Web viewVoor een afleidbare functie met voorschrift y=f(x) ... y 0 g y ' x 0 , y 0 g x ' x 0 , y 0 L...

WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2015-2016 DEFINITIES

1.2.2. SOMNOTATIESomnotatie Gegeven de waarden x i∈R , voor i∈N0.

Voor n∈N 0 geldt

∑i=1

n

x i=x1+x2+⋯+ xn

Gegeven de waarden x ij∈R, voor i , j∈N 0.Voor n ,m∈ N0 geldt

∑i=1

n

∑j=1

n

xij=x11+x12+…+ x1m

+x21+x22+…+x2m +…+ xn1+xn2+…+xnm

We noemen i en j een sommatie-index.1.2.3. BINOMIUM NEWTONFaculteiten Voor n∈N geldt n !=n ∙ (n−1 ) ∙…∙2∙1 voor n≠0

0 !=1Combinaties

Voor n , k∈N met k ≤n geldt (nk)= n!k ! (n−k )!

1.3 COMPLEXE GETALLENComplexe getallen We definiëren i als het “getal” waarvoor geldt: i2=−1.

Met deze definitie wordt de verzameling van de complexe getallen dan gedefinieerd als de verzameling van alle lineaire combinaties van reële getallen en dit “getal” i, of C={a+b ∙i∨a ,b∈ R }In de notatie a+b ∙1 noemt men a het reële deel en b ∙ i het imaginaire deel.

Toegevoegd complex getal

Men definieert het toegevoegd complex getal van a+b ∙i als a+b ∙i=a−b∙ i

1.3.3. POLAIRE VORMGoniometrische of polaire vorm

Een complex getal a+b ∙i kan in het complexe vlak meetkundig voorgesteld worden door het punt met

cartesische coördinaten (a ,b), of poolcoördinaten (r ,φ) bepaald door

{a=r cosφb=r sinφ

met r ≥0 en 0≤φ<2 πEr geldta+b ∙i=r (cosφ+ i ∙ sinφ);het rechterlid noemt men de goniometrische of polaire vorm van het complexe getal.

1.4 MATRICESMatrix Een matrix van orde m×n (m ,n∈N0) is een blok waarden met m rijen en n

kolommen:

A=(a¿¿ ij)i=1 ,…,m; j=1 ,…, n=(a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2na31 a32 ⋯ a33)¿

MERVE POYRAZ WISKUNDE DEFINITIES 1

Speciale matrices Een vierkante matrix heeft evenveel rijen als kolommen. De orde is m×n ¿):

a=(a1a2am)Een rij-matrix is een matrix met orde 1×m (m∈N 0 ):

a '=(a1 a2 ⋯am )1.4.2. BEWERKINGENGelijkheid Twee matrices van dezelfde orde zijn gelijk als alle overeenkomstige

elementen aan elkaar gelijk zijn: A=B⇔∀ i ,∀ j : aij=bij

Product van een matrix met een getal

Een matrix vermenigvuldigen met een (reëel) getal betekent dat je elk element van een matrix met dat getal vermenigvuldigt: k ∙ A=C⇔∀i ,∀ j :c ij=k ∙aij

Transponeren De getransponeerde matrix van een matrix van orde m×n is en matrix van orde n×m die bestaat uit de elementen van de oorspronkelijke matrix waarbij rijen en kolommen werden omgewisseld.Notatie: A ' of AT

Som en verschil van twee matrices

Twee matrices van dezelfde orde kunnen bij elkaar opgeteld (resp. van elkaar afgetrokken) worden door alle overeenkomstige elementen bij elkaar op te tellen (resp. af te trekken);

A±B=C⇔∀ i , ∀ j :a ij±bij=c ij

Product van twee matrices

Een matrix van orde m×k en een matrix van orde k ×n kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden als volgt:

A ∙B=C⇔∀ i , ∀ j :c ij=∑l=1

k

a il ∙ bl j

De matrix C heeft orde m×n. Het element c ij vind je door de i-de rij van de matrix A te vermenigvuldigen met de j-de kolom van de matrix B.

Symmetrische matrices

Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde, of A=A 'De driehoek boven en onder de hoofddiagonaal zijn elkaars spiegelbeeld.

1.5.1. KAPITALISATIE EN ACTUALISATIEKapitalisatie Wanneer je een startkapitaal A gedurende n jaar belegt aan een jaarlijkse

interestvoet r , dan kan het eindbedrag na n jaar berekend worden als S=A ∙ (1+r )2

Dit bedrag noemt men het gekapitaliseerde bedrag of de slotwaarde of eindwaarde. Men gebruikt meestal de notatie u=1+r voor de kapitalisatiefactor.

