Funzione seno - dm.unipi.it · simmetrizzare rispetto all’asse y il graﬁco ottenuto per 0

Funzione seno

Consideriamo la funzione sin(2x), si osserva che essa,come la funzione sinx, è periodica. Calcoliamo il suoperiodo, cerchiamo T tale che :f(x)=f(x+T), dunque sin(2x)=sin(2(x+T)), dunque 2T=2π, da cui T= π, vale a dire che il periodo di sin(2x) è lametà del periodo di sinx.Il grafico di sin(2x) è analogo a quello di sinx, ma conperiodo dimezzato.

Funzione seno

Consideriamo la funzione sin(x/3), si osserva che essa,come la funzione sinx, è periodica. Calcoliamo il suoperiodo, cerchiamo T tale che :f(x)=f(x+T), dunque sin(x/3)=sin((x+T)/3), dunqueT/3=2π, da cui T=6 π, vale a dire che il periodo disin(x/3) è il triplo del periodo di sinx.Il grafico di sin(x/3) è analogo a quello di sinx, ma conperiodo triplicato.

In figura i grafici di sinx e cosx a confronto

Si osserva che il grafico di sin(x+π/4) si ottiene dal grafico disinx mediante una traslazione orizzontale di π/4 versosinistra, mentre il grafico di sin(x- π/3) mediante una

traslazione orizzontale di π/3 verso destra

Ancora la funzione seno….

Il grafico della funzione 1+sinx, si ottiene traslando inverticale di 1 unità verso l’alto il grafico di sinx.Il grafico di 1-sinx si ottiene nel modo seguente:- si ottiene il grafico di -sinx simmetrizzando rispettoall’asse delle ascisse il grafico di sinx;-si trasla verticalmente di 1 unità verso l’alto il graficodi -sinxLa funzione 3sinx ha lo stesso periodo di sinx, maassume valori compresi tra -3 e 3

In figura il grafico di |sinx|, che si ottiene lasciando inalteratoil grafico di sinx negli intervalli dove sinx>0, vale a dire (2kπ,(2k+1)π ) per ogni k intero, simmetrizzando rispetto all’assedelle ascisse il grafico di sinx negli intervalli dove sinx<0

In figura il grafico di sin|x|; si osserva che sin|x| è unafunzione pari, che coincide con sinx quando x>0, quindibasta disegnare il grafico di sinx per x>0 e simmetrizzarlo rispetto all’asse delle ordinate

In figura il grafico della funzione sinx + |sinx|, checorrisponde al grafico della funzione 2sinx negli intervallidove sinx>0, vale a dire (2kπ, (2k+1)π ) per ogni k intero, vale invece 0 negli intervalli per cui sinx≤0

In figura il grafico della funzione 1/(1+sinx), si osserva che lafunzione non è definita nei punti -π/2 +2kπ, per ogni k intero,dove la funzione sinx=-1; tali punti costituiscono dellesingolarità per la funzione; si osserva inoltre che la funzione èsempre positiva, essendo 1+sinx>0 per x≠ -π/2 +2kπ

In figura il grafico della funzione 1/(1-sinx), si osserva che lafunzione non è definita nei punti π/2 +2kπ, per ogni k intero,dove la funzione sinx=1; tali punti costituiscono dellesingolarità per la funzione; si osserva inoltre che la funzione èsempre positiva, essendo 1-sinx>0 per x≠ π/2 +2kπ

Si osserva che il grafico di cos(x+π/4) si ottiene dal grafico dicosx mediante una traslazione orizzontale di π/4 versosinistra, mentre il grafico di cos(x- π/3) mediante una


In figura il grafico di cosx+|cosx|, che corrisponde al graficodi 2cosx negli intervalli (-π/2 +2kπ, π/2+2kπ), per ogni k

intero, dove cosx>0, vale 0 dove cosx≤0

In figura il grafico della funzione1/(1-2cosx); si osserva che lafunzione non è definita per x=π/3+2kπ e per x=-π/3 +2kπ, perogni k intero, dove cosx=1/2; tali punti costituiscono dellesingolarità per la funzione. La funzione è positiva per π/3+2kπ <x< 7π/3+2kπ , dove 1-2cosx>0, vale a dire cosx<1/2

