Teoria y Practica de Estatica 0

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  • TEORIA Y

    PRACTICA DE

    ESTTICA

    Fsica

    ING. RAL MARTNEZ

  • Fsica

    Cursillo Ing. Ral Martnez

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    TEORIA DE FSICA

    CAPITULO I: MAGNITUDES Y MEDICIONES

    Magnitud: Todo aquello que se puede medir, se llama magnitud. Ej.: el peso, el tiempo, la temperatura. La cantidad es el valor de la magnitud por la unidad de medida. Por ejemplo: Una velocidad de ejemplo: Una velocidad de La magnitud es el concepto de velocidad y la cantidad es . En fsica existen dos clases de magnitudes escalares y vectoriales. Magnitudes escalares: son las que quedan perfectamente definidas por un solo nmero y su correspondiente unidad. Ejemplos: La longitud de una regla La masa de un cuerpo El tiempo transcurrido entre dos sucesos Densidad, volumen, energa, potencia

    Magnitudes Vectoriales: Estas magnitudes constan tambin de un nmero y una unidad, pero adems debe fijarse su direccin y sentido, sin los cuales no quedan perfectamente determinadas. La direccin viene dada por una recta. Cada direccin tiene dos sentidos, determinados por las dos orientaciones posibles de la recta. Ejemplo: Velocidad, fuerza, aceleracin, cantidad de movimiento. Representacin grafica de una magnitud vectorial: Toda magnitud vectorial se representa por medio de un vector. El vector es un segmento de recta orientado que seala una direccin y un sentido, definido este por una flecha en uno de los extremos. El vector, consta de 4 elementos: Punto de aplicacin Diseccin Sentido a Modulo o intensidad: nmero que indica el valor del vector.

    Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo modulo y la misma direccin y sentido, cualesquiera sean sus orgenes o punto de aplicacin.

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    Vectores equivalentes o equipotentes: Son vectores que tienen el mismo modulo y sentido pero sus direcciones son paralelos, es decir no estn en una misma recta o direccin. Algunos autores lo denominan tambin vectores iguales.

    Vector opuesto: son vectores que tienen el mismo modulo y la misma direccin pero sentidos opuestos.

    Resultante de un nmero de vectores es aquel vector nico que produce los mismos efectos que todos los vectores originales juntos. Vector equilibrante de un sistema de fuerzas: es el vector opuesto al vector resultante. Suma de vectores:

    a) Solucin grafica: La suma de los vectores y es un vector , que se obtiene llevando el vector con su propio modulo, direccin y sentido a continuacin del

    vector y uniendo el origen de con el extremo de .

    Mismo sentido y .son equivalentes

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    b) Solucin analtica: se basa en la ley del paralelogramo La suma o resultante de dos vectores viene dada en direccin, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo construido sobre los dos vectores como lados consecutivos. Determinacin analtica del modulo y direccin del vector resultante, conocido el ngulo

    que forman los dos vectores y

    En el tringulo aplicando el teorema del coseno tenemos:

    (1)

    Pero:

    Remplazando estos valores en (1) tenemos:

    Esta es la formula para calcular el modulo de la resultante de dos vectores. En general se acostumbra escribir en funcin del ngulo . Por trigonometra sabemos:

    Luego: Para encontrar la direccin del vector resultante determinamos el ngulo que esta resultante forma con uno de los vectores sumandos .

    Para eso aplicamos la Ley del Seno de trigonometra. En el tringulo

    O tambin:

    APNDICE: Para sumar varios vectores , se suman primeramente y , la

    resultante de estos con y as sucesivamente hasta obtener el vector , que es la suma pedida.

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    Diferencia de dos vectores: Restar de un vector otro equivalente a sumar el vector con

    el vector opuesto de

    OBS.: En la prctica se acostumbra unir el extremo del vector sustraendo con el extremo del

    vector minuendo, obtenindose un vector equivalente

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    Sistemas de unidades: Generalidades: la fsica es la ciencia de la medida por lo tanto debe disponer de unidades para medir y expresar cuantitativamente los diferentes fenmenos. Para la resolucin de los problemas es necesario estar familiarizado con los sistemas de unidades fsicas, pues en fsica, un resultado numrico no tiene sentido cuando no indica la unidad correspondiente. Medicin: consiste en comparar dos cantidades homogneas, sabiendo que una de las cantidades se llama unidad de medida. Estas unidades de medidas no son naturales, sino convencionales. Magnitudes fundamentales: existen numerosas magnitudes, cada una de ellas siempre pueden ser expresadas en funcin de tres magnitudes especiales. Estas magnitudes son llamadas magnitudes fundamentales y son: Longitud Masa o Fuerza Tiempo

    El conjunto de unidades para medir las magnitudes fundamentales y derivadas se denominan: Sistemas de unidades: Existen tres sistemas de unidades principales

    a) Sistema cgs: llamado as por adoptar como unidades fundamentales - Centmetro ( ) - Gramo masa ( ) - Segundo ( ) b) El sistema MKS: adopta como unidades fundamentales - El metro ( ) - Kilogramo masa ( ) - Segundo ( ) c) El sistema tcnico o gravitacional: es el nico sistema que adopta como unidades

    fundamentales - Metro ( ) - Kilogramo fuerza o kilopondio ( ) - Segundo ( )

    Este sistema es muy utilizado en la tcnica y en ingeniera. OBS.: La masa es independiente del lugar de la tierra en que se mide y por eso el sistema de unidades basado en la longitud, la masa y el tiempo se llama sistema absoluto. Si se eligen como magnitudes la longitud, la fuerza y el tiempo, como la fuerza mas corriente es la gravitatoria, se llama a este sistema de unidades de gravitatorio o gravitacional. Sistema internacional de unidades (SI) A partir de 1960, el sistema MKSA fue considerado como formando parte de un sistema completo de unidades fsicas llamado sistema internacional de unidades, ms conocido como (SI) El SI fue sancionado y recomendado por la 11A. Conferencia general de pesas y medidas reunidas en Paris, en octubre de 1960.

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    El SI est basado en siete unidades fundamentales: - Longitud: metro ( ) - Masa: kilogramo ( ) - Tiempo: segundo ( ) - Intensidad de corriente: Ampere ( ) - Temperatura termodinmica: grado kelvin ( ) - Cantidad de materia: el mol - Intensidad luminosa: candela ( )

    Ecuaciones dimensionales: Si se eligen como fundamentales las tres magnitudes de longitud, masa y tiempo, los dems vendrn representados en funcin de estas. Las unidades fundamentales se expresan por las tres iniciales maysculas.

    (Longitud) (Masa)

    (Tiempo) Una ecuacin dimensional relaciona una magnitud derivada con las magnitudes fundamentales, mostrando de que manera ella depende de las magnitudes fundamentales. Para obtener una ecuacin de dimensin basta sustituir en la expresin de la magnitud derivada las magnitudes por sus unidades. Ejemplo: Para la velocidad

    Tendremos:

    Para la energa cintica

    Se cierran entre corchetes las magnitudes derivadas Si las letras aparecen en el denominador se ponen con exponentes negativos En el sistema tcnico la masa se sustituye por la fuerza

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    CAPITULO II: MECANICA

    1. MECNICA: es la rama de la fsica y de la ingeniera que trata del movimiento de los cuerpos materiales y de las fuerzas que producen los movimientos. Se divide en: a) Cinemtica: La cinemtica estudia el movimiento de los cuerpos materiales, sus

    clases y las leyes que lo rigen. En cinemtica se estudia la posicin, la velocidad y la aceleracin No se especifica la naturaleza de la partcula cuyo movimiento se estudia, ni tampoco se estudian las fuerzas que causan la aceleracin.

    b) Esttica: la esttica estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo sobre el que actan fuerzas, quede en equilibrio o sea que permanezca en estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme.

    c) Dinmica: constituye la mecnica propiamente dicha porque en ella se estudia las relaciones existentes sobre el movimiento de las masas y las fuerzas que lo provocan

    2. FUERZA: Estticamente hablando se puede decir que fuerza es toda causa que produce o modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo u ocasiona en el una deformacin. Ejemplo:

    - Cuando empujamos un cuerpo, ejercemos una fuerza sobre el mismo. - Las fuerzas pueden ser ejercidas tambin por objetos inanimados, un resorte tenso

    ejerce fuerzas sobre los cuerpos atados a sus extremos. - La fuerza de atraccin gravitacional. - Las fuerzas elctricas o magnticas.

    Unidades de Fuerza: Las unidades de fuerza en los tres sistemas son: Dina, Newton ( ) y kilogramo fuerza o kilopondio ( ) Elementos de una fuerza: Como la fuerza es una magnitud vectorial consta de 4 elementos

    a) Punto de aplicacin: Es el punto sobre el cual acta directamente la fuerza. b) Direccin: Es la trayectoria que sigue la fuerza. c) Sentido: una de las dos maneras de seguir la recta y es sealado por la flecha. d) Modulo: nmero que indica el valor de la fuerza.

    SISTEMA DE FUERZAS: Cuando un conjunto de fuerzas actan sobre un mismo cuerpo decimos que el cuerpo se encuentra bajo la accin de un sistema de fuerzas. Fuerzas componentes: son las fuerzas que actan simultneamente sobre un cuerpo. La resultante de un sistema de fuerzas, es la fuerza nica capaz de producir el mismo efecto que las componentes. Equilibrante de un sistema de fuerza es la fuerza nica capaz de contrarrestar la accin de la

    resultante de un sistema de fuerzas.

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    LEYES DE NEWTON APLICABLES A LA ESTTICA: 1 Ley de Newton: LEY DE INERCIA: Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme hasta que una fuerza externa lo obligue a salir de dicho estado. 3 Ley de Newton: LEY DE ACCION Y REACCION: A toda accin (Fuerza) le corresponde una reaccin (otra fuerza) de igual modulo, igual direccin, igual lnea de accin pero de sentido contrario. Como estas fuerzas actan en cuerpos diferentes no se anulan entre si. AXIOMAS DE LA ESTTICA: 1 Axioma: Dos fuerzas iguales y de sentidos opuestos estn en equilibrio. 2 Axioma: Toda fuerza puede trasladarse de un punto a otro a lo largo de su lnea de accin y sus efectos sobre el cuerpo son iguales. 3 Axioma: La resultante de dos fuerzas que actan en distintas direcciones y en un mismo punto de aplicacin est representada en direccin, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo construido con dichas fuerzas. Composicin de Fuerzas: Componer un sistema de fuerzas significa hallar su resultante. Los casos ms comunes son:

    a) Composicin de dos fuerzas de igual direccin y sentido. - Solucin grafica: para hallar la resultante de y que tienen la misma direccin y

    sentido, transportamos la fuerza a continuacin de .