Actualisatie Om na een belegging gedurende n jaar aan een jaarlijkse interestvoet r een eindbedrag S te bereiken, moet gestart worden met een kapitaal gelijk aan

A=S ∙ (1+r )−n

Dit bedrag noemt men het geactualiseerde bedrag of de aanvangswaarde of

beginwaarde. Men gebruikt meestal de notatie v= 11+r

=1u voor de

actualisatiefactor.2.1 FUNCTIES KERNBEGRIPPENFunctie Een reële functie f is een voorschrift dat aan elk element van een verzameling

A⊂R (domein of definitiegebied) een element van een verzameling B⊂R (bereik of beeldgebied) toekent.Notatie: f : A→B : x↦ f (x)


of f :R→R : x⟼ f (x )2.1.2. ALGEMENE EIGENSCHAPPENEven – oneven Een reële functie f :R→R : x⟼ f (x ) is een even functie, indien voor elke

waarde x uit het domein geldt: f ( x )=f (−x )De grafiek van de functie is symmetrisch ten opzichte van de Y−as.Een reële functie f :R→R : x⟼ f (x ) is een oneven functie, indien voor elke waarde x uit het domein geldt: f ( x )=−f (−x)De grafiek van de functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

Periodisch Een reële functie f :R→R : x↦ f (x) is een periodische functie met periode p, indien p∈R+¿ ¿ de kleinste waarde is waarvoor voor elke waarde x uit het domein geldt: f ( x+ p )= f (x )

Samengestelde functie

Een reële functie f :R→R : x⟼ f (x ) is een samenstelling van functies g :R→R : x⟼ g(x ) na h :R→R : x⟼h( x), of f=g∘h, indien voor elke waarde van x geldt f ( x )=g (h ( x )).

Invers Een reële functie g :R→R : x⟼ g(x ) is de inverse functie vanf :R→R : x⟼ f (x ), indien voor elke waarde y uit het domein van f geldt: f ( y )=x⟺ g ( x )= yMeestal noteert men de inverse functie als g=f −1.De beeldlijnen van de functies f en f−1 zijn gespiegeld ten opzichte van de eerste bissectrice.

Stuksgewijs gedefinieerde functie

Een reële functie g :R→R : x⟼ g(x ) is een stuksgewijs gedefinieerde functie indien het voorschrift verschilt voor verschillende delen van het domein van de functie.

2.1.3. LINEAIRE FUNCTIESLineaire functie Een lineaire functie of affiene functie heeft voorschrift

f :R→R : x⟼ f ( x )=mx+qEen lineaire functie wordt grafisch voorgesteld door een rechte.De waarde m is de richtingscoëfficiënt of helling van de functie,De waarde q bepaalt het snijpunt van de beeldlijn van de functie met de Y−as

Absolute waarde functie

De absolute waarde functie associeert met elk reëel getal zijn absolute waarde:

|:|R→R : x⟼|(x )|=|x|={−xx

x<0x≥0

Grootste gehele waarde functie

De grootste gehele waarde functie associeert met elk reëel getal het grootste gehele getal dat niet groter is dan het beschouwde getal:

ggw :R→R : x⟼ ggw ( x )=[x ]=max { y∈Z : y≤ x }2.1.4. VEELTERMFUNCTIESVeeltermfunctie Een veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift

f :R→R : x⟼ f ( x )=anxn+an−1 x

n−1+…+a1 x+a0,met n∈N en met a0 , a1 ,…,an−1 , an∈R ,an≠0Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as, en wordt grafisch voorgesteld door een gladde éénwaardige kromme.

Parabool De vergelijking y− y0=a (x−x0 ) ²met x0 , y0∈R0 en a∈R0, beschrijft een parabool.De top van deze parabool heeft coördinaten (x0 , y0 ).De symmetrie-as is evenwijdig aan de Y−as en heeft vergelijking x=x0.


De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a>0, naar beneden indien a<0.

2.1.5. RATIONALE FUNCTIESRationale functie Een rationale functie heeft voorschrift

f :R→R : x⟼ f ( x )=an x

n+an−1 xn−1+…+a1x+a0

bm xm+bm−1 x

m−1+…+b1x+b0met n ,m∈ N en met a0 , a1 ,…,an , b0 , b1 ,…,bm∈ R.Het domein van een rationale functie is de reële as verminderd met de waarden waarvoor de noemer nul wordt.

