INSTITUCION EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESUSTALLER DE IDENTIDADES GRADO DECIMO

IDENTIDADES TRIGONOMETRICASUna identidad es una igualdad de razones trigonométricas que se cumplen para cualquier ángulo.Las identidades fundamentales se clasifican en: Recíprocas, Cociente y Pitagóricas

Identidades recíprocas:

Identidades por cociente

Identidades pitagóricas

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES

Demostrar una identidad es realizar una serie de procedimientos para comprobar que la parte izquierda de la igualdad es lo mismo que la parte derecha de la igualdad.

Para poder realizar la comprobación o demostración, se puede realizar de tres formas diferentes:

1. Partiendo de la parte izquierda para comprobar la parte derecha2. Partiendo de la parte derecha para comprobar la parte izquierda3. Trabajando las dos partes en forma simultanea para llegar el final a una igualdad.

Para cualquiera de las tres formas que hay para demostrar identidades, hay que:

1. Tomar como base las identidades fundamentales2. Realizar procedimientos matemáticos (todos los que se

han visto de sexto a décimo)

Ejemplos:

1. Cos X + 2tan X = (Cos2X + 2Sen X).Sec X

Para realizar esta demostración partamos de la parte derecha

(Cos2X + 2Sen X).Sec X = (Cos2X + 2Sen X). 1

cosX

utilizando la identidad recíproca(Cos2X + 2Sen X).Sec X = Cos 2 X + 2Sen X

Cos X Cos Xaplicando la propiedad distributiva

(Cos2X + 2Sen X).Sec X= Cos X + 2. Sen X Simplificando Cos X

(Cos2X + 2Sen X).Sec X= Cos X + 2.Tan X Utilizando la identidad de cociente

2. Sen X + Cos X = 1 + 1 . Sen X Tan X

Para realizar esta demostración partamos de la parte izquierda

Sen X + Cos X = Sen X + Cos X Utilizando la propiedad

Sen X Sen X Sen X distributiva

Sen X + Cos X = 1 + Cos X Simplificando Sen X Sen X

Sen X + Cos X = 1 + Ctg X Utilizando la identidad por Sen X Cociente

Sen X + Cos X = 1 + 1 . Utilizando la identidad Sen X Tan X cociente

3. 1 + Tan2 X = Sec2X

Utilizando la identidad por cociente

Realizando la suma de fracciones

Utilizando la identidad pitágorica fundamental

Utilizando la identidad recíproca

4.   .

Utilizando Reciproca

Resta de fracciones

Identidad fundamental

Definición de potencia

Identidad por cociente

EJERCICIOS

DEMOSTRAR QUE LAS SIGUIENTES IGUALDADES SON IDENTIDADES

1. csc θ · tan θ = sec θ

2. cos θ · csc θ = cot θ

3. sen2θ + cos2θ + tan2θ = sec2θ

4. sen 2 A = Cos 2 A sec2 A−1

5. sec 2 X = Tan 2X 1+cot2 X

6. 1+tan 2 θ = = tan2θ csc2θ

7. (sec X + tan X)(1 − sen X) = cos2 X

8. sec θ − sec θ · sen2 θ = cos θ

9. sen X · sec X · cot X = 1

10. cos θ · sec θ = 1

11. sen2β(1 + cot2β) = 1

12. sen2θ · sec2θ − sec2θ = −1

13. (sen α + cos α)2 + (sen α − cos α)2= 2

14. tan2θ · cos2θ + cot2θ · sen2θ = 1

15. tan θ + cos θ = sec θ 1+sen θ

16. sen X+cos X = 1 − 1 . sen X tan X

17. cos θ = sen θ cot θ

18. sen α + cos α = 1 csc α sec α

19. tan β = sec β sen β

20. sec θ = sen θ tan θ+cot θ

21. csc θ = sec θ cot θ

22. 1−sen θ = cos θ cos θ 1+sen θ

23. sen4θ = 1−cos 2 θ csc2θ

24. sec θ(1 − sen2θ) = cos θ

25. tan θ · cos θ · csc θ = 1

26. cot θ−1 = cot θ 1−tan θ

27. 1+tan 2 ψ = csc2ψ tan2 ψ