    La resultante ser la fuerza que parte del origen de hasta el extremo de

    - Solucin analtica: para hallar el modulo de la resultante se suma el modulo de

    fuerza con el modulo de la fuerza

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    b) Composicin de dos fuerzas con la misma direccin y sentido contrarios - Solucin grafica: Para hallar la resultante de dos fuerzas y con la misma

    direccin y sentido contrarios.

    Se transporta la fuerza a partir del extremo de la fuerza .

    La resultante ser la fuerza que parte del origen de hasta el extremo de

    - Solucin analtica: Para hallar el modulo de la resultante se resta el modulo de la fuerza menor del modulo de la fuerza mayor .

    La direccin ser la misma que la fuerza componente y el sentido ser el sentido de la fuerza mayor.

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    ANEXO: Composicin de varias fuerzas con la misma direccin. Todas las fuerzas tienen la misma direccin y el mismo sentido.

    Si las fuerzas componentes son por ejemplo: la resultante ser una fuerza que tiene la misma direccin y el mismo sentido que las componentes y su intensidad es igual a la suma de las intensidades de las componentes. Es decir:

    Esta expresin lo podemos representar por:

    Este smbolo significa: Sumatoria de todas las fuerzas desde hasta (Es decir desde la primera hasta la ultima)

    Todas las fuerzas tienen la misma direccin pero sentidos diferentes: En este caso hallamos primero las resultantes parciales en los diferentes sentidos y luego procedemos con estas dos resultantes y como dos fuerzas de la misma direccin y sentidos contrarios.

    c) Composicin de dos fuerzas que actan en distintas direcciones y en un mismo punto de

    aplicacin.

    - Solucin grafica: Por el 3 Axioma de la Esttica sabemos: La resultante de dos fuerzas que actan en distintas direcciones y en un mismo punto de aplicacin est representada en direccin, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo construido con dichas fuerzas.

    Sea el sistema de fuerzas concurrentes y . Para hallar la resultante trazamos por el extremo de la recta paralela a la fuerza

    y por el extremo de la recta paralela a la fuerza . La diagonal del paralelogramo representa la resultante en intensidad, direccin y sentido.

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    - Solucin analtica: Sean y las dos fuerzas dadas que forman entre si un ngulo . Por el 3 Axioma de la esttica determinamos la resultante

    Considerando el tringulo sabemos por trigonometra que En todo tringulo el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos mismos lados por el coseno del ngulo comprendido (Teorema del coseno). Es decir:

    Pero:

    Remplazando estos valores en tenemos:

    Por geometra sabemos: ..Adyacentes.

    Luego: funciones trigonomtrica de ngulos suplementarios.

    Remplazando en tenemos:

    Esta ecuacin nos permite calcular la intensidad (modulo) de la resultante de dos fuerzas concurrentes y que forman cualquier ngulo comprendido entre y

    Calculo de la direccin de la resultante: La direccin de la resultante queda definida por los ngulos y que la misma forma con las componentes.

    Tomando el mismo tringulo , sabemos que En todo tringulo los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos Es decir:

    Casos particulares de composicin de dos fuerzas concurrentes.

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    1 CASO: Las fuerzas y forman un ngulo

    Aplicando la ecuacin de la resultante, tendremos:

    Luego: ..Resultado evidente teniendo en cuenta el teorema de Pitgoras.

    2 CASO: Las fuerzas y actan en un mismo punto bajo un ngulo , es decir son colineales de igual sentido. Aplicando la ecuacin de la resultante tendremos:

    Resultado conocido.

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    3 CASO: Las fuerzas y actan en un mismo punto bajo un ngulo , es decir son colineales de sentidos contrarios. Aplicando la ecuacin de la resultante tendremos:

    Resultado conocido.

    Descomposicin de una fuerza en dos direcciones perpendiculares:

    Sea la fuerza que debe ser descompuesta en dos componentes ortogonales dispuestos sobre los ejes y Proyectamos la fuerza sobre los dos ejes. Las proyecciones del punto y .

    Los vectores y , que llamaremos y son los componentes rectangulares de la fuerza

    . Conociendo el ngulo , podemos fcilmente, determinar y

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    Composicin de ms de dos fuerzas concurrentes a) Solucin grafica:

    Si se tienen varias fuerzas concurrentes , aplicadas en un punto , y situadas

    en un plano, la resultante puede ser determinada fcilmente.

    En efecto, basta componer las dos primeras segn el 3 Axioma de la esttica: Se obtiene

    as la resultante .

    Luego se obtiene la resultante de con obteniendo de esta forma la resultante .

    Y finalmente la resultante definitiva , se obtiene componiendo con por la misma ley

    del paralelogramo construido sobre y

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    b) Solucin analtica: Utilizando el mtodo de las proyecciones. Cuando se tienen varias fuerzas coplanares concurrentes en un punto de intensidades dadas y se dan los ngulos que cada una de las fuerzas forma con los ejes rectangulares que coincide con el punto de aplicacin del sistema, se puede fcilmente determinar la resultante del sistema de fuerzas.

    Sea el sistema representado en la figura, formado por las fuerzas , concurrentes en , origen de un sistema de ejes ortogonales y se conocen adems los ngulos y

    que forman respectivamente cada una de las fuerzas con la direccin positiva del eje . La fuerza se puede sustituir por sus dos componentes y cuyos valores son:

    Tambin

    Por lo tanto, todo el sistema queda reducido a tres fuerzas actuando en el eje y otros tres fuerzas actuando en el eje . Por consiguiente las fuerzas que actan a lo largo del eje de abscisas se reducen a una sola igual a la suma algebraica que llamamos , es decir:

    Tambin las componentes sobre el eje de ordenadas y pueden sustituirse por una sola fuerza que llamamos

    El sistema de fuerzas constituido por las fuerzas y es equivalente al sistema constituido por La intensidad o modulo de la resultante se determina mediante la ecuacin.

    La direccin de la resultante queda determinada por el ngulo que la misma forma con el eje . Este ngulo puede ser determinado por medio de su tangente.

    Para ubicar en que cuadrante esta la resultante, utilizamos los conceptos de trigonometra. (En funcin de los signos de y )

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    ANEXO: Generalizacin del proceso para composicin de fuerzas coplanares.

    Sean las fuerzas que forman con el eje los ngulos

    respectivamente.

    Esto puede ser expresado de la siguiente forma:

    Sean las fuerzas , en que varia de a , y sean los respectivos ngulos que dichas

    fuerzas forman son el eje de abscisas.

    a) Descomponemos cada una de las fuerzas en sus componentes ortogonales

    b) Calculamos la resultante de todas las componentes horizontales y la resultante

    de las componentes verticales

    c) Calculamos la intensidad de la resultante

    d) Calculamos el ngulo que la resultante forma con el eje por medio de la tangente.

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    Momento de una fuerza respecto de un punto Se llama momento de una fuerza con respecto a un punto, al producto de dicha fuerza por la distancia del punto a la fuerza. El punto se llama centro de momentos. El momento de una fuerza es una magnitud vectorial.

    Momento de respecto a

    Las unidades de momento son

    El signo del momento de una fuerza es convencional, pues una fuerza puede hacer girar en el

    sentido de las manecillas del reloj o sentido contrario a las manecillas del reloj .

    Esta convencin no es rgida, pero dentro de un mismo problema se debe mantener la

    convencin. Podemos decir que el momento de una fuerza respecto a un punto es la medida

    de su eficiencia giratoria o tambin la tendencia a girar que produce una fuerza.

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    ANEXO: En el grafico podemos ver que el producto es el doble del rea del tringulo formado por el punto y la fuerza. Este hecho puede ser aprovechado si as fuese conveniente en algn determinado problema, pues sabemos que el producto vectorial de dos vectores es numricamente igual a este momento.

    Cupla o par de fuerzas: Un par de fuerzas es un sistema de dos fuerzas paralelas iguales y de sentidos contrarios, aplicados a un cuerpo rgido.

    Entonces Es decir un par de fuerzas es un sistema que no tiene resultante. Se considera que la resultante es una fuerza tendiendo a cero aplicada en el infinito. Para poder equilibrar un par de fuerzas o Cupla debemos aplicar otro par de fuerzas del mismo modulo y de sentido contrario. La expresin muestra que si un par de fuerzas acta sobre un cuerpo produce un efecto y este efecto es una rotacin. OBS.: En los casos ilustrados en la figura la rotacin v a producirse en torno al punto medio del segmento.

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    Momento de un par de fuerzas

    Sabemos que el momento en este caso es producido con respecto al punto medio del segmento de longitud , el punto

    Pero Luego:

    El momento de un par de fuerzas es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia perpendicular entre las mismas.

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    TEOREMA DE VARIGNON: El momento de la resultante de un sistema de fuerzas coplanares con respecto a un punto cualquiera es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.

    Nos limitamos a demostrar para dos fuerzas concurrentes con el centro de momentos en su plano. Pero lo demostrado se puede generalizar para cualquier nmero de fuerzas. Sean las fuerzas y aplicados en , siendo la resultante y sea el centro de momentos. Usamos los puntos y con Tracemos y a la recta Tambin Queremos demostrar:

    En el tringulo tenemos:

    Anlogamente en los tringulos y , tendremos:

    Consideremos los tringulos y

    Remplazando en tenemos:

    Pero Ecuacin

    Ecuacin

    Luego:

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    EQUILIBRIO: Los cuerpos se aceleran en respuesta a las fuerzas que actan sobre ellos, pero en esttica nos interesa que los cuerpos no aceleran. Un cuerpo puede estar en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre l es cero. Pero esta condicin no basta, por que si las fuerzas actan en diferentes puntos de un cuerpo extenso, es necesario un requisito adicional para asegurar que el cuerpo no tenga tendencia a girar, es decir la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto debe ser cero. Este requisito se basa en los principios de la dinmica de rotacin. El concepto de equilibrio se clasifica en: a) Equilibrio esttico: Cuando la velocidad de translacin del cuerpo es cero y adems el

    cuerpo no se encuentra girando, es decir en velocidad angular es tambin cero.