2.1.6. IRRATIONALE FUNCTIESIrrationale functie Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin een of meer wortelvormen

voorkomen. Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor het argument onder de wortel het juiste teken bevat.

Cirkel De impliciete vergelijking (x−x0 )2+( y− y0 )2=r ²met x0 , y0∈R en r∈R0

+¿ ¿ beschrijft een cirkel.Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (x0 , y0¿; de straal is r .

2.2.2. CYCLOMETRISCHE FUNCTIESBoogsinusfunctie De boogsinusfunctie is de inverse van de sinusfunctie. De gewone

boogsinusfuctie bgsin wordt gedefinieerd als y=bg sin (x )⇔x=sin ( y )

De hoofdwaarde Bgsin wordt gedefinieerd als

y=Bg sin ( x )⇔ { x=sin( y)

y∈[−π2

, π2 ]

Eigenschappen: De functie bgsin :R→ R : x⟼bg sin ( x )

Heeft domein [-1, 1] en bereik R; Is meerwaardig en éénduidig;

De functie Bgsin :R→R : x⟼ Bgsin (x)

Heeft domein [-1, 1] en bereik [ – π2, π2 ];

Is éénwaardig en éénduidig.Boogcosinusfunctie De boogcosinusfunctie is de inverse van de cosinusfunctie.

De gewone boogcosinusfunctie bgcos wordt gedefinieerd als y=bgcos(x )⇔x=cos (x)

De hoofdwaarde Bgcos wordt gedefinieerd als

y=Bg cos (x)⟺{x=cos ( y )y∈ [0 , π ]Eigenschappen: De functie bgcos :R→R: x⟼bgcos(x )

Heeft domein [-1, 1] en bereik R; Is meerwaardig en éénduidig;

De functie Bgcos :R→R : x⟼Bgcos (x)


Heeft domein [-1, 1] en bereik [0, π]; Is éénwaardig en éénduidig.

Boogtangensfunctie De boogtangensfunctie is de inverse van de tangensfunctie.De gewone boogtangensfunctie bgtan wordt gedefinieerd als

y=bg tan(x )⟺ x=tan( y )De hoofdwaarde Bgtan wordt gedefinieerd als

y=Bg tan (x)⟺ ¿Eigenschappen:De functie bgtan :R→R : x⟼bg tan ( x )

Heeft domein R en bereik R∖ {2n+1 } π2:n∈Z;

Is meerwaardig en éénduidig;De functie Bgtan :R→R : x⟼Bg tan(x)

Heeft domein [-1, 1] en bereik ¿−π2, π2

¿;

Is éénwaardig en éénduidig.2.2.3. EXPONENTIËLE FUNCTIEExponentiële functies

Een exponentiële functie heeft voorschriftex pa :R→R0

+¿: x⟼ ex pa ( x )=ax ¿

met a∈R+¿∖ {0,1 }¿

Het domein van een exponentiële functie is R, het bereik is R0+¿ ¿.

Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.2.2.4. LOGARITMISCHE FUNCTIELogaritmische functies

De logaritmische functie log a is de inverse van de exponentiële functie ex pa.Ze heeft voorschrift

log a :R0+¿→R : x⟼ loga (x)¿

met a∈R+¿∖ {0,1 }¿, en wordt gedefinieerd als y= loga(x )⟺ x=a y

Het domein van een logaritmische functie is R0+¿ ¿, het bereik is R.

Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.2.3.1. ECONOMISCHE FUNCTIESProductiefunctie Een productiefunctie P :R+¿→R+¿: A⟼q=P (A)¿ ¿

geeft aan hoe de arbeid de grootte van de productie bepaalt. Vraagfunctie Een vraagfunctie

D :R+¿→R+¿ : p⟼q=D( p) ¿¿

of F=D−1 :R+¿→R+¿ :q⟼q=F (q )¿ ¿

geeft voor een individuele consument het verband tussen de aangeboden hoeveelheid en de vraagprijs van een goed.