In figura il grafico di 1/(1+√ 2 cosx); si osserva che lafunzione non è definita per x=3π/4+2kπ e per x=-3π/4 +2kπ,per ogni k intero, dove cosx=−1/√ 2 ; tali punti costituisconodelle singolarità per la funzione. La funzione è positiva per -3π/4+2kπ <x< 3π/4+2kπ , dove 1+√ 2 cosx>0, vale a direcosx> -1/√ 2

In figura il grafico di |cosx| che si ottiene lasciando inalteratoil grafico di cos x negli intervalli dove cosx>0, vale a dire (-π/2 +2kπ, π/2 +2kπ) per ogni k intero, simmetrizzandorispetto all’asse delle ascisse il grafico di cosx negli intervallidove cosx<0

In figura il grafico di cos|x| =cosx , essendo cosx una funzionepari

In figura il grafico di tanx

Si osserva che il grafico di tan(x+π/4) si ottiene dal grafico ditanx mediante una traslazione orizzontale di π/4 versosinistra, mentre il grafico di tan(x- π/3) mediante una


In figura il grafico della funzione tanx+|tanx| che corrispondea 2tanx negli intervalli dove tanx>0, vale a dire (kπ, π/2 +kπ),vale 0 fuori di tali intervalli dove tanx≤0

In figura il grafico di 1/(1+tanx); la funzione non è definitaper x=-π/4+kπ, per ogni k intero,(oltre che per x=π/2+kπ,dove non è definita tanx), essendo in essi 1+tanx=0; lafunzione risulta positiva per 1+tanx>0, dunque per -π/4+kπ < x < π/2+kπ; inoltre la funzione ha limite 0 per x→π/2+kπ, dove la funzione tanx tende a ∞

In figura il grafico di 1/(√ 3 -tanx); la funzione non è definitaper x=π/3+kπ, (oltre che per x=π/2+kπ, dove non è definitatanx), per ogni k intero, essendo in essi √ 3 -tanx=0; lafunzione risulta positiva per √ 3 -tanx >0, dunque per -π/2+kπ < x < π/3+kπ, dove tanx<√ 3 ; inoltre la funzione halimite 0 per x→ π/2+kπ, dove la funzione tanx tende a ∞

Funzione arcoseno

A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = arcsinxdisegna il grafico delle seguenti funzioni

g(x) =arcsin(x+1) g(x) = arcsin(x-2)g(x) =arcsin(2x); g(x) = arcsin(x/3)g(x) =π/4+arcsinx; g(x)= 3arcsinxg(x) = π/4 - arcsinx; g(x)=|arcsinx|g(x) =| π/4-arcsinx | ; g(x) = arcsin|x|g(x) =1/ (π/4-arcsinx ) ; g(x) =1/(π/2+arcsinx )g(x) =1/ (π/3+arcsinx ) ; g(x) = arcsinx +|arcsinx|

In figura il grafico di arcsinx

In figura il grafico di arcsin(x-2) (verde) ottenuto traslando il grafico diarcsinx (rosso) orizzontalmente verso destra di 2 unità, dominio 1≤x≤3; ilgrafico di arcsin(2x) (rosa) ottenuto dimezzando l’intervallo di definizionedi arcisnx, dominio -1/2≤x≤1/2; il grafico di 3arcsinx (in blu) ottenutomoltiplicando per 3 i valori di arcsinx, dominio -1≤x≤1, immagine [-3π/2, 3π/2]

In figura il grafico di arcsinx+|arcsinx| che vale2arcsinx per 0≤x≤1, vale 0 per -1≤x≤0

In figura il grafico di π/4 - arcsinx, ottenuto nel modoseguente: si ottiene il grafico di -arcsinx con una simmetriarispetto all’asse x del grafico di arcsinx, quindi si traslaquest’ultimo verticalmente verso l’ alto di π/4 . La funzionesi annulla per x=√ 2 /2