    Y en estas condiciones iniciales tambin tenemos

    No hay aceleracin translacional

    No hay aceleracin angular

    b) Equilibrio dinmico: Cuando el cuerpo se encuentra en movimiento de translacin pero con

    (Movimiento rectilneo y uniforme) o con movimiento de rotacin pero con velocidad angular constante:

    Si adems de estas condiciones iniciales

    No hay aceleracin translacional

    No hay aceleracin angular

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    Condicin de equilibrio de un punto material: Para que un punto material est en equilibrio esttico es necesario y suficiente que la resultante de todas las fuerzas que actan sobre dicho punto, sea nula.

    Si estuvisemos trabajando en un sistema cartesiano

    Condiciones de equilibrio de un cuerpo rgido. Las condiciones necesarias y suficientes para que un cuerpo rgido (De dimensiones no despreciables) se mantenga en equilibrio esttico son dos: 1 CONDICIN: La resultante de todas las fuerzas que actan en el cuerpo sea nula.

    Esta condicin hace con que el cuerpo no tenga movimiento de translacin. 2 CONDICIN: La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas que actan en el cuerpo en relacin a un mismo punto es nula.

    Siendo un punto cualquiera del cuerpo o fuera del mismo. Esta condicin hace con que el cuerpo no tenga una aceleracin rotacional.

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    EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE. La energa potencial de un cuerpo depende de la posicin de su centro de gravedad respecto a un nivel de referencia. a) Equilibrio estable: La posicin de equilibrio estable corresponde a la de energa

    potencial mnima, es decir, el centro de gravedad del cuerpo se encuentra a la menor altura posible (respecto a un nivel de referencia) Si se aleja (un poco) al cuerpo de esta posicin, tiende a volver a ella.

    b) Equilibrio inestable: corresponde a la posicin de energa potencial mxima, es decir el

    centro de gravedad est a la mayor altura posible respecto a un nivel de referencia. Si se aleja (un poco) al cuerpo de esta posicin, tiende a alejarse cada vez ms de esta posicin.

    c) Equilibrio indiferente: La energa potencial del cuerpo no vara en todas las posiciones

    del cuerpo. La altura del centro de gravedad no vara al cambiar (un poco) la posicin original del cuerpo. Si se cambia al cuerpo de posicin, vuelve a quedar equilibrado en la nueva posicin.

    OBS.: En todos los casos, cuando los cuerpos estn inicialmente en equilibrio, los momentos del peso con respecto al punto de apoyo son nulos.

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    Perdida de equilibrio de un cuerpo extenso: existen dos formas de que un cuerpo pueda perder el equilibrio. Por deslizamiento y por vuelco. Cada una de estas formas dependen de factores diferentes pero que pueden interligarse con respecto a cual de ellos va a ocurrir primero.

    a) Perdida de equilibrio por deslizamiento: Ocurre cuando el cuerpo ya esta en la inminencia de deslizar, en este caso la fuerza de rozamiento esttica entre el cuerpo y la superficie donde va a deslizar es igual a la fuerza de rozamiento mxima.

    En la practica esta situacin ocurre cuando la resultante de la fuerzas paralelas a la superficie de contacto que actan sobre el cuerpo es igual o mayor que

    b) Perdida de equilibrio por vuelco: b.1) Si el cuerpo esta por separarse de alguna superficie donde esta apoyada, las fuerzas de

    contacto se anulan y el cuerpo esta en la inminencia de volcar. Ejemplo: hallar la fuerza para que la barra se separe de .

    OBS.: La fuerza de rozamiento es desconocida, y solo en un caso excepcional ser la mxima

    b.2) Si es un cuerpo con base extensa, cuando esta por volcar, la normal pasa por el ultimo punto que va a estar un contacto con la superficie de apoyo. Ejemplo: Hallar la fuerza para que la caja este por volcar.

    OBS.: La fuerza de rozamiento excepcionalmente ser la mxima.

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    Composicin grafica y analtica de dos fuerzas paralelas de igual sentido: La resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido es otra fuerza de la misma direccin y sentido que las fuerzas componentes y cuya intensidad es igual a la suma de las intensidades de las fuerzas: El punto de aplicacin de la resultante divide al segmento que une los puntos y de aplicacin de las fuerzas, en dos segmentos e , inversamente proporcionales a las fuerzas

    y . a) Determinacin grafica del punto de aplicacin de la resultante:

    Para determinar grficamente el punto de aplicacin de , se hace

    El segmento determina sobre el punto de aplicacin de la resultante .

    b) Composicin analtica de fuerzas paralelas de igual sentido:

    Por la primera condicin de equilibrio de un cuerpo rgido tenemos:

    Por la 2 condicin de equilibrio tenemos, aplicando momentos con respecto al punto

    Tambin tenemos:

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    Composicin de dos fuerzas paralelas de sentidos contrarios: El punto de aplicacin de la resultante divide el segmento de aplicacin de las fuerzas en dos segmento e inversamente proporcionales a y La resultante es paralela a las componentes y de sentido de la fuerza mayor. La intensidad de la resultante es igual a la diferencia de las intensidades de las fuerzas

    a) Determinacin grafica del punto de aplicacin de la resultante .

    Para determinar grficamente el punto de aplicacin de , hacemos:

    La prolongacin de determina en la barra el punto de aplicacin.

    b) Solucin analtica de dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos

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    FUERZAS ENTRE SUPERFICIES EN CONTACTO:

    Cuando la superficie de dos cuerpos entran en contacto pueden aparecer dos tipos de fuerzas entre los cuerpos:

    a) Fuerza normal: aparece entre cuerpos en contacto y es perpendicular a las superficies de contacto, por eso se lo denomina fuerza normal.

    accin y reaccin porque debe soportar a los dos cuerpos

    es el peso del cuerpo es la reaccin del suelo sobre el cuerpo(Accin y reaccin)

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    b) Fuerza de rozamiento: Siempre que un cuerpo se desliza sobre otro cuerpo, uno ejerce sobre el otro una fuerza de friccin o fuerza de rozamiento, que es tangente a las superficies en contacto (Accin y reaccin). Esta fuerza de rozamiento tiene sentido contrario el movimiento del cuerpo en relacin al otro y es provocado por los asperezas o rugosidades existentes entre las superficies y tambin por fuerzas intermoleculares que depende de la polaridad de las molculas en contacto. El rozamiento se puede disminuir puliendo las superficies y lubricando. Algunos veces es nocivo y otras veces es til, por ejemplo es til en las ruedas de los vehculos y nocivo en el motor de los vehculos. La fuerza de rozamiento es la resistencia que los cuerpos en contacto ofrecen al movimiento relativo entre dichos cuerpos. TIPOS DE ROZAMIENTO

    a) Fuerza de rozamiento esttico: Es aquella fuerza de contacto paralela a la superficie que se opone al movimiento del cuerpo respecto a la superficie de apoyo. Si el cuerpo no desliza respecto a la superficie de apoyo cuando sometida a una fuerza es debido a la fuerza de rozamiento esttico. Esta fuerza puede llegar a un valor mximo que se llama fuerza de rozamiento esttica mxima, este valor se da nicamente cuando el cuerpo est en movimiento inminente es decir est a punto de empezar a deslizar sobre su apoyo.

    Luego la fuerza de rozamiento esttico puede variar desde cerocuando hasta un mximo

    Fue Coulomb quien estableci las leyes para la fuerza de rozamiento. 1 Ley: La fuerza de rozamiento esttico independiente del rea de contacto entre las dos superficies. 2 Ley: La fuerza de rozamiento esttico depende de la naturaleza de las superficies de contacto. 3 Ley: La fuerza de rozamiento esttico es proporcional a la fuerza normal (Perpendicular a las superficies)

    Coeficiente de rozamiento esttico y depende de la naturaleza de los superficies.

    Fuerza normal a las superficies en contacto.

    Cuando tenemos un cuerpo en una superficie horizontal y aplicamos una pequea fuerza a este cuerpo.

    El cuerpo no se mueve, pues el suelo ejerce una fuerza de rozamiento Si aumentamos la fuerza , el cuerpo continua sin moverse La fuerza de rozamiento , tambin aumento en la misma medida de

    Pero si continuamos a aumentar la fuerza , llegar un momento que el cuerpo est en la inminencia de moverse, pues la fuerza lleg a su lmite, es decir a su mximo.

    Esta fuerza de rozamiento mxima se lo conoce como fuerza de destaque o fuerza de arranque o

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    29

    b) Fuerza de rozamiento dinmico o cintico: Si un cuerpo desliza sobre su superficie de apoyo, y esta es un plano rugoso, entonces acta sobre el cuerpo una fuerza de rozamiento cintica. Esta fuerza es paralela a la superficie de apoyo y su sentido es opuesto al movimiento del cuerpo. El rozamiento cintico puede ser de dos formas:

    Fuerza de rozamiento cintico por deslizamiento. Fuerza de rozamiento cintico de rodaje. Para poner un cuerpo en movimiento en una superficie plano debemos aplicar una fuerza mnima que sea mayor que (fuerza de destaque)

    Pero para mantener dicho cuerpo en movimiento es necesario aplicar una fuerza menor que las fuerza de destaque. La fuerza de rozamiento cuando el cuerpo est en movimiento se denomina Fuerza de rozamiento dinmico o cintico. La fuerza de rozamiento cintico, tiene las siguientes caractersticas.

    Es menor que la fuerza de rozamiento esttico para las mismas superficies Independiente de las reas de contacto Para velocidades no muy altas es independiente de la velocidad Es proporcional a la reaccin normal del plano de apoyo

    Coeficiente de rozamiento dinmico.