Opbrengstfunctie Een opbrengstfunctie geeft aan hoe groot de totale opbrengst is bij een bepaalde productiegrootte.Bij zuivere concurrentie is de prijs gegeven, en krijgen we

R :R+¿→R+¿ : q⟼R (q) =p∙q ¿ ¿

Bij een monopolie is de prijs veranderlijk, en krijgen weR :R+¿→R+¿ : q⟼R (q) =F(q) ∙q¿ ¿

Kostenfunctie Bij gegeven inputprijzen geeft een kostenfunctieK :R+¿→R+¿ : q⟼K=K( q)¿ ¿


aan hoe groot de totale kosten zijn bij elke productiegrootte.Winstfunctie Een winstfunctie

W :R+¿→R +¿ : q⟼W ( q)=R ( q)−K ( q) ¿¿

geeft aan hoe groot de totale winst is bij een bepaalde productiegrootte.2.3.2. GROEIVOETGroei- en vervalfunctie

Een exponentiële functie ex pa met a>1 wordt ook groeifunctie genoemd. Schrijven we het beeld van een waarde x als

y=ax=erx met r=ln adan noemt men de positieve waarde r de groeivoet van de functie.

Een exponentiële functie ex pa met 0<a<1 wordt ook vervalfunctie genoemd. Schrijven we het beeld van een waarde x als

y=ax=e−rx met r=−ln adan noemt men de positieve waarde r de vervalconstante van de functie.

3.1.1. LIMIETENLimiet Een functie f :R→R : x⟼ f (x ) bereikt in het punt x=a de limietwaarde L,

of limx→a

f ( x )=L

als de functiewaarden willekeurig dicht bij L komen voor punten die dicht naar a naderen.

Linker- en rechterlimiet

De linkerlimiet van een functie f in het punt x=a wordt gedefinieerd als limx→a

¿

f (x )

De rechterlimiet van een functie f in het punt x=a wordt gedefinieerd als limx→a

¿

f (x )

3.1.2. CONTINUÏTEITContinuïteit in een punt

Een functie f :R→R : x⟼ f (x ) is continu in een punt x=a als limx→a

f ( x )=f (a)

Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet bestaan, of indien ze verschillend zijn, noemt men de functie discontinu in het betreffende punt.

Linker- en rechtercontinuïteit in een punt

Een functie f :R→R : x⟼ f (x ) is de linkscontinu in een punt x=a als limx→a

¿

f ( x )=f (a)

Een functie f :R→R : x⟼ f (x ) is rechtscontinu in een punt x=a alslimx→a

¿

f ( x )=f (a)

Continuïteit op een interval

Een functie f :R→R : x⟼ f (x ) is continu op een open interval ¿a ,b ¿, als ze continu is in elk punt x=c uit dit interval.Een functie f :R→R : x⟼ f (x ) is continu op een gesloten interval [a ,b ], als ze continu is in elk punt x=c uit dit interval, rechtscontinu is in het beginpunt x=a en linkscontinu in het eindpunt x=b.

3.2.1. ASYMPTOTENAsymptoten Een asymptoot van een functie is een rechte die de beeldlijn van deze functie

willekeurig dicht nadert. Men deelt de asymptoten in in drie types:

Horizontale asymptoot: vergelijking y=b


Verticale asymptoot: vergelijking x=a Schuine asymptoot: vergelijking y=mx+q (m≠0 )

3.3.1. ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE INTERESTBasisvorm Gegeven een startkapitaal van K0 en een jaarlijkse interestvoet r .

Na een periode van m jaar (m∈N ), is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde

bij enkelvoudige interest: K (m )=K 0 ∙(1+m∙r ) bij samengestelde interest: K (m )=K0 ∙(1+r )

m

Niet-geheel aantal jaren

Gegeven een startkapitaal van K0 en een jaarlijkse interestvoet r .Na een periode van m jaar ¿, is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde

bij enkelvoudige interest: K (m )=K 0 ∙ (1+ [m ] ∙r ) bij samengestelde interest: K (m )=K 0 ∙ (1+r )[m ]

Kapitalisaties Gegeven een startkapitaal van K0 en een jaarlijkse interestvoet r .Indien de interest verdeeld wordt over k uitkeringen per jaar (k∈N 0), m.a.w. indien er k kapitalisaties zijn per jaar, dan is het kapitaal na m jaar ¿ aangegroeid tot de eindwaarde

bij enkelvoudig interest: K (m )=K0 ∙(r+ [k ∙m ] ∙ rk )

bij samengestelde interest: K (m )=K 0(1 ∙ rk )[k ∙ m]

