ook als informatietoestanden, en een update met nieuwe informatie ϕ vindt plaats door krimp van zo’n ver‐zameling tot de waarderingen daarbinnen die aan ϕ voldoen.       Dit document bevat hoofdstuk 3 van de cursus Logica in actie. De volledige cursus is beschikbaar op http://www.spinoza.ou.nl.  © Open Universiteit Nederland; Uitgeverij: Sdu Uitgevers, ’s‐Gravenhage. 

 Dit materiaal is gelicentieerd onder een Creative Commons Licentie. Zie de licentie voor details. The content on this site is licensed under a Creative Commons Licentie. See licence for more details.  

11 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

Opgaven  

OPGAVE  3.1  Ga voor elk van de volgende formules na of het een tautologie of een contradictie is. –  p ↔ ¬p  –  p → (q → p)  –  ¬((p → q) → p)   

OPGAVE  3.2  Bewijs met een waarheidstabel dat (p ∧ q) → p een tautologie is. Welk logisch gevolg hangt samen met deze tautologie? Hoe is dit gevolg ook direct in te zien?  

OPGAVE  3.3  Toon door middel van waarheidstabellen aan dat p → q, ¬q ⇒ ¬p.  OPGAVE  3.4  Los opgave 2.4 op door de twee gegeven beweringen op te vatten als ach‐

tereenvolgende updates op de beginverzameling van alle waarderingen.  Hoeveel waarderingen zijn er over na de informatie “Als Jan gaat, dan gaat Marie”? En hoeveel als daarna de informatie komt dat “Piet gaat alleen als Jan niet gaat”?  

OPGAVE  3.5  Wat is er mis met de volgende redenering: “Papa, waarom gaat de zon onder?” “Omdat de zon om de aarde draait, jongen.” “En waarom is dat dan?” “Ja, anders zou ‘ie toch stilstaan boven ons, niet?”  

12 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

Uitwerkingen van de opgaven bij hoofdstuk 3  

3.1  De waarheidstabel van p ↔ ¬p is:              p    p  ↔  ¬   p   1    1  0  0  1  0    0  0  1  0       ↑               De aangegeven kolom bevat slechts nullen, dus p ↔ ¬p is een contradictie.  De waarheidstabel van p → (q → p) is:                  p  q    p  →  (q  →  p)   1  1    1  1  1  1  1  1  0    1  1  0  1  1  0  1    0  1  1  0  0  0  0    0  1  0  1  0         ↑                   De aangegeven kolom bevat slechts enen, dus p → (q → p) is een tautologie.  De waarheidstabel van ¬((p → q) → p) is:                    p  q    ¬   ((p  →  q)  →  p)   1  1    0  1  1  1  1  1  1  0    0  1  0  0  1  1  0  1    1  0  1  1  0  0  0  0    1  0  1  0  0  0       ↑                     De aangegeven kolom bevat niet slechts enen of nullen, dus de formule ¬((p → q) → p) is geen tautologie en ook geen contradictie. Omdat er een waardering is waarvoor de formule waar is, is deze vervulbaar. (Een for‐mule die geen tautologie en ook geen contradictie is wordt ook wel een contingentie genoemd.)   

13 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

3.2  De waarheidstabel van (p ∧ q) → p is:                  p  q    (p  ∧  q)  →  p   1  1    1  1  1  1  1  1  0    1  0  0  1  1  0  1    0  0  1  1  0  0  0    0  0  0  1  0             ↑                   De aangegeven kolom bevat slechts enen, dus (p ∧ q) → p is een tautologie. Deze tautologie hangt samen met de geldige gevolgtrekking p, q ⇒ p. Dit is natuurlijk ook direct te zien: als p en q immers waar zijn, is p zeker waar.  

3.3  De waarheidstabellen voor p → q, ¬q en ¬p zijn:                              p  q    p  →  q    ¬   q    ¬   p   1  1    1  1  1    0  1    0  1  1  0    1  0  0    1  0    0  1  0  1    0  1  1    0  1    1  0  0  0    0   1  0     1  0    1  0                               Alleen in de laatste rij zijn beide uitgangspunten waar, maar dan is de conclusie dat ook. We hebben de betreffende 1‐en onderstreept.  Dus p → q, ¬q ⇒ ¬p.  

3.4  We beginnen met 8 verschillende waarderingen. Na verwerking van de informatie “Als Jan gaat, dan gaat Marie” zijn er hiervan nog 6 over (name‐lijk de zes waarbij in de kolom voor (p → q) in de uitwerking van opgave 2.4 een 1 staat). Na verwerking van “Piet gaat alleen als Jan niet gaat”, ver‐valt er van deze 6 waarderingen nog één (namelijk de waardering waarin p, q, en r alledrie waar zijn) en blijven er dus nog 5 waarderingen over.  

14 

Logica in actie / Hoofdstuk 3   Wie A zegt moet B zeggen 

3.5  De redenering is: “Papa, waarom gaat de zon onder?” “Omdat de zon om de aarde draait, jongen.” “En waarom is dat dan?” “Ja, anders zou ‘ie toch stilstaan boven ons, niet?”   Laat propositieletter p staan voor de propositie ‘de zon gaat onder’, en laat propositieletter q staan voor de propositie ‘de zon draait om de aarde’. Voor het gemak vertalen we ‘de zon staat stil’ als ‘de zon gaat niet onder’, dus als ¬p . In een zin als ‘a omdat b’ zeggen we eigenlijk: a is waar, en b impliceert a. De redenering ‘De zon gaat onder omdat de zon om de aarde draait’ komt dus overeen met q, q → p ⇒ p. De redenering ‘Anders zou ‘ie toch stilstaan’ komt overeen met p, ¬q → ¬p ⇒ q. Deze beide redeneringen zijn correct. Samen krijgen we dus de incorrecte redenering ¬q → ¬p, q → p⇒/ p.  Dit is een voorbeeld van de drogreden ‘cirkelredenering’. De redenering komt namelijk overeen met p → q, q → p⇒/ p. 

15