    El medio en el cual est inmerso un cuerpo (aceite, agua, aire, etc.) ofrece tambin resistencia a su desplazamiento. Esta resistencia es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad y a la viscosidad del fluido.

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    30

    Maquinas simples: son dispositivos que permiten vencer grandes resistencias empleando nuestra escasa fuerza muscular. En este sentido son aparatos multiplicadores de fuerzas. Las maquinas simples emplean solamente la aplicacin de una fuerza. La fuerza que se aplica se llama fuerza motriz y la fuerza que si debe vencer fuerza resistente. a) Palanca: es una barra rgida que puede girar alrededor de un eje o un punto que se llama

    punto de apoyo.

    La distancia entre la potencia y el apoyo

    La distancia entre la resistencia y el apoyo Segn la posicin del punto de apoyo , con respecto a la potencia y a la resistencia , se distinguen tres gneros de palanca. Palanca de 1 gnero: El punto de apoyo se encuentra entre la potencia y la resistencia.

    Ejemplo: Balanza, tijera. Palanca de 2 gnero: La resistencia se encuentra entre la potencia y el punto de apoyo

    . Ejemplo: La carretilla. Palanca de 3 gnero: La potencia se encuentra entre la resistencia y el punto de

    apoyo . Ejemplo: Pinza de hielo

    Condicin de equilibrio: en cualquier palanca se produce equilibrio, cuando el momento de la potencia y el de la resistencia con respecto al punto de apoyo son iguales.

    Es decir:

    b) Poleas: son discos o ruedas de borde acanalado por el cual pasa una cuerda que la hace girar en torno a su eje. Se clasifican en. Poleas fijas: Poseen solo un movimiento de rotacin en torno a su eje. Se la puede

    considerar como una palanca de 1 gnero de brazos iguales

    No economiza fuerza pero da comodidad y seguridad al operario.

    Polea mvil: junto al movimiento de rotacin posee otro de translacin. Se la puede considerar como una palanca de 2 gnero.

    La polea mvil economiza de la fuerza

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    31

    Sistemas de poleas: Es el conjunto de dos o ms poleas mviles y una fija dispuesta como indica la figura. La primera polea mvil reduce la resistencia La segunda polea mvil reduce la resistencia a

    La ensima polea reduce la resistencia a El equilibrio se produce cuando en donde es el nmero de poleas mviles.

    c) Torno: es el conjunto de dos poleas fijas entre si con diferentes radios, una mayor y otra

    menor ambos pudiendo girar en torno a un mismo eje. Funciona como una palanca de 1 gnero. El equilibrio se produce cuando.

    Luego la potencia es inversamente proporcional a los radios de las poleas.

    d) Plano inclinado:

    El plano inclinado es una maquina simple que se utiliza para economizar esfuerzo. Descomponemos el peso del cuerpo en dos componentes (Normal al plano inclinado y

    / Paralelo al plano inclinado)

    Para conseguir el equilibrio debemos aplicar una fuerza equilibrante con la misma intensidad que pero de sentido contrario.

    En la medida que disminuye el ngulo , menor ser el esfuerzo o la potencia que debemos aplicar para obtener el equilibrio.

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    32

    ANLISIS DE ALGUNOS CASOS DE PLANO INCLINADO:

    a) Cuando se considera sin rozamiento por ser nfimo.

    Componentes de la fuerza peso

    Para que este cuerpo est en equilibrio ser necesario aplicarle una fuerza equilibrante .

    Las condiciones de equilibrio sern:

    Las fuerzas y aplicadas al cuerpo son las responsables del cuerpo estar en equilibrio.

    Impide que el cuerpo penetre en el plano inclinado.

    Impide que haya movimiento acelerado paralela al plano.

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    33

    b) Cuando existe la fuerza de rozamiento y el cuerpo est en la inminencia de deslizar o con movimiento uniforme

    Las condiciones de equilibrio son:

    Esta relacin es muy importante, pues define si un cuerpo que est en un plano inclinado: b.1) No est usando la fuerza de rozamiento mxima b.2) Esta en la inminencia de deslizar o con movimiento uniforme b.3) Solo podr estar en equilibrio con la ayuda de una fuerza equilibrante

    b.1)

    b.2) (Inminencia del desequilibrio)

    b.3) (Necesidad de una Fuerza equilibrante mnima )

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    34

    c) Anlisis de la faja de variacin de una fuerza capaz de mantener el equilibrio.

    INMINENCIA DE BAJAR (mnima fuerza para mantener el equilibrio)

    INMINENCIA DE SUBIR (mxima fuerza para mantener el equilibrio)

    Luego:

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    35

    d)

    Inminencia de movimiento para abajo del plano

    Accin y reaccin

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    36

    ANLISIS DE ALGUNOS CASOS DE ESCALERAS.

    a) Datos : peso de la escalera peso del hombre coeficiente de rozamiento ngulo entre la escalera y el plano horizontal longitud de la escalera

    OBS.: No siempre la fuerza de rozamiento ser la mxima.

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    37

    b) Datos: peso de la escalera peso del hombre

    ngulo entre la escalera y el suelo horizontal longitud de la escalera

    coeficientes de rozamientos Tensin en la cuerda

    OBS.: (1) Cuando se pide la mxima altura que podr subir el hombre o el menor valor de , las fuerzas de rozamiento sern lo mximo posible. (2) La tensin en el hilo solo pasa a actuar para suplir la diferencia de la fuerza de rozamiento.

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    38

    c) Dos escaleras del mismo peso y la misma longitud que estn articuladas en y sujetas por una cuerda.

    1 Fase: determinacin de y

    2 Fase

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    39

    d) Dos escaleras de diferentes pesos y longitudes articulados en y sujetos por una cuerda.

    Reacciones en

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    40

    PESO DE UN CUERPO: Es la fuerza gravitacional (o cuerpos por la atraccin de las masa) que

    actan en los cuerpos por la atraccin terrestre.

    El peso de un cuerpo no acta realmente en un solo punto, sino que es distribuido un todo el

    cuerpo, pero se puede calcular el momento de la fuerza peso respecto a cualquier punto, si se

    supone que el peso est concentrado en un solo punto llamado centro de gravedad.

    Si un cuerpo es homogneo su centro de gravedad coincide con su centro geomtrico (centro

    de reas, centro de longitudes, centro del volumen)

    Si un cuerpo tiene su eje de simetra, su centro geomtrico, generalmente se encuentra sobre

    dicho eje de simetra.

    Si tiene dos o ms ejes de simetra, el centro geomtrico y en general el centro de gravedad se

    encontrarn sobre la interseccin de dichos ejes.

    El centro de gravedad tambin puede estar fuera del cuerpo.

    En los cuerpos de formas complejas se puede hallar la posicin del centro de gravedad

    dividiendo este cuerpo en partes que sean piezas simtricas o piezas cuya posicin del centro

    de gravedad sean conocidas.

    Si la aceleracin de la gravedad es constante para todos los puntos del cuerpo, el centro de

    gravedad tambin coincide con los centros de masa de los cuerpos.

    Cuando un cuerpo sobre el que acta la gravedad se apoya en un solo punto o cuelga de l, el

    centro de gravedad siempre est directamente por arriba o por debajo de dicho punto. Si

    estuviera en otro lugar, el peso tendra un momento respecto al punto de suspensin y en

    cuerpo no estara en equilibrio rotacional.

    Cuando ms bajo est el centro de gravedad y es mayor el rea de apoyo, ms difcil es volcar

    un cuerpo.

    En los cuerpos homogneos y de tamaos no muy extensos el centro de gravedades coincide

    con el centro de masa, pero no podemos hablar de centro de gravedad en ausencia del campo

    gravitacional, pero el centro de masa contina existiendo.

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    41

    Para calcular la posicin del centro de gravedad de un cuerpo complejo, lo dividimos en varios cuerpos de centro de gravedad conocido. En un sistema cartesiano ortogonal en dos dimensiones, las coordenadas del sern:

    Donde:

    Pero, si el cuerpo completo es homogneo, de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro geomtrico (Centro de rea, centro de longitud o centro del volumen) Y en este caso tendremos:

    Donde:

    OBS.: En caso de que tengamos un agujero o un hueco, en un cuerpo lo consideramos su rea, volumen o pero como negativo.

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    42

    Con el objeto de aclarar ms los conceptos, veamos con un ejemplo literal como se deduce el centro de gravedad de varios cuerpos cuyos centros de gravedad son conocidos.

    Debemos elegir convenientemente un sistema cartesiano, si posible con las coordenadas de los centros de gravedad positivos, para facilitar los clculos y la comprensin.

    Sean tres cuerpos de pesos y centros de gravedad respectiva.

    La resultante de estos pesos ser , y la fuerza equilibrante del sistema al punto , tendremos:

    Luego:

    Procediendo en forma anloga y suponiendo que los pesos estn dirigidos en forma horizontal hacia la izquierda obtendremos.

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    43

    EJERCICIOS DE ESTTICA 1) Calcular las tensiones en las cuerdas.

    a) Si la mxima tensin en las cuerdas es de 600 kgf, cual es el mximo peso que se pueda colgar siendo

    b) Cul deber ser el ngulo para que las tensiones sean iguales?

    c) Cul deber ser el ngulo para que la tensin en la cuerda (1) sea el doble que la (2)?

    Rta.: a) ; b) ; c)

    2) a) Calcular las tenciones en los hilos. b) Si la cuerda (1) soporta mximo 250 kgf.

    Cul es el valor mximo de W que puede soportar?

    c) Si kgf ; . Cul es el valor mnimo de de tal forma que la cuerda (1) soporte como mximo 250kgf.

    Rta.: a) T1= 444,7 kgf , T2 = 334,6 ; b) W = 112,43 kgf ; c) 73,85

    3) a) La esfera de la figura pesa 200 kgf; . Calcular la tensin en el hilo y la reaccin de la pared.

    b) Si la tensin mxima que soporta el hilo fuese de 400 kgf y . Cul es el peso mximo de la esfera?

    c) Si la esfera pesa 200 kgf y el hilo soporta mximo 250 kgf. Cul es el mayor valor posible para el ngulo .