4.1. AFGELEIDEN KERNBEGRIPPENAfgeleide in een punt

De afgeleide van de functie f :R→R : x⟼ f (x ) in een punt x0 wordt gedefinieerd door

f ' (x0 )= dfdx (x0 )=lim

h→ 0

f (x0+h )−f (x0)h

Afgeleide functieDe afgeleide functie f ' of

dfdx van een functie f :R→R : x⟼ f (x ) beeldt elk

punt af op de afgeleide in dat punt, of

f ' :R→R : x⟼ f ' ( x )=dfdx

( x )=limh→0

f ( x+h )− f (x)h

Linker- en rechterafgeleide

De linkerafgeleide van functie f in het punt x wordt gedefinieerd alsf−¿' ( x )=lim

h→0¿

f ( x+h)−f (x )h ¿

De rechterafgeleide van functie f in het punt x wordt gedefinieerd alsf

+¿'=limh→0

¿

f (x +h)−f (x)h

¿

Helling De helling van de curve van f in een punt P=(x0 , f (x0 )) is de helling van de raaklijn aan de curve in dat punt, en kan berekend worden als de afgeleide van f in het punt x0, of

f ' (x0 )=limh→0

f (x0+h )−f (x0)h

4.1.5. HOGERE ORDE AFGELEIDENHogere orde afgeleiden

De hogere orde afgeleiden van een functie f :R→R : x⟼ f ( x ) worden gedefinieerd als

f ' ' ( x )= d2

d x2f ( x )= d

dx( f ' (x))


f ' ' ' ( x )= d3

d x3f ( x )= d

dx( f ' ' (x ))

f (n ) ( x )= dn

dxn ( f (n−1 ) ( x ) ) , n≥2

4.2.2. DIFFERENTIAALDifferentiaal Voor een afleidbare functie met voorschrift y=f (x ) wordt de differentiaal in

een punt x0 gedefinieerd alsdf (x0 )= f ' (x0) dx

4.3.1. GEMIDDELDE EN MARGINALE WAARDENGemiddelde en marginale functie

Voor een economische functie f :R+¿→R : x⟼ f (x)¿ geldt; de gemiddelde waarde voor f is de functie

⟨ f ⟩ :R+¿→R : x⟼ ⟨ f ⟩( x )= f (x)

x ¿

de marginale waarde voor f is de functie

f ' :R+¿→R : x⟼ f ' ( x )=df

dx (x)¿

Gemiddelde en marginale productie

Het gemiddelde product is het product per eenheid van arbeid, of

⟨P ⟩ :R+¿→R+¿: A⟼ P(A)

A¿¿

Het marginaal product is de ogenblikkelijke aangroei van het product bij een toename van de arbeid, of

P' :R+¿→R : A⟼ dP

dA (A )¿

Gemiddelde en marginale opbrengstfunctie

De gemiddelde opbrengst is de opbrengst per eenheid van product, of

⟨R ⟩ :R+¿→R+¿: q⟼ R(q)

q¿¿

De marginale opbrengst is de ogenblikkelijke aangroei van de opbrengst bij een toename van de productiegrootte, of

R' :R+¿→R :q⟼ dR

dq (q)¿

Gemiddelde en marginale kosten

De gemiddelde kost is de kost per eenheid van product, of

⟨K ⟩ :R+¿→R+¿ : q⟼ K (q)

q¿¿

De marginale kost is de ogenblikkelijke aangroei van de kost bij een toename van de productiegrootte, of

K ' :R+¿→R+¿:q⟼dK

dq( q)¿

¿

5.1.1. STIJGENDE EN DALENDE FUNCTIESStijgen – dalen Een functie f is stijgend op een interval,

als voor elke twee punten a<b uit dit interval geldt dat f (a)≤ f (b).Een functie f is dalend op een interval, als voor elke twee punten a<b uit dit interval geldt dat f (a)≥ f (b).

5.1.2. CONVEXE EN CONCAVE FUNCTIESConvex – concaaf Een functie f is convex op een interval,

als voor elke twee punten a en b uit dit interval geldt dat

f ( a+b2 )≤ f (a )+ f (b)2 .

Een functie f is concaaf op een interval,als voor elke twee punten a en b uit dit interval geldt dat


f ( a+b2 )≥ f (a )+ f (b)2

5.1.3. EXTREMAAbsolute extrema Een continu functie f bereikt een absoluut maximum in het punt a, indien

voor elk punt x uit het domein geldt dat f (x)≤ f (a).Een continu functie f bereikt een absoluut minimum in het punt a, indien voor elk punt x uit het domein geldt dat f (x)≥ f (a).

