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Ejercicio 2.5 Un generador de señales está conectado a una línea de transmisión cuya impedancia característica vale 60 Ω. La línea mide 4 metros y el dieléctrico en su interior tiene una permitividad relativa de 1.5. Al final de la línea se conecta una carga cuya impedancia de entrada vale 60 Ω. Si el generador tiene una resistencia interna de 1.5Ω y un voltaje de salida en circuito abierto igual a 2.6 cos (2πx10 8 )t V, encuentre: a) las expresiones matemáticas instantáneas para el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea, y b) la potencia promedio que se le entrega a la carga. Solución: De acuerdo con los datos proporcionados, el circuito se puede representar de la forma siguiente: Z 4 m V g =1.5 ∠ 0 0 f=200 MHz Z g =1 ΩZ 0 =75 Ω=Z L Como la línea está acoplada, la impedancia que se ve en todos los puntos de la línea es la misma y, por lo tanto, la impedancia de entrada también vale eso: Z entrada =75 Ω La parte izquierda de circuito se puede representar ahora como:
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Ejercicio 2.5 Un generador de señales está conectado a una línea de transmisión cuya impedancia característica vale 60 Ω. La línea mide 4 metros y el dieléctrico en su interior tiene una permitividad relativa de 1.5. Al final de la línea se conecta una carga cuya impedancia de entrada vale 60 Ω. Si el generador tiene una resistencia interna de 1.5Ω y un voltaje de salida en circuito abierto igual a 2.6 cos (2πx108)t V, encuentre: a) las expresiones matemáticas instantáneas para el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea, y b) la potencia promedio que se le entrega a la carga.
Solución:
De acuerdo con los datos proporcionados, el circuito se puede representar de la forma siguiente:
Z 4 m
V g=1.5∠00 f =200MHz
Zg=1ΩZ0=75Ω=Z L
Como la línea está acoplada, la impedancia que se ve en todos los puntos de la línea es la misma y, por lo tanto, la impedancia de entrada también vale eso:
Zentrada=75Ω
La parte izquierda de circuito se puede representar ahora como:
V entrada=( Zemtr .
Z g+Zentr .)V g=¿( 6061.5 ) (2.6∠00 )=2.53∠00V ¿
I entr .=( 1Z g+Zemtr . )V g=
2.6∠0061.5
=0.0422∠00 A
Si se considera que la atenuación ∝ es despreciable, entonces, a partir de las ecuaciones:
Υ= jβ= j ωv
= jω√εrc
= j 2π x108√1.5
3 x108= j 2.5650 rad /m
Por lo tanto, se tiene que para cualquier punto de la línea a una distancia z a la derecha de las terminales de la entrada, el voltaje está dado por:
V ( z )=(V entr . )e−βz=(2.53 e j0 )e− j2.5650 z=2.53 e− j2.5650z A
Finalmente, se obtienen las expresiones pedidas en función del tiempo, para cualquier punto de la línea:
v ( z ,t )=ℜ [V (z)e jωt ]=ℜ [2.53e− j2.5650 z e j 2 πf t ]
¿2.53cos [2π x108t−2.5650 ]V
i (z , t )=ℜ [ I ( z ) e jωt ]=ℜ [0.0422 e− j2.5650 z e j2πf t ]
¿0.0422cos [2π x108t−2.5650 ] A
Así, por ejemplo, para el punto específico donde está la carga, las expresiones instantáneas se obtienen sustituyendo z=4 m en las ecuaciones anteriores.
Por lo que se refiere a la potencia promedio entregada a la carga, ésta debe ser igual a la potencia promedio de entrada, ya que se está considerando que la línea no tiene pérdidas (∝=0). De allí que, a partir de los fasores de voltaje y corriente:
(Pprom. )carga=(P prom.)entr .=12
ℜ [V ( z ) I ¿(z )]
12
ℜ [ (2.53 e− j2.5650 z )(0.0422 e− j2.5650 z)]
12 [ (2.53 )(0.042)]=0.10626W
Nota:I ¿(z )representaal conjugado de I (z)