    Rta.: a) T = kgf ; N= kgf ; b) W= kgf ; c) = 36 52 11,63

    4) a) Cada una de las esferas pesa 100 kgf. Cul es la tensin del hilo

    y la relacin de la pared en cada esfera?

    b) Si el hilo soporta como mximo 800 kgf. Cuntas esferas iguales podr soportar?

    Rta.: a) N1= 300 kgf ; N2= N3= 0 kgf ; T1= 300 kgf ; b) 5 esferas

    60

    540kgf

    2 1

    A

    1

    2

    w

    W=200 kgf

    45

    1

    2

    3

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    44

    B A

    C

    5) Dos poleas prcticamente sin friccin sostienen el sistema formado por los pesos y las cuerdas. a) Si

    Calcular: y las tensiones en las cuerdas

    b) Si kgf

    Calcular: y

    c) Sabiendo que

    Cul es la relacin entre y , en funcin de y ? Rta.: a) kgf ; kgf ; b) ; 121,85 ;

    c)

    6) a) En la figura de al lado mostrar todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo A.

    b) Si

    Cul es el mnimo peso del cuerpo C? La reaccin del plano sobre el cuerpo A.

    c) Datos:

    Cul ser en el equilibrio? Rta.: b) 15,32 kgf ; 37,14 kgf ; c) No puede haber equilibrio porque

    7) a) Calcular las tensiones en los hilos.

    b) Si el hilo (3) soporta mximo 50 kgf.

    Cul es el mximo valor de W?

    Rta.: a) T1= W/ ; T2 = W. ; T3=T4= ; b) W

    W=80kgf

    3 1

    2

    4

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    45

    A

    W

    B

    8) a) Si

    Calcular la tensin en el hilo y la fuerza que ejerce la barra AB. Calcular tambin la reaccin en el apoyo A.

    b) Si y el hilo soporta como mximo 200kg. Cul es el mnimo valor de ?

    f c) Si la barra soporta una fuerza de compresin mxima 500 kgf y . Cul es el mximo valor de W?

    d) Si , la tensin mxima del hilo es 100 kgf y la compresin mxima de la barra es 200 kgf. Cul es el mximo valor de W? e) Si el hilo soporta una tensin mxima de T y el peso del cuerpo W. expresar en funcin de estos dos datos.

    OBS: Considerar la barra de peso despreciable.

    Rta.: a) kgf ; 400 kgf ; RA kgf ; b) = 68 11 54,93 ;

    c) W 383,02 kgf ; d) W = 57,73 kgf ; e)

    9) a) Si

    Calcular: Tensin en el hilo y las fuerzas de reaccin en A. Suponer la barra sin peso.

    b) Si el hilo soporta hasta una tensin de 300kgf. Cul es el mximo valor de W?

    c) Si y el hilo soporta una tensin mxima de 500 kgf y kgf. Calcular .

    d) Si la barra soporta una compresin mxima de 1.000 kgf. Cul es el mximo valor de

    W?

    OBS: Considerar la barra de peso despreciable.

    Rta.: a) FH= 546,41 kgf ; FA(Y)= 473,20 kgf ; FA(X)= 473,20 kgf ; FR(A)=669,21 kgf ;

    b) W= 109,8 kgf ; c) = 42 32 32,63 ; d) W=298,86 kgf

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    46

    10)

    OBS: Supngase la barra sin peso.

    a) Si

    b) Si el hilo soporta hasta 500 kgf. Cules son los mximos valores de W en cada uno

    de los casos de las figuras? ;

    Rta.: a)

    b)W1= 321,39 kgf ; W2= 595,87 kgf ; W3= 704,96 kgf

    11)

    Una barra AB articulada en la base de un mstil AC soporta un peso kgf como ilustra la figura. Calcula la tensin en la cuerda CB y los componentes de la fuerza de reaccin en A.

    Rta.:

    C

    B

    w=1.200kgf A

    40

    65

    1

    A

    W

    A

    W

    W

    A

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    47

    12) Una esfera de 60 kgf, se encuentra en equilibrio como ilustra la figura. Determinar la tensin en la cuerda y la reaccin en la pared

    Rta.:

    13) a) Siendo

    Calcular las reacciones en los apoyos del cilindro. b) Sabiendo que y siendo el peso del cilindro.

    Calcular la relacin de las fuerzas en los apoyos y .

    Rta.: a) ; b)

    14)

    Una esfera de peso , descanza sobre dos planos inclinados como ilustra la figura. Calcular la reaccin en los apoyos.

    Rta.:

    R=0,60 m

    W

    60

    12

    15

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    48

    EJERCICIOS ESPECIFICOS DE ROZAMIENTO

    15)

    El cuerpo de la figura de peso W, se encuentra en un piso rugoso con un coeficiente esttico y se encuentra sometido a una fuerza motriz .

    a) Muestre todas las fuerzas actuando sobre el cuerpo para el caso en que .

    b) Si analice la fuerza de rozamiento en los siguientes casos:

    c) Cuanto deber ser el coeficiente para que permanezca en equilibrio esttico si

    y .

    Rta.: b) ; c) = 0,25

    16) a) En la figura mostrar todos las fuerzas

    que actan en el cuerpo de peso .

    b) Si

    Establecer la faja de variacin de para que el cuerpo est en equilibrio.

    c) Cul es el mnimo valor de para que el cuerpo pueda movimentarse (inminencia de movimiento del cuerpo). Siendo ; ;

    d) Si ; ; . Cul deber ser el valor de para que

    est en la inminencia del movimiento?

    Rta.: b) c) d)

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    49

    17) a) Analizar la figura y mostrar todas las fuerzas

    actuantes en el cuerpo de peso , siendo ;

    b) Siendo ; ; . Cul es el mximo valor de para que

    el cuerpo permanezca en equilibrio. c) Siendo ; ; . Cul es el mximo valor de para el

    cual el cuerpo todava permanece en equilibrio esttico? d) Siendo ; ; . Cunto deber ser para que el

    cuerpo se mantenga en equilibrio esttico?

    Rta.: b) ; c) ; d)

    18) a) En cada uno de los tres casos de las figuras mostrar todos las

    fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W. Siendo

    b) Siendo f

    Cul deber ser el menor valor de en cada uno de los casos? c) Siendo ; ; . Cul es el mayor

    valor posible de W para que se mantenga en equilibrio? d) Siendo ; .

    En la figura (2) Cul deber ser el menor valor de para que sin contar con el rozamiento se mantenga el equilibrio.

    Siendo . Cul deber ser el mayor valor de para que se mantenga el equilibrio en la figura (3).

    Rta.: b) ;

    c) ; d)

    w

    F

    w

    1

    w

    2

    w

    3

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    50

    19)

    a) En la figura de muestre todas las fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W. b) Siendo . Cul es el mximo valor de para que

    se mantenga el equilibrio esttico. c) Siendo . Cul es el mnimo valor de para

    que el sistema est en la inminencia del movimiento? d) Siendo . Cul es el mnimo valor de para

    que se mantenga el equilibrio?

    Rta.: b) 34,146 kgf ; c) W= 20,07 kgf ; d)

    20) a) Cul es el menor valor de para que el movimiento sea posible ?

    Rta.:

    21) El bloque de la figura tiene un peso de W. a) Siendo

    Cul es la tensin en la cuerda? b) Siendo la mxima tensin que el hilo soporta 1.200 kgf. Cul es el mayor valor

    posible para y siendo: c) Siendo

    Cul es el mnimo valor de para que se pueda establecer el equilibrio. Siendo que el hilo soporta como mximo 600 kgf.

    Rta.: a) ; b) ; c)

    W

    30

    25

    w

    W

    w

    2W

    w

    2W

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    51

    22) El sistema de la figura est en equilibrio, siendo idnticos los dos bloques de masa . La esfera tiene masa . Calcular el mnimo coeficiente de rozamiento esttico entre los bloques y el suelo para que el sistema no deslice. (Entre el bloque y la esfera no hay rozamiento)

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    52

    EJERCICIOS DE PLANO INCLINADO: 23)

    a) Siendo

    Cul es el mximo valor de para que el cuerpo de peso permanezca en equilibrio esttico?

    b) Analizar el mismo problema anterior en forma literal, es decir: siendo datos y .

    Calcular

    c) Siendo 1-) Es necesario utilizar la fuerza de rozamiento mxima? 2-) Cul es el valor de la fuerza de rozamiento utilizada para mantener el equilibrio? 3-) Qu pasara si ? 4-) y en este caso que valor tendra la fuerza mnima equilibrarte del sistema, con

    direccin paralela al plano inclinado? 5-) En caso de que Cul deber ser la fuerza paralela al plano inclinado

    equilibrarte del sistema?

    Rta.: a) ; b) ; c) 1-) NO ; 2-) ;

    3-) El cuerpo se va a deslizar. ; 4-) 3,01 kgf 5-)

    24) a) Siendo

    . Mostrar todos las fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W.

    b) 1-) Siendo . Cul es el valor mnimo de

    para que el cuerpo est en la inminencia de bajar. 2-) En las mismas condiciones del tem anterior. Cul es el mximo valor de

    para que el cuerpo este en la inminencia de subir.

    OBS: Intervalo de variacin de para mantener el equilibrio.

    c) Siendo . 1-) Cul es el valor de para que el cuerpo est en la inminencia de bajar? 2-) Cul es el valor de para que el cuerpo est en la inminencia de subir?

    OBS: Intervalo de variacin de para mantener el equilibrio.

    Rta.: b) ; ; c) 1-) ; 2-)

    W

    W

    F

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    53

    25) a) Siendo y

    Si el cuerpo est en la inminencia de bajar, mostrar todas las fuerzas que actan en el cuerpo .

    Si el cuerpo est en la inminencia de subir mostrar todas las fuerzas que actan en el cuerpo . b) Si

    Cul es el intervalo de variacin de para el cual existe equilibrio esttico?

    c) Siendo Si ; ; Cul es el mayor valor de para que el cuerpo este en la inminencia de baja y

    cunto vale la fuerza de rozamiento en tales condiciones?