Lokale extrema Een continu functie f bereikt een lokaal maximum in het punt x0, indien voor elk punt x in de buurt van het punt x0 geldt dat f (x)≤ f (x0).Een continu functie f bereikt een lokaal minimum in het punt x0, indien voor elk punt x in de buurt van het punt x0 geldt dat f (x)≥ f (x0).

5.1.4. BUIGPUNTENBuigpunten Een continu functie f bereikt een buigpunt in het punt x0, indien de functie in

dit punt overgaat van een convexe toestand naar een concave toestand, of van een concave naar een convexe toestand.

6.1.2. FUNCTIESFunctie Een reële functie f met twee veranderlijken is een voorschrift dat aan elk

element van een verzameling A⊂R×R (domein of definitiegebied) een element van een verzameling B⊂R (bereik of beeldgebied) toekent.

Notatie: f :R×R→R :(x , y )⟼ f (x , y )

of f :R ²→R:(x , y )⟼ f (x , y )

Contour Voor een reële functie f met twee veranderlijken f :R ²→R:(x , y )⟼ f (x , y ) definieert men voor een contour of contourlijn als de verzameling van alle punten in het XY -vlak met eenzelfde beeldwaarde, of

C f (α )={( x , y )∈R ²∨ f (x , y )=α }6.2.1. HOMOGENE FUNCTIESHomogene functie Een reële functie f :R ²→R:(x , y )⟼ f (x , y ) is een homogene functie van

graad m, indien voor elk paar (x , y ) uit het domein en voor willekeurige t∈ R0

+¿¿ geldt:f (tx , ty )=tm∙ f (x , y )

6.4.1. ECONOMISCHE FUNCTIESProductiefunctie Een productiefunctie

P :R+¿×R+¿→R+¿ : (A, K )⟼q=P( A, K )¿¿ ¿

geeft aan hoe de arbeid en het kapitaal de grootte van de productie bepalen.Vraagfunctie Een vraagfunctie

D :R+¿×R+¿→R+ ¿: ( p,I )⟼q=D ( p,I )¿¿ ¿

geeft aan hoe de vraag van een consument naar een product bepaald wordt door de prijs en door zijn inkomen.

Vraagfunctie – Situatie 2

De vraagfunctie

D1:R+¿×R+¿→R

+¿ :( p1 ,p2 )⟼q1=D 1( p1 , p2 )¿ ¿¿

en

D2 :R+¿×R+¿→R

+¿ :( p1 ,p2 )⟼q2=D 2(p1 , p2) ¿¿¿


geven aan hoe de vraag van een consument naar twee producten bepaald wordt door de prijzen van beide producten.

Kostenfunctie Bij gegeven inputprijzen geeft de kostenfunctie

K :R+¿×R+¿→R+ ¿ :(q1 ,q2 )⟼K =K (q1 ,q2)¿¿ ¿

aan hoe groot de totale kosten zijn bij bepaalde productiegrootten.Nutsfunctie Een nutsfunctie

U :R+¿×R+¿→R+ ¿ :(q1 ,q2 )⟼U=U (q1 ,q2)¿ ¿¿

geeft het nut weer dat een consument toekent aan bepaalde combinaties van hoeveelheden van goederen.

7.1.1. LIMIETENLimiet Een functie f :R ²→R: (x , y )⟼ f (x , y ) bereikt in het punt ( x , y )=(a ,b)

de limietwaarde L, oflim

( x , y )→(a , b)f (x , y )=L

als de functiewaarden willekeurig dicht bij L komen voor punten die dicht naar (a ,b) naderen.

Continuïteit in een punt

Een functie f :R ²→R: (x , y )⟼ f (x , y ) is continu in een punt ( x , y )=(a ,b) als

lim( x , y )→(a , b)

f (x , y )=f (a ,b)

Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet bestaat, of indien ze verschillend zijn, noemt men de functie discontinu in het betreffende punt.

8.1.1. PARTIËLE AFGELEIDEN KERNBEGRIPPENPartiële afgeleiden De partiële afgeleide naar x van de functie f :R ²→R:(x , y )⟼ f (x , y ) in

een punt (x0 , y0 ) wordt gedefinieerd door

f x' (x0 , y0 )=∂ f

∂ x (x0 , y0 )=limh→ 0

f (x0+h , y0 )−f (x0 , y0 )h

De partiële afgeleide naar y van de functie f :R ²→R: (x , y )⟼ f (x , y ) in een punt (x0 , y0 ) wordt gedefinieerd door

f y' (x0 , y0 )= ∂ f

∂ y (x0 , y0 )=limh→0

f (x0 , y0+h )−f (x0 , y0 )h

Beide partiële afgeleiden kunnen we terug als functies definiëren, waarvoor

we de notaties f x' = ∂ f

∂ x en f y' = ∂ f

∂ y gebruiken.