In figura il grafico di 1/(π/4 -arcsinx) definita per-1≤x<√ 2 /2∪ √ 2 /2<x≤1, nel punto x=√ 2 /2, dove arcsinx=π/4, la funzione ha una singolarità; la funzione è positiva perπ/4 -arcsinx>0, vale a dire arcsinx< π/4, dunque per-1≤x<√ 2 /2

In figura il grafico di 1/(π/2 + arcsinx), definita per -1<x≤1, sideve infatti escludere x=-1 in quanto arcsin(-1)= - π/2; lafunzione è sempre positiva essendo π/2 + arcsinx>0 per -1<x≤1

In figura il grafico di |arcsinx|, che coincide conarcsinx per 0≤x≤1, dove arcsinx≥0, mentre coincidecon -arcsinx per -1≤x<0, dove arcsinx<0

In figura il grafico di arcsin|x|, che coincide con ilgrafico di |arcsinx|, essendo arcsinx una funzione

dispari

Funzione arcocoseno

A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = arccosxdisegna il grafico delle seguenti funzioni

g(x) =arccos(x+1) g(x) = arccos(x-2)g(x) =arccos(2x); g(x) = arccos(x/3)g(x) =π/4+arccosx; g(x)= 3arccosxg(x) = π/4 - arccosx; g(x)=|arccosx|g(x) =| π/4-arccosx | ; g(x) = arccos|x|g(x) =1/ (π/4-arccosx ) ; g(x) =1/(arccosx- π/2 )g(x) =1/ (π/3- arccosx ) ; g(x) = arccosx +|arccosx|

In figura il grafico di arccosx

In figura il grafico di arccos(x-2) (verde) ottenuto traslando il grafico diarccosx (rosso) orizzontalmente verso destra di 2 unità, dominio 1≤x≤3; ilgrafico di arccos(2x) (rosa) ottenuto dimezzando l’intervallo didefinizione di arccosx, dominio -1/2≤x≤1/2; il grafico di 3arccosx (in blu)ottenuto moltiplicando per 3 i valori di arccosx, dominio -1≤x≤1,immagine [0, 3π]

In figura il grafico di π/4 - arccosx, ottenuto nel modoseguente: si ottiene il grafico di -arccosx con una simmetriarispetto all’asse x del grafico di arccosxx, quindi si traslaquest’ultimo verticalmente verso l’ alto di π/4. La funzionevale 0 per x=√ 2 /2

In figura il grafico di 1/(π/4-arccosx) definita per-1≤x<√ 2 /2∪ √ 2 /2<x≤1, nel punto x=√ 2 /2, dove arccosx= π/4, lafunzione ha una singolarità; la funzione è positiva perπ/4 -arccosx>0, vale a dire arccosx< π/4, dunque perx>√ 2 /2 (si ricorda che la funzione arccosx è decrescente..)

In figura il grafico di |arccosx|, che coincide conarccosx non essendo la funzione arccosx mai

negativa

In figura il grafico di arccos|x|, per 0<x≤1 il grafico coincidecon arccosx; poiché la funzione è pari è sufficientesimmetrizzare rispetto all’asse y il grafico ottenuto per 0<x≤1e si ottiene il grafico anche per -1≤x≤ 0

Funzione arcotangente

A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = arctanxdisegna il grafico delle seguenti funzioni

g(x) =arctan(x+1) g(x) = arctan(x-2)g(x) =π/4+arctanx; g(x)= 3arctanxg(x) = π/4 - arctanx; g(x)=|arctanx|g(x) =| π/4-arctanx | ; g(x) = arctan|x|g(x) =1/ (π/4-arctanx ) ; g(x) =1/(arctanx- π/2 )g(x) =1/ (π/3- arctanx ) ; g(x) = arctanx +|arctanx|

In figura il grafico di arctanx

In figura il grafico di arctan(x-2) (verde) ottenuto traslando il grafico diarctanx (rosso) orizzontalmente verso destra di 2 unità; il grafico diarctan(2x) (rosa); il grafico di 3arctanx (in blu) ottenuto moltiplicando per3 i valori di arctanx, ottenendo come insieme immagine (-3π/2, 3π/2).