    Rta.: b) 176,75 kgf < < 326,76 kgf ; c) ,

    26) a) Siendo

    . Calcular el valor de para que el cuerpo este en la inminencia de bajar.

    b) Si Cul es el valor de para que el cuerpo este en la inminencia de subir?

    Rta.: a) kgf

    27) a)

    Calcular para que el cuerpo est en la inminencia de movimiento para el lado de la fuerza .

    Calcular cuando el cuerpo este en la inminencia de moverse hacia la polea. b) Siendo ; ;

    Calcular entre que valores debe variar para que el cuerpo est en equilibrio. c) Si ;

    Entre qu valor podr variar para mantener el equilibrio en funcin de .

    Rta.: a) ; b) 35 N < < 125 N ;

    c)

    W

    W

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    54

    Entre que valores podr variar , para que se mantenga el equilibrio.

    28)

    a) En la figura Calcular entre qu valores podr variar para que se mantenga el equilibrio.

    b) Siendo

    Calcular el intervalo de variacin de para mantener el equilibrio.

    c) Siendo

    Cul deber ser el valor de para que haya equilibrio?

    Rta.: a) ; b) 8,25 kgf < < 17,45 kgf ; c)

    29)

    a) Siendo Calcular .

    b) Siendo

    c) Siendo

    Rta.: a) ; b) 3 kgf < < 17 kgf ; c) 6,6 kgf

    c A

    B

    Cul es el mnimo valor de que mantenga el equilibrio?

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    55

    30)

    a) Siendo

    b) Siendo

    c) Siendo:

    d) Siendo:

    Rta.: a) ; b) ; c) 72,862 kgf < < 182,405kgf

    d) 7 20 50,84 < < 56 26 56,39

    31) a) Siendo:

    Calcular la fuerza de rozamiento del cuerpo B.

    b) Calcular el intervalo de valores de masa del cuerpo C.

    c) Siendo ; ; Calcular el intervalo de valores posibles de para que se mantenga el equilibrio. Rta.: a) kgf ; b) 7,83 kgf < C < 12,16 kgf ; c)

    Cul es el valor mnimo de para que exista equilibrio?

    Es posible el equilibrio? Caso afirmativo, calcular en funcin de

    Calcular el intervalo de valores que puede adquirir para que se mantenga el equilibrio.

    Calcular el intervalo de valor de para que exista equilibrio.

    C

    B

    A

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    56

    32) Siendo

    Calcular el intervalo de variacin de para que se mantenga el equilibrio.

    Rta.:

    33)

    a)

    Cul es el mximo valor de

    para mantener el equilibrio?

    b) Si Si el cuerpo (2) est en la inminencia de bajar, cul es el valor de

    Rta.: a) kgf ; b)

    34) a) Cul es la fuerza interactuando entre los cuerpos (1) y (2), siendo y

    . b)

    c) En caso de que . Cul es la fuerza mnima necesaria para que los cuerpos

    no bajen, y en este caso cual es la fuerza que (1) ejerce en (2).

    d) Siendo

    Rta.: a) No existe fuerzas interactuantes b) ; ; d) kgf c) ;

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    57

    35)

    a) Siendo y . Calcular las fuerzas de rozamiento de cada uno de los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambas.

    b)

    Calcular la faja de variacin de y en los casos extremos calcular, el rozamiento de cada cuerpo y la fuerza de contacto entre ambas.

    c) Siendo . Calcularla fuerza de rozamiento de cada uno de los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambos cuerpos sabiendo que estn en equilibrio.

    d) Siendo:

    e) Siendo:

    Entre que valores podr variar para que se mantenga el equilibrio?

    Rta.: a) ;

    b) ;

    c) ; d) ...No est siendo usada

    ; e)

    Calcular las fuerzas de rozamiento de los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambas.

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    58

    EJERCICIOS DE MOMENTO DE UNA FUERZA 36)

    a) La barra AB se encuentra pivotada en el punto A y su peso es

    . Calcular la fuerza para mantenerla en equilibrio y las relaciones en el apoyo A en los siguientes casos: 1-) 2-) 3-)

    b) Si y el mayor valor que puede ser atribuido a es de 200 N y siendo N. Calcular el mximo valor posible del peso de la barra.

    c) Si el mayor valor atribuible a la fuerza es de 150 kgf y el valor de . Cul es el mximo valor de ?

    d) Siendo . Sabiendo que el mximo valor de la fuerza de reaccin horizontal en A es 80 kgf. Cul es el mayor valor posible de ?

    Rta.: a) 1-) 2-) 3-)

    b) W=160 N ; c) ; d)

    37) La barra homognea de la figura de 3 m y pesando 300 kgf se encuentra apoyada y soportando dos pesos y .

    a) Calcular la reaccin en los apoyos A y B sabiendo que

    . b) Calcular para que la reaccin en B sea el

    doble que la reaccin en A, siendo .

    c) Siendo . Calcular de tal forma que la reacciones en los apoyos sean iguales.

    Rta.: a) ; b) ; c)

    38) Una barra homognea AB de 5 y pesando 12 kg por metro, se encuentra apoyada como ilustra la figura.

    a) Si la distancia AC es igual a 1,2 , cul es el mximo peso W para mantener el equilibrio.

    b) Cual deber ser la distancia AC, si

    Rta.: a) W= 65 kgf ; b)

    A

    P

    F

    B

    C B A

    W

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    59

    39) El peso W se encuentra apoyado en una tabla considerada sin peso.

    a) Analizar la variacin de la tensin en la cuerda en funcin del ngulo .

    b) Cul es la faja de variacin de si y los hilos de

    sustentacin pueden soportar hasta 180 kg de tensin cada una.

    c) Siendo el peso del cuerpo y . Cul ser la tensin en los hilos. Rta.: b) ; c)

    40) La barra de la figura se encuentra en equilibrio, es homognea y pesa kgf por metro y siendo longitud.

    a) Siendo . Calcular para mantener el equilibrio y calcular tambin la reaccin en .

    b) Siendo . Calcular y la reaccin en .

    c) Siendo Calcular para que se mantenga el equilibrio.

    Rta.: a) ; b) ; c)

    41) El sistema de la figura est en equilibrio esttico. En el punto tenemos una articulacin, el peso de la barra es y su longitud es .

    a) Siendo

    Calcular las reacciones en y la tensin en la cuerda. b) Siendo y la mxima tensin posible en le

    cuerda es 3W, tambin . Cul es el valor para

    mantener el equilibrio? c) Siendo

    Cul es el menor valor posible para AD. Sabiendo que el hilo puede soportar hasta y en esas condiciones, cual es la reaccin en A?

    Rta.: a) ; b) ; c)

    W

    W

    B C

    D

    A

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    60

    42) La barra AB se encuentra en equilibrio y est articulada en A. a) Siendo

    Calcular la tensin en la cuerda y las reacciones en A. b) Si la cuerda soporta una tensin mxima de 4 . Cul es

    el mnimo valor de para que se mantenga el equilibrio. c) Si , y la cuerda soporta una tensin mxima de 300 kgf, Cul es el

    mximo valor de W y en ese caso cual ser la reaccin en A?

    Rta.: a) ; b) 32323,2 ; c)

    43) La barra homognea de la figura de peso y longitud , se encuentra articulada en A y soporta el peso W.

    a) Siendo

    Calcular las reacciones en A y la tensin en el hilo.

    b) Siendo la tensin mxima posible del hilo 2W y . Calcular el menor valor de para que el hilo no suelte y calcular la reaccin en el apoyo A.

    Rta.: a) ; b)

    44) La escalera de la figura se encuentra apoyada en la pared. El peso de la escalera es W.

    a) Siendo ; ; Cul es el mximo valor de para que se mantenga el equilibrio? Y las reacciones en los apoyos.

    b) Siendo ; ; Cul es el mximo valor de y las fuerzas de rozamiento en los contactos con la pared y el piso?

    Rta.: a) ; b)

    B

    A W

    W

    3

    A

    D B

    W

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    61

    45) Una persona de peso se encuentra subiendo la escalera de longitud y peso W. El ngulo que forma la escalera con la horizontal es .

    a) Siendo:

    Cul es la mxima altura que puede llegar la persona? Y en ese momento cunto valen las fuerzas de rozamiento y las fuerzas normales en los apoyos?

    b) Si el hombre pesa y y el hombre se

    encuentra a . Cul es el mnimo valor de para que se mantenga el equilibrio?

    c) Si Cul es la altura que podr alcanzar el hombre en funcin de ?

    d) Siendo

    Cul es el menor valor de para que no haya peligro de deslizarse, mismo que el hombre suba hasta la parte de la escalera?

    Rta.: a) ; b) ; c) ;

    d)

    46) Una escalera de 5 de longitud y de 30 kgf de peso se encuentra apoyada en una pared lisa. Para aumentar la seguridad fue dispuesto un alambre como ilustra la figura. Un hombre sube la escalera.

    a) Si el hombre pesa 80 kgf; y Cules son las relaciones en los apoyos y la

    tensin en el alambre? b) Cul es la altura mxima que podr escalar el hombre si el hilo solo soporta 10 kgf como tensin mxima? El peso del hombre es 80 kgf ;

    Rta.: a) ; b)

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    62

    47) Una barra homognea de peso se encuentra como ilustra la figura. Los coeficientes de rozamiento en los apoyos son iguales y la barra est en la inminencia de deslizar. Calcular .

    Rta.:

    48) Una plancha homognea de peso 50 kgf, se encuentra con de su longitud para fuera de un barranco. Cul es la mxima distancia desde el borde que podr caminar un hombre de 70 kg si la longitud de la plancha es 6 ?

    Rta.:

    49) La escalera dupla de peso y cada tramo de longitud se encuentran en una superficie lisa y estn perfectamente articulados.

    a) Sabiendo que

    Calcular: Las reacciones en el suelo.

    La tensin en el hilo. La fuerza de interaccin en la

    articulacin. b) Si el alambre soporta una tensin mxima de 10 kgf

    Podr un hombre de 80 kgf subir por la escalera hasta la cima? Caso contrario hasta qu altura lo podr?

    c) Cunto debera ser el coeficiente de rozamiento con el piso para que la tensin en el hilo sea nula?

    d) Si colocramos el hilo a media altura, cuantas veces aumentara la tensin en el hilo.