8.1.4. HOGERE ORDE PARTIËLE AFGELEIDENTweede orde partiële afgeleiden

De tweede orde partiële afgeleiden van een functief :R ²→R:(x , y )⟼ f (x , y ) worden gedefinieerd als

f xx' ' =∂ ² f

∂ x ²= ∂∂x ( ∂ f∂ x )

f xy' ' = ∂ ² f

∂ x ∂ y= ∂∂ x ( ∂ f∂ y )

f yx' ' = ∂ ² f

∂ y ∂x= ∂∂ y ( ∂ f∂ x )


}gemengde partiële afgeleiden

f yy' ' = ∂ ² f

∂ y ²= ∂∂ y ( ∂ f∂ y )

Hessiaan Voor functie f :R ²→R:(x , y )⟼ f (x , y ) wordt de Hessiaan of Hessiaanse matrix in het punt (x , y ) gedefinieerd als

H f ( x , y )=(∂2 f∂ x2

(x , y ) ∂2 f∂ x∂ y

(x , y )

∂2 f∂ y ∂ x

(x , y ) ∂2 f∂ y2

(x , y ) )=( f xx' ' (x , y ) f xy

' ' (x , y )f yx' ' (x , y) f yy

' ' (x , y))8.2.2. TOTALE DIFFERENTIAALTotale differentiaal Voor een partieel afleidbare functie met voorschrift z=f (x , y ) wordt de

totale differentiaal in een punt (x0 , y0 ) gedefinieerd alsdf (x0 , y 0 )=f x

' (x0 , y0 )dx⏟dx f (x0 , y0 )

+ f y' ( x0 , y0 )dy⏟

d y f (x0 , y0)

8.5.1. GEMIDDELDE EN MARGINALE WAARDENGemiddelde functie Voor een economische functie f :R+ ¿×R+¿→R :(x, y)⟼ f (x, y) ¿¿ geldt:

de gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie

⟨ f ⟩x :R+¿×R+¿→R : ( x, y )⟼ ⟨f ⟩ x ( x, y )=

f (x ,y)x

¿¿

de gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie

⟨ f ⟩ y :R+ ¿×R+¿→R : (x , y )⟼ ⟨ f ⟩ y ( x, y )=

f (x ,y)y

¿¿

Marginale functie Voor een economische functie f :R+¿×R+¿→R :(x, y)⟼ f (x, y) ¿¿ geldt: de marginale waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie

f x' :R+¿×R

+¿→R: ( x, y )⟼ f x' ( x, y )=

∂ f (x , y)∂ x

¿¿

de marginale waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie

f y' :R+¿×R

+¿→R : (x , y )⟼ f y' ( x, y )=

∂ f ( x, y)∂ y

¿¿

Gemiddelde productiefunctie

Het gemiddeld product naar de arbeid is het product per eenheid van arbeid, of

⟨P ⟩A :R+¿×R +¿→R+¿ :( A, K) ⟼ P( A, K)

A¿¿ ¿

het gemiddeld product naar het kapitaal is het product per eenheid van kapitaal, of

⟨P ⟩K :R+¿×R+¿→R+¿ :( A ,K )⟼ P( A ,K )

K¿¿¿

Marginale productiefunctie

Het marginaal product van de arbeid is de ogenblikkelijke aangroei van het product bij een toename van de arbeid, of

PA' :R+¿×R

+¿→R :( A, K)⟼∂ P∂ A

(A,K )¿¿

het marginaal product van het kapitaal is de ogenblikkelijke aangroei van het product bij een toename van het kapitaal, of

PK' :R+¿×R

+¿→R :(A ,K )⟼ ∂ P∂K

(A ,K )¿¿

9.1.1 DEFINIETE MATRICESKwadratische matrices

Een kwadratische vorm is een gecombineerd matrixproductx ' Ax

met A een symmetrische matrix van orde n×n, en x een kolom met n elementen.De symmetrische matrix die een kwadratische vorm bepaalt, is uniek.