In figura il grafico di arctanx +|arctanx|, che coincidecon 2arctanx per x≥0, vale 0 per x<0, dove

arctanx<0

In figura il grafico di π/4 - arctanx, ottenuto nel modoseguente: si ottiene il grafico di -arctanx con una simmetriarispetto all’asse x del grafico di arctanx, quindi si traslaquest’ultimo verticalmente verso l’ alto di π/4. La funzionevale 0 per x=1

Funzioni…..

Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che siadecrescente, il cui limite per x→−∞ sia 0, e per x→+∞ il limite sia −π

Ad esempio: f(x)=−(arctanx+π/2)

Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che siadecrescente, il cui limite per x→−∞ sia π, e per x→+∞ il limite sia 0

Ad esempio: f(x)= π/2− arctanx

Funzioni……Dire quali delle seguenti identità sono vere e quali no:sinx =cos(x +π/2) Falsa, cos(x +π/2) =-sinxsinx = -sin(x+π) Veracosx = sin(x+π/2) Veracosx = -cos(x+π) Veracosx= cos(x- π) Verasinx = -cos(x+ π/2) VeraRisolvere le seguenti equazioni e disequazioni:sin(3x)=1/2; sin(3x)>1/2Soluzione: sin(3x)=1/2 quando 3x=π/6+2k π oppure 3x=5π/6+2kπ, per ogni k

intero, per cui l’equazione ha per soluzioni x= π/18 +2kπ/3∪5π/18+2kπ/3.La disequazione sin(3x)>1/2 è soddisfatta negli intervalli(π/18 +2k π/3, 5π/18+2kπ/3 ); si osserva che la funzione sin(3x) ha periodo 2π

/3.

Equazioni e disequazioni trigonometricheRisolvere le seguenti equazioni e disequazioni:cos(3x) = 1/2; cos(3x)> 1/2Soluzione: l’equazione è soddisfatta per 3x= -π/3+2kπ oppure 3x= π/3+2k π,

dunque le soluzioni dell’equazione sono x= -π/9 +2kπ/3∪π/9+2kπ/3, perogni k intero; la disequazione è soddisfatta negli intervalli

(-π/9 +2kπ/3, π/9+2kπ/3); si osserva che la funzione cos(3x) ha periodo 2π/3

tan(3x) = 1; tan(3x)≤ 1Soluzione:l’equazione è soddisfatta per 3x= π/4+ kπ , dunque x= π/12+kπ/3La disequazione è soddisfatta per -π/2+kπ < 3x < π/4+ kπ , dunque per -π/6+kπ/3 < x < π/12+ kπ/3; si osserva che la funzione tan(3x) ha periodo π/3

sin(3x) ≥ 1/√ 2 ; cos(3x) < 1/√ 2

Equazioni e disequazioni trigonometrichesin(3x) ≥ 1/√ 2 ;Soluzione:la disequazione è soddisfatta (vedi grafico sinx) perπ/4 +2kπ<3x<3π/4+2kπ, dunque per π/12 +2kπ/3<x<3π/12+2kπ/3, per ogni k intero

cos(3x) < 1/√ 2Soluzione: la disequazione è soddisfatta (vedi grafico cosx) perπ/4 +2kπ<3x<7π/4+2kπ, dunque perπ/12 +2kπ/3<x<7π/12+2kπ/3, per ogni k intero

Equazioni e disequazioni trigonometriche

Risolvere le seguenti disequazioni:3sinx≤-3/2Soluzione: la disequazione equivale a sinx ≤ -1/2 che è soddisfatta per

7π/6 +2kπ<x<11π/6+2kπ, per ogni k intero

|3sinx|≥3/2 (si suggerisce di utilizzare il risultato ottenuto nella precedentedisequazione….)