    Rta.: a) ; ;

    c) ; d)

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    63

    50) La escalera de la figura pesa . Cada tramo mide y un hombre de peso se encuentra sobre ella.

    a) Si la superficie del suelo es perfectamente lisa,

    Calcular las reacciones en el suelo en la articulacin y la fuerza tensora en el hilo.

    b) Siendo

    c) Siendo

    Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la escalera y el piso es . Calcular las reacciones del piso la tensin en el hilo.

    Rta.: a) ; b) ; c)

    51) Las dos escaleras de la figura se encuentran articuladas en A. La superficie del suelo es perfectamente lisa. El peso de la escalera es de

    por metro. a) Siendo

    Calcular las fuerzas de interaccin en A, B, C y la tensin en el alambre.

    Rta.: a)

    52) a) Siendo

    Cul es la altura mxima que se puede aplicar para el cuerpo no tumbe? b) Siendo

    Cul es el menor valor de para que el cuerpo no pueda tumbarse? c) es una fuerza horizontal que se aplica al cuerpo W y puede variar en altura hasta

    la altura del cuerpo. Cul deber ser el mnimo valor de para que una fuerza y siendo no pueda volcarlo, tambin sabemos .

    Rta.: a) ; b) ; c)

    Cul es el mximo valor de , si el almbre soporta una tensin mxima de 10 kgf?

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    64

    53) a) Siendo

    Cul es la mxima altura par que no se produzca el vuelco?

    b) Siendo

    Cul es el mximo valor de para que no vuelque?

    Rta.: a) ; b)

    54) a) Siendo

    Cul es el menor valor de para que pueda producirse el vuelco y en ese instante cual deber ser la altura ?

    b) Siendo

    Cul deber ser el mayor valor de para que no pueda volcarse y en ese caso cual ser la mxima altura de aplicacin de ?

    c) Siendo A qu altura deber estar aplicada la fuerza para que pueda ocurrir el deslizamiento o el vuelco indistintamente o simultneamente ?

    Rta.: a) ; b) ; c)

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    65

    EJERCICIOS SOBRE CENTRO DE GRAVEDAD.

    55) a) Determinar el centro de gravedad de la lmina homognea

    en forma de T de la figura.

    b) Si colgamos esta lmina desde el techo por medio de un hilo el punto , Cul es el ngulo que formara la recta con la horizontal del lugar?

    c) Cul debe ser la longitud de la chapa MN para que dicho

    ngulo de AB con la horizontal sea de 30? d) Calcular la distancia BC para que al colgar dicha lamina de los puntos A y C es

    posicin horizontal, la tensin en el hilo de C sea el doble de la de A.

    Rta.: a) ; b) ; c) ; d)

    56) Calcular el centro de gravedad de una chapa circular como ilustra la figura.

    a) Si dicha chapa colgramos por medio de un hilo desde el punto A, Cul ser el

    ngulo que la lima AB formara con la horizontal del lugar? Rta.: 15 38 32,09

    57) Calcular el centro de gravedad de la figura. La parte sombreada fue retirada de la

    chapa.

    Rta.:

    A

    R/3 R

    R/4

    R/2 45

    45

    B

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    66

    58) Hallar el centro de gravedad de la figura. Si se cuelga de un hilo del punto , cul ser

    el ngulo que formara con la horizontal.

    Si colgamos de dos hilos en y , manteniendo horizontal. Cul ser la tensin de los hilos?

    Rta.: ;

    59)

    La placa homognea y un ngulo de la figura posee un articulacin en A, y se encuentra en equilibrio como ilustra la figura. Cul es la longitud de L ?

    Rta.: L = 29,13 cm

    60)

    a) El sistema de la figura se encuentra en equilibrio con la barra en posicin

    horizontal . Calcular el peso de la barra. b) Si colocamos . Cul sera el ngulo que la barra formara con la

    horizontal en la nueva posicin de equilibrio?

    Rta.: a) 7,2 kg ; b)

    A

    L

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    67

    61) Se est queriendo subir una rueda, de peso y radio , un peldao de altura por medio de la aplicacin de una fuerza horizontal .

    a) Siendo

    Cul debe ser el mnimo valor de para que suba?

    b) Siendo

    Cul es la mxima altura para que se consiga subir la rueda? Rta.: a) ; b)

    62) Siendo

    Cul deber ser el ngulo para que una fuerza consiga subir la rueda?

    Rta.:

    63) Una caja de peso se encuentra en un plano inclinado regulable como ilustra la figura.

    a) Si y siendo . Calcular el mximo valor de para que no ocurra el vuelco. En ese momento cual debera ser el coeficiente del rozamiento esttico para que la caja no deslice. b) Si

    Cul deber ser la altura de la caja y el mnimo valor de para que est en la inminencia de volcar como tambin en la inminencia de deslizar?

    Rta.: a) ; ; b)

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    68

    64)

    En la figura de arriba:

    a) Es necesario que entre y exista rozamiento? Justificar. b) Siendo:

    Cul es el mximo valor de para que se mantenga el equilibrio? Calcular tambin la tensin en el hilo que sujeta ?

    Rta.: b)

    65)

    En la figura de arriba: y sabiendo que entre y no existe rozamiento, y que :

    Cul es el mnimo valor de para que pueda iniciarse el movimiento? Y en este caso cual es el valor de la tensin en el hilo que sujeta el cuerpo a la pared?

    Rta.:

    P

    F

    P

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    69

    66)

    En la figura de arriba:

    a)

    Cul es el mximo valor que puede tener para que permanezca el equilibrio?

    b) Con el resultado del tem anterior, y en las mismas condiciones Cul es el mnimo valor atribuible a para que permanezca el equilibrio?

    c) Siendo y conociendo . Calcular el mximo valor de y el mnimo de para que exista equilibrio.

    Rta.: a)

    P

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    70

    EJERCICIOS EXTRADOS DE ZARATE 1. Un bloque que pesa 100 kgf se encuentra sobre un plano inclinado y est unido a un

    segundo bloque suspendido de un peso mediante una cuerda que pasa por una polea lisa pequea. El coeficiente de rozamiento esttico es 0,40 y el cintico 0,30. a. Hllese el peso para el cual el bloque se mueve hacia abajo a velocidad constante. b. Calclese el peso para el bloque se mueve hacia arriba a velocidad constante. c. Para que valores de permanecer el bloque en reposo.

    Rta.: a) 235,29 b) 744,61 c) 150,52

    2. El bloque de peso W se desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado cuya pendiente es 37 mientras la tabla tambin de peso W descansa sobre la parte superior de . la tabla est unida mediante una cuerda el punto ms alto del plano. a. Dibujar el diagrama del cuerpo libre de . b. Si el coeficiente de rozamiento cintico de todas las superficies es el mismo, determinar

    su valor.

    Rta.: b) 0,25

    3. Dos cuerpos idnticos y de peso , enlazados con un hilo pasado sobre la polea estn colocados sobre las caras y del prisma . El coeficiente de rozamiento esttico entre los cuerpos y las caras del prisma es el mismo y los ngulos y son iguales a 45. Determinar la magnitud del ngulo de inclinacin de la cara respecto a la horizontal para que la carga comience a descender. El rozamiento de la polea se desprecia.

    Rta.:

    45

    45

    37

    100kgf

    30

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    71

    W

    4. Una cuerda que se encuentra arrollada alrededor de un cilindro de radio y peso W que se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de pendiente estando la cuerda horizontal. Hllese: a. La tensin en la cuerda. b. La fuerza normal ejercida sobre el cilindro por el plano. c. La fuerza de rozamiento ejercida sobre el cilindro por el plano. d. Represntese en un diagrama de direccin la fuerza resultante

    ejercida sobre el cilindro por el plano. e. Cul es el valor mnimo del coeficiente de rozamiento

    esttico entre el cilindro y el plano para el cual es posible el equilibrio?

    Rta.: a) W b) W c) W d)

    5. Un disco circular de 30 de dimetro, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su centro tiene arrollada una cuerda alrededor de su borde. La cuerda pasa por una polea sin rozamiento en y est atada a un cuerpo que pesa . Una barra uniforme de

    de longitud est fija al disco con un extremo en el centro. El aparato se halla en equilibrio, con la barra horizontal. a. Cul es el peso de la barra? b. Cul es la nueva posicin de equilibrio cuando se suspende un segundo peso de 2 kgf

    en el extremo derecho de la barra?

    Rta.: 49 N ; 56,25

    6. La carga pesa 50 . Si a. Dibujar el DCL de la caja. b. Calcular el valor de las fuerzas que actan. c. Si la fuerza crece Qu suceder primero, se

    resbalara o volcara, girando sobre ?

    Rta.: b) c) volcar,

    7. Calcular los valores mximos de y suponiendo que los tres ladrillos iguales de longitud permanecen en equilibrio.

    Rta.:

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    72

    8. La tabla es uniforme y pesa 20 kgf. Apoya en el punto sobre una muralla sin rozamiento y en el punto . sobre un piso cuyo coeficiente de rozamiento esttico es 0,50. En el extremo

    acta con una fuerza vertical 1 kgf. a. Hacer el DCL de la tabla y calcular todas las fuerzas. b. Hallar el mximo valor de .

    Rta.: a) 16,25 kgf ; 7,92 kgf ; 6,34 kgf b) 7,12 kgf

    9. Un bloque rectangular homogneo de 60 de alto y 30 de ancho descansa sobre una tabla . El coeficiente de rozamiento esttico entre el bloque y la tabla es 0,40. a. Represntese en un diagrama la lnea de accin de la

    fuerza normal resultante ejercida sobre el bloque por la tabla cuando .

    b. Si se levanta lentamente el extremo de la tabla Comenzara el bloque a deslizar hacia abajo antes de volcar? Hallarse el ngulo B para el cual comienza a deslizar o volcar.

    c. Cul sera la respuesta a la parte b si el coeficiente de rozamiento esttico fuera 0,60? y si fuera 0,50?