Definiete matrices Een symmetrische matrix Avan orde n×n is positief definiet, als voor elke kolom x≠0 met n elementen geldt dat x ' Ax>0.Een symmetrische matrix A van orde n×n is negatief definiet,als voor elke kolom x≠0 met n elementen geldt dat x ' Ax<0.Een symmetrische matrix A van orde n×n is non-definiet,als voor elke kolom x≠0 en y ≠0 bestaan met n elementen waarvoor x ' Ax>0 en y ' Ay<0.

9.1.2. VRIJE EXTREMA – EXTREMA ZONDER NEVENVOORWAARDENLokale extrema Een functie f :R ²→R bereikt een lokaal maximum in het punt (x0 , y0 ),

indien voor elk punt (x , y ) in de buurt van het punt (x0 , y0 ) geldt dat f (x , y )≤ f (x0 , y0 ).Een functie f :R ²→R bereikt een lokaal minimum in het punt (x0 , y0 ),indien voor elk punt (x , y ) in de buurt van het punt (x0 , y0 ) geldt dat f (x , y )≥ f (x0 , y0 ).

Hessiaan Voor een functie f :R ²→R:(x , y )⟼ f (x , y ) wordt de Hessiaan of Hessiaanse matrix een punt (x0 , y0 ) gedefinieerd als

H f (x0 , y0 )=( f xx' ' (x , y ) f xy

' ' (x , y )f yx' ' (x , y ) f yy

' ' (x , y))9.1.3. GEBONDEN EXTREMA – EXTREMA MET NEVENVOORWAARDENLagrange-functie Voor het bepalen van de extrema van een functie f :R ²→R onder de

voorwaarde g ( x , y )=C , wordt de Lagrange-functie gedefinieerd alsL ( x , y , λ )=f (x , y )−λ (g ( x , y )−C )

Gerande Hessiaan Voor een Lagrange-functie L :R ³→R : ( x , y , λ )⟼L ( x , y , λ )=f ( x , y )−λ (g ( x , y )−C )

wordt de gerande Hessiaan voor een punt (x0 , y0 , λ0 ) gedefinieerd als

~H f , g (x0 , y0 , λ0 )=( 0 gx' (x0, y0 ) gy

' (x0 , y0 )gx' (x0 , y0 ) Lxx

' ' (x0, y0 , λ0 ) Lxy' ' ( x0 , y0 , λ0 )

g y' (x0 , y0 ) Lyx

' ' (x0 , y 0, λ0 ) Lyy' ' (x0 , y0 , λ0 ))

9.2.1. VRIJE EXTREMALokale extrema Een functie f :Rn→R bereikt een lokaal maximum in het punt (x10 ,…, xn

0 ),indien voor elk punt (x1 ,…, xn ) in de buurt van het punt (x10 ,…, xn

0 ) geldt dat

f (x1 ,…,xn )≤ f (x10 ,…,xn0 ).

Een functie f :Rn→R bereikt een lokaal minimum in het punt (x10 ,…, xn0 ),

indien voor elk punt (x1 ,…, xn ) in de buurt van het punt (x10 ,…, xn0 ) geldt dat

f (x1 ,…,xn )≥ f (x10 ,…,xn0 ).

Hessiaan Voor een functie f :Rn→R wordt de Hessiaan of Hessiaanse matrix voor een punt P0=( x10,…, xn

0 ) gedefinieerd als

H f (P0 )=( f 11' ' (P0) f 12

' ' (P0) f 1n' ' (P0)

f 21' ' (P0) f 22

' ' (P0) f 2n' ' (P0)

f n1' ' (P0) f n2

' ' (P0) f nn' ' (P0)

)9.2.2. GEBONDEN EXTREMALagrange-functie Voor het bepalen van de extrama van een functie f :Rn→Ronder de


voorwaarden g1 (x1 ,…, xn )=C1 tot gm (x1 ,…, xn )=Cm, wordt de Lagrange-functie gedefinieerd als

L (x1 ,…, xn , λ1 ,…, λm )=f (x1 ,…, xn )−∑k=1

m

λk (gk (x1 ,…, xn )−C k )De variabelen λ1 ,…, λm noemt men de Lagrange-multiplicatoren.


Web viewVoor een afleidbare functie met voorschrift y=f(x) ... y 0 g y ' x 0 , y 0 g x ' x 0 , y 0 L...

Documents

Transcript of Web viewVoor een afleidbare functie met voorschrift y=f(x) ... y 0 g y ' x 0 , y 0 g x ' x 0 , y 0 L...