Soluzione: dal grafico di |sinx| si capisce che la disequazione è soddisfattanell’intervallo (7π/6 , 11π/6), a meno di multipli interi di π (la funzione |sinx|ha infatti periodo π), quindi la disequazione ha per soluzioni

7π/6 +kπ<x<11π/6+kπ, per ogni k intero

Equazioni e disequazioni trigonometriche

Risolvere le seguenti disequazioni:3cosx ≤ -3√ 3 /2Soluzione: la disequazione equivale a cosx≤ -√ 3 /2 , soddisfatta (vedi grafico

cosx) per 5π/6 +2kπ<x<7π/6+2kπ, per ogni k intero

|3cosx|≥ 3√ 3 /2 (si suggerisce di utilizzare il risultato ottenuto nella precedentedisequazione….)

Soluzione: dal grafico di |cosx| si capisce che la disequazione è soddisfattanell’intervallo (5π/6 , 7π/6), a meno di multipli interi di π (la funzione |cosx|ha infatti periodo π), quindi la disequazione ha per soluzioni

5π/6 +kπ<x<7π/6+kπ, per ogni k intero

Funzioni sinusoidali

Determinare una funzione sinusoidale che descriva laconcentrazione di una certa sostanza nel sangue, che varia neltempo periodicamente con periodo 24 ore, con valore minimo10mg/100ml alle ore 4 e valore massimo 80 mg/100ml alle ore16.

Soluzione: Abbiamo visto che una funzione sinusoidale si puòscrivere come f(x)=Acos(2π/P(x-x0)) + y0

Dove A è l’ampiezza, P è il periodo, x0 la fase ed y0 il valor medio.Nel nostro caso si ha P=24, A=(80-10)/2=35, y0 =(80+10)/2=45 ed

infine x0 =16, quindi otteniamo la funzione f(x)=35cos(2π/24(x-16))+45Si verifica che per x=4 otteniamo f(4)=10

Funzioni sinusoidali

Formule di prostaferesi:

sinα +sinβ = 2sin((α+ β)/2)cos((α- β)/2)sinα - sinβ = 2sin((α - β)/2)cos((α+ β)/2)cosα +cosβ = 2cos((α+ β)/2)cos((α- β)/2)cosα - cosβ = - 2sin((α+ β)/2)sin((α- β)/2)

Funzioni sinusoidaliSommiamo due sinusoidi di uguale ampiezza e periodo,

ma differente fasePosto ω = 2π/PAcos(ω(x-F)) + Acos(ω(x-F’)) =Usiamo la corrispondente formula di prostaferesi=2Acos(ω(F’-F)/2)cos(ω(x- (F’+F)/2))Se ω(F’-F)/2=π/2, vale a dire F’-F= π/ω=P/2, la somma

delle due sinusoidi è nulla!Fenomeni di interferenzaI colori della coda di un pavone sono generati non dai

pigmenti ma dall’interferenza della luce (vd.Batschelet pag.136)

Funzioni sinusoidaliUna funzione sinusoidale, può essere scritta nel modo

seguenteAcos(ω(x-F)) + y* == Acos(ωF)cos(ωx) + Asin(ωF)sin(ωx) + y* = a1cos(ωx)

+ b1sin(ωx)dove si è posto a1= Acos(ωF), b1= Asin(ωF)

La somma di due funzioni sinusoidali con uguale periodo,ma differente ampiezza e/o fase, può non esseresinusoidale

Funzioni sinusoidaliI polinomi trigonometrici

p(x) =y* + a1cos(ωx) + a2cos(2ωx)+….+ ancos(nωx) ++b1sin(ωx) + b2sin(2ωx) +…+ bnsin(nωx)

Sono tutte funzioni di periodo 2π/ω , ma non sonofunzioni sinusoidali

Ogni funzione periodica (non “patologica”) di frequenzaangolare ω è ben approssimabile da polinomitrigonometrici di frequenza angolare ω

(analisi di Fourier)

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