    Rta.: b) desliza c) vuelca; desliza y vuelca simultneamente.

    10. La barra AB est apoyada sobre una superficie cilndrica de radio R y coeficiente de

    rozamiento esttico 0,25 y unida al piso por un vnculo A sin rozamiento. La barra pesa 40 N y se aplica en A una fuerza P. Determinar si para P = 12 N, el sistema est en equilibrio. En caso afirmativo determinar el valor y el sentido de las fuerzas en el punto de contacto entre la barra y la superficie cilndrica.

    Rta.: Si

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    73

    11. El semicilindro macizo de radio y de masa, est apoyada en plano horizontal ( ) y un plano inclinado 60 sin rozamiento. a. Para hacer el DCL inclinado el modulo, direccin y sentido de todas las fuerzas. b. Determinar el rango de valores de para los cuales el cuerpo est en equilibrio.

    Rta.: a) 240,13 ; 859,93 ; 207,96 b)

    12. Entre que valores debe variar la fuerza aplicada en el punto , para que el sistema permanezca en equilibrio? La masa es esfrica. Datos:

    Rta.:

    13. En la estructura el bloque pesa 120 kg y la barra pesa . El coeficiente de

    rozamiento entre el bloque y la superficie inclinada es . El bloque pesa 30 kg. a. Averiguar si el sistema se encuentra en

    equilibrio en la posicin que se muestra. b. Entre que valores puede variar el peso de

    la barra sin que se altere el estado de equilibrio?

    Rta.: a) si b) 1,9 kgf kgf

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    74

    14. Calcular el mximo y el mnimo peso P necesario para mantener el equilibrio. El peso A es de y Q es de . El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano es de 0,40

    Rta.:

    15. La escalera tipo tijera es de peso despreciable y descansa sobre un piso liso sin rozamiento. Los lados y miden 2,40 cada uno y la cuerda mide 0,80 y est situada a la mitad de la escalera. El hombre pesa 85 kgf. a. Hacer un diagrama de las fuerzas que actan sobre la

    escalera y calcular las intensidades de dichas fuerzas. b. Dibujar por separado la rama y hacer un diagrama de las

    fuerzas que actan sobre esta rama. c. Calcular la tensin de la cuerda .

    Rta.: a) 499,80 ; 333,20 c) 235,6

    16. En la estructura de la figura se desea aplicar una fuerza a fin de mantener el equilibrio. Dar el valor del vector fuerza y su punto de aplicacin.

    .

    Rta.:

    17. Determinar el centro de gravedad de las figuras que se representan.

    Rta.: a) 63,07 ; 50,23 b) 2 ;

    b)

    Y

    x

    a)

    30

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    75

    18. Una placa de espesor uniforme est colocada encima de una mesa horizontal y sometida a la accin de una fuerza horizontal a. Hallar el centro de gravedad de la placa. b. Dibujar el DCL de la misma, indicando el valor y punto de

    aplicacin de todas las fuerzas. c. Verificar si en estas condiciones es posible el equilibrio. d. Hasta qu altura con respecto al piso es posible aplicar la

    misma carga horizontal P de modo que no se altere el equilibrio?

    Rta.: a) 4,08 b) 0,4 c) no d) 2,36

    19. Verificar si la barra homognea de la figura se encuentra en equilibrio. a. Si est en equilibrio: Qu valor mximo puede tener una

    fuerza aplicada verticalmente en el centro de gravedad de la barra dirigida hacia abajo sin que se rompa el equilibrio?

    b. Si no est en equilibrio: Cul es el mnimo valor de para mantener la barra en equilibrio? No existe rozamiento sobre la barra. 100 kg ; 30 kg ; 30 ; ;

    Rta.: no est equilibrado;

    20. A partir de los datos que se muestran en la figura, deducir una frmula que nos permita calcular el ngulo con las siguientes condiciones: a. El bloque resbale sin volcar. b. El bloque vuelque sin resbalar.

    Rta.: a) b)

    21. La rueda de radio de la figura est por pasar un obstculo de altura con la ayuda de una fuerza horizontal aplicada en el centro de la rueda. Todas las superficies son lisas, sin rozamiento. a. Hacer un diagrama de todas las fuerzas que actan

    sobre la rueda. b. Deducir las frmulas que nos permitan calcular las

    fuerzas mencionadas en la pregunta a. en funcin de la fuerza , el radio y la masa de la rueda.

    c. Cul es el mnimo valor de que posibilita que la rueda se levante?

    Rta.: b) c)

    W= peso de la placa

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    76

    22. El bloque de masa que se muestra en la figura descansa en el punto D sobre una tabla de masa y con un coeficiente de rozamiento esttico . El ngulo que forma la barra con la horizontal es , la longitud de la tabla es y la longitud es . a. Verificar que el bloque de masa se encuentra en

    equilibrio sobre la tabla. b. Demostrar que en las condiciones que se muestran en la

    figura la tensin en la cuerda no supera el valor mximo admisible , sin que esta se rompa.

    c. Cules son los valores mximo y mnimo de para los cuales el sistema que se muestra en la figura permanece en equilibrio sin que la masa resbale sobre la tabla o que la cuerda se rompa?

    Rta.: a) si c) 23. Los cuerpos y estn dispuestos como se indica en la

    figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento esttico entre todas las superficies es , determinar entre que valores puede variar para que el sistema

    permanezca en equilibrio.

    Rta.:

    24. La placa homognea mostrada se halla suspendida inicialmente de tal modo que la reaccin en la cuerda y son iguales. Calcular el ancho del trozo cortado.

    Rta.:

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    77

    TEMA DE EXAMENES ANTERIORES

    25. Despreciando la masa de la tabla, de las cuerdas y de las poleas, calcular la fuerza que debe aplicar a la cuerda una persona de masa parada sobre la plataforma para mantener la misma en equilibrio.

    Rta.:

    26. La placa de la figura pesa 50 kgf y est suspendida mediante dos cabos de acero de igual seccin. Calcular el valor de para que las fuerzas en los cabos sean iguales.

    Rta.:

    27. En la figura se representa una barra continua y rgida de peso despreciable que lleva en sus extremos las fuerzas indicadas. La posicin de equilibrio queda caracterizada por los ngulos y . Hallar dichos ngulos.

    .

    Rta.: 28. La escalera mostrada en la figura, de 1,2 m de longitud, es

    uniforme y homognea, y pesa 5 kgf. Por ella debe subir un obrero de 60 kgf de peso. Cul es la mxima distancia, medida sobre la escalera, que puede alcanzar el obrero sin que la misma resbale?

    Rta.:

    29. En el sistema representado en la figura, se consideran ideales la cuerda y la polea. Sabiendo que la masa del cuerpo es 60 kg y que el coeficiente de rozamiento esttico entre los planos y los cuerpos es igual a 0,35, determinar el intervalo de valores de la masa del cuerpo para que el sistema se encuentre en equilibrio, cuando es inminente que se deslice. .

    Rta.: mnimo valor ; mximo valor

    B

    A D

    C

    AC 1,2 m

    BD 0,8 m

    AD 0,6 m

    B

    C A

    80 kgf 100kgf

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    78

    30. Hallar el centro de gravedad de la placa homognea de espesor constante indicada en la figura.

    31. La barra de longitud L y peso despreciable, se halla en equilibrio en la posicin mostrada en la figura. Hallar la relacin entre los pesos y .

    Rta.:

    32. El sistema de la figura se abandona a s mismo y el cuerpo vuelca sin deslizar. Cul es el

    valor del coeficiente de rozamiento esttico ?

    Rta.: 33. Una varilla de vidrio de seccin uniforme, de masa y longitud se apoya sobre el

    fondo y el borde de una capsula de porcelana de forma semiesfrica de radio Despreciando el rozamiento, hallar el ngulo que formara la varilla con la horizontal en la posicin de equilibrio.

    Rta.:

    R 2L

  • Fsica

    Cursillo Ing. Ral Martnez

    79

    34. Un disco homogneo de peso W 100 N y radio cm est apoyada en dos superficies en los puntos A y B segn muestra la figura. Una fuerza horizontal de intensidad N acta sobre el disco a una altura del suelo. Se sabe que la friccin en el suelo es despreciable y que el coeficiente de rozamiento esttico entre el disco y la superficie vertical es . Qu valores puede tomar sin que el equilibrio del disco se rompa?

    Rta.: 35. Se desea que un cuerpo compuesto por un semicilindro (con centro de gravedad en G) y un

    prisma recto cuya base es un tringulo rectngulo, se encuentre en equilibrio estable. Calcular los valores de la distancia y la altura . .

    Rta.: ; 36. Sabiendo que la barra , de peso despreciable y

    longitud , puede soportar una fuerza mxima de 1000

    y que la cuerda puede soportar una fuerza mxima de , determinar el mximo valor que puede tener el peso para que el sistema se encuentre en equilibrio. Rta.:

    37. La placa homognea , se halla suspendida inicialmente de tal modo que la fuerza en la cuerda es cero. Posteriormente se corta un trozo de chapa, como se indica en la figura, y las reacciones en y resultan iguales. Calcular el ancho del trozo cortado.

    Rta.:

    x

    B

    C A W

    45

    60

  • Fsica

    Cursillo Ing. Ral Martnez

    80

    38. Hallar el centro de gravedad de la plancha metlica homognea y de espesor despreciable que se indica en la figura.

    Rta.:

    39. En el sistema representado en la figura, se consideran ideales la cuerda y la polea. Sabiendo que la masa del cuerpo A es 60 kg y que el coeficiente de rozamiento esttico entre el plano y los cuerpos es 0,35. Determinar el intervalo de valores de la masa del cuerpo B para que el sistema se encuentre en equilibrio.

    Rta.:

    40. Determinar el valor de para que el alambre homogneo de peso , doblando como se muestra en la figura, se encuentre en equilibrio en la posicin indicada.

    Rta.:

    41. El cuerpo de peso , mostrado en la figura, no debe girar alrededor de la rtula . Calcular el mximo peso que puede colgarse para que se cumpla la condicin establecida.

    Rta.:

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